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MHS movimento harmonico simples

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Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
1 
 Introdução 
Existem situações na vida prática em que 
ocorrem problemas que envolvem uma situação em 
que a posição de um corpo é de equilíbrio; uma vez 
deslocado dessa posição, ele sofre a atuação de uma 
força restauradora, que o obriga a uma posição de vai 
e vem em torno da posição de equilíbrio. 
Exemplos dessas situações são: 
 O pêndulo: uma massa suspensa por uma 
corda. Na posição de equilíbrio, a massa fica na 
posição vertical do ponto de suspensão e quando 
deslocada desta posição, ela retorna a ela oscilando de 
um lado para outro de forma regular e repetitiva. 
 Uma massa conectada a uma mola. 
Nesse caso, a massa, presa à mola, uma vez deslocada 
da posição de equilíbrio (quando a mola está relaxada) 
ela retorna a essa posição num movimento repetitivo. 
 Os pistões de um motor a gasolina. 
 As cordas de um instrumento musical. 
 O movimento das moléculas de um 
sólido. Movimentam-se em torno de sua posição de 
equilíbrio na rede cristalina do sólido. 
 As vibrações das moléculas de água 
causadas pelas microondas num forno de microondas, 
rompendo as ligações de hidrogênio nas moléculas, 
causando o aquecimento da substância. 
 A batida do coração humano. 
 Circuitos elétricos: Num circuito elétrico 
no qual há uma corrente elétrica alternada, podemos 
descrevê-lo em termos de voltagens, correntes e 
cargas elétricas que oscilam com o tempo. 
Figura 1 – Exemplos de sistemas oscilantes 
e vibratórios. 
(a) Pêndulo de um relógio. 
 
 
(b) Movimento dos pistões num motor de 
automóvel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Movimento da suspensão de um carro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) Funcionamento de um amortecedor e 
mola da suspensão de um carro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) Movimento de átomos e de moléculas 
numa rede cristalina de uma substância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) Sistemas oscilantes e massa-mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, os estudos de movimentos 
vibratórios e oscilantes servem de base para muitos 
campos da Física. 
Quando há a inclusão de forças dissipativas 
nesse estudo, chamaremos de força de amortecimento, 
importante para descrever o funcionamento da 
suspensão de um automóvel. 
Também quando há a necessidade de se 
acoplar uma força periódica externa ao sistema, para 
mantê-lo forçado, onde situações da chamada 
ressonância aparecerão, de importante aplicação em 
diferentes setores da física. 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
2 
 Oscilações livres: O movimento Harmônico 
simples - MHS 
 
Quando submetemos um corpo a forças de tração, 
compressão ou torção, ele sofre deformação. 
Cessando a aplicação, o corpo pode ou não 
retornar à sua forma original, retomando as suas 
dimensões ou formas iniciais ou permanecer 
deformado. 
A propriedade que determina como um corpo 
retorna às suas condições iniciais depois da aplicação 
da força é denominada de elasticidade. 
Tracionando-se ou comprimindo-se certa mola 
helicoidal, esta irá se deformar em relação à seu 
comprimento inicial L0, de uma deformação x e 
apresentando-se um comprimento final L. 
0 ( )L L x t
 
Figura 1 - Variação do comprimento de uma 
mola em função da deformação x(t). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A intensidade da força aplicada na mola é 
proporcional à deformação observada x(t), dentro de 
um certo limite elástico. Essa propriedade é traduzida 
pela equação: 
F k x
 
 Conhecida como Lei de Hooke. 
 A constante de proporcionalidade k é 
chamada de constante elástica da mola e sua unidade 
no sistema internacional é o N/m (Newton por metro). 
 O gráfico de F versus x é uma reta que passa 
pela origem, com inclinação k. 
 No caso de um bloco de massa m suspenso 
por uma mola, quando em equilíbrio, a força peso P é 
igual à força elástica –kx, a uma deformação que 
chamaremos de : 
P k
 
 Se houver uma pequena deformação xp da 
mola em torno dessa posição de equilíbrio: 
0L L
 
A nova deformação da mola oscilará entre um 
máximo e um mínimo desse valor: 
0 px t L L x
 
