Anotações sobre inteiros

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Anotac¸o˜es sobre inteiros
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
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Suma´rio
1 Nu´meros inteiros 3
1.1 Construc¸a˜o dos inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Relac¸a˜o de ordem em Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2
Cap´ıtulo 1
Nu´meros inteiros
Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons-
titu´ıdo apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es da
parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
1.1 Construc¸a˜o dos inteiros
O objetivo nesse texto e´ construir os nu´meros inteiros por meio dos nu´meros naturais
e mostrar que ele possui estrutura de anel comutativo com unidade.
m Definic¸a˜o 1. Definimos o conjunto E como E = N×N, E e´ definido como o produto
cartesiano de N com N.
m Definic¸a˜o 2. Definimos uma relac¸a˜o em E, da seguinte maneira, dados (a, b) e (c, d)
em E, dizemos que eles esta˜o relacionados pela relac¸a˜o ∼ sse a+ d = b+ c, isto e´
(a, b) ∼ (c, d)⇔ a+ d = b+ c
que podemos memorizar pela regra, a soma dos extremos e´ igual a soma dos meios, sendo
a e d extremos , b e c meios.
$ Corola´rio 1. Vale (a, a) ∼ (b, b) pois a+ b = a+ b.
3
CAPI´TULO 1. NU´MEROS INTEIROS 4
$ Corola´rio 2. (a, b) ∼ (a+ c, b+ c) pois a+ b+ c = b+ a+ c.
b Propriedade 1. A relac¸a˜o ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em E.
ê Demonstrac¸a˜o.
ˆ Vale a propriedade reflexiva (a, b) ∼ (a, b) pois a + b = b + a, pois a adic¸a˜o e´
comutativa em N.
ˆ Vale a propriedade sime´trica, se (a, b) ∼ (c, d) enta˜o (c, d) ∼ (a, b) pois da primeira
tem-se a+ d = b+ c que implica d+ a = c+ b e da´ı (c, d) ∼ (a, b) .
ˆ Vale a propriedade transitiva, (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f) enta˜o (a, b) ∼ (e, f). Da
primeira relac¸a˜o temos a+ d = b+ c e da segunda c+ f = d+ e, temos que mostrar
que a+f = b+e. Somando +e na primeira identidade tem-se a+(d+ e)︸ ︷︷ ︸
c+f
= b+c+e,
da´ı a+c+f = b+c+e, pela lei do corte segue a+f = b+e que implica (c, d) ∼ (e, f)
como quer´ıamos demonstrar. Vale enta˜o que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
m Definic¸a˜o 3. Simbolizamos por (a, b) a classe de equivaleˆncia de (a, b)
(a, b) = {(x, y) ∈ E | (x, y) ∼ (a, b)}.
O conjunto quociente de E por ∼ sera´ indicado por Z, assim
Z = E/ ∼= N×N/ ∼ .
Em (a, b) chamaremos a e b de coordenadas de (a, b).
1.1.1 Adic¸a˜o
m Definic¸a˜o 4 (Adic¸a˜o). Definimos a adic¸a˜o em Z por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).
b Propriedade 2. (Z,+) e´ um grupo abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. NU´MEROS INTEIROS 5
ˆ Existe elemento neutro, que e´ denotado por (0, 0) = ou 0′, pois
(a, b) + (0, 0) = (a+ 0, b+ 0) = (a, b).
ˆ A adic¸a˜o e´ comutativa
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) = (c+ a, d+ b) = (c, d) + (a, b).
ˆ A adic¸a˜o e´ associativa
((a, b) + (c, d)) + ((e, f)) = (a+ c, b+ d) + ((e, f)) = (a+ c+ e, b+ d+ f)
(a, b) + ((c, d) + ((e, f))) = (a, b) + (c+ e, d+ f) = (a+ c+ e, b+ d+ f).
ˆ Um elemento (a, b) esta´ na classe de (0, 0) sse a + 0 = b + 0, a = b, isto e´, as
coordenadas devem ser iguais, (a, a) esta´ na classe de (0, 0). Existe um elemento
inverso para (a, b), tal elemento e´ (b, a), pois
(a, b) + (b, a) = (a+ b, b+ a) = (0, 0)
a+ b = b+ a pois a adic¸a˜o e´ comutativa. Temos enta˜o um grupo comutativo (Z,+)
m Definic¸a˜o 5. Definimos (b, a) := −(a, b).
1.1.2 Multiplicac¸a˜o
m Definic¸a˜o 6 (Multiplicac¸a˜o). Definimos o produto de dois elementos de Z por
(a, b).(c, d) = (a.c+ b.d, a.d+ b.c).
Definindo assim uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o.
b Propriedade 3. A multiplicac¸a˜o e´ comutativa, possui elemento neutro, e´ associativa
e distributiva.
ê Demonstrac¸a˜o.
ˆ A multiplicac¸a˜o e´ comutativa, pois
(a, b)(c, d) = (a.c+ b.d, d.a+ b.c)
(c, d)(a, b) = (c.a+ d.b, d.a+ c.b).
CAPI´TULO 1. NU´MEROS INTEIROS 6
ˆ Possui elemento neutro (1, 0),pois
(a, b)(1, 0) = (a.1 + b.0, b.1 + a.0) = (a, b).
