CADERNO 2 DE EXERCÍCIOS - INTRODUÇÃO AO CALCULO

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CADERNO 2 DE EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
1) Uma fatura de cartão de crédito no valor de R$ 532,73 foi paga com 9 meses 
de atraso. Se os encargos financeiros cobrados sobre o valor atualizado da 
dívida correspondem a 16% ao mês, determine o total a ser pago pela fatura 
em função do atraso. 
 
Resolução : 
Neste caso temos os seguintes dados 
M = (Montante ou valor futuro) – a ser determinado 
C = (capital ou valor presente) = R$ 532,73 
n = (número de meses ocorridos) = 9 
i = taxa de juros (ao mês) = 16% = 16/100 = 0,16 
 
Substituindo estes dados na fórmula de juros compostos 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 vem: 
𝑀 = 532,73. (1 + 0,16)9 
Fazendo inicialmente a operação de soma nos parênteses vem: 
𝑀 = 532,73. (1,16)9 
Realizando a operação de potenciação temos 
𝑀 = 532,73. 3,802961 
Resultando: 
M = R$ 2.025,95 
 
 
2) Após 3 meses, uma dívida inicialmente no valor de R$ 2.201,74 foi quitada 
em um único pagamento de R$ 2.804,32. Determine qual foi a taxa mensal 
composta de juros utilizada. 
 
Resolução: 
Os dados conhecidos são: 
M = R$ 2.804,32 (Montante) 
C = R$ 2.201,74 (Capital) 
n = 3 (número de meses) 
i = Taxa de juros (a ser determinada) 
 
Substituindo estes dados na fórmula para juros compostos 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 vem: 
2804,32 = 2201,74. (1 + 𝑖)3 
Buscamos calcular a taxa de juros (i) que é a incógnita no lado direito da igualdade. 
Inicialmente passamos o valor de 2201,74 (que está no lado direito em operação 
de multiplicação) para o lado esquerdo da igualdade em operação de divisão, o 
que resulta em 
2804,32
2201,74
= (1 + 𝑖)3 
Fazendo a divisão do lado esquerdo da igualdade resulta: 
 
1,273684 = (1 + 𝑖)3 
Para retirarmos o cubo do lado direito da equação, vamos aplicar raiz cúbica nos 
dois lados da igualdade √1,273684
3 = √(1 + 𝑖)3
3
 
No lado esquerdo, quando extraímos a raiz cúbica de 1,273684 obtemos o 
resultado 1,08397 e no lado direito da igualdade, podemos observar que o índice 
da raiz é igual a potência interna no radicando fazendo com que possam ser 
simplificadas, resultando apenas 1+ i. Teremos: 1,08397 = 1 + i. Para isolarmos o 
valor de i, devemos passar a constante 1 do lado direito da igualdade, para o lado 
esquerdo invertendo o sinal, o que resulta 1,08397 – 1 = i. O valor de i é então 
calculado como 0,08397. Este valor deve ser transformado em valores 
percentuais, que é obtido pela multiplicação por 100. O resultado é então 0,083975 
x 100 = 8,3975 ou, aproximadamente, juros de 8,40 % a.m. (ao mês). 
 
3) Se uma pessoa aplicar R$ 15.000,00 em um fundo de investimento cuja 
remuneração mensal é de 1%, qual será o montante calculado 1ano após a 
aplicação? 
 
Resolução: Temos os seguintes dados 
C = R$ 15.000,00 (valor presente ou capital) 
i = 1 % = 1/100 = 0,01 (taxa de juros) 
n = 1 ano = 12 meses (pois a taxa de juros é mensal) 
M = a ser determinado (Montante) 
Utilizando a fórmula 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 temos 𝑀 = 15000. (1 + 0,01)12 . 
Realizando inicialmente a soma de 1+ 0,01, que está nos parênteses temos como 
resultado 1,01. O cálculo do montante é 𝑀 = 15000. (1,01)12 . Realizando a 
potência de (1,01)12 teremos como resultado 1,126825, que multiplicado por 
15.000 resulta para o montante M= R$ 16.902,37. 
 
FRAÇÕES 
 
4) O depósito de uma fábrica de brinquedos, após uma tempestade, teve 2/5 
dos brinquedos destruídos pela água. Se, no momento da tempestade, o 
estoque era de 2.500 unidades, determine a quantidade de brinquedos que 
não foram destruídos. 
 
Resolução: 
A quantidade de brinquedos que foram destruídos será o produto de 2/5 pelo 
estoque que existia na fábrica. Temos 
2
5
. 2500 = 
2 . 2500
5
=
5000
5
= 1000 
brinquedos destruídos na tempestade. A quantidade de brinquedos que não foram 
destruídos será a diferença entre o estoque original e a quantidade de brinquedos 
destruída, ou seja, 2500 – 1000 = 1500 brinquedos. 
 
 
POLINÔMIOS – ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO 
 
5) Realize as operações de adição, subtração e produto entre os polinômios: 
 
 𝐱𝟐 + 𝟐. 𝐱 + 𝟑 e 𝟑. 𝐱 + 𝟒 
 
Resolução: 
A adição de polinômios é realizada considerando os termos de mesmo expoente 
na variável. No primeiro polinômio x2 + 2. x + 3 há termos em 𝑥2, em x e com 
constante. No segundo polinômio há termos envolvendo x e constante. Assim 
vamos agrupar correspondentemente: 
(x2 + 0. x2 ) + (2. x + 3. x) + (3 + 4) = x2 + 5. x + 7 
 
Para a subtração o processo é análogo, e teremos: 
(𝑥2 − 0𝑥2) + (2𝑥 − 3𝑥) + (3 − 4) = 𝑥2 − 𝑥 − 1 
 
Para o produto entre os polinômios, pode ser feito mediante o emprego da 
propriedade distributiva, resultando: 
(𝑥2 + 2𝑥 + 3). (3𝑥 + 4) = 𝑥2. (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3. (3𝑥 + 4) 
Realizando as multiplicações, vem: 
𝑥2. (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3(3𝑥 + 4) = 3𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥2 + 8𝑥 + 9𝑥 + 12 
Agrupando os termos de iguais potências de x, temos: 
3𝑥3 + 10𝑥2 + 17𝑥 + 12 
Sendo este o resultado para a multiplicação dos dois polinômios. 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
6) Utilizando produtos notáveis, escreva os resultados equivalentes para: 
a) (𝐱 + 𝟑)𝟐 
b) (𝟐 − 𝐱)𝟐 
c) (𝐱 + 𝟑). (𝐱 − 𝟑) 
d) (𝟐𝐱 − 𝟑)𝟐 
e) (𝟒 + 𝟑𝐱)𝟐 
f) (𝐲 − 𝐱)𝟐 
g) (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲). (𝟐𝐱 − 𝟑𝐲) 
h) (𝐱 + 𝟑)𝟑 
i) (𝟐𝐚 − 𝟑𝐛)𝟑 
 
Resolução: 
a) Para este exercício utilizaremos a fórmula para o quadrado da soma de dois 
termos que é o quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto do primeiro 
termo multiplicado pelo segundo termo, e mais o quadrado do segundo termo 
(𝑥 + 3)2 = (𝑥)2 + 2. 𝑥. 3 + (3)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
 
b) Aqui utilizaremos o quadrado da subtração (ou diferença) de dois termos, que 
resulta no quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado 
pelo segundo, e mais o quadrado do segundo, resultando: (2 − 𝑥)2 = (2)2 −
2. 𝑥. 2 + (𝑥)2 = 4 − 4𝑥 + 𝑥2 
 
c) Aqui ocorre o produto da soma pela diferença de dois termos (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) cujo 
resultado é o quadrado do primeiro termo, subtraindo o quadrado do segundo 
termo. (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) = 𝑥2 − 32 = 𝑥2 − 9 
 
d) Para (2𝑥 − 3)2 temos o caso de quadrado para a diferença de dois termos, com 
resultado (2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)2 − 2.2𝑥. 3 + (3)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
 
e) Neste exercício ocorre o quadrado aplicado a uma soma de fatores (4 + 3𝑥)2 
resultando: (4 + 3𝑥)2 = (4)2 + 2.3𝑥. 4 + (3𝑥)2 = 16 + 24𝑥 + 9𝑥2 
 
f) Neste caso temos o quadrado de uma diferença de dois termos, resultando 
(𝑦 − 𝑥)2 = (𝑦)2 − 2. 𝑦. 𝑥 + (𝑥)2 = 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 
 
g) A solução para (2𝑥 + 3𝑦). (2𝑥 − 3𝑦) é obtida pelo produto da soma pela diferença 
de dois termos resultando: (2𝑥 + 3𝑦). (2𝑥 − 3𝑦) = (2𝑥)2 − (3𝑦)2 = 4𝑥2 − 9𝑦2 
 
h) Para esta situação devemos considerar o cubo de uma soma de termos: 
(𝑥 + 3)3 = (𝑥)3 + 3. (𝑥)2. 3 + 3. 𝑥. (3)2 + (3)3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 
 
i) Neste exemplo temos o cubo de uma subtração de termos (2𝑎 − 3𝑏)3 = (2𝑎)3 −
3. (2𝑎)2.. 3𝑏 + 3. (2𝑎). (3𝑏)2 − (3𝑏)3 = 8𝑎3 − 36𝑎2. 𝑏 + 54𝑎𝑏2 − 27𝑏3 
 
