Cálculo II_ Módulo 3_Séries Infinitas_continuação-Teste raiz_Séries Maclaurin_Taylor

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CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília
Curso de BACHARELADO em ENGENHARIA CIVIL 				Turma: ENC D2A
Disciplina: Cálculo II
Professora: Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha
UNIDADE I: SEQUÊNCIAS E SÉRIES – Módulo 3 : Séries Infinitas (continuação)
TESTES DE CONVERGÊNCIA (Finalização)
Teste da Raiz
Além do Teste da Integral, da Comparação e da Razão estudados para averiguar a convergência ou não de uma série, temos também o Teste da Raiz, que diz:
“Seja uma série com para n N. Consideremos que . Então: 
 a) a série converge se ;
 b) a série diverge se ;
 c) o teste é inconcludente se ”
Exemplo 1): Identificar entre as séries dadas, a que converge e a que diverge.
 	b) c) 
Solução: a) Calculando o , pois
			 . (Vimos no Módulo 1 da Unidade I, sobre limites de Sequências frequentes.)
			Como , a série converge.
	 b) Calculando 
			 Portanto, a série diverge.
 Calculando 
 Como , a série converge.
2. Séries Alternadas: série cujos termos são alternadamente positivos e negativos.
 Exemplo: a) , onde r = - ½ , e converge para .
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + ( -1)n + 1 . n + ..., o n-ésimo termo não se aproxima do zero. Portanto, a série diverge. 
3. Teste de Leibniz ou Teste da Série Alternada: 
 “ A série converge se todas as 3 condições forem satisfeitas: 1. Os un forem todos positisos;
			 2, Os un forem decrescemtes: 
			 3. Se un 0
Exemplo: Série harmônica alternada = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + ... converge, pois satisfaz as 3 condições do Teste de Leibniz, embora sem alternância diverge.
Observação: Por que a série harmônica diverge? 
	- Porque o n-ésimo termo 1/n tende a zero, mas não segue o teste do n-ésimo termo (se a série converge, então a n 0). Isso acontece porque não há limitante superior para as suas somas parciais. Vejamos: 
		= 1 + ½ + (1/3 + ¼) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ( 1/9 + 1/10 + ... + 1/16) + ... = 
	= 1,5 + 0,58333... + 0,6345238... + 0,66287185..... , isto é, a soma dos 1ºs dois termos é > ½, assim como dos 3º e 4º termos, assim como dos 4 próximos, dos 8 seguintes, e após, dos 16 seguintes, etc. Portanto, a sequências de somas parciais não é limitada superiormente. Portanto, a série harmônica diverge.
4. Convergência Absoluta : um a série converge absolutamente ( ou é absolutamente convergente) se a série correspondente de valores absolutos , , converge. 
Exemplo: A série converge, pois 
5. Convergência Condicional: um a série converge condicionalmente (ou é condicionalmente convergente) se não converge absolutamente.
	
6. p Série: são séries do tipo , sendo p real constante. 
	As p-séries convergem se p > 1; divergem se p 1.
	Demonstrando: a) Se p > 1, a função f(x) = é função decrescente, positiva de x. Como 
		
 	 = 
 = = sendo p -1>0.
	 Se p – 1 >0, então . Logo, pelo teste da integral, a p-série converge.
 b) Se p < 1, 0 < 1 – p e 1 – p > 0. Então, 
	
	Pelo teste da integral, a p-série diverge, quando p < 1.
 c) Se p = 1, a se torna em série harmônica, que é divergente. 
RESUMO DOS TESTES: 
R1) Teste do n-ésimo termo: a menos que a n 0, a série diverge.
R2) Série geométricas: converge se I r I < 1; caso contrário, diverge.
R3) p-Série: converge se p > 1; caso contrário, diverge. 
R4) Séries com termos não negativos: estudar a convergência pelos testes da integral, da razão ou da raiz. Ou, comparar a uma série conhecida por meio do teste da comparação. 
R5) Série com alguns termos negativos: Se converge, também converge, uma vez que a convergência absoluta implica a convergência.
R6) Séries alternadas: converge se a série satisfaz as condições do teste da série alternada.
SÉRIES DE POTÊNCIAS E CONVERGÊNCIA
Definição: Séries de potência são séries infinitas de potências de alguma variável. No caso, x.
Uma série de potências centradas em x = 0 é uma série da forma: 
Uma série de potências centradas em x = a é uma série da forma: 
o centro a e os coeficientes c0 , c1 , c2 , ... , cn , ... são constantes.
Entre as séries de potências importantes, temos as Séries de Taylor e de Maclaurin.
Pesquisa: Séries de Taylor e de Maclaurin. (conceituação, representação, desenvolvimento da série de Taylor e polinômios de Taylor para f(x) = cosx, e f(x) = senx, ambos para ; séries de Taylor mais frequentes).