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CADERNO 2 DE EXERCÍCIOS - INTRODUÇÃO AO CALCULO

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CADERNO 2 DE EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
1) Uma fatura de cartão de crédito no valor de R$ 532,73 foi paga com 9 meses 
de atraso. Se os encargos financeiros cobrados sobre o valor atualizado da 
dívida correspondem a 16% ao mês, determine o total a ser pago pela fatura 
em função do atraso. 
 
Resolução : 
Neste caso temos os seguintes dados 
M = (Montante ou valor futuro) – a ser determinado 
C = (capital ou valor presente) = R$ 532,73 
n = (número de meses ocorridos) = 9 
i = taxa de juros (ao mês) = 16% = 16/100 = 0,16 
 
Substituindo estes dados na fórmula de juros compostos 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 vem: 
𝑀 = 532,73. (1 + 0,16)9 
Fazendo inicialmente a operação de soma nos parênteses vem: 
𝑀 = 532,73. (1,16)9 
Realizando a operação de potenciação temos 
𝑀 = 532,73. 3,802961 
Resultando: 
M = R$ 2.025,95 
 
 
2) Após 3 meses, uma dívida inicialmente no valor de R$ 2.201,74 foi quitada 
em um único pagamento de R$ 2.804,32. Determine qual foi a taxa mensal 
composta de juros utilizada. 
 
Resolução: 
Os dados conhecidos são: 
M = R$ 2.804,32 (Montante) 
C = R$ 2.201,74 (Capital) 
n = 3 (número de meses) 
i = Taxa de juros (a ser determinada) 
 
Substituindo estes dados na fórmula para juros compostos 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 vem: 
2804,32 = 2201,74. (1 + 𝑖)3 
Buscamos calcular a taxa de juros (i) que é a incógnita no lado direito da igualdade. 
Inicialmente passamos o valor de 2201,74 (que está no lado direito em operação 
de multiplicação) para o lado esquerdo da igualdade em operação de divisão, o 
que resulta em 
2804,32
2201,74
= (1 + 𝑖)3 
Fazendo a divisão do lado esquerdo da igualdade resulta: 
 
1,273684 = (1 + 𝑖)3 
Para retirarmos o cubo do lado direito da equação, vamos aplicar raiz cúbica nos 
dois lados da igualdade √1,273684
3 = √(1 + 𝑖)3
3
 
No lado esquerdo, quando extraímos a raiz cúbica de 1,273684 obtemos o 
resultado 1,08397 e no lado direito da igualdade, podemos observar que o índice 
da raiz é igual a potência interna no radicando fazendo com que possam ser 
simplificadas, resultando apenas 1+ i. Teremos: 1,08397 = 1 + i. Para isolarmos o 
valor de i, devemos passar a constante 1 do lado direito da igualdade, para o lado 
esquerdo invertendo o sinal, o que resulta 1,08397 – 1 = i. O valor de i é então 
calculado como 0,08397. Este valor deve ser transformado em valores 
percentuais, que é obtido pela multiplicação por 100. O resultado é então 0,083975 
x 100 = 8,3975 ou, aproximadamente, juros de 8,40 % a.m. (ao mês). 
 
3) Se uma pessoa aplicar R$ 15.000,00 em um fundo de investimento cuja 
remuneração mensal é de 1%, qual será o montante calculado 1ano após a 
aplicação? 
 
Resolução: Temos os seguintes dados 
C = R$ 15.000,00 (valor presente ou capital) 
i = 1 % = 1/100 = 0,01 (taxa de juros) 
n = 1 ano = 12 meses (pois a taxa de juros é mensal) 
M = a ser determinado (Montante) 
Utilizando a fórmula 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 temos 𝑀 = 15000. (1 + 0,01)12 . 
Realizando inicialmente a soma de 1+ 0,01, que está nos parênteses temos como 
resultado 1,01. O cálculo do montante é 𝑀 = 15000. (1,01)12 . Realizando a 
potência de (1,01)12 teremos como resultado 1,126825, que multiplicado por 
15.000 resulta para o montante M= R$ 16.902,37. 
 
FRAÇÕES 
 
4) O depósito de uma fábrica de brinquedos, após uma tempestade, teve 2/5 
dos brinquedos destruídos pela água. Se, no momento da tempestade, o 
estoque era de 2.500 unidades, determine a quantidade de brinquedos que 
não foram destruídos. 
 
Resolução: 
A quantidade de brinquedos que foram destruídos será o produto de 2/5 pelo 
estoque que existia na fábrica. Temos 
2
5
. 2500 = 
2 . 2500
5
=
5000
5
= 1000 
brinquedos destruídos na tempestade. A quantidade de brinquedos que não foram 
destruídos será a diferença entre o estoque original e a quantidade de brinquedos 
destruída, ou seja, 2500 – 1000 = 1500 brinquedos. 
 