ˆ E´ distributiva
(a, b)((c, d) + (e, f)) = (a, b)(c+ e, d+ f) = (ac+ ae+ bd+ bf, ad+ af + bc+ be)
(a, b)(c, d) + (a, b)(e, f) = (ac+ b.d, a.d+ b.c) + (a.e+ b.f, a.f + b.e) =
= (a.c+ a.e+ b.d+ b.f, a.f + a.d+ b.c+ b.e)
sa˜o iguais logo o produto e´ distributivo.
$ Corola´rio 3. (a, b) (0, 0) = (0, 0) pois
(a, b) (0, 0) = (a.0 + b.0, a.0 + b.0) = (0, 0).
$ Corola´rio 4. Z e´ um anel comutativo com unidade.
1.2 Relac¸a˜o de ordem em Z.
m Definic¸a˜o 7 (Estrutura de ordem total). Uma relac¸a˜o ≤ num conjunto A e´ dita
definir uma estrutura de ordem total, quando valem as seguintes propriedades
ˆ Reflexividade .a ≤ a.
ˆ Antisime´trica. a ≤ b e b ≤ a implicam a = b.
ˆ Transitiva. Se a ≤ b e b ≤ c enta˜o a ≤ c.
ˆ Total. Vale a ≤ b ou b ≤ a.
m Definic¸a˜o 8. Uma estrutura de ordem e´ dita compat´ıvel com a adic¸a˜o se a ≤ b
implicar a+ c ≤ b+ c.
CAPI´TULO 1. NU´MEROS INTEIROS 7
m Definic¸a˜o 9 (Relac¸a˜o de ordem em Z). Dizemos que (a, b) e´ menor ou igual a` (c, d)
sse a+ d ≤ b+ c, nesse caso escrevemos
(a, b) ≤ (c, d).
(a, b) ≤ (c, d)⇔ a+ d ≤ b+ c.
Escrevemos tambe´m (a, b) ≤ (c, d) como (c, d) ≥ (a, b) e dizemos que (c, d) e´ maior ou
igual a` (a, b).
b Propriedade 4. A relac¸a˜o ≤ define em Z um estrutura de ordem total compat´ıvel
com a adic¸a˜o.
ê Demonstrac¸a˜o.
ˆ Vale a reflexividade (a, b) ≤ (a, b) pois a+ b ≤ a+ b vale.
ˆ Se (a, b) ≤ (c, d) e (c, d) ≤ (a, b) enta˜o (a, b) = (c, d) . A primeira e segunda
implicam a+ d ≤ b+ c e c+ b ≤ d+ a da´ı a+ d = b+ c e da´ı (a, b) = (c, d).
ˆ Vale a propriedade transitiva (a, b) ≤ (c, d) e (c, d) ≤ (e, f) enta˜o (a, b) ≤ (e, f). Da
primeira e da segunda tem-se a+d ≤ c+b e c+f ≤ e+d, somando as desigualdades
tem-se a + d + c + f ≤ c + b + e + d e por corte tem-se a + f ≤ b + e que implica
(a, b) ≤ (e, f) .
ˆ Vale (a, b) ≤ (c, d) ou (c, d) ≤ (a, b), pois para nu´meros naturais, por tricotomia
vale a+ d ≤ c+ b ou c+ b ≤ a+ d.
ˆ Falta mostrar que a relac¸a˜o e´ compat´ıvel com a adic¸a˜o. Se (a, b) ≤ (c, d) enta˜o
(a, b) + (e, f) ≤ (c, d) + (e, f). Da primeira propriedade tem-se a + d ≤ c + b
somando e + f em ambos lados segue a + d + e + f ≤ c + b + e + f que implica
(a+ e, b+ f) ≤ (c+ e, d+ f)
$ Corola´rio 5. Dizer que (x, y) > (0, 0) significa que x > y, enta˜o a primeira coordenada
e´ maior que a segunda.
b Propriedade 5. Se x < y e z > 0′ enta˜o x.z < y.z.
CAPI´TULO 1. NU´MEROS INTEIROS 8
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x = (a, b) , y = (c, d), z = (e, f) com x < y e z > 0′,
enta˜o tem-se
ˆ a+ d < c+ b de x < y.
ˆ f < e de z > 0′.
ˆ Temos que mostrar que xz < yz, isto e´, (ae+ bf, af + be) < (ce+ df, cf + de) que
e´ equivalente a`
ae+bf+cf+de < ce+df+af+be.
Vejamos a demonstrac¸a˜o
1. De a+ d < c+ b existe g ∈ N tal que a+ d+ g = b+ c.
2. De f < e existe h ∈ N tal que f + h = e.
3. multiplicando a primeira com e tem-se ae+ de+ ge = be+ ce.
4. multiplicando a primeira por f temos af + df + gf = bf + cf
5. somando a terceira e quarta segue ae+ de+ ge+ bf + cf = be+ ce+ af + df + gf
6. multiplicando a segunda por g, fg + hg = ge
7. substituindo a sexta na quinta
ae+ de+ fg+ hg + bf + cf = be+ ce+ af + df + gf
e aplicando a lei do corte segue
(ae+ de) + hg+ (bf + cf) = (be+ af) + (ce+ d)f
segue que ae+bf+cf+de < ce+df+af+be, que quer´ıamos mostrar.