fenomenos exercicios resolvidos MF_MF1_ProblemasResolvidos

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PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 
3º Ano do Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 2 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
Prefácio 
 
Os problemas que constituem o presente documento são o resultado de uma compilação 
de enunciados utilizados ao longo dos anos como elemento de base nas aulas práticas 
da disciplina de Mecânica dos Fluidos I. A sua origem é muito diversa e perde-se no 
tempo. Alguns deles são idênticos a outros que se encontram em livros de texto, outros 
foram criados para exames em anos letivos anteriores. 
 
Os alunos têm ao seu dispor um conjunto de problemas (e as suas soluções) 
organizados segundo os temas mais importantes do programa da disciplina, que se 
procurou que estivesse livre de gralhas e cobrisse uma variedade de problemas que lhes 
facilite o estudo e compreensão da disciplina. 
 
Existe um documento independente, com a resolução de exames de anos letivos 
anteriores e problemas selecionados de entre os que constituem o presente documento. 
Nenhum destes documentos dispensa a frequência das aulas teóricas e práticas e o 
estudo da matéria através da leitura dos livros recomendados, importante para a 
compreensão dos conceitos essenciais relacionados com esta disciplina. 
 
Esta edição, do ano letivo de 2012―2013, contém pequenas correções, relativamente ao 
ano anterior. 
 
 
O corpo docente da disciplina 
 
Professores José Manuel Laginha Mestre da Palma, Álvaro Henrique Rodrigues, José 
Alexandre Costa da Silva Lopes e Carlos Alberto Veiga Rodrigues 
 
Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 3 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
Propriedades dos fluidos 
Lei de Newton da viscosidade 
 
 
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 4 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 1 
Uma lâmina é arrastada por ação de uma força F no interior de um fluido, à distância de 
1 cm de uma parede sólida, a uma velocidade de 1,5 m s-1, produzindo-se um 
escoamento do tipo do de Couette, com gradiente longitudinal de pressões nulo. 
 
a) Esboce o perfil de velocidades a que o 
fluido fica sujeito e a distribuição da tensão 
de corte aplicada. 
b) Sendo a viscosidade dinâmica do fluido 
µ = 1,5 kg m-1s-1 e a distância que separa a 
placa da parede 1 cm, determine a tensão 
de corte aplicada ao fluido. 
 
PROBLEMA 2 
Num escoamento do tipo do de Couette com gradiente longitudinal de pressões nulo, 
determine a força necessária para fazer deslizar, a uma velocidade de 1 m/s, uma placa 
de 0,5 m2 de área sobre uma outra, fixa, sendo o espaço entre as duas, de espessura 
uniforme e igual a 1cm, preenchido por mercúrio. 
 
(A viscosidade do mercúrio, à pressão de 1 atm e a 20 °C de temperatura é de 1,5x10 -3 kg m-1 s-1, 
podendo ser considerado como um fluido Newtoniano) 
PROBLEMA 3 
Considere que os escoamentos são do tipo de Couette, com gradiente de pressões 
nulo na direção do escoamento. 
a) Qual a força necessária para deslocar uma chapa de aço (ρ = 7800 kg.m-3) de 
dimensões 2,5 m x 0,9 m e 4 mm de espessura, sobre uma película de óleo de 
densidade relativa d=0,933 e viscosidade µ = 0,26 kg m-1 s-1, de espessura 
0,4 mm, à velocidade de 15 cm.s-1? 
b) Se em lugar de óleo a película lubrificante fosse constituída por água 
(ρ = 1000 kg.m-3, µ =10-3 kg m-1s-1) qual deveria ser a sua espessura para que 
a tensão de corte aplicada ao fluido fosse a mesma que no caso anterior, para 
os mesmos 15 cm s-1 de velocidade de deslocamento? 
c) Qual a força necessária nas condições acima? 
PROBLEMA 4 
Um bloco de aço (ρ = 7800 kg m-3) de forma cilíndrica e com as dimensões indicadas 
na figura assenta numa superfície plana horizontal coberta por uma película de óleo de 
viscosidade µ =10 kg m-1 s-1. Uma força horizontal F = 80 N provoca o deslizamento do 
bloco à velocidade de 10 cm s-1 (escoamento Couette, gradiente de pressão nulo). 
 
a) Qual a espessura da película 
lubrificante sob o bloco. 
b) Admitindo que a espessura da película 
é inversamente proporcional à pressão 
reinante sob o bloco, a mesma força F 
aplicada a um outro bloco do mesmo 
material, mas com 200 mm de diâmetro 
 
 
e 5 mm de espessura (igual peso), produziria uma velocidade maior ou menor? 
Justifique. 
F
H
=
1 
c
m
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 5 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 5 
Um bloco de forma paralelepipédica, 
cujas dimensões da base são de 
20 cm × 20 cm e que pesa 25 kgf, 
desliza ao longo de uma superfície 
inclinada 30° em relação à horizontal 
sobre uma película de óleo 
(µ=2,15×10-3 kg m-1 s-1) com uma 
espessura de 2,5×10-5 m. 
Qual a velocidade terminal que 
animará o corpo (movimento 
uniforme) considerando linear o perfil 
de velocidades do escoamento 
produzido no óleo? 
 
PROBLEMA 6 
Um cilindro de 75 mm de diâmetro e 150 mm de geratriz gira no interior de outro, fixo, 
com um diâmetro de 75,05 mm e a mesma geratriz, estando o espaço anelar entre os 
dois preenchido com um óleo de viscosidade µ=8 Po(*). 
 
 
Qual a potência dissipada por atrito viscoso se o cilindro interior girar com uma 
velocidade periférica de 1 m s-1? Considere um escoamento de Couette. 
 
PROBLEMA 7 
Um veio de 25 mm de diâmetro pode deslocar-se através de um furo, também cilíndrico, 
conforme mostra a figura. O fluido lubrificante que preenche o intervalo entre o veio e a 
parede do furo (0,3 mm) tem uma viscosidade cinemática de 8×10-4 m2 s-1 e uma 
densidade de 0,91. Considere linear a variação de velocidade no seio do óleo. 
 
a) Qual a força necessária para empurrar o veio ao longo do furo com uma velocidade 
de 3 m s-1? 
b) Qual a potência que se dissiparia por atrito viscoso se o veio girasse com uma 
velocidade de 1500 r.p.m.? 
Considere em ambos os casos linear a variação da velocidade no seio do óleo. 
 
 
0.5 m
P
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 6 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 8 
A figura representa um viscosímetro constituído por um tambor de 50 mm de diâmetro 
encerrado numa cavidade também cilíndrica. O espaço entre as duas superfícies é 
preenchido pelo fluido cuja viscosidade se pretende medir, tendo a película uma 
espessura de 0,2 mm (esc. Couette). 
 
O motor M produz um binário 
constante de 0,05 N.m para qualquer 
velocidade entre 0 e 100 r.p.m. 
(velocidade máxima). A velocidade de 
rotação é medida por um transdutor 
montado na extremidade livre do veio, e 
do valor medido deduz-se a viscosidade 
do fluido. 
 
 
 
 
a) Calcule o mínimo valor da viscosidade que é possível medir deste modo. 
b) O método de medida poderá ser prejudicado por um eventual aquecimento do fluido 
dentro do dispositivo. Calculando a potência calorífica dissipada faça uma análise 
quantitativa do problema e diga em que casos (grandes ou pequenas viscosidades) 
ele poderá ter mais importância. 
PROBLEMA 9 
Um anel (ρ = 7800 kg m-3) desce, sob a ação do 
próprio peso, ao longo de um varão. Entre as 
superfícies do varão e do anel há uma folga radial 
∆r = 0,2 mm, preenchida por um fluido de 
viscosidade 0,01 kg.m-1.s-1 e massa volúmica 
igual a 800 kg m-3 que se escoa com um perfil de 
velocidades linear. 
 
a) Calcule a velocidade V de descida em 
movimento uniforme. 
b) Descreva, com base num movimento deste tipo, umprocesso prático de medição de 
viscosidades. 
 