 
7) Nos polinômios abaixo, reescreva utilizando produtos notáveis quando for 
possível. 
a) 𝐱𝟐 − 𝟏𝟔 
b) 𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟗 
c) 𝐱𝟐 − 𝟏𝟎𝐱 + 𝟐𝟓 
d) 𝐱𝟐 − 𝟖𝐱 − 𝟏𝟔 
e) 𝟑𝟔 − 𝐲𝟐 
f) 𝐱𝟐𝐲𝟐 − 𝟒𝟗 
g) 𝐲𝟐 + 𝟏𝟔 
h) 𝐲𝟒 − 𝟒𝐱𝟐 
 
Resolução: 
a) Para o binômio 𝑥2 − 16 temos um termo elevado ao quadrado subtraindo um 
outro termo também elevado ao quadrado, o que caracteriza o produto da soma 
pela diferença de dois termos,sendo: 𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4). (𝑥 − 4) 
 
b) Para o trinômio 𝑥2 + 6𝑥 + 9 podemos reescrever como sendo 𝑥2 + 6𝑥 + 9 =
𝑥2 + 2. 𝑥. 3 + 32 que nos leva a forma de apresentação da soma de dois termos 
elevados ao quadrado, resultando 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2 
 
c) Para o trinômio 𝑥2 − 10𝑥 + 25 vemos dois termos com quadráticos, ou seja o 𝑥2 
e o 25. Basta verificar o termo central como duplo produto entre x e 5. O sinal 
negativo nos leva a considerar a diferença entre dois termos, tal que: 𝑥2 − 10𝑥 +
25 = (𝑥)2 − 2. 𝑥. 5 + (5)2 = (𝑥 − 5)2 
 
d) Para o trinômio 𝑥2 − 8𝑥 − 16 não é possível reescrever como produto notável 
devido ao sinal negativo do 16. Os termos quadráticos no produto notável 
(quadrado de diferença de termos) são sempre positivos. Temos um trinômio 
irredutível. 
 
e) Para o binômio 36 − 𝑦2 temos a diferença de dois valores quadráticos, resultando 
então: 36 − 𝑦2 = (6)2 − (𝑦)2 = (6 + 𝑦). (6 − 𝑦) 
 
f) Para o binômio 𝑥2. 𝑦2 − 49 vemos todos os termos quadráticos, e o binômio pode 
ser reescrito como (𝑥𝑦)2 − (7)2 que é o produto da soma pela diferença de dois 
termos. Temos (𝑥𝑦)2 − (7)2 = (𝑥𝑦 + 7). (𝑥𝑦 − 7) 
 
g) Para o binômio 𝑦2 + 16 não é possível reescreve-lo como produto notável devido 
ao sinal antes do 16 ser positivo. Neste caso temos um binômio irredutível. 
 
h) Para 𝑦4 − 4𝑥2 temos a diferença de dois valores quadráticos 𝑦4 − 4𝑥2 = (𝑦2)2 −
(2𝑥)2 = (𝑦2 + 2𝑥). (𝑦2 − 2𝑥) que é o produto da soma pela diferença de dois 
termos. 
 
 
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
8) Para os polinômios a seguir, faça a fatoração completa (quando possível), 
usando fatores polinomiais, produtos notáveis, e polinômios irredutíveis (se 
for o caso). 
a) 𝟐𝟓𝐱 − 𝟏𝟓 
b) 𝟒𝐱𝟑 − 𝟏𝟔𝐱 
c) 𝐳𝟐 − 𝟖𝟏 
d) 𝟔𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 − 𝟑𝐱 − 𝟐 
e) 𝐳𝟐 − 𝟖𝐳 − 𝟐𝟎 
f) 𝐱𝟔 + 𝟑𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝟐 + 𝟔 
g) 𝟐. 𝐦. 𝐧 + 𝟔. 𝐦. 𝐤 − 𝐥. 𝐧 − 𝟑. 𝐥. 𝐤 
h) 𝟑. 𝐱𝟑 − 𝟗. 𝐱𝟐 + 𝟔. 𝐱 
i) 𝐮. 𝐰 + 𝟒. 𝐮. 𝐳 − 𝟐. 𝐯. 𝐰 − 𝟖. 𝐯. 𝐳 
j) 𝐳𝟑 + 𝟏𝟔𝐳 
 
Resolução: 
a) Para o binômio 25. 𝑥 − 15 vemos que as constantes são múltiplos de 5, portanto 
o que pode ser evidenciado é o 5, de forma a obtermos: 5. (5. 𝑥 − 3). 
 
b) Para o binômio 4. 𝑥3 − 16. 𝑥 observando as constantes vemos que são múltiplos 
de 4, e observando as potências de x, a menor delas é sempre a que será 
evidenciada, resultando 
4. 𝑥3 − 16. 𝑥 = 4. 𝑥. (𝑥2 − 4). 
O segundo fator obtido apresenta a forma de um produto notável, podendo ser 
fatorado novamente, resultando 
4. 𝑥3 − 16. 𝑥 = 4. 𝑥. (𝑥2 − 4) = 4. 𝑥. (𝑥 + 2). (𝑥 − 2). 
 
c) Para o binômio 𝑧2 − 81 vemos dois termos quadráticos sendo subtraídos, que é 
um produto notável, resultando 
𝑧2 − 81 = (𝑧 + 9). (𝑧 − 9) 
 
d) Para o polinômio 6. 𝑥3 + 4. 𝑥2 − 3. 𝑥 − 3 é possível fazer agrupamento com os 
dois primeiros termos e com os dois últimos termos, de forma que: 
6. 𝑥3 + 4. 𝑥2 − 3. 𝑥 − 2 = 2. 𝑥2. (3. 𝑥 + 2) − 1 (3. 𝑥 + 2). 
É possível observar que surgiu um termo comum (3. 𝑥 + 2) multiplicando os 
fatores 2. 𝑥2 e -1. Evidenciando este termo comum tem-se: 
2. 𝑥2. (3. 𝑥 + 2) − 1 (3. 𝑥 + 2) = (2. 𝑥2 − 1). (3. 𝑥 + 2) 
 
e) Para este trinômio pode-se buscar dois valores numéricos que somados resultam 
-8 e quando em produto resultam -20. Os valores obtidos são -10 e 2, que serão 
utilizados para a fatoração, resultando: 
𝑧2 − 8𝑧 − 20 = (𝑧 − 10). (𝑧 + 2) 
 
f) Para a fatoração de 𝑥6 + 3. 𝑥4 + 2. 𝑥2 + 6 podemos agrupar os dois primeiros 
termos e os dois últimos de maneira a obter: 
𝑥6 + 3. 𝑥4 + 2. 𝑥2 + 6 = x4. (𝑥2 + 3) + 2. (𝑥2 + 3) = (𝑥4 + 2). (𝑥2 + 3). 
Os binômios que surgiram em produtos não apresentam possibilidade de nova 
fatoração, sendo irredutíveis. 
 