Ou seja, 
px t x
 
A segunda lei de Newton ficará: 
2
2
d x
m k x P k
dt
 
2
2
d x
m k x
dt
 
2
2
0
d x k
x
dt m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situação similar ocorrerá quando tivermos 
um bloco conectado à mola na posição horizontal, 
desprezando o atrito entre o solo e o bloco. 
 Observa-se que, uma vez abandonado o 
bloco de massa m a partir de uma amplitude xm, a 
aceleração será máxima para a esquerda, a velocidade 
nula. Quando passar pela posição de equilíbrio, 
situada em x = 0, sua velocidade será máxima para a 
esquerda e aceleração nula. Ao chegar em –xm, o 
bloco comprimiu o máximo a mola, possuirá 
velocidade 0 e aceleração máxima para a direita. Ao 
passar novamente na posição de equilíbrio em x = 0, 
sua velocidade será máxima para a direita e sua 
aceleração nula. Assim o movimento se repete num 
período T, com uma freqüência f e se relacionando 
por: 
1
T
f
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
3 
Figura 2 – Variação da posição, velocidade 
e aceleração num MHS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Período: Intervalo de tempo de uma 
oscilação ou um ciclo. 
 Unidade: Segundo (s). 
 Freqüência: Número de oscilações por 
unidade de tempo: 
n
f
t
 
 Unidade: Hertz: 1 Hz= 1/s 
Rotações por minuto: 1rpm =(1/60)Hz 
 A dimensão de 
k
m
 é de 1/s
2
 e esse termo 
aparece na equação de movimento do MHS: 
2
2
0
d x k
x
dt m
 
 Para resolvermos essa equação, utilizamos a 
teoria das equações diferenciais. Assim, podemos ter 
como solução: 
cosmx t x t
 
Ou 
mx t x sen t
 
 Aqui: 
 Fase: , : Constante que depende das 
condições iniciais do problema. 
 Unidade: Radiano: rad. 
 Freqüência angular : Constante que 
dependerá da constante elástica da mola e da massa do 
oscilador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que para x(t) ser solução da equação 
diferencial que representa o movimento do MHS, 
deve satisfazê-la. 
Assim, precisamos encontrar as derivadas 
primeira e segunda de x(t). Escolhendo: 
cosmx t x t
 
m
d
x t x sen t
dt
 
2
2
2
cosm
d
x t x t
dt
 
ou 
2
2
2
d
x t x t
dt
 
 Assim: 
2
2
2
0 0
d x k k
x x x
dt m m
 
k
m
2
2 f
T
 
 Observe que: 
 Posição do oscilador: 
cosmx t x t
 
 Unidade: metro (m). 
 xm: máxima amplitude. 
 Velocidade instantânea: 
m
dx
v t v t x sen t
dt
 
 Velocidade máxima: 
m mv x
 
 Unidade: metro por segundo: (m/s). 
 aceleração instantânea: 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
4 
2
2
2
( ) ( ) cosm
dv d x
a t a t x t
dt dt
 
 Aceleração máxima: 
2
m m m ma x a v
 
 
 Unidade:metro por segundo ao 
quadrado: (m/s
2
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Condições iniciais: 
As condições iniciais do problema de oscilação 
são fundamentais para se conhecer a solução do 
problema. São dadas por: 
 Posição inicial: 
00x t x
 
 Velocidade inicial: 
00v t v
 
 Assim, se aplicarmos as condições iniciais na 
equação: 
cosmx t x t
 
 Teremos: 
0
0
cosm
m
x x
x sen v
 
 Resolvendo o sistema, acharemos: 
2
2 0
0m
v
x x
 
(Amplitude máxima) 
0
0
v
arctg
x
 
(Constante de fase) 
Se aplicarmos as condições iniciais na 
equação: 
mx t x sen t
 
 Teremos: 
cosm
dx
v t v t x t
dt
 
2
2
2 m
d x
a t a t x sen t
dt
 
0
0cos
m
m
x sen x
x v
 
 Resolvendo o sistema, acharemos: 
2
2 0
0m
v
x x
 
(Amplitude máxima) 
0
0
x
arctg
v
 
(Constante de fase) 
 
 
 
 
 Gráficos (t, x(t)); (t, v(t)) e (t, a(t)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
5 
 Oscilador Harmônico e Movimento 
circular uniforme: 
 
Podemos associar o Movimento Harmônico 
Simples ao movimento de uma partícula de massa m 
sobre uma circunferência com velocidade constante 
(em módulo). Observe que a projeção da posição x da 
partícula sobre o eixo x é a posição x(t) do MHS e: 
t
 
 
cosmx t x
 
 
my t x sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Relação entre movimento circular 
uniforme e MHS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
6 
 
 
 
 A Energia no Movimento Harmônico 
Simples 
Conforme ocorre o movimento Harmônico 
Simples, há uma transformação constante da energia 
potencial elástica da mola (U) em energia cinética da 
massa (K). Lembrando que: 
2
2
k x
U
 
 
2
2
m v
K
 
 
 A energia mecânica (E) é dada por: 
2 2
2 2
k x m v
E U K E
 
 Se substituirmos: 
cosmx t x t
e
mv t x sen t
 
2 2
cos
2 2
m mk x t m x sen t
E
Lembrando que:
2k k m
m
 
Teremos: 
2
2
mk xE
ou 2 2
2
mm xE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Relação entre as energias no MHS, 
energias em função do tempo e da posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Associação de molas 
Pode-se encontrar as molas associadas da 
seguinte maneira: 
 
 Série (a). 
 Paralelo (b). 
 
