Derivacao implicita

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Prof. Geraldo Bull
Cálculo III
Derivação implícita
A relação entre variáveis pode ser apresentada de 
forma implícita. 
Exemplo: suponha a função
f (x, y, Q) = 0, 
na qual x e y são insumos e Q é a produção em função de x e y.
Se f (x, y, Q) = 0, onde Q é a produção em função de x e y, fx é a 
produtividade marginal do fator x. 
Para obter fx, se Q puder ser explicitada em função de x e y, a 
determinação de fx será simples.
Porém, para várias funções, a obtenção da derivada parcial pode 
ser dificultada em relação à explicitação de alguma variável.
Exemplo
Suponha que se tenha x2 + xy + y2 = 0 e y seja função de x. 
Não será tarefa simples explicitar y em função de x para obter fx. 
Uma forma de resolver situações como essa é utilizando o 
princípio de que em uma igualdade a equivalência é mantida 
ao aplica as mesmas operações em ambos os membros.
Exemplo
Derivar y na expressão x2 + xy + y2 = 0.
Resolução
x2 + xy + y2 = 0 ↔ 
↔ (x2 + xy + y2 = 0)’ = 0’ ↔ 
↔ (x2)’ + (xy)’ + (y2) = 0’ ↔ 
↔ (x2)’ + (xy)’ + (y2) = 0.
Não esquecendo que y é função de x [y = f (x)]:
(x2)’ + (xy)’ + (y2) = 0 ↔
↔ 2x + (1 . y + x . y’) + 2 . y . y’ = 0 ↔ 
↔ 2x + (y + xy’) + 2yy’ = 0.
Agora, o trabalho é isolar y’.
Assim, temos:
Aplicação
Determine a reta tangente à curva
4x2 + 9y2 - 36 = 0 no ponto P( , 1).
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Resolução
A equação de uma reta pode ser escrita na forma y = m . x + n, 
onde m é o coeficiente angular da reta e n é o coeficiente linear.
O cálculo do coeficiente angular é feito por meio da derivada da 
equação no ponto dado.
Para calcular o coeficiente angular, primeiro, deriva-se y 
implicitamente.
Substituindo as coordenadas de P em y’: 
A equação da reta assume a forma 
O cálculo de n é feito aplicando o ponto
dado na equação da reta. Assim:
Logo, a equação da reta é:
Exercício
Obtenha ux de forma implícita, dada 
x2 + xy + yu + u2 = 0.
Resolução
(x2 + xy + yu + u2)’ = (0)’ ↔ 
↔(x2)’+ (xy)’ + (yu)’ + (u2)’ = (0)’ ↔ 
↔ 2x + (1 . y) + yu’) + 2u . u’ = 0 ↔
↔ 2x + y + yu’ + 2uu’ = 0 ↔
↔ yu’ + 2uu’ = - 2x - y ↔
↔