 
500 mm
M
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 7 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 10 
A figura representa de forma simplificada um dispositivo de medição de viscosidades 
constituído por dois cilindros concêntricos em que um gira dentro do outro. 
Considerando os dados abaixo indicados e que a velocidade de descida é uniforme 
desde o início do movimento, calcule a viscosidade do fluido contido entre o cilindro 
exterior e o interior. 
 
 
 
 
d=1 cm ; D=20 cm ; M=50 gr ; h=15 cm ; e=250 µm ; V=5 mm/s 
PROBLEMA 11 
Um cone sólido de ângulo 2θ e raio de base r0 roda com uma velocidade angular ω0 no 
interior de uma sede cónica. O espaço entre a sede e o cone, de espessura constante h, 
está preenchido com um fluido de massa volúmica ρ e viscosidade µ. 
 
a) Desprezando o atrito entre a base 
do cone e o ar, calcule o binário 
resistente. 
b) O dispositivo pode ser utilizado 
como medidor de viscosidades. 
 
Faça uma estimativa do erro inerente ao 
facto de a resistência oposta pelo ar ao 
movimento de rotação não ser nula. 
M
e
h
D
M
V
d
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 8 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 12 
O dispositivo de cone e prato representado na 
figura é um dos aparelhos mais utilizados na 
medição de viscosidades. No espaço entre o prato 
fixo e o cone, girando a uma velocidade angular ω 
está contido o fluido de propriedades ρ e µ, que se 
pretende ensaiar. 
O operador pode controlar a velocidade de rotação 
e mede, por meio de um dispositivo apropriado, o 
binário resistente. 
Obtenha a expressão que, por este processo, 
permita quantificar a viscosidade do fluido. 
 
PROBLEMA 13 
No interior de um tubo escoa-se água (ρ e µ) sendo o perfil de velocidades, do tipo do 
representado na figura, dado pela expressão: 
 
V = b4m 




 D2
 4 - r
2 
 
onde b é uma constante, r a distância radial ao eixo da conduta e V a velocidade para um 
r qualquer. 
 
 
 
 
a) Qual a tensão de corte na parede 
e num ponto r = D/4? 
b) Se o perfil se mantiver ao longo de 
um comprimento L, qual a força de 
arrasto induzida pela água no 
tubo, na direção do escoamento? 
 
PROBLEMA 14 
A placa que desliza 
sobre a película de 
fluido, ver figura, tem 
uma massa m e uma 
superfície de contacto A. 
As propriedades do 
fluido são µ, viscosidade 
dinâmica e ρ, massa 
volúmica. Encontre a lei 
do movimento sob a 
forma V=f(t) e calcule a velocidade terminal que a placa atingirá 
PROBLEMA 15 
Considere o escoamento de dois fluidos Newtonianos, de massas volúmicas iguais, entre 
placas planas paralelas de dimensão “infinita”, em 
que a placa do meio se move com uma velocidade 
U. 
Sabendo que nas duas faces da placa móvel foi 
medida a mesma tensão de corte, encontre uma 
relação entre as viscosidades dos fluidos. 
2h
h
U
R
φ
ω
µ2 
µ1 
 
D 
r 
x 
Hidrostática 9 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidrostática 
 
 
Hidrostática 10 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 16 
Considerando os dados da figura seguinte (cotas, densidades, etc.), calcule o valor da 
pressão na esfera E, e indique o resultado nas seguintes unidades: 
 
Pa , mm Hg , kgf/cm2 , m.c.a., N/m2 
 
PROBLEMA 17 
O tubo manométrico representado, com 1 cm de diâmetro, encerra numa das 
extremidades 50 mg de ar a 15 °C ( ρar=287 J/kg/K ; ρágua=1000 kg m-3). 
 
a) Nas condições da figura determine o valor da 
pressão em P. 
b) Se no ponto P estivesse a ser aplicada a 
pressão atmosférica (105 Pa), qual seria o 
desnível h0 entre os dois meniscos? 
 
 
 
h=
10
0 
cm
50
 
cm
ar
água
P
Hidrostática 11 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 18 
Um recipiente cilíndrico com o diâmetro indicado, 
contendo 1 grama de ar, é mergulhado num tanque 
com água (ρ = 1000 kg m-3) até à profundidade de 10 
m, onde a temperatura é de 15 °C. O peso próprio do 
reservatório é desprezável e a tampa pode deslocar-
se livremente na direção axial. 
a) Qual o valor do comprimento L nessa posição? 
b) Que energia foi necessário despender para 
transportar o corpo da superfície até aquela profundidade, lentamente, supondo a 
compressão isotérmica, mantendo-se a temperatura nos 15 °C? 
PROBLEMA 19 
O manómetro representado na figura contém um fluido com uma massa 
 
volúmica ρ. O tubo inclinado faz um 
ângulo θ com a horizontal e os 
diâmetros do tubo e do depósito são 
respetivamente d e D. 
 
a) Qual deverá ser a distância entre 
linhas, ∆l, na escala, para que a 
leitura seja feita diretamente em N 
m-2? 
b) Quais os parâmetros de que depende a sensibilidade de um manómetro deste tipo, 
definida como ∆l/∆(∆p)? 
PROBLEMA 20 
O manómetro da figura contém 
dois líquidos não miscíveis de 
massas específicas ρ1=850 kg m
-3
 e 
ρ2=910 kg m
-3
, sendo o diâmetro dos 
reservatórios de ordem de grandeza 
muito superior ao do tubo que os 
une. 
a) Calcule a diferença de pressões 
verificada entre os pontos A e B. 
 
b) Vê algumas vantagens neste tipo de configuração de manómetro? Quais? 
 
Hidrostática 12 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 21 
O macaco hidráulico representado é acionado por uma bomba que aspira o fluido 
hidráulico (d=0,8) de um reservatório e eleva um prato cilíndrico de peso P2=30 kgf e 
área S2=250 cm2. 
a) Calcule a pressão à saída da bomba. capaz 
de produzir no prato um impulso útil de 2000 N. 
b) O corpo cilíndrico de peso P1 e área de 
8 cm2 desloca-se livremente e funciona como 
"segurança", abrindo o retorno R quando a 
pressão atingida é de molde a elevar a sua base 
à altura de 30 cm. Calcule P1 para que o 
impulso máximo do macaco seja limitado a 500 kgf. 
PROBLEMA 22 
A figura representa um corte de um amortecedor hidráulico constituído por uma câmara 
cilíndrica com óleo (ρ = 900 kg.m-3, µ = 0,01 kg.m-1s-1), de 200 mm de altura e 100 mm de 
diâmetro, com uma haste vertical de 20 mm de diâmetro. 
Um êmbolo com 30 mm de espessura 
divide a câmara em duas partes que 
comunicam entre si externamente por um 
tubo de diâmetro muito menor que o do 
amortecedor. A velocidade de 
deslocamento do êmbolo é pois muito 
pequena, podendo ser desprezada nos 
cálculos aqui necessários. 
 
a) Admitindo que a massa da haste e do 
êmbolo é de 5 kg, calcule a diferença 
de pressões pA-pB entre os pontos A 
e B, assinalados na figura, quando a 
haste está submetida a uma força 
axial F, de baixo para cima, com a 
intensidade de 100 N. 
 
 
 
b) Para medir a diferença de pressões pA-
pB utilizou-se o manómetro de mercúrio 
(ρ=13600 kg m-3) de tubo inclinado 
figurado, em que o diâmetro do tubo é 
muito menor que o da ampola do ramo 
vertical. 
Qual deverá ser o espaçamento entre 
divisões da escala para se obter uma 
leitura direta em kPa ? 
Hidrostática 13 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 23 
A figura representa 
esquematicamente um 
macaco hidráulico de 
acionamento manual, que 
eleva o prato cilíndrico 
representado em corte. 
O peso próprio do prato é 
de 250 N e o óleo no interior 
da prensa tem de massa 
volúmica ρ = 850 kg m-3 e 
viscosidade dinâmica µ = 0,01 
kg/ms. 
 
Escreva uma equação 
representativada relação 
entre a carga exterior P (em 
Newton) atuando no prato, a 
altura H (em metro) e a 
indicação do manómetro M 
(em Pa). 
 
