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Exercícios resolvidos - Limite Fundamental Trigonométrico (sen(x)/x = 1)

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Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
1 
 
Usar o limite fundamental e alguns artifícios : 1lim
0
=
® x
senx
x
 
 
1. 
x
x
x sen
lim
0®
= ? à 
x
x
x sen
lim
0®
= 
0
0 , é uma indeterminação. 
x
x
x sen
lim
0®
= 
x
xx sen
1lim
0®
= 
x
x
x
senlim
1
0®
 = 1 logo 
x
x
x sen
lim
0®
= 1 
2. 
x
x
x
4senlim
0®
= ? à 
x
x
x
4senlim
0®
=
0
0 à 
x
x
x 4
4sen.4lim
0®
= 4.
y
y
y
senlim
0®
=4.1= 4 logo 
x
x
x
4senlim
0®
=4 
3. 
x
x
x 2
5senlim
0®
= ? à =
® x
x
x 5
5sen.
2
5lim
0
=
® y
y
y
sen
.
2
5lim
0 2
5 logo 
x
x
x 2
5senlim
0®
=
2
5 
4. 
nx
mx
x
senlim
0®
= ? à 
nx
mx
x
senlim
0®
=
mx
mx
n
m
x
sen.lim
0®
=
n
m .
y
y
y
senlim
0®
=
n
m .1=
n
m logo 
nx
mx
x
senlim
0®
=
n
m 
5. 
x
x
x 2sen
3senlim
0®
= ? à 
x
x
x 2sen
3senlim
0®
= =
®
x
x
x
x
x 2sen
3sen
lim
0
=
®
x
x
x
x
x
2
2sen.2
3
3sen.3
lim
0
.
2
3
2
2senlim
3
3senlim
0
0 =
®
®
x
x
x
x
x
x . 1.
2
3
senlim
senlim
0
0
=
®
®
t
t
y
y
t
y = 
2
3 logo 
x
x
x 2sen
3senlim
0®
=
2
3 
6. 
sennx
senmx
x 0
lim
®
= ? à 
nx
mx
x sen
senlim
0®
=
x
nx
x
mx
x sen
sen
lim
0®
= 
nx
nxn
mx
mxm
x sen.
sen.
lim
0®
=
nx
nx
mx
mx
n
m
x sen
sen
.lim
0®
=
n
m Logo 
sennx
senmx
x 0
lim
®
=
n
m 
7. =
® x
tgx
x 0
lim ? à =
® x
tgx
x 0
lim
0
0 à =
® x
tgx
x 0
lim =
® x
x
x
x
cos
sen
lim
0
 =
® xx
x
x
1.
cos
senlim
0
 
xx
x
x cos
1.senlim
0®
 = 
xx
x
xx cos
1lim.senlim
00 ®®
 = 1 Logo =
® x
tgx
x 0
lim 1 
8. ( )
1
1lim 2
2
1 -
-
® a
atg
a
= ? à ( )
1
1lim 2
2
1 -
-
® a
atg
a
= 
0
0 à Fazendo 
î
í
ì
®
®
-=
0
1
,12
t
x
at à ( )
t
ttg
t 0
lim
®
=1 
logo ( )
1
1lim 2
2
1 -
-
® a
atg
a
=1 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
2 
9. 
xx
xx
x 2sen
3senlim
0 +
-
®
= ? à 
xx
xx
x 2sen
3senlim
0 +
-
®
= 
0
0 à ( )
xx
xxxf
2sen
3sen
+
-
= = 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
x
xx
x
xx
5sen1.
3sen1.
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
x
xx
x
xx
.5
5sen.51.
.3
3sen.31.
= 
x
x
x
x
.5
5sen.51
.3
3sen.31
+
-
 à 
0
lim
®x
x
x
x
x
.5
5sen.51
.3
3sen.31
+
-
= 
51
31
+
- =
6
2- = 
3
1
- logo 
xx
xx
x 2sen
3senlim
0 +
-
®
=
3
1
- 
10. 30
senlim
x
xtgx
x
-
®
= ? à 30
senlim
x
xtgx
x
-
®
= 
xx
x
xx
x
x cos1
1.sen.
cos
1.senlim
2
2
0 +®
=
2
1 
( )
3
sen
x
xtgx
xf
-
= = 3
sen
cos
sen
x
x
x
x
-
=
3
cos
cos.sensen
x
x
xxx -
= ( )
xx
xx
cos.
cos1.sen
3
- =
x
x
xx
x
cos
cos1.1.sen 2
- =
x
x
x
x
xx
x
cos1
cos1.
cos
cos1.1.sen
2 +
+- =
xx
x
xx
x
cos1
1.cos1.
cos
1.sen 2
2
+
- =
xx
x
xx
x
cos1
1.sen.
cos
1.sen
2
2
+
 