g) Para esta situação pode ser visto que nos dois primeiros termos, temos 
multiplicidade para a constante 2, e a letra “m” aparece em ambos os termos, logo 
pode ser evidenciada. Para os dois últimos termos, vemos ambos com sinal 
negativo e a letra “l” aparecendo em ambos os termos, logo pode ser evidenciada. 
2. 𝑚. 𝑛 + 6. 𝑚. 𝑘 − 𝑙. 𝑛 − 3. 𝑙. 𝑘 = 2. 𝑚. (𝑛 + 𝑘) − 𝑙. (𝑛 + 𝑘) = (2. 𝑚 − 𝑙). (𝑛 + 𝑘) 
 
h) Neste caso, vemos que no trinômio todos os termos tem potências de x, que nos 
leva a evidenciar a menor delas, e que as constantes são múltiplas de 3, o que 
nos faz evidenciar o 3, resultando 
3. 𝑥3 − 9. 𝑥2 + 6. 𝑥 = 3. 𝑥. (𝑥2 − 3. 𝑥 + 2). 
Para o trinômio entre parênteses, buscamos dois valores que em produto fazem 
+2, e cuja soma seja -3. Os valores são -2 e -1. A fatoração fica então: 
3. 𝑥. (𝑥2 − 3. 𝑥 + 2 ) = 3. 𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥 − 1) 
 
i) Para o polinômio 𝑢. 𝑤 + 4. 𝑢. 𝑧 − 2. 𝑣. 𝑤 − 8. 𝑣. 𝑧 podemos verificar que os dois 
primeiros termos tem “u” comum a ambos, e os dois últimos termos tem “-2v” 
comum a ambos. Evidenciando e reagrupando vem 
𝑢. 𝑤 + 4. 𝑢. 𝑧 − 2. 𝑣. 𝑤 − 8. 𝑣. 𝑧 = 𝑢. (𝑤 + 4𝑧) − 2𝑣. (𝑤 + 4𝑧) = (𝑢 − 2𝑣). ((𝑤 + 4𝑧) 
 
j) No binômio 𝑧3 + 16𝑧 somente “z” pode ser evidenciado, resultando 𝑧3 + 16. 𝑧 =
𝑧. (𝑧2 + 16). O binômio entre parênteses é irredutível, ou seja, não pode ser 
transformado em produto de monômios. 
 
 
EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS. 
 
9) Determine o domínio das expressões algébricas. 
 
a) 𝐱𝟑 + 𝟐. 𝐱 + 𝟓 
 
b) √𝐱 − 𝟒 + 𝟑𝐱 
 
c) 
𝟓𝐱
𝟑𝐱−𝟔
 
 
d) 
𝟐
𝐱
+ √𝐱 − 𝟏
𝟑
 
 
Resolução: 
a) O domínio para polinômios é o conjunto dos números reais, sem exceção. 
 
b) Para esta situação, deve ser considerado que em se tratando de raízes de índice 
par, é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero. Tem-se: 𝑥 − 4 ≥ 0. 
Para resolver esta inequação, deve-se operar com o -4, levando-o ao lado direito 
da igualdade com sinal invertido, ou seja, 𝑥 ≥ 4. Esta desigualdade pode ser 
escrita na forma de intervalo representado por [4; +∞). 
 
c) Neste caso, deve ser considerado que não é possível fazer divisão por zero, ou 
seja, deve ser excluído dos conjunto de números reais, o valor que venha zerar o 
denominador. Tem-se 3. 𝑥 − 6 ≠ 0 , que pode ser solucionado passando o valor -
6 para o lado direito da igualdade com inversão de sinal, obtendo 3. 𝑥 ≠ 6. O valor 
de x pode ser calculado operando sobre o número 3 que está no lado esquerdo 
da igualdade em multiplicação pelo x, passando-o para o lado direito, em divisão. 
Tem-se 𝑥 ≠
6
3
, e fazendo a divisão, 𝑥 ≠ 2. Para o domínio teremos: (−∞; 2) ∪
(2; +∞) ou ]−∞; 2[ ∪ ]2; +∞[ 
 
d) Nesta expressão algébrica há dois termos, e cada um deve ser analisado 
separadamente. Em relação ao primeiro ocorre uma divisão fazendo com que o 
denominador não possa assumir o valor nulo, ou seja, 𝑥 ≠ 0 . Para o segundo 
termo, temos uma raiz de índice ímpar, que pode ter no radicando qualquer valor 
(positivo, negativo ou nulo), ou seja, neste caso não há exceções. O domínio será 
então 𝑥 ≠ 0 ou escrito na forma de intervalo tem-se (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ou 
]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ 
 
10) Encontre o numerador ou denominador que está faltando, de forma que as 
expressões racionais sejam equivalentes. 
a. 
𝟓
𝟐𝐱
= 
?
𝟖𝐱𝟑
 
b. 
𝐱+𝟐
𝐱
=
𝐱𝟐+𝟑𝐱+𝟐
?
 
c. 
?
𝐱𝟐−𝟏𝟔
=
𝟑𝐱−𝟏
𝐱𝟑−𝟏𝟔𝐱
 
d. 
𝟓𝐱+𝟓
?
=
𝟑𝐱𝟐+𝟑𝐱
𝐱−𝟐
 
 
Resolução: 
a) A solução pode ser obtida por produto cruzado entre os lados da igualdade, de 
forma que (5). (8. 𝑥3) = ? . (2𝑥). Isolando a incógnita (?) tem-se: 
(5).(8.𝑥3)
2𝑥
=? . 
Multiplicando os numeradores vem 5.8𝑥3 = 40𝑥3 que divididos por 2𝑥 teremos 
40𝑥3
2𝑥 
= 20𝑥2 que é o valor buscado paraa incógnita. 
 
b) Fazendo o produto cruzado, temos: (𝑥). (𝑥2 + 3. 𝑥 + 2) = ? . (𝑥 + 2) .Isolando o 
valor da incógnita temos: ? =
𝑥.(𝑥2+3𝑥+2)
𝑥+2
. No numerador temos um trinômio que 
pode ser fatorado através da consideração de dois números cuja soma seja 3 e 
cujo produto seja 2. Estes números são 1 e 2. O resultado para esta consideração 
nos leva a ? =
𝑥.(𝑥+2).(𝑥+1)
𝑥+2
. È possível verificar que no numerador e 
denominador surgiu um mesmo fator (x+2) que pode ser simplificado. O resultado 
será: ? = 𝑥. (𝑥 + 1) = 𝑥2 + 𝑥 
 
c) Usando produto cruzado temos (? ). (𝑥3 − 16𝑥) = (𝑥2 − 16). (3𝑥 − 1). Isolando a 
incógnita (?), obtemos (? ) =
(𝑥2−16).(3𝑥−1)
𝑥3−16𝑥
. O denominador pode ser 
fatorado de forma a ser reescrito como 𝑥(𝑥2 − 16) que levado a expressão anterior 
resulta (? ) =
(𝑥2−16).(3𝑥−1)
𝑥.(𝑥2−16)
 . O fator (𝑥2 − 16) surgiu no numerador e no 
denominador da expressão e pode ser simplificado, resultando: (? ) =
3𝑥−1
𝑥
 
 
d) Para este caso, com o uso de produto cruzado, vem: (? ) =
(5𝑥+5).(𝑥−2)
3𝑥2+3𝑥
. No 
numerador e denominador é possível fazer fatorações resultando (? ) =
5(𝑥+1).(𝑥−2)
3𝑥(𝑥+1)
. Simplificando o fator comum vem (? ) =
5(𝑥−2)
3𝑥
. 
 
11) Escreva as expressões racionais na forma reduzida: 
a) 
𝒚𝟐+𝒚−𝟒𝟐
𝒚𝟐−𝟔𝒚
 
b) 
𝒙𝟒
𝒙𝟓−𝟖𝒙𝟐
 
c) 
𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟏𝟐
𝒙𝟑−𝟐𝒙𝟐
 
 
Resolução: 
a) Usando fatoração no numerador e no denominador obtém-se 
𝒚𝟐+𝒚−𝟒𝟐
𝒚𝟐−𝟔𝒚
=
 
(𝒚+𝟕).(𝒚−𝟔)
𝒚(𝒚−𝟔)
 . Ocorreu um fator igual (𝑦 − 6) em ambos, que pode ser 
simplificado, resultando 
𝒚𝟐+𝒚−𝟒𝟐
𝒚𝟐−𝟔𝒙
= 
𝒚+𝟕
𝒚
 que é a forma reduzida para a 
expressão racional. 
 
b) O numerador e o denominador da expressão racional pode ser fatorado de forma 
a obter 
𝑥4
𝑥5−8𝑥2
= 𝑥
2.𝑥2
𝑥2.(𝑥3−8)
 . O fator 𝑥2 pode ser simplificado no numerador e no 
denominador, resultando 
𝑥4
𝑥5−8𝑥2
=
𝑥2.𝑥2
𝑥2.(𝑥3−8)
=
𝑥2
𝑥3−8
 que é a forma reduzida. 
 
c) Fatorando o numerador por agrupamento de termos, e o denominador com 
fatoração do termo 𝑥2 vem 
𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟏𝟐
𝒙𝟑−𝟐𝒙𝟐
=
𝒙𝟐.(𝒙+𝟑)−𝟒(𝒙+𝟑)
𝒙𝟐.(𝒙−𝟐)
 . O numerador 
pode ser reescrito de forma a obter 
𝒙𝟐.(𝒙+𝟑)−𝟒(𝒙+𝟑)
𝒙𝟐.(𝒙−𝟐)
= 
(𝒙𝟐−𝟒).(𝒙+𝟑)
𝒙𝟐.(𝒙−𝟐)
. 
Observando o fator (x2 − 4) temos um produto notável, que pode ser decomposto 
em (𝑥 − 2). (𝑥 + 2) . Substituindo este resultado na expressão anterior vem 
(𝒙𝟐−𝟒).(𝒙+𝟑)
𝒙𝟐.(𝒙−𝟐)
=
(𝑥−2).(𝑥+2).(𝑥+3)
𝑥2.(𝑥−2)
 que permite simplificação resultando 
(𝑥−2).(𝑥+2).(𝑥+3)
𝑥2.(𝑥−2)
=
(𝑥+2).(𝑥+3)
𝑥
. Fazendo o produto entre os dois fatores do 
numerador resulta 
(𝑥+2).(𝑥+3)
𝑥
=
𝑥2+5𝑥+6
𝑥
 como a forma reduzida. 
 