 
 
 
PROBLEMA 24 
Dois êmbolos (massa volúmica ρe) encerram num recipiente com a forma 
representada na figura um fluido de massa específica ρf. 
 
a) Calcule a força F necessária para 
manter os dois êmbolos na 
posição indicada na figura. 
Considere h=H. 
b) Para uma força F constante, em 
que medida o ângulo θ afeta a 
posição dos êmbolos? 
 
 
Hidrostática 14 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 25 
A figura representa um limitador de pressão constituído por um tubo vertical de 60 mm 
de diâmetro, no interior do qual se aloja um êmbolo de aço (ρ=7800 kg m-3), com as 
dimensões figuradas. O limitador é utilizado numa instalação de bombagem de óleo 
(ρ=850 kg m-3) para impedir que a pressão p a jusante da bomba B exceda o valor 
pretendido. A limitação ocorre quando o êmbolo se eleva e abre a passagem R para o 
reservatório. 
Qual deverá ser a altura (H na figura) apropriada para que a limitação de pressão 
ocorra quando p= 110 kPa (pressão absoluta)? 
 
 
PROBLEMA 26 
Considere um reservatório com água 
(ρ=103 kg m3) como o representado na figura, 
dividido em duas partes unidas por oito parafusos 
que apertam as duas flanges. 
Desprezando o peso próprio do recipiente 
calcule o esforço a que está sujeito cada parafuso 
quando o reservatório está suspenso pelo topo e 
quando assente na base. 
Nesta última situação, se não houvesse 
parafusos, manter-se-iam unidas as duas partes? 
Justifique. 
 
 
Hidrostática 15 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 27 
O nível de gasolina (d=0,68) num depósito com 30 cm de profundidade é indicado 
através do sinal de um manómetro diferencial colocado com a tomada de pressão junto 
ao fundo. 
a) Se acidentalmente tiver entrado no depósito água (ρ=1000 kg m-3), formando uma 
camada de 2 cm de espessura, qual o erro percentual, em relação ao volume total do 
depósito, quando o indicador marcar "cheio"? 
b) A sensibilidade de um sistema indicador de nível como o sugerido pode caracterizar-
se pelo quociente entre as variações correspondentes da leitura do manómetro e do nível 
de combustível no depósito 
 
S = p
H
∂
∂
 
Exprima S em função da densidade da 
gasolina utilizada, e mostre em que medida 
a presença da água no fundo afeta a 
sensibilidade do sistema. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 28 
A figura representa uma cápsula para recolha de 
amostras de água do mar(d=1,035). A tampa 
pode rodar em torno de um eixo ao qual é 
aplicado um momento resistente por meio de 
uma mola regulável. 
Admitindo desprezável o peso da tampa, e 
supondo que o ar se encontra inicialmente à 
pressão patm=105 N m-2, qual a profundidade a 
que a amostra de água é recolhida se o momento 
resistente aplicado à mola for de 2×104 Nm? 
 
 
Hidrostática 16 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 29 
A figura representa um reservatório com a forma 
de um prisma quadrangular contendo três fluidos 
imiscíveis. 
Sabendo que o sensor A indica uma pressão 
relativa de 1,5 kPa e que pB=pC=patm, determine: 
a) As cotas dos meniscos B e C. 
b) A força hidrostática resultante exercida sobre 
uma das paredes verticais e o seu momento em 
relação à aresta da base. 
PROBLEMA 30 
Uma comporta retangular de largura B=10 m 
(normal ao plano da figura) separa duas zonas de 
um canal em que o desnível de água 
(ρ=1000 kg m-3) é ∆H=H1-H2. 
 
a) Esboce os diagramas de pressões dos 
dois lados da comporta, bem como o 
das pressões resultantes. 
b) Qual o valor da resultante das forças 
de pressão? 
 (patm=105 N/m2) 
 
PROBLEMA 31 
 
Tendo em atenção as condições da figura 
exprima em função das outras grandezas o valor de 
b necessário para que não haja escorregamento da 
parede (ρp) devido à ação da água (ρa), 
considerando-a simplesmente apoiada no 
pavimento. 
Em que condições poderá haver perigo de a 
parede tombar? 
(designe por µ o coeficiente de atrito 
parede/pavimento) 
 
PROBLEMA 32 
Ao ascender no reservatório da figura, a 
água (ρ=103 kg m-3) atinge um 
determinado nível H, acima do eixo da 
comporta, que fará com que esta abra 
automaticamente, rodando em torno do 
eixo. 
Calcule o valor de H, desprezando 
eventuais atritos no eixo de rotação e o 
peso próprio da comporta. 
 
B
C
A
2m
1,5m
1m
3m
 ar
(20°C)
 d=0,68
(gasolina)
 d=1,26
(glicerina)
z=0
Hidrostática 17 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 33 
Uma abertura circular na parede de um reservatório é fechada por um disco que 
simplesmente cabe na abertura e pode rodar em torno de um eixo que passa pelo seu 
eixo horizontal. 
 
 
a) Prove que se o nível de água 
(ρ=103 kg m-3) no reservatório 
estiver acima do topo da disco 
(situação da figura), o 
momento necessário para o 
manter na posição vertical é 
independente desse nível. 
b) Se o diâmetro do disco for de 1 m, qual o valor desse momento? 
 
PROBLEMA 34 
Desprezando os eventuais atritos 
calcule a partir de que altura de 
água (ρ=103 kg m-3) se verifica a 
abertura da comporta representada, 
obrigando à sua rotação no sentido 
dos ponteiros do relógio. 
(O peso da comporta é de 1 
tonelada, e a dimensão na direção 
normal ao plano da figura igual a 4 
m.) 
 
 
PROBLEMA 35 
A comporta da figura pesa 750 kg e tem o seu centro de gravidade a meio da distância 
L entre o eixo de rotação O e o bordo superior; tem forma retangular e a dimensão 
normal ao plano da figura é B. 
 
O fluido no reservatório é água 
(ρ=103 kg m-3). 
Encontre uma relação entre o nível da 
água, representado por h, e o ângulo da 
comporta com a horizontal, αααα, para que a 
comporta permaneça em equilíbrio. 
φφ φφ =
1 
m
α 
Hidrostática 18 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 36 
Uma conduta cilíndrica como a indicada 
retira água de um lago (ρ=103 kg m-3; 
patm=105 Pa). 
Se for fechada com uma tampa circular 
de 450 mm de diâmetro, inclinada a 45°, 
qual a força a que esta ficará sujeita? 
Caracterize convenientemente o ponto de 
aplicação da dita força. 
 
 
PROBLEMA 37 
A comporta triangular C, D, E, da figura é articulada em CD 
e pode ser aberta por uma força normal P, aplicada em E. 
O fluido do reservatório é óleo de densidade
 
dade d=0,8, estando o 
lado exterior da comporta 
em contacto com a 
atmosfera (patm=105 Pa). 
Determine a inten-
sidade e ponto de 
aplicação da resultante 
das forças de pressão 
sobre a comporta, bem 
como a intensidade da 
força P necessária para a 
abrir. 
 
Hidrostática 19 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 38 
No reservatório de água (ρ=103 kg m-3) representado a comporta C tem 2 m 
de largura (direção normal ao plano 
da figura) e está ligada por um 
sistema de articulações e roldanas a 
uma esfera de betão E, de 
densidade 2,4. 
 
a) Qual deverá ser o diâmetro 
mínimo da esfera para que a 
comporta se mantenha 
fechada? 
b) Repita o cálculo da alínea 
anterior mas considerando a 
esfera mergulhada na água. 
 
 
 
PROBLEMA 39 
Um corpo de forma prismática (visto de topo na figura) 
encontra-se imerso em 
água (ρ=1000 kg m-3 ; µ=10-3 kg/m/s) estando ligado ao 
fundo através de um suporte rígido (S). O peso do corpo 
é de 30 kgf e a sua dimensão na direção normal ao 
plano representado é de 200 mm. 
a) Localize o ponto de aplicaçãoda força que atua 
sobre a face A. 
b) Determine a solicitação a que está sujeito 
o suporte S. 
Hidrostática 20 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 40 
A figura representa um reservatório de forma cúbica dividido em duas partes 
por uma placa rígida na direção da 
sua diagonal. 
 
