SEQU�NCIAS.pdf

Prévia do material em texto

SÉRIES E EQUAÇÕES
Profº Eider Avelar
eider.silva@ceuma.br
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
COMPETÊNCIAS/HABILIDADES
Aplicar conhecimentos 
matemáticos, científicos, 
tecnológicos e instrumentais à 
Engenharia.
ASSINATURA DE DEUS
SEQUÊNCIAS 3
SEQUÊNCIAS
 Sequências
 Limites de uma sequência
 Sequências monótonas
 Sequências limitadas
 Subsequências
 Caderno de exercícios
 Referências 
Em matemática, a palavra sequência tem basicamente o 
mesmo significado habitual que na língua portuguesa, ou seja, 
quando dizemos que uma coleção de objetos ou de 
acontecimentos forma uma sequência, queremos indicar que a 
coleção em questão está ordenada (primeiro elemento, 
segundo elemento, terceiro elemento,...)
SEQUÊNCIAS 4
SEQUÊNCIAS
𝑵∗
1
2
3
.
.
n
.
.
𝑓(1)
𝑓 2
𝑓 3
.
.
𝑓 𝑛
.
.
𝑅
As sequências são conhecidas a partir das suas 
imagens 𝑓 𝑛 , 𝑛 = 1,2,3, … . ,visto que o domínio 
é 𝑁∗.
Uma sequência é apresentada por 
𝑓(𝑛) 𝑛∈𝑁∗ 𝑜𝑢 𝑎𝑛 𝑛𝜖𝑁∗; 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) ; 𝑎𝑛 ou, 
diretamente, por seus termos 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … , com indicação da forma do 
termo geral 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 , 𝑛 = 1,2,3, …
Definição
Seja E um conjunto não-vazio. Chama-se sequência ou sucessão de E a toda função 𝑓 𝑑𝑒 𝑁∗em E.
Tomemos 𝐸 = 𝑅
SEQUÊNCIAS 5
EXEMPLO
A sequência infinita
2
1
,
3
2
,
4
3
, … ,
𝑛+1
𝑛
, … , é 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛 𝑛𝜖𝑁∗ : 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 =
𝑛+1
𝑛
.
𝑅
1
𝑁∗
1
1,2
2 3 𝑛 𝑛 + 1
2, 3 2
3, 4 3 𝑛, 𝑛 + 1 𝑛
SEQUÊNCIAS 6
OUTRAS SEQUÊNCIAS
a) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, … ,
1
𝑛
, …
b) 3,3,3,3,3, …
c) 0,
1
2
,
2
3
,
3
4
, … ,
𝑛−1
𝑛
, …
d) 1, 2, 3, 4, … , 𝑛, …
e) 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑏𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ = 
𝑎1 = 𝑎2 = 1
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 3
SEQUÊNCIAS 7
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos n-ésimos termos são dados a 
seguir.
1. 𝑎𝑛 = 2
𝑛
2. 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
3. 𝑎𝑛 = −
1
2
𝑛
4. 𝑎𝑛 =
3𝑛
𝑛!
5. 𝑎𝑛 = 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
2
SEQUÊNCIAS 8
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas:
1. 1,4,7,10,…
2. −1,2,7,14,23,…
3.
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, …
4. 2,
3
3
,
4
5
,
5
7
,
6
9
, …
5. 2,−1,
1
2
, −
1
4
,
1
8
, …
6. 1,
1
2
,
1
6
,
1
24
,
1
120
, …
SEQUÊNCIAS 9
LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA
Definição
Uma sequência 𝑎𝑛 tem limite 𝐿 ; lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 se para cada 𝜀 > 0 dado, existe 
𝑀 > 0 tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 qualquer que seja 𝑛 > 𝑀. Sequências que têm limites 
(finitos) são ditas convergentes, enquanto sequências que não têm limites são ditas 
divergentes.
Teorema: limite de uma sequência
Seja 𝑓 uma função de variável real tal que lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝐿.
Se a sequência 𝑎𝑛 é tal que 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 para todo 𝑛 inteiro positivo, então 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿.