Figura 5 – Associação de molas em série (a) 
e paralelo (b). 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2x x x
 
1 2x x
 
 
1 2
F F F
k k k
 
1 2k k k
 
 
1 2
1 1 1 1
s nk k k k

 
1 2p nk k k k
 
 
 
 
 
 Períodos 
1 2
1 2 1 2
2 ; 2
A A
s p
k k m m
T T
k k k k
 
 Pêndulo simples 
 
Pêndulo simples é um instrumento ou uma 
montagem que consiste em um objeto oscilando em 
torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos 
alternados em torno da posição central, chamada 
posição de equilíbrio. É muito utilizado em estudos da 
força peso e do movimento oscilatório. 
A descoberta da periodicidade do movimento 
pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de 
um pêndulo simples envolve basicamente uma 
grandeza chamada período (simbolizada por T): é o 
intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer 
toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição 
original de lançamento, uma vez que o movimento 
pendular é periódico). 
 
Figura 5 – Parâmetros necessários para medir a 
gravidade g utilizando um pêndulo simples de massa 
m: ângulo inicial de lançamento, (t): ângulo num 
instante t; l: comprimento do pêndulo. 
 
 
 
 
 
 l 
(t)
Pcos
h
s 
 Psen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
8 
 
2
2
d s
F ma Psen m mgsen
dt
 
2 2
2 2
d l d
m mgsen l gsen
dt dt
 
2
2
d g
sen
dt l
 
2
2
0
d g
sen
dt l
 
3 5
3! 5!
sen 
 
2
2
0,1 0
d g
sen
dt l

 
 
2
2
2
0
g d
l dt
 
0 cost t
 
2 g
T l
 
2
l
T
g
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apêndice 
 
 Discussão - Pêndulo simples: Caso de qualquer 
ângulo inicial 
Analisando com a conservação da energia 
mecânica: 
21
2
m c pE E E mv mgh
 
(para os pontos = 0 e = 0°) 
Como: 
0cos cosh l l
 e 
( )ds d l d
v l
dt dt dt
 
Substituindo, teremos: 
 
 2
0
1
cos cos
2
d
m l mgl
dt
 
 
2
2
0
2
0
1
cos cos
2
2 cos cos
d
ml mgl
dt
d g
dt l
 
02 cos cos
d g
dt l
 {1} 
0( ) 2 cos cos
g
t d
l
 
 Se invertermos a relação {1}, teremos: 
0
1 1
2 cos cos
dt l
d g
 
0
1 1
2 cos cos
l
t d
g
 
O período será dado, portanto, por: 
4
T
t
 
0
0 0
4 1
2 cos cos
l
T d
g
 
Como 
2 2
22 2 1
2 2
1 cos 2
cos 1
2 2
sen
sen
 
021
0 2 2
cos 1 sen
 
0
02 21 1
0
2 2 2 2
4 1
2 1 1
l
T d
g sen sen
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
9 
0
02 20
2 2
4 1
2 1
2
l
T d
g
sen sen
 
0
02 2
0 2 2
1
4
l
T d
g sen sen
 
Fazendo a mudança de variável: 
0 01 1
2 2 2 2 2 2
cos cossen sen sen d sen d
 
0
2
2
cos
cos
sen
d d
 
Observe que: 
0
2
2
arcs n
sen
e
sen
. Assim, quando 
0 2
0 0
 
Substituindo, teremos: 
0 0
0 0
2
2 2 2
20 2 2
1
4 cos
cos
senl
T d
g sen sen sen
 
0 0
0
2
2
20 2
1
4 cos
cos1
senl
T d
g sen sen
 
0 0
0
2
220
1
4 cos
coscos
senl
T d
g sen
 
0
20
1
4
cos
l
T d
g
 
0
2
0 2
1
4
1
l
T d
g sen
 
0
022
0 2
4
1
l d
T
g sen sen
 
2
02 2
0 2
4
1
l d
T
g sen sen
 
Como: 
2
2 2
0 1
d
K k
k sen
 
2
0
0
2
2
2 2
0 2
1
d
K k sen
sen sen
 
2
2 2 2
0
( , )
1
d
K k F k
k sen
 
Série: 
2 2 2
2 4 61 1 3 1 3 51
2 2 2 4 2 4 6
K k k k k 
 
0 0 0 0
2 2 2
2 4 6
2 2 2 2
1 1 3 1 3 5
1
2 2 2 4 2 4 6
K sen sen sen sen 
 
 Abramowitz & Stegun – Handbook of 
Mathematical functions – 9a Ed..17, pg. 589. 
 