Caracterize a resultante das 
forças de pressão que atuam sobre 
a divisória (direção, sentido e 
intensidade) relativamente ao 
sistema de eixos da figura. 
Dados: H=h1=h2=2 m ; 
ρ1=1000 kg m-3 ; ρ2=800 kg m-3. 
 
 
PROBLEMA 41 
A figura representa um depósito de petróleo (d=0,85), aberto à atmosfera, onde existe 
uma comporta retangular de 1,5 m de altura e 1,1 m de largura. 
 
 
A comporta pesa 280 kg e pode rodar em 
torno do eixo horizontal B. No fundo do 
reservatório acumula-se também água doce 
(ρ=1000 kg m-3). 
 
a) Para a situação representada na figura, 
esboce o diagrama das pressões que 
atuam sobre a comporta. 
b) Calcule o binário resistente que deve ser 
aplicado à comporta em B para evitar a 
sua abertura. 
 
petróleo
água
30°
1.
2 
m
0.
9 
m
²h
ar
1.2 m
A
B
∆h
 
Hidrostática 21 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
36
0 
m
m
73
5 
m
m
H
E
PROBLEMA 42 
Uma campânula hemisférica é mantida no fundo do mar, cheia de ar (ρ=1,2 kg m-3) a 
uma pressão de 765 mm Hg. A 
pressão atmosférica à superfície é 
de 105 Pa e a densidade da água 
salgada 1,032. 
a) Considerando a indicação do 
manómetro de mercúrio 
(d=13,6) representado, qual a 
profundidade H a que se 
encontra a campânula? 
b) O acesso ao interior é feito 
através de uma comporta 
circular com 80 cm de 
diâmetro, podendo rodar em torno de um eixo horizontal E existente no topo 
superior. Qual a força mínima necessária para abrir a comporta? 
PROBLEMA 43 
 
 
O dique representado tem a forma de um 
quarto de círculo e um comprimento de 50 m, 
normal ao plano representado. 
Calcule as componentes horizontal e vertical 
da resultante das forças de pressão sobre o 
dique, e localize o respetivo centro de pressões. 
(ρf=1035 kg m-3 ; patm=105 Pa). 
PROBLEMA 44 
Uma comporta com a forma de um quarto de 
círculo retém água salgada (d=1,035) conforme 
mostrado esquematicamente na figura. 
Calcule a resultante das forças de pressão por 
unidade de comprimento e localize o centro de 
pressões. (patm=105 Pa) 
 
PROBLEMA 45 
Um cilindro (d=2,6) com 1 m de diâmetro e 
10 m de comprimento separa dois níveis de 
água conforme o mostrado na figura. 
Calcule as reações vertical e horizontal no 
ponto C (dlíquido=1). 
 
 
 
Hidrostática 22 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 46 
A figura representa uma comporta de forma 
cilíndrica, suscetível de rodar sem atrito em torno 
do ponto A, sustentando a água (ρ=1000 kg m-3) 
de um canal de secção retangular (4m x 2m). 
a) Faça uma representação gráfica da distribuição 
de pressões sobre a superfície da comporta. 
b) Determine o módulo da força de pressão 
exercida pela água sobre a comporta. 
c) Desprezando o peso próprio da comporta, 
determine o valor mínimo que deverá ter o peso, 
P, para a manter fechada. 
 
 
PROBLEMA 47 
Uma cuba hemisférica com um peso de 30 kN, cheia de água (ρ=103 kg m-3),
 
 
é apertada ao chão por meio de 12 
parafusos igualmente espaçados. 
 
a) Qual a força a que está sujeito cada 
um dos parafusos? 
b) Repita o cálculo considerando agora 
que na abertura é acoplado um tubo, 
também cheio de água, com 3 cm de 
diâmetro e 4 m de altura, conforme 
indica a figura. 
 (patm=105 Pa) 
 
 
 
PROBLEMA 48 
Uma esfera de 305 mm de raio e 173 kg de massa 
fecha um orifício situado no fundo de um tanque 
contendo água (H=914 mm; ρ=1000 kg m-3). 
a) Esboce o diagrama de distribuição de pressão na 
superfície da esfera. 
b) Calcule a resultante da distribuição de pressão em 
torno da superfície molhada da esfera. 
c) Calcule a força mínima necessária para remover a 
esfera do orifício, supondo que a força calculada na 
alínea a) vale 432 N e atua de baixo para cima. 
 
 
 
 
4m
H2O
A
P
2m
1m
R=4m
h
H
R=305 mm
F
Volume da
calote esférica:
 2piR2h/3
305 mm
Hidrostática 23 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 49 
O reservatório da figura é constituído por quatro partes: uma 
tampa semiesférica, um fundo plano circular e duas peças 
encurvadas que, unidas, formam o corpo cilíndrico de 1 m de 
altura. Está cheio de um líquido de densidade d=2,8, suspenso 
de um cabo, e comunica com a atmosfera através de um 
orifício (respiro) na parte superior. Considerando desprezável o 
peso do reservatório: 
 
a) Calcule o valor da pressão absoluta no fundo e a força que 
poderá ser lida no dinamómetro D. 
b) Qual o valor da força a que, devido à ação do líquido, estão 
sujeitos os parafusos que unem a tampa ao corpo do 
reservatório? E a força que atua sobre os parafusos que 
unem o fundo ao corpo? 
c) Calcule a intensidade e localize convenientemente a força 
que, ainda devido à ação do líquido, atua sobre cada uma 
das metades que constituem o corpo do reservatório. 
 
PROBLEMA 50 
O tanque cilíndrico representado na figura tem uma tampa hemisférica (superfície ABC), 
e contém propano nas fases líquida e gasosa, 50% de cada fase em volume. A pressão 
manométrica é igual a 8 bar. 
a) Represente a distribuição de pressão nas faces interior e exterior da 
superfície ABC. 
b) Calcule as resultantes, horizontal e 
vertical, das forças exercidas na superfície 
ABC. 
c) Comente a seguinte afirmação: “A força 
horizontal exercida na tampa ABC é 
totalmente independente da forma desta”. 
 
PROBLEMA 51 
Um bloco sólido, de material homogéneo, de 
massa específica ρ, flutua entre dois líquidos de 
massas específicas ρ1 e ρ2, como mostra a 
figura, verificando-se entre aquelas a seguinte 
relação: 
ρ1 < ρ < ρ2 
 
Encontre uma expressão que quantifique a altura b com que o bloco emerge do fluido 
inferior. 
 A 
2 m 
2 m 
Gás, ρ=19.5 kg/m3 
Líquido, ρ=496 kg/m3 
B 
C 
8 bar 
Equações fundamentais - formulação integral 24 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
Equações fundamentais - formulação integral 25 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações fundamentais 
Formulação integral 
 
 
Equações fundamentais - formulação integral 26 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 52 
Considere o escoamento, suposto ideal, conforme a representação esquemática da 
figura abaixo: 
 
 
 
 
Na extremidade do tubo (9) podem ser roscados três tipos de terminal, identificados 
como A, B e C. Nestas condições 
 
a) Em que zona da tubagem pode mais facilmente ser atingida a pressão de vapor? 
 Qual o tipo de terminal que mais favorece a ocorrência desse fenómeno? 
b) Supondo toda a parede da tubagem constituída pelo mesmo material, qual a zona 
mais sujeita à rotura? 
 Com qual dos de terminais seria mais provável que a rotura se verificasse? 
c) Os terminais são normalmente roscados na extremidade da tubagem. Se em vez 
desse tipo de fixação eles fossem simplesmente apoiados, analise a possibilidade de 
cada um se manter nessa posição, ou de ser "empurrado" na direção ou contra a 
direção do escoamento. 
 Sugestão: esboce os diagramas das pressões atuantes sobre cada terminal e 
analise qual a direçãoe sentido da sua resultante. 
d) Discuta a veracidade das afirmações seguintes: 
I - A altura h1 mede a pressão estática e tem sempre o mesmo valor 
independentemente do terminal que seja utilizado. 
II - A altura h2 é uma medida da pressão total do escoamento e é tanto 
maior quanto menor for a secção de saída do terminal montado na 
tubagem 
 
Equações fundamentais - formulação integral 27 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 53 
Considere um escoamento de água (ρ=103 kg m-3) num tubo vertical que integra um 
troço cónico como o que é representado na figura. 
Supondo que o perfil de velocidades numa qualquer secção transversal é 
 
 
plano, desprezando o atrito viscoso e tendo em atenção 
os seguintes dados 
 
H=2 m ; D1= 0,5 m ; D2=1 m ; m
.
 =200 kg/s 
 
a) Qual a diferença de pressão entre os extremos do 
convergente? 
b) Qual deveria ser o valor do diâmetro D1 para que 
as pressões fossem iguais à entrada e à saída do 
convergente? 
c) Obtenha expressões matemáticas para a variação 
da pressão e da velocidade na direção do 
escoamento. 
 Esboce um diagrama dessa evolução. 
PROBLEMA 54 
Um venturi é uma conduta convergente / divergente utilizada na medição de 
velocidades (caudais) em escoamentos. 
Uma vez que os diâmetros a montante e no 
estrangulamento são respetivamente D1 e 
D2=n*D1 em que n<1, sendo as pressões nessas 
secções p1 e p2 respetivamente, mostre que é 
suficiente medir ∆p=p1-p2 e conhecer a massa 
volúmica ρ do fluido para determinar a velocidade 
V do escoamento. 
 
