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Espaço e Subespaço Vetorial Prof. Washington S. da Silva Fevereiro de 2015 Nos problemas de 1 a 5 são apresentados subconjuntos de R2. Verifique quais deles são subespaços vetoriais de R2 relativamente às operações de soma e produto por escalar. 1. S = {(x, y); y = −x} 2. S = {(x, x2);x ∈ R} 3. S = {(x, y);x+ 3y = 0} 4. S = {(y, y); y ∈ R} 5. S = {(x, y); y = x+ 1} Nos problemas de 6 a 10 são apresentados subconjuntos de R3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais de R3 relativamente às operações de soma e produto por escalar. 6. S = {(x, y, z); z = 2x− y} 7. S = {(x, y, z); y = x+ 2 e z = 0} 8. S = {(x, y, z);xy = 0} 9. S = {(x, y, z);x ≥ 0} 10. S = {(x, y, z);x = z2} 11. Mostre que o conjunto H formado por todos os pontos de R2 da forma (3s, 2+5s) não é um espaço vetorial, argumentando que ele não é fechado com relação à multiplicação por escalar. (Encontre um certo v em H e um escalar c tal que cv não está em H. 12. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços. a) W = {(x, y, z, t);x+ y = 0 e z − t = 0} b) U = {(x, y, z, t); 2x+ y − t = 0 e z = 0} 13. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2, 2). 1 a) V = {( a b c d ) com a, b, c, d ∈ R e b = c } b) W = {( a b c d ) com a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1 } 14. Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as operações usuais. a) {( a a+ b a b ) : a, b ∈ R } b) {(1, a, b) : a, b ∈ R} c) A reta {(x, x+ 3) : x ∈ R} 2
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