 
POLINÔMIOS – ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO 
 
5) Realize as operações de adição, subtração e produto entre os polinômios: 
 
 𝐱𝟐 + 𝟐. 𝐱 + 𝟑 e 𝟑. 𝐱 + 𝟒 
 
Resolução: 
A adição de polinômios é realizada considerando os termos de mesmo expoente 
na variável. No primeiro polinômio x2 + 2. x + 3 há termos em 𝑥2, em x e com 
constante. No segundo polinômio há termos envolvendo x e constante. Assim 
vamos agrupar correspondentemente: 
(x2 + 0. x2 ) + (2. x + 3. x) + (3 + 4) = x2 + 5. x + 7 
 
Para a subtração o processo é análogo, e teremos: 
(𝑥2 − 0𝑥2) + (2𝑥 − 3𝑥) + (3 − 4) = 𝑥2 − 𝑥 − 1 
 
Para o produto entre os polinômios, pode ser feito mediante o emprego da 
propriedade distributiva, resultando: 
(𝑥2 + 2𝑥 + 3). (3𝑥 + 4) = 𝑥2. (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3. (3𝑥 + 4) 
Realizando as multiplicações, vem: 
𝑥2. (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3(3𝑥 + 4) = 3𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥2 + 8𝑥 + 9𝑥 + 12 
Agrupando os termos de iguais potências de x, temos: 
3𝑥3 + 10𝑥2 + 17𝑥 + 12 
Sendo este o resultado para a multiplicação dos dois polinômios. 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
6) Utilizando produtos notáveis, escreva os resultados equivalentes para: 
a) (𝐱 + 𝟑)𝟐 
b) (𝟐 − 𝐱)𝟐 
c) (𝐱 + 𝟑). (𝐱 − 𝟑) 
d) (𝟐𝐱 − 𝟑)𝟐 
e) (𝟒 + 𝟑𝐱)𝟐 
f) (𝐲 − 𝐱)𝟐 
g) (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲). (𝟐𝐱 − 𝟑𝐲) 
h) (𝐱 + 𝟑)𝟑 
i) (𝟐𝐚 − 𝟑𝐛)𝟑 
 
Resolução: 
a) Para este exercício utilizaremos a fórmula para o quadrado da soma de dois 
termos que é o quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto do primeiro 
termo multiplicado pelo segundo termo, e mais o quadrado do segundo termo 
(𝑥 + 3)2 = (𝑥)2 + 2. 𝑥. 3 + (3)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
 
b) Aqui utilizaremos o quadrado da subtração (ou diferença) de dois termos, que 
resulta no quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado 
pelo segundo, e mais o quadrado do segundo, resultando: (2 − 𝑥)2 = (2)2 −
2. 𝑥. 2 + (𝑥)2 = 4 − 4𝑥 + 𝑥2 
 
c) Aqui ocorre o produto da soma pela diferença de dois termos (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) cujo 
resultado é o quadrado do primeiro termo, subtraindo o quadrado do segundo 
termo. (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) = 𝑥2 − 32 = 𝑥2 − 9 
 
d) Para (2𝑥 − 3)2 temos o caso de quadrado para a diferença de dois termos, com 
resultado (2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)2 − 2.2𝑥. 3 + (3)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
 
e) Neste exercício ocorre o quadrado aplicado a uma soma de fatores (4 + 3𝑥)2 
resultando: (4 + 3𝑥)2 = (4)2 + 2.3𝑥. 4 + (3𝑥)2 = 16 + 24𝑥 + 9𝑥2 
 
f) Neste caso temos o quadrado de uma diferença de dois termos, resultando 
(𝑦 − 𝑥)2 = (𝑦)2 − 2. 𝑦. 𝑥 + (𝑥)2 = 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 
 
g) A solução para (2𝑥 + 3𝑦). (2𝑥 − 3𝑦) é obtida pelo produto da soma pela diferença 
de dois termos resultando: (2𝑥 + 3𝑦). (2𝑥 − 3𝑦) = (2𝑥)2 − (3𝑦)2 = 4𝑥2 − 9𝑦2 
 
h) Para esta situação devemos considerar o cubo de uma soma de termos: 
(𝑥 + 3)3 = (𝑥)3 + 3. (𝑥)2. 3 + 3. 𝑥. (3)2 + (3)3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 
 
i) Neste exemplo temos o cubo de uma subtração de termos (2𝑎 − 3𝑏)3 = (2𝑎)3 −
3. (2𝑎)2.. 3𝑏 + 3. (2𝑎). (3𝑏)2 − (3𝑏)3 = 8𝑎3 − 36𝑎2. 𝑏 + 54𝑎𝑏2 − 27𝑏3 
 
 
7) Nos polinômios abaixo, reescreva utilizando produtos notáveis quando for 
possível. 
a) 𝐱𝟐 − 𝟏𝟔 
b) 𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟗 
c) 𝐱𝟐 − 𝟏𝟎𝐱 + 𝟐𝟓 
d) 𝐱𝟐 − 𝟖𝐱 − 𝟏𝟔 
e) 𝟑𝟔 − 𝐲𝟐 
f) 𝐱𝟐𝐲𝟐 − 𝟒𝟗 
g) 𝐲𝟐 + 𝟏𝟔 
h) 𝐲𝟒 − 𝟒𝐱𝟐 
 
Resolução: 
a) Para o binômio 𝑥2 − 16 temos um termo elevado ao quadrado subtraindo um 
outro termo também elevado ao quadrado, o que caracteriza o produto da soma 
pela diferença de dois termos,