 
PROBLEMA 55 
Ar a 20 °C (R ar = 287 J kg-1K-1) circula através de uma conduta como a figurada, sendo 
a pressão a montante do estrangulamento 6 bar. O fluido no reservatório é água (ρ=103 
kg/m3), e os diâmetros do tubo e da garganta são respetivamente 25 mm e 10 mm. 
a) Calcule qual o mínimo caudal de ar capaz de 
induzir escoamento no tubo vertical, 
provocando a pulverização da água no 
escoamento. 
b) De que modo a pressão do escoamento a 
montante do estrangulamento afeta o valor 
atrás pedido? 
Equações fundamentais - formulação integral 28 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 56 
Água (ρ=1000 kg m-3) escoa-se de um tanque, por efeito de sifão, conforme mostra a 
figura, indicando o tubo barométrico uma leitura de 8,8 m. 
 
a) Determine a máxima altura h a 
que é possível localizar a saída 
do tubo sem que ocorra a 
cavitação. 
 Nota: a pressão do vapor no 
extremo fechado do tubo 
vertical é igual à pressão de 
saturação da água à 
temperatura em questão. 
 
b) Se o diâmetro do tubo de 
descarga fosse uniforme, qual 
seria o novo valor máximo de h 
de molde a evitar que o referido 
fenómeno se verifique? 
 
 
 
PROBLEMA 57 
 
Água (ρ=1000 kg m-3) escoa-se de 
um reservatório através de um sifão 
constituído por um tubo de 25 mm de 
diâmetro, conforme é mostrado na 
figura. (patm=105 Pa). 
Calcule o caudal mássico escoado e 
o valor da pressão nos pontos 1, 2 e 3. 
 
 
 
PROBLEMA 58 
 
No fundo de um reservatório com óleo de densidade 0,87, existe 
uma camada de água (ρ =1000 kg m-3) com uma espessura de 70 
cm, que se escoa através de um furo de 1 cm de diâmetro 
existente no fundo. O reservatório tem de diâmetro 1 m. Calcule o 
tempo que levará a água a escoar-se. 
Equações fundamentais - formulação integral 29 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 59 
Considere um escoamento de ar (ρ=1,2 kg m-3, ν=1,5×10-5 m2/s) sobre uma placa plana 
de 2 m de largura. A velocidade à entrada tem o valor de 40 m/s e distribui-se 
uniformemente. Numa secção S a jusante, o perfil de velocidades obedece à lei 
u(y)=200y - 100y2 [S.I.] 
 
a) Determine o caudal mássico, m. , através 
de uma superfície paralela à placa e situada 
200 mm acima dela. 
 
b) Determine a tensão na parede para x=xs. 
 
c) A tensão na parede será mais elevada 
em x=0 ou em x=xs? Justifique. 
 
 
S40 m/s m.
y
200 mm
x
u(y)
x=0 x=xs
 
PROBLEMA 60 
 
Água (ρ=103 kg m-3) escoa-se através de um tubo 
vertical com uma saída convergente e é lançada na 
atmosfera, conforme se mostra na figura. 
 
a) Nas condições indicadas qual o caudal volúmico 
escoado? 
b) Calcule a altura h a que o jato se eleva, 
considerando o escoamento ideal. 
 
PROBLEMA 61 
A figura representa um escoamento bidimensional e estacionário de um fluido ideal, 
através de uma curva vertical, com linhas de corrente 
circulares. A distribuição de velocidades na secção 
vertical 1-2 é dada por vr=k, onde k é uma constante e r 
é o raio de curvatura. O caudal, por unidade de 
comprimento na direção normal ao plano da figura, tem 
o valor de 1000 kg/s/m. 
a) Mostre que a relação entre a velocidade média, V, na 
secção 1-2 e a velocidade no ponto 1 pode ser expressa 
por: 
 
1 2
1 2 1 1
lnr rV
V r r r
=
−
 
 
b) Determine a velocidade no ponto 2. 
c) Determine a diferença de pressões entre os pontos 1 e 2. Critique o resultado. 
g r2
r1
1
2
C
 Dados: 
 r1=1,0 m; r2=1,2 m 
ρ=1000 kg/m3 
Equações fundamentais - formulação integral 30 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 62 
 
 
Uma agulheta para extinção de 
incêndios debita um caudal de água 
(ρ=103 kg m-3) de 60 m3/h. 
Calcular a força de ligação da 
agulheta com a mangueira se as suas 
dimensões forem D1=8 cm e D2=3 
cm. 
Resolva este exercício considerando dois volumes de controlo distintos: (i) tomando 
como superfície de controlo o a face interior da agulheta e (ii) tomando como superfície 
de controlo a face exterior. 
 
 
PROBLEMA 63 
 
Dois jatos de água iguais 
sustentam em equilíbrio, à 
mesma altura, dois corpos A e 
B com a configuração mostrada 
na figura. 
Nestas condições diga, 
justificando, qual dos dois 
corpos é mais pesado. 
 
 
PROBLEMA 64 
 
 
A placa P da figura pesa 25 kgf. Um jato 
de água (ρ=103 kg m-3) com 1 cm de 
espessura e 25 cm de dimensão normal ao 
plano representado incide a meio da 
mesma. 
Qual a altura H necessária para manter 
a placa em equilíbrio com uma inclinação 
de 45° ? 
 
Equações fundamentais - formulação integral 31 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 65 
 
Um jato de água (ρ=1000 
kg m-3) com uma velocidade de 
15 m/s e uma secção tranversal 
de 0,05 m2 atinge um defletor 
montado sobre um carro 
conforme se indica na figura. 
 
a) Qual o valor da massa M 
para que o carro permaneça 
em repouso? 
b) Se a velocidade do jato de água aumentar para 20 m/s, mantendo-se o valor de M, 
qual a velocidade com que o carro se deslocará? 
 
 
PROBLEMA 66 
Um jato de ar (ρ=1,2 kg m-3) horizontal 
com uma velocidade de 50 m/s e um 
diâmetro de 20 mm incide numa calote 
esférica conforme mostra a figura. 
Calcule a força F necessária para 
contrariar a ação do jato, evitando que o 
corpo se desloque. 
 
 
 
PROBLEMA 67 
 
Determinar uma expressão para 
a força que o jato de água (ρ=103 
kg m-3) de forma retangular 
representado na figura exerce 
sobre a placa na direção k, em 
função do ângulo θ. 
Sendo de 5 cm2 a área do jato, 
qual será o valor de cada uma das 
áreas de saída? 
Equações fundamentais - formulação integral 32 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 68 
Óleo (d=0,85) escoa-se através de uma conduta 
horizontal onde está integrada a curva a 45° com re dução 
de secção representada na figura, sendo a pressão à 
entrada 1,5x105 Pa. 
 
a) Qual o caudal máximo admissível sabendo que asflanges só vedam à compressão, i. e. se p>patm? 
(patm=105 Pa). 
 
b) Calcule a resultante (vetor) das forças que a curva transmite a montante e a jusante, 
para um caudal de 500 l/min. 
 
