Apliação dos conceitos de Espaço e Subespaço Vetorial

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Lista de exercícios
Espaço Vetorial, Subespaço Vetorial, Subespaço Gerado, Vetores LD, LI e Base 
1- Verifique se o conjunto V = R2, com as operações definidas por (x1, y1) (x2, y2) = (x1 + x2 , 0) e
m(x, y) = (mx , my) é um espaço vetorial.
2 – Verifique se o conjunto S = {(x, y) ϵ R2/ y = 2x + 1} é um subespaço vetorial de V = R2 . 
3 - Considere V = R2. Determine o subespaço gerado por v1= (1, 2) e v2 = (4, 8).
4 - Considere V = P2 , B = {x2, x + 1, 2x} e mostre que B é uma base de P2. Além disso, escreva o 
vetor 5x2 + 7x + 10 como combinação dos vetores da base B.
5 - Quando transmitimos uma mensagem eletrônica na forma de sequência de bits podem ocorrer
erros na mensagem e alguns dos bits podem vir trocados. Isso ocorre porque os canais de
transmissão não são perfeitos. Para detectar e automaticamente corrigir estes erros as mensagens
são codificadas usando um código corretor de erros.
Exemplo:
Considere o caso em que uma mensagem de dois bits é codificada em outra de 5 bits (nesse caso
foram acrescentados 3 bits de redundância) de acordo com o seguinte esquema: 
Após uma mensagem ser enviada, o receptor terá cinco bits. Se os bits corresponderem a uma das
quatro palavras do código, ele decidirá que não houve erro e aceitará a mensagem. Se os bits não
formarem uma palavra do código, ele decidirá que houve um erro. Essa detecção de erros está
diretamente relacionada com o conceito de subespaço vetorial, ou seja, essas quatro palavras u, v,
w e k da mensagem codificada formam um subespaço vetorial de Z2
5 com as operações de soma
e multiplicação definidas a seguir:
Considere essas informações e mostre, numericamente, que as mensagens codificadas v e k do
exemplo acima verificam as duas condições necessárias de um subespaço vetorial.
O espaço vetorial Z2
5={(0,0,0,0,0);(0,0,0,0,1) ; ...; (1,1,1,1,0); (1,1,1,1,1)} possui 32 elementos.