Logo 30
senlim
x
xtgx
x
-
®
=
2
1 
11. 30
sen11
lim
x
xtgx
x
+-+
®
=? à 
xtgxx
xtgx
x sen11
1.senlim 30 +++
-
®
= 
xtgxxx
x
xx
x
x sen11
1.
cos1
1.sen.
cos
1.senlim 2
2
0 ++++®
=
2
1.
2
1.
1
1.
1
1.1 =
4
1 
( )
3
11
x
senxtgx
xf
+-+
= =
xtgxx
xtgx
sen11
1.sen11 3 +++
--+ =
xtgxx
xtgx
sen11
1.sen3 +++
- 
30
sen11
lim
x
xtgx
x
+-+
®
=
4
1 
12. 
ax
ax
ax -
-
®
sensenlim = ? à 
ax
ax
ax -
-
®
sensenlim = 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
®
2
.2
2
cos.
2
sen2
lim
ax
axax
ax
= 
1
2
cos.
.
2
.2
)
2
sen(2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
®
ax
ax
ax
ax
= acos Logo 
ax
ax
ax -
-
®
sensenlim = cosa 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
3 
13. ( )
a
xax
a
sensenlim
0
-+
®
= ? à ( )
a
xax
a
sensenlim
0
-+
®
= 
1
2
cos.
.
2
.2
2
sen2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ ++
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -+
®
xax
ax
xax
aa
= 
1
2
2cos.
.
2
.2
2
sen2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
®
ax
a
a
aa
= xcos Logo ( )
a
xax
a
sensenlim
0
-+
®
=cosx 
14. ( )
a
xax
a
coscoslim
0
-+
®
= ? à ( )
a
xax
a
coscoslim
0
-+
®
= 
a
xaxxax
a
÷
ø
ö
ç
è
æ --
÷
ø
ö
ç
è
æ ++-
®
2
sen.
2
sen2
lim
0
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
2
.2
2
sen.
2
2sen.2
lim
0 a
aax
a
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
2
2
sen
.
2
2senlim
0 a
a
ax
a
= xsen- Logo 
( )
a
xax
a
coscoslim
0
-+
®
=-senx 
15. 
ax
ax
ax -
-
®
secseclim = ? à 
ax
ax
ax -
-
®
secseclim = 
ax
ax
ax -
-
®
cos
1
cos
1
lim = 
ax
ax
xa
ax -
-
®
cos.cos
coscos
lim = 
( ) axax
xa
ax cos.cos.
coscoslim
-
-
®
= ( ) axax
xaxa
ax cos.cos.
2
sen.
2
sen.2
lim
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
= 
axxa
xaxa
ax cos.cos
1.
2
.2
2
sen
.
1
2
sen.2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ --
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
= 
axxa
xaxa
ax cos.cos
1.
2
2
sen
.
1
2
sen
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +
®
= 
aa
a
cos.cos
1.1.
1
sen = 
aa
a
cos
1.
cos
sen = atga sec. Logo 
ax
ax
ax -
-
®
secseclim = atga sec. 
16. 
x
x
x sec1
lim
2
0 -®
= ? à 
x
x
x sec1
lim
2
0 -®
= 
( )xxx
xx
cos1
1.
cos
1.sen
1lim
2
20
+
-
®
= 2- 
( )
x
xxf
cos
11
2
-
= =
x
x
x
cos
1cos
2
-
= ( )x
xx
cos1.1
cos.2
--
= ( ) ( )
( )x
x
xx
x
cos1
cos1.
cos
1.cos1
1
2 +
+-
-
 = 
( )xxx
x
cos1
1.
cos
1.cos1
1
2
2
+
-
-
= 
( )xxx
x
cos1
1.
cos
1.sen
1
2
2
+
-
 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
4 
17. 
tgx
gx
x -
-
® 1
cot1
lim
4
p
= ? à 
tgx
gx
x -
-
® 1
cot1lim
4
p
= 
tgx
tgx
x -
-
® 1
11
lim
4
p
 =
tgx
tgx
tgx
x -
-
® 1
1
lim
4
p
= 
tgx
tgx
tgx
x -
--
® 1
)1.(1
lim
4
p
=
tgxx
1lim
4
-
®
p
= 1- Logo 
tgx
gx
x -
-
® 1
cot1
lim
4
p
= -1 
18. 
x
x
x 2
3
0 sen
cos1lim -
®
= ? à 
x
x
x 2
3
0 sen
cos1lim -
®
= ( )( )
x
xxx
x 2
2
0 cos1
coscos1.cos1lim
-
++-
®
= 
( )( )
( )( )xx
xxx
x cos1.cos1
coscos1.cos1lim
2
0 +-
++-
®
=
x
xx
x cos1
coscos1lim
2
0 +
++
®
=
2
3 Logo 
x
x
x 2
3
0 sen
cos1lim -
®
=
2
319. 
x
x
x cos.21
3senlim
3
-®p
= ? à 
x
x
x cos.21
3senlim
3
-®p
= ( )
1
cos.21.senlim
3
xx
x
+
-
®
p
= 3- 
( )
x
xxf
cos.21
3sen
-
= = ( )
x
xx
cos.21
2sen
-
+ = 
x
xxxx
cos.21
cos.2sen2cos.sen
-
+ = ( )
x
xxxxx
cos.21
cos.cos.sen.21cos2.sen 2
-
+- = 
( )[ ]
x
xxx
cos.21
cos21cos2.sen 22
-
+- = [ ]
x
xx
cos.21
1cos4.sen 2
-
- = ( )( )
x
coxcoxx
cos.21
.21..21.sen
-
+-
- = ( )
1
cos.21.sen xx +
- 
 