02
2
4
l
T K k sen
g
 
A expansão em série para a integral elíptica de 
primeira espécie K(z) fica: 
2 3 49 25 1225
( ) 1
2 4 64 256 16384
k k k k
K k 
 
0 0 0 0
2 2 2
2 4 6
2 2 2 2
1 1 3 1 3 5
1
2 2 2 4 2 4 6
K sen sen sen sen 
 
2 2
0
( , )
1
d
F
sen sen
 
( , ) ( )
2
F k K k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
10 
 Pêndulo físico 
 
Pêndulo físico é chamado de pêndulo real, 
pois não tem uma distribuição uniforme de massa. 
Para pequenas amplitudes, o cálculo do 
período é : 
2
I
T
m g h
 
, onde: 
 I: momento de inércia, 
 m: massa do pêndulo, 
 g: é o valor da aceleração da gravidade e 
 h: é a distância do ponto de pivô onde o 
pêndulo está fixo até seu centro de massa. 
Se o ponto de apoio O (de pivô) estiver em 
seu centro de massa C, não haverá oscilação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos 
 
1. Imagine que você está numa 
embarcação que oscila na água para cima e para 
baixo. O deslocamento vertical y da embarcação é: 
1,2 cos
2 6
t
y m
s
 
 (a) Determinar a amplitude, a freqüência 
angular, a constante de fase, a freqüência e o período 
do movimento. 
 (b) Qual a posição da embarcação no instante 
t = 1 s? 
 (c) Determinar a velocidade e a aceleração 
iniciais da embarcação. 
 (d) Determinar a posição, a velocidade e a 
aceleração iniciais da embarcação. 
 
 Solução: 
 
 (a) 
1,2 cos cos
2 6
m
t
y m y t
s
 
 ym = 1.2m; 1
2
rad
s
;
6
rad
 
2
4T T s
 
 (b) 
1
1 1,2 cos
2 6
y t m
s
 
1 1,2 cos 1.024y t m
 
1 1.2 cos 1.024 0.624y t m m
 
 (c) 
0.6
2 6
y
dy t
v sen
dt
 
0.3cos
2 6
y
dv t
a
dt
 
 (d) 
0
0 1,2 cos
2 6
y t m
s
 
0 1.04y m
 
0
0 0.6
2 6
yv t sen
s
 
0
0.3 my sv
 
0
0 0.3 cos
2 6
ya t
s
 
2
0
0.260 my sa
 
2. Um corpo de 0.8 kg está preso a uma 
certa mola de constante elástica k = 400 N/m. 
Calcular a freqüência e o período do movimento do 
corpo quando for ligeiramente deslocado da posição 
de equilíbrio. 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
11 
 
 Solução: 
 
400
22.36
0.8
rad
s
k
m
2
0.28T T s
 
1
3.56f f Hz
T
 
 
3. Um corpo oscila com freqüência 
angular de 8 rad/s. No instante t = 0s, o corpo está na 
posição x0 = 4 cm, com a velocidade inicial v0=-25 
cm/s. 
(a) Determinar a amplitude do movimento. 
(b) Dar x em função do tempo. 
 
 Solução: 
 
(a) 2
2 0
0m
v
x x
 
(Amplitude máxima) 
 x0 = 4 cm =0.04m 
 v0 = -25 cm/s = 0.25 m/s 
 = 8 rad/s 
2
2 0.250.04 0.0506
8
mx m
0
0
0.66
v
arctg rad
x 
(b)
 
cosmx t x t
 
5.06 cos 8 0.66x t t cm
 
 
4. Um corpo de 2kg está preso a uma mola. 
A constante de força da mola é de k = 196 N/m. O 
corpo, inicialmente, está a 5 cm de distância da 
posição de equilíbrio e é solto no instante t = 0. 
(a) Calcular a freqüência angular , a 
freqüência f e o período T do movimento. 
(b) Dar a equação de x em função do tempo t. 
 
 
 Solução: 
 
(a) 
196
9.90
2
rad
s
k
m
2
0.633T T s
 
1
1.58f f Hz
T
 
(b) x0 = 5 cm =0.05m 
 v0 = 0 m/s 
 = 9.90 rad/s 
2
2 00.05 0.05
9.90
mx m
0
0
0
v
arctg rad
x
 
5 cos 9.90x t t cm 
 
5. Seja um corpo preso a uma mola com o 
movimento descrito pela equação: 
5 cos 9.90x t t cm
 
(a) Qual a velocidade máxima do corpo? 
(b) Em que instante o corpo tem esta 
velocidade máxima? 
(c) Qual a aceleração máxima do corpo? 
(d) Em que instante o corpo tem essa 
aceleração máxima? 
 
