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CIV114 
Profª. Maiga Dias 
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Considerando novamente a área A situada no plano xy e o elemento 
de área da de coordenadas x e y, o momento de inércia da área A em 
relação ao eixo x e o momento de inércia de A em relação ao eixo y 
são definidos por: 
 
𝐼𝑥 = 𝑦² 𝑑𝐴
𝐴
 𝐼𝑦 = 𝑥² 𝑑𝐴
𝐴
 
 
 
Como agora temos o quadrado da 
distância pela área dA, as unidades do 
momento de inércia são mm4, cm4, 
m4. 
Figura 1 
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3 
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Nem sempre as figuras planas que iremos estudar terão as formas de 
áreas conhecidas, apresentadas nas tabelas anteriores. 
Quando estivermos trabalhando com figuras de áreas compostas 
devemos aplicar um teorema, chamado Teorema de Steiner, ou 
Teorema dos eixos paralelos, para a obtenção do momento de inércia 
desta área mais complexa. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 5 
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Considerando o momento de inércia Ix de uma área A em relação a um 
eixo x arbitrário. Se chamarmos y a distância de um elemento de área dA 
até esse eixo, sabemos que: 
𝐼𝑥 = 𝑦² 𝑑𝐴
𝐴
 
Vamos desenhar o eixo centroidal x’, ou seja, o eixo paralelo a x que passa 
pelo centróide C da área. A distância do elemento dA até esse eixo será 
chamada de y’, e teremos y=y’+d, onde d é a distância entre os dois eixos. 
Substituindo vamos encontrar: 
𝐼𝑥 = 𝑦² 𝑑𝐴
𝐴
= (𝑦′ + 𝑑)² 𝑑𝐴
𝐴
 
𝐼𝑥 = 𝑦′² 𝑑𝐴
𝐴
+ 2𝑑 𝑦′ 𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑑² 𝑑𝐴
𝐴
 
 
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Figura 3 
𝐼𝑥 = 𝑦′² 𝑑𝐴
𝐴
+ 2𝑑 𝑦′ 𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑑² 𝑑𝐴
𝐴
 
 
A primeira integral representa o momento de inércia Ix, da área em 
relação ao eixo centroidal x’. A segunda integral representa o 
momento estático Qx, da área em relação ao eixo x’. Esse momento 
estático é nulo, uma vez que o eixo x’ passa pelo centróide C. Por 
último temos a terceira integral, que é a área total A. Portanto temos: 
 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥′ + 𝐴𝑑² 
 
A mesma dedução é feita para o momento de inércia em relação ao 
eixo y. 
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Então, pelo teorema dos eixos paralelos temos: 
 
“O momento de inércia de uma superfície de área A em relação a um 
eixo AA’ é igual ao momento de inércia da mesma superfície em 
relação a um eixo BB’, que passa pelo seu centróide e é paralelo a AA’, 
mais o produto da área pelo quadrado da distância entre os eixos.” 
 
 
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Quando trabalhamos com áreas compostas generalizamos para os dois 
eixos x e y os momentos de inércia: 
 
 
 
 
A primeira parcela se refere ao momento de inércia da figura simples 
em relação ao seu próprio centróide (tabelas). A segunda, a área da 
figura simples multiplicada pelo quadrado da distância entre o 
centróide da figura simples e o centróide da figura composta. 
 
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𝐼𝑥= 𝐼𝑥𝑖 + 𝐴𝑖𝑑𝑦𝑖²
𝑖
 
𝐼𝑦= 𝐼𝑦𝑖 + 𝐴𝑖𝑑𝑥𝑖²
𝑖
 
Propriedade empregada 
no cálculo de flexão de 
vigas, flambagem de 
pilares, etc. 
O raio de giração de uma área A em relação aos eixos x e y é definido 
por: 
 
𝑟𝑥 =
𝐼𝑥
𝐴
 𝑟𝑦=
𝐼𝑦
𝐴
 
 
As unidades do raio de giração serão mm, cm, m. 
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Propriedade empregada 
no dimensionamento de 
pilares, entre outros. 
» BEER, Ferdinand Pierre; AMORIM, José Carlos (Rev.) Mecânica vetorial para 
engenheiros. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2006. 2 v 
 
» HIBBELER, R. C.; SANTOS, José Maria Campos dos (Rev.). Estática: mecânica 
para engenharia. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011 
 
 
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