12) Usando as regras de operações com frações, simplifique as expressões 
racionais a seguir: 
a) 
5
𝑥−1
.
𝑥2−1
10
 
b) 
𝑥2−4
𝑥3−8.
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
. 
c) 
3
4𝑥
÷
6
𝑥2−3𝑥
 
d) 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
÷
2.𝑦2−7𝑦−4
𝑦2−1
 
e) 
2
𝑥
+
3𝑥
𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
 
f) 
 𝑥2−3𝑥
14𝑦
÷
3𝑥𝑦
7𝑦2
 
g) 
3
𝑥2+5𝑥+4
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
𝑥2−1
 
h) 
2𝑥+
3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥−
3
𝑥−3
 
 
Resolução 
a) No caso da expressão racional 
5
𝑥−1
. 𝑥
2−1
10
 temos o produto de duas frações, 
que é resolvida pela multiplicação dos numeradores (entre si) e dos 
denominadores (entre si), que resulta 
5.(𝑥2−1)
(𝑥−1).10
 Esta expressão racional 
apresenta no numerador um termo que pode ser fatorado com o emprego de 
produto notável, resultando 
5.(𝑥2−1)
(𝑥−1).10
=
5.(𝑥+1).(𝑥−1)
(𝑥−1).10
 No numerador e no 
denominador ocorre um mesmo fator (𝑥 − 1) que pode ser simplificado, e 
também ocorrem valores numéricos que são múltiplos (10 e 5) permitindo 
simplificação por 5. Desta forma teremos 
5.(𝑥+1).(𝑥−1)
(𝑥−1).10
= 
𝑥+1
2
 para o 
resultado. 
 
b) Para a expressão racional 
𝑥2−4
𝑥3−8.
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
 vamos utilizar os produtos 
notáveis no numerador e no denominador da fração da esquerda, obtendo: 
𝑥2−4
𝑥3−8.
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
=
(𝑥−2).(𝑥+2)
(𝑥−2).(𝑥2+2𝑥+22)
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
 Há simplificações 
possíveis de serem feitas devido a fatores idênticos que surgiram no 
numeradores e no denominadores, ou seja, (x-2), (x+2) e (𝑥2 + 2𝑥 + 4) O 
resultado após as simplificações é apenas o 3. 
 
c) Para a expressão 
3
4𝑥
÷
6
𝑥2−3𝑥
 temos uma divisão de frações, que é 
resolvida mediante um produto pela expressão inversa da que está no 
denominador, ou seja 
3
4𝑥
.
𝑥2−3𝑥
6
 O binômio 𝑥2 − 3𝑥 que se apresenta no 
numerador pode ser reescrito como sendo 𝑥. (𝑥 − 3) e o valor numérico 6 pode 
ser reescrito como 2.3. Fazendo as multiplicações de numerador com 
numerador, e de denominador com denominador, a expressão torna-se 
 
3
4𝑥
. 𝑥
2−3𝑥
6
= 3.𝑥.(𝑥−3)
4.𝑥.2.3
 Podemos fazer simplificações do valor numérico 3 e 
do x que aparece simultaneamente no numerador e no denominador da 
expressão, resultando 
3.𝑥.(𝑥−3)
4.𝑥.2.3
= 
𝑥−3
8
 para expressão simplificada. 
 
d) A expressão racional 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
÷
2.𝑦2−7𝑦−4
𝑦2−1
 apresenta uma divisão de 
frações racionais, que pode ser resolvida mediante a multiplicação pelo inverso 
da fração racional que está no denominador, obtendo 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
.
𝑦2−1
𝑦2−7𝑦−4
 
Buscamos reescrever as expressões racionais usando fatoração e/ou produtos 
notáveis, que nos permite obter 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
.
𝑦2−1
2𝑦2−7𝑦−4
=
 
(𝑦−4).(𝑦−4)
(3𝑦+2).(𝑦+1)
.
(𝑦+1).(𝑦−1)
(2𝑦+1).(𝑦−4)
. Os fatores (𝑦 − 4) e (𝑦 + 1) podem ser 
simplificados pois ocorrem no numerador e no denominador. Os demais podem 
ser multiplicados resultando 
(𝑦−4)
(3𝑦+2)
.
(𝑦+1)
(2𝑦+1)
=
𝑦2−5𝑦+4
6𝑦2+7𝑦+2
 
 
e) A expressão racional 
2
𝑥
+ 3𝑥
𝑥−2
− 𝑥
𝑥+2
 envolve soma e subtração de frações, 
que deve ser resolvida mediante o cálculo do mmc para os denominadores. 
Neste caso, não é verificado nenhuma multiplicidade entre os denominadores, 
de forma que o mmc será o produto entre eles. Podemos escrever para a 
expressão
2
𝑥
+
3𝑥
𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
= 
2.(𝑥+2).(𝑥−2)+3𝑥.(𝑥),(𝑥+2)−𝑥(𝑥).(𝑥−2)
𝑥.(𝑥−2).(𝑥+2)
 
Realizando a multiplicação entre os fatores que ocorreram no numerador, e 
agrupando termos de mesma potência em x, tem-se 
2.(𝑥+2).(𝑥−2)+3𝑥.(𝑥),(𝑥+2)−𝑥(𝑥).(𝑥−2)
𝑥.(𝑥−2).(𝑥+2)
= 
2𝑥2−8+3𝑥3+6𝑥2−𝑥3+2𝑥2
𝑥3−4𝑥
=
2𝑥3+10𝑥2−8
𝑥3−4𝑥
 que é o resultado para este caso. 
 
f) Na expressão 
𝑥2−3𝑥
14𝑦
÷
3𝑥𝑦
7𝑦2
 ocorre uma divisão de frações racionais. 
Mantendo a primeira fração racional e multiplicando pelo inverso da segunda 
fração racional vem 
𝑥2−3𝑥
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
 Realizando as fatorações possíveis vem: 
𝑥2−3𝑥
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
= 
𝑥(𝑥−3)
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
 Os valores 14 e 7 tem multiplicidade, 
permitindo simplificação. Ocorre também no numerador e no denominador os 
fatores 𝑦2 𝑒 𝑥 que são simplificáveis, resultando 
𝑥(𝑥−3)
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
=
𝑥−3
2.3
=
𝑥−3
6
 
 
g) Para a expressão racional 
3
𝑥2+5𝑥+4
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
𝑥2−1
 temos soma e 
subtração de frações onde em dois denominadores ocorrem binômios, 
podendo ser reescritoscomo produtos de fatores 
3
(𝑥+1).(𝑥+4)
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
(𝑥+1).(𝑥−1)
 Observando todos os fatores primos entre si, o mmc será 
calculado pelo produto entre eles, ou seja, (𝑥 + 1). (𝑥 + 4). (𝑥 − 1) Agrupando 
as três frações anteriores em uma só, vem: 
3
(𝑥+1).(𝑥+4)
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
(𝑥+1).(𝑥−1)
=
3.(𝑥−1)+2.(𝑥−1).(𝑥+4)−2𝑥(𝑥+4)
(𝑥+1).(𝑥+4).(𝑥−1)
. Fazendo as multiplicações 
no numerador e agrupando termos de iguais potências vem: 
3.(𝑥−1)+2.(𝑥−1).(𝑥+4)−2𝑥(𝑥+4)
(𝑥+1).(𝑥+4).(𝑥−1)
=
3𝑥−3+2𝑥2+6𝑥−8−2𝑥2−8𝑥
𝑥3+4𝑥2−𝑥−4
=
𝑥−11
𝑥3+4𝑥2−𝑥−4
 
que é o resultado. 
. . 
 