20. 
tgx
xx
x -
-
® 1
cossenlim
4
p
= ? à 
tgx
xx
x -
-
® 1
cossenlim
4
p
= ( )x
x
coslim
4
-
®p
=
2
2
- 
( )
tgx
xxxf
-
-
=
1
cossen =
x
x
xx
cos
sen1
cossen
-
- = 
x
x
xx
cos
sen1
cossen
-
- = 
x
xx
xx
cos
sencos
cossen
-
- = ( )
x
xx
xx
cos
cossen.1
cossen
--
- = 
xx
xxx
sencos
cos.
1
cossen
-
-
- = xcos- 
21. ( ) )sec(cos.3lim
3
xx
x
p-
®
= ? à ( ) )sec(cos.3lim
3
xx
x
p-
®
= ¥.0 
( ) ( ) )sec(cos.3 xxxf p-= = ( ) ( )xx psen
1.3 - = ( )x
x
pp -
-
sen
3 = ( )x
x
pp -
-
3sen
3 = ( )
( )x
x
-
-
3.
3sen.
1
p
ppp
= 
( )
( )x
x
pp
ppp
-
-
3
3sen.
1 à ( ) )sec(cos.3lim
3
xx
x
p-
®
= ( )
( )x
xx
pp
ppp
-
-®
3
3sen.
1lim
3
=
p
1 
22. )1sen(.lim
x
x
x®µ
= ? à )1sen(.lim
x
x
x®µ
= 0.¥ 
x
x
x 1
1sen
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ
®µ
= 1senlim
0
=
® t
t
t
 à Fazendo 
î
í
ì
®
+¥®
=
0
1
t
x
x
t 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
5 
23. 
1sen.3sen.2
1sensen.2lim 2
2
6 +-
-+
® xx
xx
x p
= ? à 
1sen.3sen.2
1sensen.2lim 2
2
6 +-
-+
® xx
xx
x p
=
x
x
x sen1
sen1lim
6 +-
+
®p
=
6
sen1
6
sen1
p
p
+-
+
= 
2
11
2
11
+-
+
= 3- à ( )
1sen.3sen.2
1sensen.2
2
2
+-
-+
=
xx
xxxf =
( )
( )1sen.
2
1sen
1sen.
2
1sen
-÷
ø
ö
ç
è
æ -
+÷
ø
ö
ç
è
æ -
xx
xx
= ( )( )1sen
1sen
-
+
x
x =
x
x
sen1
sen1
+-
+ 
24. ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ-
® 2
.1lim
1
xtgx
x
p = ? à ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ-
® 2
.1lim
1
xtgx
x
p = ¥.0 à ( ) ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ-=
2
.1 xtgxxf p = 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ --
22
cot.1 xgx pp = ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
22
1
xtg
x
pp
=
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
22
2.1.
2
xtg
x
pp
p
p
 = 
( )x
xtg
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
1.
2
22
2
p
pp
p =
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
22
22
2
x
xtg
pp
pp
p à 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ-
® 2
.1lim
1
xtgx
x
p =
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
®
22
22
2
lim
1
x
xtg
x
pp
pp
p = ( )
t
ttg
t 0
lim
2
®
p =
p
2 Fazendo uma mudança de variável, 
temos : 
î
í
ì
®
®
-=
0
1
2 t
x
x
xt pp 
25. ( )x
x
x psen
1lim
2
1
-
®
= ? à ( )x
x
x psen
1lim
2
1
-
®
= ( )
( )x
x
x
x
pp
ppp
-
-
+
® sen.
1lim
1
=
p
2 
( )
x
xxf
psen
1 2-
= = ( )( )( )x
xx
pp -
+-
sen
1.1 = ( )
( )x
x
x
-
-
+
1
sen
1
pp
= ( )
( )x
x
x
-
-
+
1.
sen.
1
p
ppp
= ( )
( )x
x
x
pp
ppp
-
-
+
sen.
1 
26. ÷
ø
ö
ç
è
æ -
®
xgxg
x 2
cot.2cotlim
0
p = ? à ÷
ø
ö
ç
è
æ -
®
xgxg
x 2
cot.2cotlim
0
p = 0.¥ 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ -= xgxgxf
2
cot.2cot p = tgxxg .2cot =
xtg
tgx
2
=
xtg
tgx
tgx
21
2
-
= 
tgx
xtgtgx
.2
1.
2- =
2
1 2 xtg- 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
®
xgxg
x 2
cot.2cotlim
0
p =
2
1lim
2
0
xtg
x
-
®
=
2
1 
27. 
x
xx
x 2
3
0 sen
coscoslim -
®
= 11102
2
1 ...1
lim
tttt
t
t +++++
-
®
=
12
1
- 
( )
x
xxxf 2
3
sen
coscos -
= = 12
23
1 t
tt
-
- = ( )
( )( )11102
2
...1.1
1.
ttttt
tt
+++++-
-- = 11102
2
...1 tttt
t
+++++
- 
63.2 coscos xxt == 
î
í
ì
®
®
1
0
t
x xt cos6 = , xt 212 cos= , 122 1sen tx -= 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
6 
BriotxRuffini : 
 1 0 0 ... 0 -1 
1 • 1 1 ... 1 1 
 1 1 1 ... 1 0 
 