SEQUÊNCIAS 10
PROPRIEDADES DOS LIMITES DE SEQUÊNCIAS
𝑆𝑒 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 𝑒 lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝐾 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
1. lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = 𝐿 ± 𝐾
2. lim
𝑛→∞
𝑐𝑎𝑛 = 𝑐𝐿, 𝑐 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
3. lim
𝑛→∞
𝑎𝑛𝑏𝑛 = 𝐿𝐾
4. lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
𝐿
𝐾
, 𝑏𝑛 ≠ 0 𝑒 𝐾 ≠ 0
SEQUÊNCIAS 11
DETERMINANDO SE UMA SEQUÊNCIA CONVERGE OU DIVERGE
Determine se as sequências a seguir convergem ou divergem.
a) 𝑎𝑛 = 3 + −1
𝑛
A sequência não tem limite pois os seus termos tomam alternadamente os valores 
2 𝑒 4.
2,4,2,4, …
a) 𝑏𝑛 =
𝑛
1−2𝑛
Dividindo-se o numerador e o denominador de 𝑏𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑛 obtém-se
lim
𝑛→∞
𝑛
1−2𝑛
= lim
𝑛→∞
1
 1 𝑛 −2
= −
1
2
de modo que o limite desta sequência é igual a −
1
2
SEQUÊNCIAS 12
USANDO A REGRA DE L’HÔPITAL PARA DETERMINAR A CONVERGÊNCIA
(UTILIZANDO O TEOREMA: LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA)
Prove que a sequência 𝑎𝑛 = 𝑛
2 2𝑛 − 1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
Considere a função de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
𝑥2
2𝑥−1
Aplicando-se a Regra de L’Hôpital duas vezes, obtém-se
lim
𝑥→∞
𝑥2
2𝑥−1
= lim
𝑥→∞
2𝑥
𝑙𝑛2 2𝑥
= lim
𝑥→∞
2
𝑙𝑛2 22𝑥
= 0.
Como 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 para todo inteiro positivo 𝑛, o Teorema mostra que
lim
𝑛→∞
𝑛2
2𝑛−1
= 0.
Regra de L’Hôpital : Suponha que 𝑓 𝑒 𝑔 sejam deriváveis e 𝑔′(𝑥) ≠ 0 em um intervalo aberto 𝐼que contém 𝑎
(exceto possivelmente em 𝑎). Suponha que lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0 𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0 ou que 
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ±∞ 𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ±∞. Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo 
0
0
ou 
∞
∞
. Então 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
se o limite do lado direito existir (ou for ∞ 𝑜𝑢 −∞).
SEQUÊNCIAS 13
DEFINIÇÃO DE N FATORIAL
Seja n um inteiro positivo. Então n fatorial é definido por
𝑛! = 1.2.3.4… 𝑛 − 1 . 𝑛
Zero fatorial é por definição, igual a 1, i.e., 0! = 1
Observação:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
2𝑛! = 2 𝑛! = 2 1.2.3…𝑛
2𝑛 ! = 1.2.3…𝑛 𝑛 + 1 …2𝑛
SEQUÊNCIAS 14
TEOREMA DO SANDUÍCHE PARA SEQUÊNCIAS
Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 e existe um inteiro𝑁 tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ≤ 𝑏𝑛
Para todo 𝑛 > 𝑁, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, lim
𝑛→∞
𝑐𝑛 = 𝐿.
Exemplo
Prove que a sequência a seguir converge e calcule seu limite.
𝑐𝑛 = −1
𝑛 1
𝑛!
Para aplicar o teorema do sanduíche, é preciso obter duas sequências convergentes que 
possam ser relacionadas com a sequência fatorial dada. Duas possibilidades são 𝑎𝑛 =
−
1
2𝑛
𝑒 𝑏𝑛 =
1
2𝑛
ambas convergem para zero quando 𝑛 → ∞, e, além disso, ao comparar 𝑛!
com 2𝑛 vemos que
𝑛! = 1.2.3.4.5.6…𝑛 = 24.5.6…𝑛
2𝑛 = 2.2.2.2…2 = 16.2.2.2.2.2…2.
