AULA 6 Cinemática de Fluidos CAMPOS DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO

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2º semestre de 2018
FENÔMENOS DE
TRANSPORTE I
Prof. Karina Klock da Costa
1
Cinemática de Fluidos
Campos de velocidade e aceleração
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Campo de aceleração
Logo, para a aceleração:
Ԧ𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 =
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑡
+ Ԧ𝑣 ∙ ∇ Ԧ𝑣
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Aceleração local
Aceleração convectiva
Campo de aceleração
A aceleração pode ser obtida para as três
coordenadas, por:
𝑎𝑥 =
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
𝑎𝑦 =
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
𝑎𝑧 =
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
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Derivada Material
O operador diferencial em relação ao tempo recebe
um nome: derivada material.
Para enfatizar, atribui-se uma notação especial a ele:
𝐷
𝐷𝑡
Ele é formado ao seguir uma partícula de fluido à
medida que ela se movimenta através do campo de
escoamento.
Outros nomes: derivada total, de partícula,
lagrangeana, euleriana e substancial.
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Derivada Material
A derivada material é definida por:
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
+ Ԧ𝑣 ∙ ∇
Quando aplicamos ao campo de velocidade, o
resultado é o campo de aceleração:
Ԧ𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 =
𝐷 Ԧ𝑣
𝐷𝑡
=
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑡
+ Ԧ𝑣 ∙ ∇ Ԧ𝑣
Chamada de aceleração material.
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Derivada Material
Pode ser aplicada a outras propriedades do fluido,
além da velocidade, por exemplo, a derivada material
da pressão pode ser escrita por:
𝐷𝑃
𝐷𝑡
=
𝜕𝑃
𝜕𝑡
+ Ԧ𝑣 ∙ ∇𝑃
Que representa a taxa de variação da pressão no
tempo acompanhando uma partícula à medida que
ela se movimenta no escoamento.
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FENÔMENOS DE
TRANSPORTE I
Prof. Karina Klock da Costa
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Equações de Bernoulli e Energia
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Leis de conservação
Equações de balanço.
Conservação da massa
Conservação da energia
Conservação da quantidade de movimento linear.
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Conservação da massa
A quantidade de matéria é conservada ou
transformada no decorrer do processo.
A massa m e energia E podem ser convertidas uma
na outra, de acordo por a fórmula proposta pro
Einstein:
𝐸 = 𝑚𝑐²
Sendo c a velocidade da luz no vácuo:
c = 2,9979 × 108 m/s Fe
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Conservação da massa
A quantidade de massa que escoa através de uma
seção transversal por unidade de tempo é chamada
de vazão mássica ( ሶ𝑚).
Se avaliarmos um elemento de área diferencial, a
vazão de massa pode ser expressa por:
𝛿 ሶ𝑚 = 𝜌𝑣𝑛𝑑𝐴𝑐
A componente da velocidade do escoamento normal à
área 𝑑𝐴𝑐 é 𝑣𝑛.
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Conservação da massa
Tendo-se a variação da vazão mássica em um
elemento, é possível determinar a vazão em toda a
área por integração:
ሶ𝑚 = න
𝐴𝑐
𝛿 ሶ𝑚 = න𝜌𝑣𝑛𝑑𝐴𝑐
Tendo a velocidade média, é possível determinar a
vazão.
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Conservação da massa
Princípio da conservação da massa:
A transferência total de massa para dentro ou para
fora de um volume de controle durante um intervalo
de tempo Δt é igual à variação total (aumento ou
diminuição) da massa total dentro do volume de
controle durante Δt.