h) A expressão racional composta 
2𝑥+
3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥−
3
𝑥−3
 pode ser resolvida focando o 
numerador e o denominador separadamente. Para o numerador da expressão 
racional composta 2𝑥 +
3𝑥−1
𝑥−3
 é necessário que todas as frações tenham o 
mesmo denominador obtido por mmc, ou seja, 𝑥 − 3 . Temos 2𝑥 +
3𝑥−1
𝑥−3
=
 
2𝑥.(𝑥−3)+3𝑥−1
𝑥−3
= 
2𝑥2−6𝑥+3𝑥−1
𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
 Para o denominador da 
fração racional composta 3𝑥 −
3
𝑥−3
 que é uma subtração de frações, 
usamos mmc, obtendo 3𝑥 −
3
𝑥−3
= 
3𝑥.(𝑥−3)−3
𝑥−3
=
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
 Usando os 
dois resultados equivalentes vem 
2𝑥+
3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥−
3
𝑥−3
= 
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
 com resultado 
obtido pela divisão das frações, ou seja, mantendo a fração do numerador e 
invertendo a fração do denominador. 
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
.
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
 
Ocorre possibilidade de simplificação do fator 𝑥 − 3 , resultando 
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
3𝑥2−9𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
3(𝑥2−3𝑥−1)
 para a simplificação da fração composta ou 
complexa. 
 
EQUAÇÕES 
13) Verifique se os valores dados são soluções(raízes) da equação: 
a) 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎 com raiz x = 2 
b) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎 com raiz x = 1 
c) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 com raiz x =2 
d) 
𝒙
𝟐
+
𝟓
𝟔
= 
𝟒𝒙
𝟑
 com x = 1 
e) √𝟑𝒙 − 𝟓 + 𝟑 =
𝟓𝒙
𝟑
 com x= 3 
Resolução: Para verificar se um valor numérico é solução de uma equação, deve-se substituir 
este valor numérico na posição da variável ou incógnita em toda a equação, e verificar se a 
igualdade é mantida, ou seja, o valor obtido do lado direito deve ser igual ao do lado esquerdo 
da igualdade. 
a) Substituindo o valor de x = 2 na equação 3𝑥 − 6 = 0 tem-se: 3.2 – 6 = 0. Realizando 
o produto indicado tem-se 6 – 6 = 0, e fazendo a subtração, 0 = 0. Como verificou-se a 
igualdade então x = 2 é solução da equação proposta. 
 
b) Fazendo a substituição de x pelo valor a ser testado na equação 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
tem-se: (1)2 + 5.1 − 6 = 0 e realizando a potenciação e multiplicação resulta 1 + 5 
– 6 = 0. Resulta 0 = 0, de forma que a raiz testada é solução da equação. 
 
c) Na equação 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 substituindo x por 2 obtém-se: 22 + 5.2 + 6 = 0 
Realizando as operações do lado esquerdo da igualdade tem-se 4 + 10 + 6 = 0 ou 20 
= 0 que é uma situação FALSA, ou seja, esta igualdade não é verdadeira. Isto equivale 
dizer que o valor x = 2 não é raiz da equação. 
 
d) Para verificar se x = 1 é raiz da equação 
𝑥
2
+
5
6
= 
4𝑥
3
 substitui-se o valor de x por 1 e 
busca-se verificar a igualdade. 
1
2
+
5
6
= 
4.1
3
 Tem-se operação com frações, utilizando 
mmc (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores, cujo valor é 6, obtém-se: 
3.1
3.2
+
5
6
= 
2.4.1
2.3
 ou 
3
6
+
5
6
= 
8
6
 Adicionando as duas frações do lado esquerdo da 
igualdade, tem-se: 
3+5
6
= 
8
6
 A igualdade entre os lados esquerdo e direito foi 
verificada, de forma que o valor x = 1 é solução (raiz) da equação. 
 
e) Para a equação √3𝑥 − 5 + 3 =
5.𝑥
3
 fazendo a substituição de x por 3 obtém-se: 
√3.3 − 5 + 3 =
5.3
3
 Realizando multiplicação do radicando, no lado esquerdo, vem: 
√9 − 5 + 3 =
5.3
3
 Subtraindo os valores numéricos no radicando, tem-se √9 − 5 =
√4 que apresenta o resultado √4 + 3 =
5.3
3
 No lado esquerdo extraindo a raiz de 4 
cujo resultado é 2 e somando a 3, resulta o valor 5. No lado direito da igualdade deve-
se simplificar o valor 3 que aparece simultaneamente no numerador e no denominador, 
que resulta 5. A igualdade foi verificada, ou seja 5 = 5 significando que o valor x = 3 é 
raiz da equação. 
 
14) Nas equações a seguir, verifique quais são lineares, e em caso positivo, determine 
a raiz. 
a) 𝟒 − 𝟑𝒙 = 𝟎 
b) 𝟑√𝒙 – 20 = 7 
c) 4.t - 10 =14 
d) 𝒙 − 𝟓 = 𝐱𝟐 
e) 𝐱 +
𝟐
𝐱
= 𝟒 
f) 𝐱 +
𝐱
𝟐
= 𝟑 
g) 𝟑. (𝐲 − 𝟐) = 𝟐𝐲 + 𝟏 
 
Resolução: 
a) A equação é linear. A solução é obtida somando 3x aos dois lados da igualdade, o 
que resulta 4 − 3𝑥 + 3𝑥 = 0 + 3𝑥 No lado esquerdo pode-se simplificar os 
termos com 3x (positivo e negativo), resultando 4 = 3𝑥 Para determinar o valor de 
x pode-se dividir ambos os lados por 3 (ou multiplicar por 1/3) resultando 
4
3
=
3𝑥
3
 
No lado direito faz-se a simplificação resultando x = 4/3 para a raiz da equação. 
 
b) A equação 3√𝑥 – 20 = 7 não é linear pois ocorre um termo com √𝑥 cujo 
equivalente é 𝑥1/2 
 
c) A equação 4.t – 10 = 14 é linear e pode ter a raiz determinada mediante somar 10 
ao lado direito e ao lado esquerdo da igualdade, resultando 4.t-10 +10 =14 + 10 No 
lado esquerdo faz-se simplificação e no lado direito da igualdade faz-se a adição, 
resultando. 4.t = 24 Fazendo a multiplicação por ¼ (ou divisão por 4) em ambos os 
lados da igualdade, vem: 
4.𝑡
4
=
24
4
 Realizando a simplificação do lado esquerdo e a 
divisão do lado direito, resulta t = 6 como solução da equação linear. 
 
d) Esta equação não é linear devido ao termo 𝑥2 
 
e) Esta equação não é linear devido ao segundo termo (2/x) onde ocorre a incógnita 
no denominador. 
 
f) Esta equação é linear e pode ser resolvida usando inicialmente mmc dos 
denominadores, cujo valor é 2. Fazendo operação com frações, vem 
2.𝑥
2
+
𝑥
2
=
3.2
2
 
Os denominadores são iguais e pode-se considerar apenas os numeradores, 
resultando 2. 𝑥 + 𝑥 = 6 Agrupando os termos em x, teremos: 3𝑥 = 6 e dividindo 
ambos os lados da igualdade por 3, resulta x = 2 como solução (raiz) da equação 
linear. 
 
g) A equação 3. (𝑦 − 2) = 2𝑦 + 1 é linear. Usando a propriedade distributiva no 
lado esquerdo 3. 𝑦 − 6 = 2𝑦 + 1 e agrupando em um lado da igualdade os 
termos com y, e no outro lado da igualdade os termos com constantes, vem 3. 𝑦 −
2. 𝑦 = 6 + 1 Realizando a subtração no lado esquerdo e a adição no lado direito 
da igualdade, tem-se: y = 7 como solução da equação linear. 
 