(𝑛 − 4 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠)
SEQUÊNCIAS 15
TEOREMA DO SANDUÍCHE PARA SEQUÊNCIAS
Portanto , se 𝑛 ≥ 4, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 2𝑛 < 𝑛!. Segue, assim, que
−
1
2𝑛
≤ −1 𝑛
1
𝑛!
≤
1
2𝑛
. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, segue que 
lim
𝑛→∞
−1 𝑛
1
𝑛!
= 0.
TEOREMA DO VALOR ABSOLUTO
Dada uma sequência 𝑎𝑛 se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0.
SEQUÊNCIAS 16
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos 
casos em que há convergência.
1. 𝑎𝑛 =
𝑛+1
𝑛
2. 𝑎𝑛 =
1
𝑛 3 2
3. 𝑎𝑛 =
3𝑛2−𝑛+4
2𝑛2+1
4. 𝑎𝑛 = 1 + −1
𝑛
5. 𝑎𝑛 =
𝑙𝑛 𝑛2
𝑛
SEQUÊNCIAS 17
SEQUÊNCIAS MONÓTONAS
Seja 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ uma sequência infinita de números reais.
Definição
Diz-se que 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ é crescente, se 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗; é decrescente, se
𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗.
Caso 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗, a sequência diz-se estritamente crescente; e caso 
𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗,a sequência diz-se estritamente decrescente.
Uma sequência crescente ou decrescente diz-se monótona.
SEQUÊNCIAS 18
EXEMPLOS
1. Mostre que 
𝑛
𝑛+1 𝑛∈𝑁∗
é estritamente crescente.
2. Mostre que 
1
𝑛 𝑛∈𝑁∗
é decrescente.
3. Mostre que 
−1 𝑛
𝑛 𝑛∈𝑁∗
não é monótona.
Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo 𝑎, 𝑏 e derivável no intervalo 
𝑎, 𝑏 .
i. Se 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 então 𝑓 é crescente em 𝑎, 𝑏 ;
ii. Se 𝑓′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 então 𝑓 é decrescente em 𝑎, 𝑏 .
SEQUÊNCIAS 19
SOLUÇÃO
1. Considere a função 𝑓 tal que 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥+1
, 𝑥 ≥ 1, e analise o seu crescimento, 
uma vez que os valores da função para 𝑥 ∈ 𝑁∗ coincide com os termos da 
sequência 
𝑛
𝑛+1 𝑛∈𝑁∗
. Logo , a função 𝑓 e a sequência possuem o mesmo 
comportamento. Visto que 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥+1 2
> 0, ∀𝑥 ≥ 1, 𝑓 é estritamentecrescente. Portanto, a sequência 
𝑛
𝑛+1 𝑛∈𝑁∗
é estritamente crescente.
2. Considere a função 𝑓tal que 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, 𝑥 ≥ 1. Temos que 𝑓′ 𝑥 =
−1
𝑥2
< 0; logo, 
𝑓 é estritamente decrescente. Portanto a sequência 
1
𝑛 𝑛∈𝑁∗
, cujos termos 
coincidem com os valores de 𝑓 quando 𝑥 = 𝑛, é decrescente.
3. Temos: 
−1 𝑛
𝑛 𝑛∈𝑁∗
:−1,
1
2
,
−1
3
, …
−1 𝑛
𝑛
, …
SEQUÊNCIAS 20
SOLUÇÃO
Se a sequência fosse crescente, teríamos que 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗, mas isto não 
ocorre, visto que 𝑎2 > 𝑎3, 𝑖𝑠𝑡𝑜 é,
1
2
>
−1
3
. Por outro lado, se a sequência fosse 
decrescente, teríamos 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗, que também não ocorre, pois 𝑎1 <
𝑎2, 𝑖𝑠𝑡𝑜 é, −1 <
1
2
. Segue , que a sequência dada não é monótona.
