Lista 01 - resumo funções

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Lista 01 de CDI 1
Func¸o˜es
1. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) y = x2
b) y =
1
x− 4
c) y =
√
4− x2
d) f(x) =
x+ a
x− a
e) f(x) =
1
1 +
√
x
f) f(x) =
√
x
x+ 1
2. Construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = (x− 2)2
b) y = x3
c) g(x) =
1
x− 2
d) y =
√
x2 − 4x+ 3
e) f(x) =
{
−x, se − 2 ≤ x ≤ 0
x, se 0 < x < 2
f) g(x) =

x3, se x ≤ 0
1, se 0 < x < 2
x2, se x ≥ 2
3. Para cada item, calcule f + g, f − g, f · g, f/g, f ◦ g e g ◦ f :
a) f(x) = 2x g(x) = x2 + 1
b) f(x) =
x
1 + x2
g(x) =
1
x
c) f(x) =
√
x+ 1 g(x) = x− 2
d) f(x) = 3x− 2 g(x) = |x|
4. Se f(x) = x2 − 2x+ 1, encontre uma func¸a˜o g(x) tal que (f/g)(x) = x− 1.
5. Se f(x) = x2, encontre duas func¸o˜es g(x) para as quais (f ◦ g)(x) = 4x2 − 12x+ 9.
1
6. Em cada um dos exerc´ıcios abaixo determine o domı´nio da func¸a˜o e determine sua func¸a˜o
inversa. Fazer os gra´ficos das func¸o˜es dadas e de sua inversa.
a) y = 3x+ 4
b) y =
1
x− a
c) y =
x+ a
x− a
d) y =
√
x− 1 , x ≥ 1
7. A func¸a˜o f(x) e´ do 1o grau. Escreva a func¸a˜o se:
f(−1) = 2 e f(2) = 3
8. Resolva as desigualdades abaixo:
a) |x− 7| < 5
b) |2x+ 3| ≤ 7
c) |3− x| > 2
d) |4− 5x| ≥ 3
e) |6 + 2x| < |4− x|
f) |x− 4| ≤ |2x− 6|
g) (2x− 1)(3− x) < 0
h)
2 + x
3− x > 4
9. Determine quais das seguintes func¸o˜es sa˜o pares ou ı´mpares:
a) f(x) = 3x4 − 2x2 + 1
b) f(s) = s2 + 2s+ 2
c) g(x) = |x|
d) f(x) =
x− 1
x+ 1
e) f(y) =
y3 − y
y2 + 1
f) g(t) = ln
(
1 + t
1− t
)
10. Demostre que se f e g sa˜o func¸o˜es ı´mpares, enta˜o (f + g) e (f − g) tambe´m sa˜o func¸o˜es
ı´mpares.
11. Demostre que se f e g sa˜o func¸o˜es ı´mpares, enta˜o f · g e f/g sa˜o func¸o˜es pares.
12. Mostre que a func¸a˜o 1
2
[f(x) + f(−x)] e´ par e que a func¸a˜o 1
2
[f(x)− f(−x)] e´ ı´mpar.
2
13. Se f(x) = 2x, mostrar que
f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2
f(x)
14. Determine y.
a) ln y = 2t+ 4
b) ln(y − 1) = x+ lnx
15. Mostre, usando o cosseno e o seno da soma, que:
a) cos(x) e´ func¸a˜o par;
b) sen(x) e´ func¸a˜o ı´mpar.
16. Seja f(α) = tanα. Verifique a igualdade: f(2α) =
2f(α)
1− [f(α)]2
17. Mostrar que:
a) 1 + tan2 α = sec2 α
b) 1 + cotan2 α = cosec2 α
18. Um dos valores de senx, cosx ou tanx e´ dado. Determine os outros dois valores nos intervalos
dados:
a) senx =
3
5
, x ∈
[pi
2
, pi
]
b) cosx =
1
3
, x ∈
[
−pi
2
, 0
]
c) tanx =
1
2
, x ∈
[
pi,
3pi
2
]
19. Usando triaˆngulos, demostre que cos
(pi
4
)
=
√
2
2
.
20. Usando triaˆngulos e a lei dos senos, demostre que sen
(pi
6
)
=
1
2
.
3