15) Resolva as equações usando fatoração para determinar as raízes. 
a) 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎 
b) 𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝟐 
c) 𝒛𝟐 + 𝟕𝒛 + 𝟏𝟐 = 𝟎 
d) 𝒛𝟐 − 𝟕𝒛 + 𝟏𝟐 = 𝟎 
e) 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 
f) 𝟐. 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎 
g) 𝟒. 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 + 𝟑 = 𝟎 
h) 𝟑. 𝒛𝟐 = 𝟐. 𝒛 + 𝟏 
i) 𝐱𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎 
j) 𝟐. 𝐲𝟐 −
𝟗
𝟐
= 𝟎 
Resolução: 
a) A equação 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 pode ser fatorada através da busca de dois valores cuja 
soma seja 6 e cujo produto seja 5. Os valores são 1 e 5. Usando estes dois valores 
reescreve-se a equação sendo (𝑥 + 5). (𝑥 + 1) = 0 As raízes são determinadas 
pela propriedade do fator zero (se um produto é nulo, então o primeiro termo é nulo, ou 
o segundo termo é nulo) sendo 𝑥 + 5 = 0 e 𝑥 + 1 = 0 resultando 𝑥 = −5 e 
𝑥 = −1 para as raízes.b) A equação 𝑦2 − 𝑦 = 2 pode ser reorganizada para 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 e usando 
fatoração busca-se dois valores numéricos cuja soma seja -1 e o produto seja -2. Os 
valores obtidos são -2 e 1. Reescreve-se (𝑦 − 2). (𝑦 + 1) = 0 Usando a 
propriedade de fator zero y – 2 = 0 ou y = 2 para a primeira raiz, e y + 1 = 0 ou y 
= -1 para a segunda raiz da equação. 
 
c) Para esta equação, busca-se dois valores numéricos que somados resultem 7 e em 
produto resultem 12. Os valores são 3 e 4. Tem-se (𝑧 + 4). (𝑧 + 3) = 0 e resultando z = 
-4 e z = -3 como soluções. 
 
d) Para esta equação, os valores numéricos em produto, devem resultar 12 e em soma -7, 
sendo então -3 e -4. Tem-se: (𝑧 − 3). (𝑧 − 4) = 0 e a raízes serão z = 3 e z = 4. 
 
e) A equação 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 0 pode ser fatorada considerando produto notável como 
(𝑦 + 1). (𝑦 + 1) = 0 e as raízes serão iguais e com valores y= -1. 
 
f) Na equação 2. 𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0 busca-se dois valores numéricos que somados 
resultem 5 e cujo produto seja 2.3 = 6. Os valores são 2 e 3. Reescrevendo o termo 
central (5x) com estes dois valores tem-se 2x e 3x. A equação torna-se 2. 𝑥2 + 5𝑥 +
3 = 2. 𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3 = 0 Os dois primeiros termos permitem evidenciar 2x e 
os dois últimos termos permitem evidenciar o 3 resultando 2. 𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3 =
2𝑥. (𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 1) = 0 Observa-se que há um fator comum entre parênteses 
o que permite reorganizar a equação (𝑥 + 1). (2𝑥 + 3) = 0. O primeiro fator 𝑥 +
1 = 0 apresenta raiz x =-1, e o fator 2𝑥 + 3 = 0 apresenta raiz x = -3/2. 
 
g) Busca-se dois números cujo produto resulte 3.4 = 12 e cuja soma seja 8. Os valores 
serão 2 e 6, que permitem reescrever o termo central da equação como sendo 4. 𝑦2 +
2𝑦 + 6𝑦 + 3 = 0 Pode-se agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos, 
evidenciando fatores comuns, que resulta em 2𝑦. (2𝑦 + 1) + 3(2𝑦 + 1) = 0 O 
fator (2𝑦 + 1) é comum, o que permite reescrever (2𝑦 + 3). (2𝑦 + 1) = 0 
Considerando o primeiro fator tem-se y = -3/2 para a primeira raiz e o segundo fator 
resulta y = -1/2 para a segunda raiz da equação. 
 
h) Reorganizando a equação 3. 𝑧2 = 2. 𝑧 + 1 tem-se 3. 𝑧2 − 2. 𝑧 − 1 = 0 que 
pode ser fatorada buscando 2 valores numéricos cuja soma é -2 e o produto é igual a -
3. Os valores obtidos são -3 e 1. Reescrevendo o termo central tem-se: 3. 𝑧2 − 3. 𝑧 + 𝑧 −
1 = 0 e agrupando termos tem-se 3. 𝑧(𝑧 − 1) + 1(𝑧 − 1) = 0 Pode-se 
reescrever (3𝑧 + 1). (𝑧 − 1) = 0 que permite calcular a primeira raiz pelo termo 
3𝑧 + 1 = 0 ou z = -1/3 e a segunda raiz é calculada por 𝑧 − 1 = 0 ou z = 1. 
 
i) Neste caso, usando produto notável, a fatoração de 𝑥2 − 25 = 0 é reescrita 
(𝑥 + 5). (𝑥 − 5) = 0 As raízes são x = -5 e x = 5. 
 
j) Para a equação 2. 𝑦2 −
9
2
= 0 multiplica-se por 2 para eliminar a fração, resultando 
4. 𝑦2 − 9 = 0 que é um produto notável podendo ser reescrito como (2𝑦 + 3). (2𝑦 − 3) =
0 O primeiro fator resulta na raiz y = -3/2 e o segundo fator resulta y = 3/2 para a raiz. 
 
16) Resolver as equações completando os quadrados. 
a) 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟏𝟔 
b) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 = 𝟓 
c) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = −𝟏𝟏 
d) 𝟐. 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 =
−𝟕
𝟐
 
e) 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟔 
Resolução: 
a) Na equação 𝑥2 − 6𝑥 = 16 o valor de b = -6. Calculando (
𝑏
2
)
2
 resulta (
𝑏
2
)
2
= (
−6
2
)
2
=
36
4
= 9 que é o valor a ser somado no lado esquerdo e direito da igualdade. Tem-se 
𝑥2 − 6𝑥+= 16 + 9 Reescrevendo o lado esquerdo com um produto notável e fazendo 
a soma no lado direito da igualdade resulta: (𝑥 − 3)2 = 25 Extraindo a raiz em ambos 
os lados da igualdade tem-se 𝑥 − 3 = ±5 A primeira raiz é obtida pela resolução de 
𝑥 − 3 = 5 cujo valor é x = 8 e a segunda raiz é obtida por 𝑥 − 3 = −5 com valor x = -2. 
 
b) Na equação 𝑥2 + 4𝑥 = 5 tem-se b = 4, que leva ao cálculo de (
𝑏
2
)
2
= (
4
2
)
2
=
16
4
=
4 valor que deve ser somado aos dois lados da igualdade para completar o quadrado. 
Tem-se 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 5 + 4 Reescrevendo o lado esquerdo como produto notável, e 
realizando a soma no lado direito vem (𝑥 + 2)2 = 9 Extraindo a raiz quadrada resulta 
𝑥 + 2 = ±3 Resolvendo a equação 𝑥 + 2 = 3 tem-se a primeira raiz que é x = 1 e 
resolvendo 𝑥 + 2 = −3 tem-se a segunda raiz que é x = -5. 
 
c) Na equação 𝑥2 + 12𝑥 = −11 tem-se o valor b = 12 o que faz (
𝑏
2
)
2
= (
12
2
)
2
=
144
4
=
36 a ser somado nos dois lados da igualdade, resultando 𝑥2 + 12𝑥 + 36 = −11 + 36 
O lado esquerdo da equação é reescrito com produto notável e no lado direito soma-se 
os valores numéricos resultando (𝑥 + 6)2 = 25 Extraindo a raiz quadrada vem: 𝑥 = 6 =
±5 A primeira raiz vem da solução de 𝑥 − 6 = 5 que resulta em x = 11 e a segunda 
raiz vem de 𝑥 − 6 = −5 resultando x = 1. 
 
d) A equação 2. 𝑥2 − 8𝑥 =
−7
2
 deve ser dividida por 2. Tem-se a equação equivalente 
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 =
−𝟕
𝟒
 com b = -4. Calculando (
𝑏
2
)
2
= (
−4
2
)
2
=
16
4
= 4 somando este 
valor aos dois lados da igualdade vem 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 =
−𝟕
𝟒
+ 𝟒 No lado esquerdo usa-se 
produto notável e no lado direito emprega-se mmc para o trabalho com frações 
resultando (𝑥 − 2)2 =
9
4
 Extraindo raiz quadrada nos dois lados da igualdade vem 𝑥 −
2 = ±
3
2
 Resolvendo 𝑥 − 2 =
3
2
 tem-se 𝑥 =
7
2
 como a primeira raiz, e resolvendo 
𝑥 − 2 = −
3
2
 tem-se 𝑥 =
1
2
 para a segunda raiz. 
 
e) Para a equação 2𝑥2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 16 agrupando os termos de iguais potências em 
x, leva a 2𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥 + 7𝑥 = 16 ou 𝑥2 + 6𝑥 = 16 O valor de b = 6, leva ao cálculo 
(
𝑏
2
)
2
= (
6
2
)
2
=
36
4
= 9 Somando este valor aos dois lados da igualdade 𝑥2 + 6𝑥 +
9 = 16 + 9 e aplicando produto notável ao lado esquerdo da igualdade, e somando os 
dois valores do lado direito vem: (𝑥 + 3)2 = 25. Extraindo raiz quadrada resulta 𝑥 + 3 =
±5 Tomando o sinal positivo 𝑥 + 3 = 5 resulta x = 2 para uma raiz, e tomando o sinal 
negativo 𝑥 + 3 = −5 resulta x = -8 para a outra raiz. 
 