 
28. 
xx
xx
x sencos
12cos2senlim
4 -
--
®p
= ? à 
xx
xx
x sencos
12cos2senlim
4 -
--
®p
= ( )x
x
cos.2lim
4
-
®p
= 
4
cos.2 p- =
2
2.2- = 
2- 
( )
xx
xxxf
sencos
12cos2sen
-
--
= = ( )
xx
xxx
sencos
11cos2cossen.2 2
-
--- =
xx
xxx
sencos
11cos2cos.sen.2 2
-
-+- =
xx
xxx
sencos
cos2cos.sen.2 2
-
- = ( )
xx
xxx
sencos
sencos.cos.2
-
-- = xcos.2- 
29. ( )
112
1senlim
1 --
-
® x
x
x
= ? à ( )
112
1senlim
1 --
-
® x
x
x
= ( )( ) 1
112.
1
1sen.
2
1lim
1
+-
-
-
®
x
x
x
x
= 1 
( ) ( )
112
1sen
--
-
=
x
xxf = ( )
112
112.
112
1sen
+-
+-
--
-
x
x
x
x = ( )
1
112.
112
1sen +-
--
- x
x
x = ( )( ) 1
112.
1.2
1sen +-
-
- x
x
x = 
( )
( ) 1
112.
1
1sen.
2
1 +-
-
- x
x
x 
30. 
3
cos.21lim
3
pp
-
-
® x
x
x
= ? à 
3
cos.21lim
3
pp
-
-
® x
x
x
= 
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ +
®
2
3
2
3sen
.
2
3sen.2lim
3 x
x
x
x p
p
p
p
= 
.
2
33sen.2
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ + pp
= .
2
3
2
sen.2
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ p
= .
3
sen.2 ÷
ø
ö
ç
è
æ p = 3
2
3.2 = 
( )
3
cos.21
p
-
-
=
x
xxf =
3
cos
2
1.2
p
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
x
x
=
3
cos
3
cos.2
p
p
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
x
x
 = 
( )
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
-
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ +
-
2
3.2.1
2
3sen.
2
3sen2.2
x
xx
p
pp
= 
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ +
2
3
2
3sen.
2
3sen.2
x
xx
p
pp
= 
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ +
2
3
2
3sen
.
2
3sen.2
x
x
x
p
p
p
 