PROBLEMA 69 
Óleo (ρ = 870 kg m-3; µ = 0,104 Pa.s) escoa-
se, em regime laminar, numa conduta 
cilíndrica com 15 mm de diâmetro. Um 
manómetro de coluna de mercúrio (d=13,55), 
ligado entre duas secções distanciadas de 1 
m, acusa um desnível de 60 mm, conforme 
indica a figura. A lei de distribuição de 
velocidade para este escoamento é do tipo: 
u(r) = k(1-r2/R2), onde u(r) é a velocidade 
num ponto à distância r do eixo, k é uma constante e R o raio da conduta. 
a) Com base num balanço de quantidade de movimento, calcule a tensão de corte na 
parede e o caudal em circulação. 
b) Calcule a velocidade num ponto da conduta distanciado de 5 mm da parede. 
PROBLEMA 70 
A figura representa (vista em planta) uma bomba centrífuga acionada por um motor 
elétrico, destinada a movimentar um caudal de água (ρ=103 kg m-3) de 10 m3/minuto. As 
ligações entre a bomba e as condutas são flexíveis para evitar 
 
 
a transmissão de vibrações a montante e a jusante. As 
pressões relativas à entrada e à saída são respetivamente 
0 e 2,5 bar, e as secções das condutas 0,05 m2 e 0,03 
m2. 
Calcule a força (vetor) global que o sistema 
bomba/motor exerce sobre os pontos em que está 
apoiado. (patm=105 Pa) 
φ15 mm
Q r
d=13,55
1 m
60 mm
Equações fundamentais - formulação integral 33 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 71 
 
Considere a 
bifurcação 
representada na figura, 
a qual faz parte de uma 
conduta horizontal em 
que se escoa água 
(ρ=103 kg m-3), sendo a 
pressão relativa na 
secção de entrada 0,68 
kgf/cm2. 
Determine qual a 
força necessária (in-
tensidade, direção e 
sentido) para manter 
fixo o acessório. 
 
 
PROBLEMA 72 
No escoamento, suposto ideal, de 
água (ρ=1000 kg.m-3) sobre o 
descarregador representado na figura, 
admite-se que nas secções 1 e 2 a 
velocidade se distribui uniformemente 
e que a pressão é igual à pressão 
hidrostática. A largura do 
descarregador é de 1 m. 
a) Represente graficamente as 
distribuições de pressão nas secções 1 e 2 e ao longo da superfície livre da água. 
b) Calcule as velocidades v1 e v2. 
c) Calcule a componente horizontal da força exercida pela água no descarregador. 
 
5m
0,7m v2
v1
Equações fundamentais - formulação integral 34 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 73 
A figura pretende representar 
esquematicamente o rotor de uma 
bomba centrífuga destinada a 
debitar um caudal de 30 litros por 
minuto, entrando a água (ρ=103 
kg m-3) no rotor segundo a direção 
axial. 
O diâmetro do rotor é de 250 mm 
e as pás são radiais no diâmetro 
exterior e têm, também na periferia, 
25 mm de altura. 
Calcule a potência transmitida ao 
rotor quando este girar a uma 
velocidade de 1000 r.p.m. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 74 
Considere o torniquete hidráulico (ρágua=103 kg m-3) representado na figura, 
alimentado a partir de um reservatório pressurizado a uma pressão P0 constante. 
 
A conduta que sai do depósito 
tem 5 cm de diâmetro, e os 
ramos do torniquete 2 cm e 1 cm. 
 
a) Em que sentido tende o 
torniquete a rodar? 
b) Qual a pressão necessária 
para o torniquete começar a 
rodar, sabendo que o binário 
resistente, devido ao atrito no 
veio, é de 150 N m? 
c) Qual a velocidade de rotação do torniquete se o binário resistente for igual a zero? 
 
Equações fundamentais - formulação integral 35 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 75 
Água (ρ=1000 kg m-3), considerada um fluido ideal, é bombada desde um poço conforme 
mostra a figura. 
O motor de acionamento da bomba B tem uma 
potência de 10 CV e o rendimento global do motor e 
bomba é de 75 %. A conduta de pressão tem um 
diâmetro de 75 mm e a de aspiração 150 mm. Nestas 
condições 
 
a) Qual o caudal debitado pela bomba? 
b) Qual a componente horizontal da força a que está 
sujeito o suporte S, resultante da ação do 
escoamento? 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 76 
A figura representa uma instalação de bombagem de água (ρ=1000 kg m-3) entre dois 
reservatórios. (ρHg=13,6x103 kg m-3 ; patm=105 Pa ; T=15 °C) 
 
a) Calcule a potência da 
bomba B. 
b) Para o mesmo valor do 
caudal determine o valor 
máximo de H para que 
se não verifique 
cavitação. 
c) Diga se são verdadeiras 
ou falsas as afirmações 
seguintes: 
 
I - Para o mesmo valor do caudal, aumentando o diâmetro da tubagem de admissão 
da bomba, aumenta a potência necessária à bombagem e diminui o risco de 
cavitação. 
II - Para o mesmo valor do caudal, aumentando o diâmetro da conduta de descarga, 
diminui a potência necessária à bombagem, mantendo-se as mesmas 
possibilidades de cavitação. 
 
Equações fundamentais - formulação integral 36 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 77 
A figura representa esquematicamente um sistema de propulsão de barcos constituído 
por uma bomba B, acionada por um motor, que aspira água (ρ=1000 kg m-3) na proa do 
barco e a expele na popa, através de orifícios de diâmetros D=500mm e d=200mm, 
respetivamente. 
 
 
a) Desprezando as perdas por fricção nos tubos de aspiração e descarga, calcule a 
potência necessária para acionar a bomba quando o barco se encontra parado, por 
forma a produzir um caudal de 1 m3/s. 
b) Determine nas condições referidas em a) o impulso produzido por este sistema de 
propulsão. 
c) No sentido de extrair o máximo de potência do sistema referido, pensou-se em alterar 
o diâmetro D da conduta de aspiração. Analise o problema e diga qual a alteração 
que proporia. 
 
Equações fundamentais - formulação integral 37 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 78 
Na figura está representada uma turbina reversível, podendo portanto funcionar 
também como bomba em determinados períodos, elevando então a água 
(ρ€= 1000 kg m-3) da zona de descarga para a albufeira de captação. Admita que o 
escoamento é ideal, quer num quer no outro sentido do fluxo, e que em qualquer dos 
casos o rendimento de conversão é de 100%. 
a) Qual a potência debitada pela turbina, quando o caudal escoado for de 300 m3/h. 
b) Considere agora o funcionamento como bomba. Se a potência fornecida pelo motor 
de acionamento for igual à que se obtém em a), o caudal em circulação será maior 
ou menor? Justifique. 
c) Na situação de funcionamento como turbina, se a mesma fosse colocada mais 
próxima da captação, mantendo-se as restantes condições, a potência recolhida 
seria maior ou menor? E se a descarga se desse, não à profundidade indicada mas, 
por exemplo, livremente para a atmosfera, man- 
 
 
tendo-se o desnível de 33 m 
entre a superfície livre e a 
descarga, de que modo a 
potência da turbina seria 
afetada? 
Vê algum interesse em a 
descarga ser feita em 
profundidade e a turbina ser 
colocada no ponto indicado 
e não a uma cota superior? 
 
PROBLEMA 79 
A figura representa esquematicamente 
um troço de tubagem que lança um jato de 
água (ρ = 1000 kg m-3) na atmosfera 
(pa = 105 Pa). 
a) Qual o desnível h verificado no 
manómetro de mercúrio (d=13,6) quando o 
caudal escoado for de 1,5 Ls-1 ? (O ramo 
da esquerda do manómetro está em 
contacto com a atmosfera) 
b) Caracterize (intensidade, sentido e 
direção) a força exercida pela conduta 
sobre o suporte para o mesmo valor do 
caudal (não despreze o peso da água). 
 