massa total
entrando no VC
durante ∆t
−
massa total
deixando o VC
durante ∆t
= 
variação total
da massa no VC
durante ∆t
𝑚𝑒 −𝑚𝑠 = ∆𝑚𝑉𝐶
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Conservação da massa
Princípio da conservação da massa:
𝑚𝑒 −𝑚𝑠 = ∆𝑚𝑉𝐶
Em termos de taxa, tem-se:
ሶ𝑚𝑒 − ሶ𝑚𝑠 =
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
A massa total é determinada por integração dentro do VC:
𝑚𝑉𝐶 = න
𝑉𝐶
𝜌 𝑑𝑉
Ou, em função da taxa:
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑𝑉
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Componente normal da velocidade
O ângulo de saída da velocidade pode variar em relação à
área de saída, logo, a componente normal da velocidade
pode ser escrita por:
𝑣𝑛 = 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 = Ԧ𝑣𝑛
Então a vazão mássica diferencial pode ser escrita por:
𝛿 ሶ𝑚 = 𝜌 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐴 = 𝜌 Ԧ𝑣𝑛 𝑑𝐴
Sendo que a vazão é obtida pela integração na área:
ሶ𝑚 = න𝛿 ሶ𝑚 = න𝜌𝑣𝑛𝑑𝐴 = න𝜌 Ԧ𝑣𝑛 𝑑𝐴 F
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Conservação da massa
Conservação geral da massa:
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑𝑉 +න
𝑆𝐶
𝜌 Ԧ𝑣𝑛 𝑑𝐴 = 0
A variação da massa no interior do volume de
controle mais a vazão total de massa através da
superfície de controle é iguala a zero.
Em resumo: o que entra – o que sai = acúmulo.
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Conservação da massa
Sendo que o sistema pode possuir mais de uma
entrada e mais de uma saída, estabelece-se que as
saídas são positivas e as entradas são negativas e
devem ser todas somadas:
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑𝑉 +෍
𝑠
𝜌 𝑣𝑛 𝐴 −෍
𝑒
𝜌 𝑣𝑛 𝐴 = 0
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑𝑉 =෍
𝑒
ሶ𝑚 −෍
𝑠
ሶ𝑚 = 0
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Exemplo
Considerar um escoamento unidimensional, com entrada e
saída e regime estacionário.
Aplicar a equação de conservação da massa no volume de
controle. Utilizar a equação para tubos de diâmetro D1 e
D2, respectivamente. Encontrar uma equação para v1.
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑𝑉 +න
𝑆𝐶
𝜌 Ԧ𝑣𝑛 𝑑𝐴 = 0 F
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Exemplo 2
Fluido incompressível, regime permanente.
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A1
v1
ρ1
A2
v2
ρ2
A3
v3
ρ3
Exemplo 3
Tem-se dois fluidos adentrando em um volume de controle, em
regime permanente, por entradas distintas, conforme figura
abaixo. Sabendo-se que o fluido da entrada 1 é água e da
entrada 2, óleo. Determine a vazão e a densidade da mistura
que sai em 3 a partir da equação da conservação de massa na
forma integral.
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Q = 1 m³/h
D = 0,8 m
𝜌 = 800 kg/m³
Q = ?
𝜌 = ?
Q = 5 m³/h
𝜌 = 1000 kg/m³
1
2
3
Aplicação da Lei de Pascal
Todos os pontos do fluido em uma mesma linha
vertical possuem a mesma pressão.
𝑃1 = 𝑃2
𝑃1
𝐴1
=
𝑃2
𝐴2
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Exercício
Considere um líquido confinado em uma região
delimitada por dois êmbolos A e B, de áreas a = 80
cm² e b = 20 cm², respectivamente. Para que o
sistema esteja em equilíbrio, desprezando os pesos
dos êmbolos e os atritos, sendo a massa em A = 4,0
kg, qual deve ser a massa em B?
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Referências
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos:
Fundamentos e aplicações. 3ª Ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. ISBN:
978-85-8055-490-8.
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2ª. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2008. ISBN ISBN 978-85-7605-182-4.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de
Janeiro, RJ: LTC, 2018.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Coleção Schaum: Mecânica dos
Fluidos. Porto Alegre: Bookman, 2018. ISBN ISBN 978-85-8260-454-0.
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Fenômenos de Transporte I
Prof. Karina Klock da Costa