17) Usando a fórmula de Bhaskara, determine as raízes das funções quadráticas: 
a) 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟖 = 𝟎 
b) 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
c) 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 
d) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔 = 𝟎 
e) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
f) 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎 
Resolução: 
a) Para a equação 𝑥2 + 9𝑥 + 8 = 0 tem-se: a =1, b = 9 e c = 8, que substituído na fórmula 
de Bhaskara resulta 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−9±√92−4.1.8
2.1
= 
−9±√81−32
2
= 
−9±√49
2
=
 
−9±7
2
, Com o uso do sinal positivo tem-se 
−9+7
2
=
−2
2
= −1 e com o uso do sinal 
negativo tem-se 
−9−7
2
=
−16
2
= −8. As duas raízes são reais e distintas. 
 
b) Para a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 tem-se: a =1, b = -5 e c = 6, que substituído na fórmula 
de Bhaskara resulta: 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 
5±√(−5)2−4.1.6
2.1
= 
5±√25−24
2
= 
5±√1
2
= 
5±1
2
, 
com o uso do sinal positivo tem-se 
5+1
2
=
6
2
= 3 e com o uso do sinal negativo tem-se 
5−1
2
=
4
2
= 2. As duas raízes são reais e distintas. 
 
c) Para a equação 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0 tem-se: a =1, b = 8 e c = 16, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 
8±√82−4.1.16
2.1
= 
8±√64−64
2
= 
8±√0
2
=
 
8±0
2
, com o uso do sinal positivo tem-se 
8+0
2
=
8
2
= 4 e com o uso do sinal negativo 
tem-se 
8−0
2
=
8
2
= 4. As duas raízes são reais e iguais. 
 
d) Para a equação 𝑥2 + 12𝑥 + 36 = 0 tem-se: a =1,b = 12 e c = 36, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 
12±√122 −4.1.36
2.1
= 
12±√144−144
2
=
 
12±√0
2
= 
12±0
2
, com o uso do sinal positivo tem-se 
12+0
2
=
12
2
= 6 e com o uso do 
sinal negativo tem-se 
12−0
2
=
12
2
= 6. As duas raízes são reais e iguais. 
 
e) Para a equação 𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 0 tem-se: a =1, b = 4 e c = 6, que substituído na fórmula 
de Bhaskara resulta: 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−4±√42 −4.1.6
2.1
= 
−4±√16−24
2
= 
−4±√−8
2
=
 
−4±2√2𝑖
2
, com o uso do sinal positivo tem-se 
−4+2√2𝑖
2
= −2 + √2𝑖 e com o uso do 
sinal negativo tem-se 
−4−2√2𝑖
2
= −2 − √2𝑖. As duas raízes são complexas. 
f) Para a equação 𝑥2 + 6𝑥 + 13 = 0 tem-se: a =1, b = 6 e c = 13, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−6±√62 −4.1.13
2.1
= 
−6±√36−52
2
=
 
−6±√−16
2
= 
−6±4𝑖
2
, com o uso do sinal positivo tem-se 
−6+4𝑖
2
= −3 + 2𝑖 e com o 
uso do sinal negativo tem-se 
−6−4𝑖
2
= −3 − 2𝑖. As duas raízes são complexas 
 
 
18) Resolva as equações de forma algébrica. 
a) ⌈3𝑥 − 2⌉ = 6 
b) |2 − 3𝑥| = 4 
c) |4𝑥 + 5| = 𝑥2 
d) |4𝑥 − 5| = 2𝑥 + 1 
e) |6𝑥 + 4| = 𝑥2 + 1 
Resolução: 
a) Para a equação modular é necessário considerar o duplo sinal. Para o sinal positivo 
tem-se : 3𝑥 − 2 = 6. A equação equivalente é 3𝑥 = 6 + 2 ou 3𝑥 = 8 que resulta para a 
raiz o valor 𝑥 = 8 3⁄ . Para o sinal negativo tem-se: 3𝑥 − 2 = −6. A equação equivalente 
é 3𝑥 = −4 que resulta para a raiz 𝑥 = −4 3⁄ 
b) Equação Modular. Tomando-se o sinal positivo tem-se 2 − 3𝑥 = 4 . A equação 
equivalente é −3𝑥 = 2 ou 3𝑥 = −2 resultando raiz 𝑥 = −2 3⁄ . Tomando-se o sinal 
negativo tem-se 2 − 3𝑥 = −4 com equação equivalente −3𝑥 = −4 − 2 = −6 ou 3𝑥 = 6 
resultando raiz 𝑥 =
6
3
= 2. 
c) Equação Modular. Usando sinal positivo resulta 4𝑥 + 5 = 𝑥2 que é uma equação 
quadrática, reescrita como 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 . Usando fatoração para a solução da 
equação quadrática, busca-se dois valores numéricos que somados resultem -4 e que 
em produto resultem -5. Os valores são 1 e -5. Reescrevendo 𝑥2 − 4𝑥 − 5 =
(𝑥 − 5). (𝑥 + 1) = 0. As raízes vem da solução de 𝑥 − 5 = 0 que é x = 5, e da solução 
de 𝑥 + 1 = 0, que é x = -1. Usando sinal negativo resulta 4𝑥 + 5 = −𝑥2 que pode ser 
reescrita 𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0 que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara obtendo-se: 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−4±√42−4.1.5
2.1
=
−4√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4±2𝑖
2
 As duas raízes são 
complexas e dadas por −2 + 𝑖 e −2 − 𝑖. Tem-se finalmente as 4 raízes com valores 𝑥 =
−1; 𝑥 = 5; 𝑥 = −2 + 𝑖; 𝑒 𝑥 = −2 − 𝑖 
d) Usando o sinal positivo para o módulo tem-se: 6𝑥 + 4 = 𝑥2 + 1. A equação equivalente 
é 𝑥2 − 6𝑥 − 3 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara tem-se 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
6±√(−6)2−4.1.(−3)
2.1
=
6±√36+12
2
=
6±4√3
2
= 3 ± 2√3 . usando o sinal negativo para 
o módulo tem-se 6𝑥 + 4 = −𝑥2 − 1 . A equação equivalente é 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 . 
Resolvendo por fatoração vem: (𝑥 + 5). (𝑥 + 1) = 0 que resulta raízes 𝑥 = −5 e 𝑥 = −1. 
As quatro raízes tem valores 𝑥 = −1; 𝑥 = −5; 𝑥 = 3 + 2√3𝑖; 𝑒 𝑥 = 3 − 2√3𝑖. 
 
 
INEQUAÇÕES 
 
19) Resolver as inequações lineares 
a) 𝟒𝒙 − 𝟑 > 𝟑𝒙 − 𝟏 
b) 𝟓𝒙 − 𝟖 ≥ 𝟐𝒙 + 𝟒 
c) 𝟑𝒙 − 𝟓 > 𝟔 − 𝟒𝒙 
d) 𝟒 − 𝟔𝒙 ≥ 𝟕 − 𝟐𝒙 
e) 𝟐𝒙 − 𝟗 < 𝟒 − 𝟑𝒙 
f) 𝟖𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟑 − 𝟏𝟎𝒙 
Resolução: 
a) A inequação 4𝑥 − 3 > 3𝑥 − 1 é resolvida por: 
Somando 3 4𝑥 > 3𝑥 + 2 
Subtraindo 3x 𝑥 > 2 
A solução 𝑥 > 2 pode ser representada na forma de intervalo (2; +∞) ou ]2; +∞[ 
 
b) A inequação 5𝑥 − 8 ≥ 2𝑥 + 4 é resolvida por: 
Somando 8 5𝑥 ≥ 2𝑥 + 12 
Subtraindo 2x 3𝑥 ≥ 12 
Dividindo por 3 𝑥 ≥ 4 
A solução 𝑥 ≥ 4 pode ser representada na forma de intervalo [4: +∞) ou [4: +∞[ 
 
c) A inequação 3𝑥 − 5 > 6 − 4𝑥 é resolvida por: 
Somando 5 3𝑥 > 11 − 4𝑥 
Somando 2x 7𝑥 > 11 
Dividindo por 7 𝑥 >
11
7
 