33
00
70
0
h
φ25
φ7
5
Ligação 
flexível
V
água
 4000 
Equações fundamentais- formulação integral 38 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 80 
Gasolina (d=0,68) é bombada a um 
caudal de 0,12 m3/s conforme se indica 
na figura. Sabendo que as perdas 
verificadas entre as secções 1 e 2 
(entrada e saída) são iguais a 0,3 
V12/2, qual a diferença de pressão 
verificada entre essas secções quando 
a bomba transmite ao fluido uma 
potência de 20 kW? 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 81 
A figura representa parte de uma instalação de um sistema hídrico. O caudal de água 
(ρ=1000 kg m-3) é de 0,5 m3/s e a turbina tem uma eficiência de 90%. 
 
a) Determine a potência útil da turbina. 
Considere agora que a descarga se faz ao 
nível da turbina (Z2=0), para a 
atmosfera,z2=0, p2=patm e que a potência útil 
debitada, para o mesmo caudal, é de 100 kW. 
 
b) Considerando Z1≈Z2, determine a força a 
que está sujeito o suporte de fixação da 
turbina. 
 
 
 
 
 
 
T
0,8 m 
Hg (d=13,6)
φ=0,2 m 
φ=0,15 m 
Z 2 =0
Z 11
2 
 
 
 
g
2
1
Q=0.122 m3/s
D2=0.2 m
D1=0.1 m
Bomba
3 
m
Equações fundamentais - formulação integral 39 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 82 
Na figura está representada parte de uma instalação onde circula água, 
(ρ = 1000 kg m-3, µ = 10-3 kg m-1 s-1, psat = 2337 Pa), cuja pressão absoluta na secção 1 
é de 105 kPa. A conduta, de diâmetro 90 mm, apresenta um estrangulamento tal que, na 
secção correspondente 
ao tubo vertical I, o 
diâmetro se reduz para 
70 mm. 
Admitindo tratar-se de 
um escoamento 
ideal: 
a) Determine o 
caudal volúmico 
que flui na 
instalação quando 
hI = 50 mm. 
b) Calcule a potência que deverá ter o motor de acionamento da bomba, sabendo que 
hII = 3 m e que o rendimento do conjunto é de 70 %, se o caudal em circulação for 
de 52 m3/h. 
c) Esboce a evolução das pressões estática e dinâmica ao longo da instalação. 
d) Qual o valor mínimo do caudal volúmico suscetível de provocar a cavitação? 
 
 
 
PROBLEMA 83 
Uma bomba de água (ρ=1000 kg m-3) tem 
uma entrada e duas saídas, vide figura. As 
ligações da tubagem à bomba são flexíveis, 
pelo que os esforços devidos às forças 
mássicas e hidrodinâmicas na região da 
bomba são integralmente transmitidos ao 
suporte. As pressões indicadas são 
relativas. 
a) Determine a cota Z4. 
b) Determine caudal na secção 3. 
 
 
300 kPa
B 45,24 m3/h
1
2
3
φ40 mm
φ60 mm
φ100 mm
H2O
Z1≈Z2≈Z3=5 m 490 kPa
-69,48 kPa
Z=0
Z4
 
 
c) Determine a potência fornecida à bomba, sabendo que o rendimento desta é igual a 
85%. 
d) Sabendo que a componente vertical da força exercida pelo suporte sobre a bomba 
tem o valor de 3 kN (sentido de baixo para cima) determine o peso da bomba. 
 
 
 
Equações fundamentais - formulação integral 40 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 84 
Água escoa-se por gravidade entre dois reservatórios interligados por um sistema de 
condutas, conforme indicado na figura. 
a) Esboce qualitativamente a evolução da pressão total (ou de estagnação) 
ao longo dos pontos I, II,…,VII. 
b) Para um desnível H=20 m, constante, determine o caudal de água que flui 
entre os dois reservatórios. 
 
c) Considere uma nova condição de H (mantendo-se a cota de 50 m), para a 
qual se verifica um caudal de 450 m3/h em cada um dos ramos B e C. Determine: 
i) a pressão estática no ponto III; 
ii) a força exercida sobre a bifurcação para a manter no lugar. 
 
 
 
AB=0.005 m2 
H 
AC=0.005 m2 
AA=0.01 m2 
60º 
Água 
 
ρ=1000 kg/m3 
50 m 
I 
II III IV 
V 
VII 
VI 
Equações fundamentais - formulação diferencial 41 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações fundamentais 
Formulação diferencial 
 
 
Equações fundamentais - formulação diferencial 42 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 85 
Estabeleça a lei de distribuição de velocidades para um escoamento entre duas 
placas planas e paralelas (escoamento laminar, permanente e incompressível). 
 
PROBLEMA 86 
Considere o escoamento entre duas placas planas paralelas representado na figura. A 
placa superior move-se a uma velocidade constante U, estando a inferior fixa. A pressão 
decresce na direção do escoamento, sendo o gradiente longitudinal dp/dx constante. 
 
a) Encontre uma expressão para o perfil 
de velocidades u=f(y). 
b) Compare a evolução da tensão de corte 
verificada neste escoamento com a de 
um outro em que dp/dx é nulo. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 87 
No escoamento bidimensional, laminar e permanente, entre duas superfícies sólidas 
horizontais, o perfil de velocidades tem a forma esboçada na figura, com a velocidade 
máxima, Um, localizada a meia distância entre as duas superfícies. 
 
a) Integrando a equação do movimento segundo Ox, exprima Um em função do 
espaçamento H, das propriedades do fluido (ρρρρ, µµµµ) e do gradiente de pressões 
x
p
∂
∂
. 
b) Será viável utilizar o teorema de Bernoulli para relacionar as pressões em dois 
pontos distintos deste escoamento? Justifique. 
 
 
U
h
H
x
y
O
mU
Equações fundamentais - formulação diferencial 43 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 88 
Um líquido de massa volúmica ρρρρ e viscosidade µµµµ, escoa-se sobre uma placa 
infinitamente larga, inclinada de um ângulo θθθθ relativamente à horizontal, por ação da 
gravidade. A espessura do líquido sobre a placa é constante e igual a h, e o escoamento 
é permanente. 
 
a) Desprezando a viscosidade do ar em 
contacto com a superfície superior do 
líquido, determinar a distribuição de 
velocidades, a velocidade média e a 
tensão de corte junto à parede. 
b) Esboce o perfil de velocidades que se 
obteria no caso de não se ter 
desprezado o atrito do líquido com o 
ar. 
 
 
 
PROBLEMA 89 
Uma correia de grande largura (plano normal ao da figura) passa por um recipiente 
contendo um líquido viscoso, de propriedades ρρρρ e µµµµ, arrastando uma 
película de fluido de espessura h que, por 
sua vez, se escoa por ação da gravidade. 
Sendo V0 a velocidade vertical da 
correia, encontre uma expressão para a 
velocidade média da película de fluido, 
admitindo que o escoamento é laminar e 
permanente. 
 
Nota: O referencial (x,y) é fixo com respeito 
a um observador exterior. 
 
 
 
PROBLEMA 90 
Um fluido de propriedades ρ e µ, newtoniano e 
incompressível, escoa-se entre duas placas planas paralelas 
conforme se mostra na figura. O escoamento é produzido 
pelo arrastamento da placa superior, que se move com uma 
velocidade 
U, e por um gradiente longitudinal de pressões ∂p/∂x, sendo 
o regime laminar e permanente. 
a) Esboce o perfil de velocidades para as situações 
∂p/∂x<o, ∂p/∂x=0 e ∂p/∂x>0. 
b) Encontre a relação que deve verificar-se entre U e ∂p/∂x para que a tensão de corte 
junto à placa fixa seja nula 
Equações fundamentais - formulação diferencial 44 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 91 
Um fluido de propriedades ρ= 900 kg m-3, µ= 9x10-2 kg/(ms) escoa-se, em regime 
laminar, entre duas placas planas paralelas e horizontais, dando origem a um perfil de 
velocidades u(y) traduzido pela expressão 
u(y) = K y (H - y) ; K constante 
 
 
 
a) Deduza uma relação entre as velocidades média e máxima deste escoamento. 
b) Estabeleça uma relação entre o parâmetro K e as outras grandezas envolvidasno 
escoamento (gradiente de pressão, propriedades do fluido, etc.). 
c) Se a transição entre o regime laminar e turbulento se verificar para um valor ReH = 
2500, e sendo H = 5 cm, qual o valor de K que corresponde a essa transição? 
 