 
 Solução: 
 
(a) 
5 cos 9.90
dx d
v t
dt dt 
mv t x sen t
 
m mv x 
9.9 0.05 495 cmm sv 
 
(b) 
3 5
1 , ,
2 2 2
sen t t 
 
0.159
2 2 2 9.90
t t s
 (c)
 
m
dv d
a x sen t
dt dt 
2 cosma t x t
 
2
m ma x 
2
29.9 0.05 490 cmm sa 
(d) t = 0s. 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
12 
6. Um corpo preso a uma mola, de massa 
3kg, oscila com amplitude 4 cm e período 2s. 
(a) Qual a energia mecânica total do sistema? 
(b) Que velocidade máxima tem o corpo? 
(c) Em que posição x1 a velocidade é metade 
da velocidade máxima? 
 
 Solução: 
 
(a) 
2
T
 
2
m
T
k 
2
2
4
m
k
T
 
2
2
3
4
2
k
 
29.6 N
m
k
 
2
2
mk xE
 
229.6 0.04
2
E
 
22.37 10E J
 
(b) 2
2
0.126
2
m m
m s
m v E
E v
m
 
(c) 2 2
2 2
m v k x
E K U
 
max
2
2
2
2 2
v
m k x
E
 
x = 3.46 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Um corpo de 3 kg, pendurado numa certa 
mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é 
deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e 
solto para que oscile preso à mola. 
(a) Determinar a freqüência do movimento. 
(b) Determinar a freqüência se o corpo de 3 kg 
for substituído por um de 6 kg. 
 
 
 Solução: 
(a) 
0
0
184 N
m
m g
m g k y k
y 
2
f
 
1
1
1.25
2
k
f Hz
m
 
(b) 
2
1
0.884
2
k
f Hz
m
 
 
8. Calcular no exemplo anterior e determinar 
vmax. 
 Resposta 
 = 3.14 rad/s; vmax=0.126 m/s. 
 
9. Um corpo de 2 kg e massa oscila preso a 
uma mola de k = 40 N/m. Sua velocidade é 25 cm/s 
quando está na posição de equilíbrio. 
(a) Qual a energia total do sistema oscilante? 
(b) Qual a amplitude do movimento? 
 
 Resposta 
(a) 0.0625J. 
(b) 5.59 cm. 
 
10. Um corpo de 4 kg, pendurado numa 
mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é 
deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e 
solto para que oscile preso à mola. 
(a) Determine a freqüência do movimento. 
(b) Determine a freqüência se o corpo for 
substituído por outro de 8 kg. 
 
 
11. Uma plataforma oscila com freqüência de 
4 Hz e amplitude 7 cm, presa a uma mola vertical. 
Uma pequena conta é pousada na plataforma no exato 
momento em que ela se encontra na posição mais 
baixa. Admita que a conta seja leve de forma que não 
altere a oscilação. 
(a) A que distância da posição de equilíbrio 
da plataforma sobre a mola a conta perde contato com 
a plataforma? 
 (b) Qual a velocidade da conta no instante 
em que abandona a plataforma? 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
13 
 
 Resposta 
(a) 1.55cm. 
(b) 1.72 m/s. 
 
12. O corpo de 3 kg do exemplo 
anterior estica16 cm a mola quando pendurado na 
vertical e em equilíbrio. A mola é então alongada 
outros 5 cm em relação à posição de equilíbrio e o 
sistema é solto para oscilar livremente. Calcular a 
energia total e a energia potencial da mola quando o 
corpo está na posição de deslocamento máximo. 
 
 Resposta 
E = 0.23 J. 
1.70 J. 
 
13. Calcular o período de oscilação de 
um pêndulo simples com 1 m de comprimento. 
 
 Resposta 
T = 2.01 s. 
 
14. Um pêndulo simples com o 
comprimento de 1 m está num vagão que se desloca 
com aceleração a0 = 3m/s
2
. Calcular a aceleração g´ e 
o período T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta 
g´= 10.3 m/s
2
 e T = 1.96s. 
 
15. Um relógio de pêndulo é calibrado para 
manter o período exato de oscilação com um ângulo 
= 10
0
. Se a amplitude das oscilações diminuir e ficar 
muito pequena, o relógio irá adiantar ou atrasar? Qual 
o valor do atraso ou do adiantamento em um dia? 
 
 Resposta 
Adianta. 2.74 min por dia. 
 
16. Uma barra homogênea de massa M 
e comprimento L está suspensa por uma das 
extremidades. 
(a) Calcular o período da oscilação quando 
os deslocamentos angulares forem pequenos. 
(b) Calcular o período de oscilação se o 
ponto de suspensão P estiver à distância x do centro 
de massa. 
 
 
 Resposta 
(a) 
2
2
3
l
T
g 
(b) 
2 21
122
l x
T
x g 
 
17. Qual o período de oscilação, com 
deslocamentos angulares pequenos, de uma barra de 
um metro suspensa por uma de suas extremidades? 
 