31. 
xx
x
x sen.
2cos1lim
0
-
®
= ? à 
xx
x
x sen.
2cos1lim
0
-
®
=
x
x
x
sen.2lim
3
p
®
= 2 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
7 
( )
xx
xxf
sen.
2cos1 -
= = ( )
xx
x
sen.
sen211 2-- =
xx
x
sen.
sen211 2+- =
xx
x
sen.
sen.2 2 =
x
xsen.2 
 
32. 
xx
x
x sen1sen1
lim
0 --+®
= ? à
xx
x
x sen1sen1
lim
0 --+®
 = 
x
x
xx
x sen.2
sen1sen1lim
0
-++
®
 =
1.2
11+ 
=1 
( )
xx
xxf
sen1sen1 --+
= = ( )( )xx
xxx
sen1sen1
sen1sen1.
--+
-++ = ( )
xx
xxx
sen1sen1
sen1sen1.
+-+
-++ = 
 ( )
x
xxx
sen.2
sen1sen1. -++ = 
x
x
xx
sen.2
sen1sen1 -++ = 
1.2
11+ = 1 
33. 
xx
x
x sencos
2coslim
0 -®
= 
1
sencoslim
0
xx
x
+
®
 = 
2
2
2
2
+ = 2 
( )
xx
xxf
sencos
2cos
-
= = ( )( )( )xxxx
xxx
sencos.sencos
sencos.2cos+-
+ = ( )
xx
xxx
22 sencos
sencos.2cos
-
+ = ( )
x
xxx
2cos
sencos.2cos + = 
( )
x
xxx
2cos
sencos.2cos + = 
1
sencos xx + = 
2
2
2
2
+ = 2 
34. 
3
sen.23lim
3
pp
-
-
® x
x
x
= ? à 
3
sen.23lim
3
pp
-
-
® x
x
x
= 
3
sen
2
3.2
lim
3
pp
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
® x
x
x
= 
3
sen
3
sen.2
lim
3
p
p
p
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
® x
x
x
= 
3
2
3cos.
2
3sen.2
lim
3
p
pp
p
-
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ -
® x
xx
x
= 
3
3
2
3
3
cos.
2
3
3
sen.2
lim
3
p
pp
p -
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ -
® x
xx
x
= 
( )
3
3.1
6
3cos.
6
3sen.2
lim
3
x
xx
x --
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
® p
pp
p
 
 
35. ?

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