A solução 𝑥 >
11
7
 pode ser representada na forma de intervalo ]
11
7
; +∞[ ou (
11
7
; +∞) 
 
d) A inequação 4 − 6𝑥 ≥ 7 − 2𝑥 é resolvida por: 
Somando 6x 4 ≥ 7 + 4𝑥 
Subtraindo 7 −3 ≥ 4𝑥 
Dividindo por 4 
−3
4
≥ 𝑥 
Multiplicando por -1 
3
4
≥ 𝑥 ou 𝑥 ≤
3
4
 
A solução 𝑥 ≤
3
4
 pode ser representada na forma de intervalo ]−∞;
3
4
] ou (−∞;
3
4
] 
 
e) A inequação 2𝑥 − 9 < 4 − 3𝑥 é resolvida por: 
Somando 3x 5𝑥 − 9 < 4 
Somando 9 5𝑥 < 13 
Dividindo por 5 𝑥 <
13
5
 
A solução 𝑥 <
13
5
 pode ser representada na forma de intervalo ]−∞; 
13
5
[ ou (−∞;
13
5
) 
 
f) A inequação 8𝑥 + 1 ≤ 3 − 10𝑥 é resolvida por: 
Somando 10x 18𝑥 + 1 ≤ 3 
Subtraindo 1 18𝑥 ≤ 2 
Dividindo por 18 𝑥 ≤
18
2
 ou 𝑥 ≤ 9 
A solução 𝑥 ≤ 9 pode ser representada na forma de intervalo ]−∞; 9] ou (−∞;9] 
 
 
20) Resolver as inequações duplas 
a) −5 < 4𝑥 + 1 < 8 
b) −3 ≤
3𝑥+4
2
< 5 
c) 3 >
4−2𝑥
5
≥ 7 
d) −1 ≤
4𝑥−3
2
+
5−𝑥
3
≤ 6 
 
Resolução: 
a) Para a inequação: −5 < 4𝑥 + 1 < 8 
Subtraindo 1 −6 < 4𝑥 < 7 
Dividindo por 4 −
6
4
< 𝑥 <
7
4
 
O extremo `esquerda pode ser reescrito como uma fração irredutível −
3
2
 
A solução −
3
2
< 𝑥 <
7
4
 escrita como intervalo é (−
3
2
; 
7
4
) ou ]−
3
2
; 
7
4
[ 
 
b) Para a inequação: −3 ≤
3𝑥+4
2
< 5 
Multiplicando por 2 −6 ≤ 3𝑥 + 4 < 10 
Subtraindo 4 −10 ≤ 3𝑥 < 6 
Dividindo por 3 −
10
3
≤ 𝑥 < 2 
A solução −
10
3
≤ 𝑥 < 2 escrita como intervalo é [−
10
3
; 2) ou [−
10
3
; 2[ 
 
c) Para a inequação 3 >
4−2𝑥
5
≥ 7 
Multiplicando por 5 15 > 4 − 2𝑥 ≥ 35 
Subtraindo 4 11 > −2𝑥 ≥ 31 
Dividindo por -2 
−11
2
< 𝑥 ≤
−31
2
 
A solução 
−11
2
< 𝑥 ≤
−31
2
 escrita como intervalo é ]
−11
2
;
−31
2
] ou (
−11
2
; 
−31
2
] 
 
d) Para a inequação −1 ≤
4𝑥−3
2
+
5−𝑥
3
≤ 6 
Multiplicando por 6 (mmc dos denominadores) −6 ≤ 3(4𝑥 − 3) + 2(5 − 𝑥) ≤ 36 
Propriedade distributiva nos termos centrais −6 ≤ 12𝑥 − 9 + 10 − 2𝑥 ≤ 36 
Agrupando termos centrais −6 ≤ 10𝑥 + 1 ≤ 36 
Subtraindo 1 −7 ≤ 10𝑥 ≤ 35 
Dividindo por 10 
−7
10
≤ 𝑥 ≤
35
10
 
A solução 
−7
10
≤ 𝑥 ≤
35
10
 escrita como intervalo é [
−7
10
;
35
10
] 
 
21) Resolver as equações modulares 
a) |3𝑥 − 4| > 7 
b) |5𝑥 − 1| < 2 
c) |
𝑥+1
4
| ≥ 4 
d) |2 − 4𝑥| + 3 ≤ 5 
 
Resolução 
a) Escrevendo como inequação dupla: −7 > 3𝑥 − 4 > 7 
Somando 4 −3 > 3𝑥 > 11 
Dividindo por 3 −1 > 𝑥 >
11
3
 
Escrevendo como intervalo (−∞; −1) ∪ (
11
3
; +∞) 
 
b) Escrevendo como inequação dupla −2 < 5𝑥 − 1 < 2 
Somando 1 −1 < 5𝑥 < 3 
Dividindo por 5 
−1
5
< 𝑥 <
3
5
 
Escrevendo como intervalo (
−1
5
;
3
5
) 
 
c) Escrevendo como inequação dupla −4 ≥
𝑥+1
4
≥ 4 
Multiplicando por 4 −16 ≥ 𝑥 + 1 ≥ 16 
Subtraindo 1 −17 ≥ 𝑥 ≥ 15 
Escrevendo como intervalo [−17; 15] 
 
d) Subtraindo 3 |2 − 4𝑥| ≤ 2 
Escrevendo como inequação dupla −2 ≤ 2 − 4𝑥 ≤ 2 
Subtraindo 2 −4 ≤ −4𝑥 ≤ 0 
Dividindo por 4 −1 ≤ −𝑥 ≤ 0 
Multiplicando por -1 1 ≥ 𝑥 ≥ 0 
Escrevendo como intervalo [0; 1]22) Resolver as inequações quadráticas: 
a) 𝑥2 − 7𝑥 ≤ 18 
b) 3𝑥2 + 8𝑥 + 4 > 0 
c) 4𝑥2 ≥ 4𝑥 − 1 
d) 18 − 17𝑥 < 𝑥2 
Resolução. 
a) Para a inequação 𝑥2 − 7𝑥 ≤ 18 reescrevendo vem: 𝑥2 − 7𝑥 − 18 ≤ 0 Calculando as 
raízes da equação 𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0 tem-se 𝑥1 = 9 e 𝑥2 = −2 para as abcissas das 
intersecções com o eixo horizontal (x). O coeficiente “a” do termo de 𝑥2 é positivo (1) 
indicando que a parábola está voltada para cima, tendo seu gráfico abaixo do eixo das 
abcissas no intervalo entre as raízes. O sinal de igual inclui os extremos do intervalo na 
solução, resultando [ −2; 9] ou −2 ≤ 𝑥 ≤ 9 
 
 
b) Para 3𝑥2 + 8𝑥 + 4 > 0 calcula-se as raízes da equação 3𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 que resultam 
𝑥1 = −2 e 𝑥2 =
−2
3
 para as abcissas dos pontos de intersecção com o eixo horizontal. 
O coeficiente “a” da equação é positivo, indicando que a parábola está voltada para cima 
(côncava para cima). A parte do gráfico que fica acima do eixo das abcissas apresenta-
se em 2 partes, uma delas à esquerda de 𝑥1 = −2 e a outra à direita de 𝑥2 =
−2
3
 
resultando na forma de intervalo (−∞; −2) ∪ (
−2
3
; +∞) ou −2 > 𝑥 >
−2
3
 
 
c) Para 4𝑥2 ≥ 4𝑥 − 1 pode-se reescrever 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 ≥ 0 Resolvendo a equação 
4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 tem-se uma raiz dupla de valor 𝑥1,2 =
1
2
 Uma única raiz (ou uma raiz 
dupla) indica que o gráfico toca o eixo das abcissas no ponto 𝑥 =
1
2
 O coeficiente do 
termo em 𝑥2 é positivo, indicando que a parábola é côncava para cima. Para a solução 
da inequação, serão aceitos todos os valores reais devido a nenhum ponto da parábola 
estar abaixo do eixo das abcissas. Na forma de intervalo (−∞; +∞) 
 
d) Para 18 − 17𝑥 < 𝑥2 pode-se reescrever 18 − 17𝑥 − 𝑥2 < 0 Resolvendo a equação 
18 − 17𝑥 − 𝑥2 = 0 tem-se as raízes 𝑥1 = −18 e 𝑥2 = 1 O coeficiente do termo em 𝑥
2 é 
negativo (-1) indicando que a parábola está voltada para baixo (côncava para baixo). 
Pela inequação, deseja-se valores menores que zero, correspondendo aos valores à 
esquerda de x = -18 e à direita de x = 1. Na forma de intervalo tem-se (−∞; −18) ∪
(1; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 FIM