 Resposta 
T = 1.64 s. 
 
18. Mostrar que, quando x = l/6, o período é 
igual ao da oscilação quando x = l/2. 
 
19. Determinar o valor de x, no 
exemplo 16, para o qual o período é um mínimo. 
 
 
 Resposta 
12
l
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
14 
 Beer Johnston – Capítulo 19 
 
19.1 Um ponto material desloca-se em 
movimento harmônico simples com aceleração 
máxima de 3,00 m/s
2
 e sua máxima velocidade, 150 
mm/s. Determine a amplitude e a freqüência do 
movimento. 
 
19.2 Determine a máxima velocidade e a 
máxima aceleração do um ponto material que se 
move em movimento harmônico simples com 
amplitude de 150 mm e período de 0.90s. 
 
19.3 O cursor está preso à mola ilustrada na 
figura e pode deslizar sem atrito na barra horizontal. 
Se o cursor for afastado 0.102 m de sua posição de 
equilíbrio e liberado, determinar o período, a 
velocidade máxima e a aceleração máxima do 
movimento resultante. A massa vale 2.27 kg e a 
constante da mola, 525 N/m. 
 A 
 
 
 
 
19.4 Um cursor de 1,36 kg está preso a uma 
mola de constante 700 N/m e poda deslizar sem atrito 
ao longo de uma haste horizontal. O cursor 
inicialmente em repouso receba um golpe, adquirindo 
uma velocidade de 1.27 m/s. Determine a amplitude e 
a máxima aceleração do cursor durante o movimento 
subseqüente. 
 
19.5 Um motor de velocidade variável está 
rigidamente preso à viga BC. O motor está 
ligeiramente desbalanceado e faz a viga vibrar com 
freqüência angular igual à velocidade do motor. 
Quando a velocidade do motor é menor que 
450 rpm ou mais que 900 rpm, observa-se que um 
pequeno objeto colocado em A permanece em contato 
com a viga. Para velocidades entra 450 e 900 rpm o 
objeto "dança" e realmente perde o contato com a 
barra. Determine a amplitude do movimento de A 
quando a velocidade do motor é: 
 (a) 450 rpm, (b) 900 rpm. 
 A 
 
 
 
 
 
19-6. Coloca-se um pacote B sobra uma 
mesa oscilante, como indica a figura. A mesa se 
move horizontalmente em movimento harmônico 
simples com freqüência de 3 Hz. Sabendo que o 
coeficiente de atrito estático pacote-mesa é = 0.40, 
determine a máxima amplitude do pacote para que ele 
não escorregue da mesma. 
 
 
 
19.7 O cursor de 3.00 kg repousa sobre, 
mas não está preso a, a mola Ilustrada. O cursor é 
pressionado 0.050 m e liberado. Se o movimento que 
se segue é harmônico, determine 
(a) o valor máximo permissível da 
constante k da mola 
(b) a posição, a velocidade e a aceleração 
do cursor 0.15 s após ele ter sido solto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.8 Um cursor de 4.00 kg está preso a uma 
mola de constante k = 800N/m como ilustrado. Se a 
ele é dado um deslocamento de 40 mm para baixo de 
sua posição de equilíbrio, determine 
(a) o tempo necessário para o cursor 
mover-se 60 mm para cima e 
(b) a sua aceleração correspondentes. 
 
19.9 Um cursor de 1.36 kg está ligado a 
uma mola da constante k = 876 N/m como ilustrado. 
Se deslocarmos o cursor 63.5 mm para baixo da sua 
posição de equilíbrio, determine 
(a) o tempo gasto pelo cursor para ele se 
mover 50.8 mm para cima 
(b) suas correspondentes velocidade e 
aceleração. 
 
19.10 No Problema 19.9, determine a 
posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.20s 
após sua liberação. 
 
19.11 e 19.12 Sustenta-se um bloco por 
meio de molas, como indicam as figuras. Se 
movermos o bloco verticalmente para baixo de sua 
posição de equilíbrio e então o soltarmos, determine: 
(a) o período e a freqüência do movimento 
e 
(b) a velocidade e a aceleração máxima 
atingidas pelo bloco para uma amplitude de 0,0318 m. 
 
 
 
 
 2.63 kN/m 2.63 kN/m 
 
 
 
 1.75 kN/m 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
15 
19.13 e 19.14 O bloco mostrado na figura 
foi deslocado verticalmente para cima da posição de 
equilíbrio, e, então, liberado. Determine 
(a) o período e a freqüência do movimento 
adquirido pelo bloco e 
 (b) a velocidade e a aceleração máximas 
para um movimento com amplitude de 25 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.15 O período de vibração do sistema 
indicado na figura é de 0.40s. Com a remoção do 
cilindro B, o período se torna igual a 0.30 s. 
Determine: 
(a) a massa do cilindro 
(b) a constante elástica da mola. 
 