SEQUÊNCIAS 21
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
Determine se as sequências dadas são monótonas:
1. 𝑎𝑛 = 4 −
1
𝑛
2. 𝑎𝑛 =
4𝑛
𝑛+1
3. 𝑎𝑛 =
cos 𝑛
𝑛
4. 𝑎𝑛 = 𝑛𝑒
− 𝑛 2
5. 𝑎𝑛 = 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
6
SEQUÊNCIAS 22
SEQUÊNCIAS LIMITADAS
Seja 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ uma sequência infinita de números reais.
Definição
Diz-se que 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ é limitada, se existem números reais “r” e “s” tais que
𝑟 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑠, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗ ou, de modo equivalente, 𝑎𝑛 ∈ 𝑟, 𝑠 , ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗.
Uma sequência 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ que não é limitada diz-se ilimitada.
O número real “s” é chamado de limitante superior da sequência 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁∗ , se 
𝑎𝑛 ≤ 𝑠, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗, e o real “r” é chamado de limitante inferior da sequência, se
𝑟 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗.
Se 𝑘 = 𝑚á𝑥 𝑟 , 𝑠 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑛 ∈ 𝑟, 𝑠 ⊂ −𝑘, 𝑘 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑎𝑛 ≤ 𝑘, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗.
SEQUÊNCIAS 23
SEQUÊNCIAS LIMITADAS
Exemplo
1
𝑛 𝑛∈𝑁∗
: 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, … ,
1
𝑛
, …
A sequência dada é limitada, sendo 0 (zero) o maior dos seus limitantes inferiores e 1 o 
menor de seus limitantes superiores. Note que o número 2 também é um limitante superior 
desta sequência, e −1 um limitante inferior.
Observação
Uma sequência é limitada se, e somente se, for limitada superiormente e inferiormente.
Teorema
Uma sequência monótona limitada é convergente
Toda sequência convergente é limitada
SEQUÊNCIAS 24
SUBSEQUÊNCIA
Se os termos de uma sequência aparecerem em outra sequência na ordem delas, 
chamaremos a primeira de subsequência da segunda.
Subsequências são importantes por duas razões:
1. Se uma sequência 𝑎𝑛 converge para 𝐿, então todas as suas subsequências 
convergem para 𝐿. Se soubermos que uma sequências converge, poderá ser mais 
rápido encontrar ou estimar seu limite examinando uma determinada 
subsequência.
2. Se qualquer subsequência de uma sequência 𝑎𝑛 diverge ou se duas 
subsequências têm limites diferentes, então 𝑎𝑛 diverge. Por exemplo, a 
sequência −1 𝑛 diverge porque a subsequência −1,−1,−1,… de termos 
ímpares converge para −1, enquanto a subsequência 1,1,1,1,… de termos pares 
converge para 1, um limite diferente.
SEQUÊNCIAS 25
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SEQUÊNCIAS
Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou 
divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
1)
𝑛+1
2𝑛−1
2)
2𝑛2+1
3𝑛2−𝑛
3)
ln 𝑛
𝑛2
4)
𝑒𝑛
𝑛
5)
1
𝑛2+1−𝑛
6) 1 +
1
3𝑛
𝑛
𝑢𝑠𝑒 lim
𝑥→0
1 + 𝑥 1 𝑥 = 𝑒
SEQUÊNCIAS 26
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SEQUÊNCIAS
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona
1)
3𝑛−1
4𝑛+5
2)
1−2𝑛2
𝑛2
3) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋
4) cos
1
3
𝑛𝜋
5)
𝑛3−1
𝑛
6)
1
𝑛+𝑠𝑒𝑛𝑛2
SEQUÊNCIAS 27
REFERÊNCIAS
1) Finney, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr., volume 2/ Ross L. Finney, Maurice 
D. Weir, Franck R. Giordano; tradução Claudio Hirofume Asano; revisão técnica 
Leila Maria Vasconcellos Figueiredo. – São Paulo: Addison Wesley, 2003.
2) Stewart, James. Cálculo, volume 2/ James Stewart; tradução técnica Antonio
Carlos Moretti, Antonio Carlos Gilli Martins; revisão técnicaHelena Maria Ávila 
de Castro. – São Paulo: Cengage Learning, 2013.
SEQUÊNCIAS 28