19.16 O período de vibração do sistema 
indicado na figura é 1.5º s. Se substituirmos o cilindro 
B por outro de peso igual a 17.8 N, o período passará 
a ser de 1.6 8. Determinar 
(a) a massa do cilindro A e 
(b) a constante da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19.17 Uma bandeja de massa m, presa a três 
molas tem o período de vibração igual a 0.50s. 
Colocando-se um bloco de 1.50 kg sobre a bandeja, o 
período se altera para 0.60 s. Sabendo que a amplitude 
das vibrações é pequena, determine a massa m da 
bandeja. 
 
 19.18 O período de vibração do sistema 
bandeja-molas é 0.75s. Removendo-se a mola central 
C, o período se altera para 0.90 s. Sabendo-se que a 
constante da mola C vale 100N/m, determinar a 
massa m da bandeja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.19 Um cursor de massa m desliza 
sem atrito numa barra horizontal e está presa 
uma mola AB de constante k. 
 (a) Se o comprimento da mola não 
deformada é exatamente ic mostre que o cursor 
não executa um movimento harmónico simples 
mesmo quando as osc são de pequena amplitude, 
(b) Se o comprimento da mola não 
deformadaé menor que /, mós; 
o movimento é harmónico simples para pequenas 
amplitudes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.20 A barra AB esta presa d uma 
articulação A e a duas molas, cada uma de constante 
elástica k. Quando h = 0,60 m, d = 0.25 m e m = 
25kg, determine o valor de k para que o período de 
pequenas oscilações seja 
(a) 1.0 s. 
(b) infinito. 
Despreze o peso da barra e suponha que 
cada mola pode atuar tanto na tração como na 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19.21 Se d = 0.40m, h = 0.60m e cada mola 
tem uma constante elástica k = 700 N/m, determine a 
massa m para a qual o período de oscilações pequenas 
é 
 (a) 0.50s 
 (b) infinito. 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
16 
 19.22 Denotando por est a deflexão estática 
de uma viga sob uma determinada carga, mostre que a 
freqüência de vibração da carga é: 
1
2 est
g
f
 
 
 
 
 
 
 
 
19.23 Desenvolvendo o integrando de: 
0
02 2
0 2 2
1
4
l
T d
g sen sen
 
Numa série de potências pares de sen e integrando, 
mostre que o período de um pêndulo simples de 
comprimento l pode ser dado aproximadamente pela 
fórmula: 
212 1
4 2
mlT sen
g
 
Onde m é a amplitude das oscilações. 
 
 19.24 Utilizando a fórmula dada anterior, 
determine a amplitude m para a qual o período de um 
pêndulo simples é 1% maior que o período do mesmo 
pêndulo para pequenas oscilações. 
 
 19.25 Utilizando os dados da tabela 19.1, 
determine o período de um pêndulo simples de 
750mm de comprimento 
 (a) para pequenas oscilações, 
 (b) para oscilações de amplitude m = 60
0
 e 
 (c) para oscilações de amplitude m = 90
0
. 
 
 19.26 Utilizando a tabela de integrais 
elípticas, determine o período de um pêndulo simples 
de comprimento l = 750 mm se a amplitude das 
oscilações é de m = 50
0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
17 
 
 Atividade 
 1a Parte: 
 
 Utilizando o programa Interactive Physics 
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do 
arquivo osh.ip 
 
 Fazer as simulações indicadas na tabela a 
seguir, seguindo o procedimento: 
 
i k 
(N/m) 
m 
(kg) 
v0 
(m/s) 
L 
(m) 
x0 
(m) 
T 
(s) 
f 
(Hz) 
0 
(rad/s) 
xm 
(m) 
 
(0) 
vm 
(m/s) 
am 
(m/s2) 
1 50 1 0 1,75 
2 50 1 0,50 1,75 
3 100 2 0 1,75 
4 100 2 1,00 1,50 
5 500 5 0 1,80 
6 10000 10 0,50 1,80 
7 
 
 
 
Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
 Procedimento para simulações: 
 
1. Escolha o botão do controle da constante 
elástica k da mola e coloque o valor indicado na 
simulação. 
2. Escolha o botão do controle da massa do 
bloco e coloque o valor indicado na simulação. 
3. Clique duas vezes no bloco e altere o valor 
da posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de 
acordo com a simulação i. 
4. Clique duas vezes com o botão esquerdo do 
mouse sobre a mola e confira os valores de L e L0 da 
mola. 
5. Faça a simulação e observe os gráficos x(t), 
v(t) e a(t). 
6. Confira os valores indicados como mostra a 
tabela que você completou em sala de aula. 
7. Faça as simulações usando o programa 
graphdpr, acessando oscilações mecânicas, e construa 
os gráficos, para cada simulação: 
 x(t) versus t. 
 v(t) versus t. 
 a(t) versus t. 
 Ec(t) versus t. 
 Ep(t) versus t. 
 EM(t) versus t. 
Faça o download em: 
www.claudio.sartori.nom.br 
8. Confira os dados calculados em classe com a 
execução do programa graphdpr. 
 
 
 Formulário – Oscilador Harmônico 
 
 Posição x(t): 
0( ) ( )mx t x sen t
 
Ou 
0( ) cos( )mx t x t
 
 Velocidade v(t): 
( )
dx
v t
dt
 
 Aceleração a(t): 
( )
dv
a t
dt
 
 Freqüência angular: 
m
k
0
 
 Freqüência: 
0
2
f
 
 Período: 
0
2 1
T
f
 
 Máxima amplitude xm: 
2
2 0
0
0
m
v
x x
 
(se 
0( ) ( )mx t x sen t
) 
 Fase : 
0
0
v
arctg
x
 
(se 
0( ) ( )mx t x sen t
) 
 
 
 2a Parte: 
 
 Utilizando o programa Interactive Physics 
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do 
arquivo osh2.ip e osh3.ip. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
 
 Problemas 
 
 
 
 
1. Para cada caso: 
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural. 
Encontre o período T e a freqüência f. 
Complete a tabela. 
Caso 
i 
ke 
(N/m) 
m 
(kg) 
v0 
(m/s) 
0 
(rad/s) 
x0 
(m) 
T 
(s) 
f 
(Hz) 
1 0,75 0 0,25 
2 0,75 0 0,25 
3 0,75 0 0,25 
 
(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso, 
onde x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s. 
Dados: 
k = 50N/m; m = 0,75 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dado o sistema da figura: 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
k = 300N/m; m = 0,75 kg e Fm = 50 N. 
(a) O valor da freqüência de ressonância: 
m
k
0
 
 (b) O valor da amplitude de deformação para 
cada valor da tabela dada: 
2
0
1
m
mx
 
 
(rad/s) 
xm 
(m) 
0.2 0 
0.4 0 
0.6 0 
0.8 0 
1.2 0 
1.8 0 
2.0 0 
4.0 0 
 
 (c) Faça um gráfico de 
m
m
x versus 
0
 
 (d) Faça os gráficos de x(t), v(t) e a(t) usando 
x0=0.25m e v0=0 para cada do item (c). 
 
3. Dado o pêndulo simples com 0 = 2
0
. 
 
(a) Faça o cálculo do período para: 
 l = 0,2 m e l = 0,3 m. 
 (b) Encontre a freqüência angular para os valores 
do comprimento do pendulo acima. 
 (c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MA - N1- Mecânica Aplicada – Oscilações Forçadas, Amortecidas e amortecidas forçadas 1 
 1 
 Procedimento para simulações: 
 
9. Escolha o botão do controle da constante elástica k 
da mola e coloque o valor indicado na simulação. 
10. Escolha o botão do controle da massa do bloco e 
coloque o valor indicado na simulação. 
11. Clique duas vezes no bloco e altere o valor da 
posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de acordo com a 
simulação i. 
12. Clique duas vezes com o botão esquerdo do mouse 
sobre a mola e confira os valores de L e L0 da mola. 
13. Faça a simulação e observe os gráficos x(t), v(t) e 
a(t). 
14. Confira os valores indicados como mostra a tabela 
que você completou em sala de aula. 
15. Faça as simulações usando o programa graphdpr, 
acessando oscilações mecânicas, e construa os gráficos, 
para cada simulação: 
 x(t) versus t. 
 v(t) versus t. 
 a(t) versus t. 
 Ec(t) versus t. 
 Ep(t) versus t. 
 EM(t) versus t. 
Faça o download em: 
www.claudio.sartori.nom.br 
16. Confira os dados calculados em classe com a 
execuçãodo programa graphdpr. 
17. Em oscilações livres forçadas há a possibilidade de 
construir os gráficos com: 
2
mF m r
 
 
 Formulário – Oscilador Harmônico e 
forçado 
 
 
 Posição x(t): 
0 0( ) ( ) cos( )Hx t Asen t B t
 
( )P mx t x sen t 
( ) ( ) ( )H Px t x t x t
0 0( ) ( ) cos( ) mx t Asen t B t x sen t
 
 Velocidade v(t): 
( )
dx
v t
dt
 
 Aceleração a(t): 
( )
dv
a t
dt
 
 Freqüência angular: 
m
k
0
 
 Freqüência: 
0
2
f
 
 Período: 
0
2 1
T
f
 
 Máxima amplitude xm: 
2
0
1
m
mx

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