 
 
PROBLEMA 92 
Dois fluidos imiscíveis, com a mesma massa volúmica mas diferentes densidades 
estão contidos entre duas placas planas paralelas conforme se mostra na figura. A placa 
inferior é fixa e a superior desloca-se com uma velocidade constante U, dando origem a 
um escoamento laminar e incompressível, sem gradiente de pressão na direção do 
movimento, sendo contínua a variação quer da velocidade quer da tensão de corte 
através da fronteira entre os fluidos. 
 
a) Determine o valor da velocidade na interface entre 
os dois fluidos, exprimindo o resultado em função 
de U, µ1 e µ2. 
b) Esboce o perfil de velocidades para a situação µ2 
= 2µ1. 
 Qual a relação entre as tensões de corte 
verificadas junto às placas superior e inferior? 
Comente o resultado, fundamentando a resposta 
na relação entre a tensão e o gradiente de 
velocidades em cada caso. 
 
 
 
 
 
 
H
x
y
O
mU
Equações fundamentais - formulação diferencial 45 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 93 
O campo de velocidades de um escoamento (ρ=1,2 kg m-3) bidimensional, invíscido e 
incompressível é dado por 
 
 u = 2 2
10y
x y+
 v = 2 2
10x
x y
−
+
 w = 0 
 g=(0,0,-g) 
 
Determine a componente do gradiente de pressões na direção x e calcule o seu valor no 
ponto (1,1,0). 
Transforme estas velocidades nas componentes polares (vr, vθ). O que pode representar 
este escoamento? 
 
 
 
PROBLEMA 94 
De acordo com a teoria dos escoamentos potenciais, na região de aproximação a um 
cilindro bidimensional a velocidade do fluido na linha de corrente central (y=0) é dada por 
u=U(1-R2/x2), onde R é o raio do cilindro e U a velocidade do escoamento na região não 
perturbada. 
a) Determine, para ρ=900 kg m-3, µ=0,3 Pa.s, R=50 mm, e U=2 m/s: 
a) A aceleração máxima do fluido nessa linha de 
corrente e o local, x, onde tal valor ocorre. 
b) idem, para a tensão normal τxx. 
 
 
PROBLEMA 95 
Considere um escoamento bidimensional, estacionário e incompressível de um fluido 
newtoniano, com um campo de velocidades definido por: 
 
 
u = -2xy v = y2 - x2 w = 0 
 
a) Verifique se é satisfeita a lei de conservação da massa. 
b) Determine o campo de pressões, p(x,y), sabendo que g=(0,0,-g) e p(0,0)=Po. 
 
 
 
y
x
R
U
Equações fundamentais - formulação diferencial 46 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
Análise dimensional 47 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise dimensional 
Semelhança 
 
 
Análise dimensional 48 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 96 
A perda de carga ∆∆∆∆p numa placa orifício (medidor de caudal) é função dos diâmetros 
do orifício e da conduta, d e D, da velocidade média do escoamento V, das propriedades 
do fluido, ρρρρ e µµµµ. 
Adimensionalize esta dependência utilizando o teorema de Buckingham. 
 
PROBLEMA 97 
Um rotâmetro é um dispositivo medidor de caudal, constituído por um tubo 
cónico vertical e um flutuador. A posição deste último (x) varia de 
acordo com a velocidade do fluido à entrada do tubo (U) e é por 
isso uma medida indireta do caudal escoado. Uma análise das 
variáveis em jogo mostra que x = f(dF, U, ρ, µ, γF) em que ρ e µ 
são as propriedades do fluido, dF e γF o diâmetro e o peso 
específico do flutuador, e g a aceleração da gravidade. 
Apresente a mesma relação sob a forma adimensional, 
utilizando o teorema de Buckingham. 
 
 
PROBLEMA 98 
Genericamente, a elevação de pressão ∆∆∆∆p produzida por uma bomba centrífuga 
depende das propriedades do fluido (ρρρρ , µµµµ), da velocidade de rotação n, do diâmetro do 
rotor D e do caudal volúmico V
.
 . 
 
a) Apresente essa dependência sob forma adimensional, recorrendo ao teorema de 
Buckingham. 
b) A experiência mostra que, para fluidos pouco viscosos, o comportamento de uma 
bomba centrífuga é praticamente independente da viscosidade. Tirando partido 
desse facto, mostre que a elevação de pressão ∆p de uma bomba varia 
proporcionalmente à massa volúmica ρ do fluido que nela circula, quando se mantêm 
constantes a velocidade de rotação e o caudal volúmico. 
 
PROBLEMA 99 
Um reservatório mantido a pressão constante, pint, 
descarrega para a atmosfera através de um furo de diâmetro 
d um líquido de massa específica ρρρρ e viscosidade νννν. 
 
a) Encontre uma relação adimensional entre o caudal de 
descarga, V
.
 , e os restantes parâmetros relevantes. 
b) Uma expressão vulgarmente utilizada para o cálculo do 
caudal volúmico saindo de um reservatório é V& = 0,61 
2
2
4
d gHpi . Investigue a homogeneidade dimensional 
da relação e comente a sua aplicabilidade à situação 
descrita em a). 
U
dF
x
H
D
d
p
int
Análise dimensional 49 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 100 
Um elemento da estrutura de uma ponte, com um comprimento muito superior 
às outras dimensões, tem a secção 
transversal mostrada na figura. É sabido que 
com o vento soprando a uma velocidade 
constante podem formar-se na esteira 
vórtices, emitidos de modo regular, a uma 
frequência bem definida, podendo o 
fenómeno dar origem a esforços periódicos 
importantes sobre a estrutura, pelo que é 
essencial o conhecimento daquela 
frequência 
 
 
 
Neste caso concreto as dimensões da estrutura são D=0,1 m e H=0,3 m, o vento em 
causa é de 50 km/h (ρar=1,2 kg m-3 , µar=1,8x10-5 kg/m/s), e pretende--se determinar a 
frequência ensaiando um modelo a escala reduzida num túnel de água (ρ=1000 kg m-3; 
µ=1,01x10-3 kg/m/s), sendo a dimensão Dm=20 mm. 
 
a) Determine a dimensão Hm do modelo, bem como a velocidade à qual deverá ser 
realizado o ensaio. 
b) Se a frequência de emissão de vórtices encontrada no ensaio for de 49,9 Hz, qual o 
valor esperado no protótipo? 
 
 
PROBLEMA 101 
A turbina de um gerador eólico de diâmetro D roda no ar (ρρρρ, µ) a uma velocidade 
angular ΩΩΩΩ. 
a) Encontre uma relação adimensional entre a potência captada pela turbina e as 
outras grandezas envolvidas. 
b) Suponha que a velocidade de rotação da turbina é de tal forma elevada que os 
efeitos da compressibilidade do ar não são desprezáveis. Em que medida é que 
este facto vem alterar a relação obtida na alínea anterior? 
 
Análise dimensional 50 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 102 
Pretende-se desenvolver um instrumento para medição de velocidades em 
escoamentos de ar, constituído por um cilindro com dois orifícios (1 e 2), onde é medida 
a diferença de pressões ∆∆∆∆p=p1-p2, que depende do valor da velocidade U, bem como 
das dimensões do cilindro e das propriedades do fluido. 
 
a) Adimensionalize a dependência atrás 
enunciada recorrendo ao teorema dos 
Π de Buckingham. 
b) Um destes instrumentos foi aferido num 
túnel de vento obtendo-se uma curva 
como a figurada. 
 Diga, justificando, se poderia converter 
esta curva numa outra apropriada para 
utilizar o mesmo instrumento em 
escoamentos de água. 
 
PROBLEMA 103 
A velocidade de descida de um paraquedista depende do seu peso 
(próprio+equipamento), do diâmetro do para-quedas e das propriedades do ar. 
 
a) Utilizando o teorema de Buckingham, apresente a relação entre asgrandezas 
mencionadas em forma adimensional. 
b) Pretende-se estudar em escala reduzida o comportamento de um paraquedas que 
deverá descer carregado com o peso total 1000 N. Que peso deverá ser adotado 
num modelo à escala 1:5, por forma a assegurar condições de semelhança 
dinâmica? 
 O fluido utilizado na simulação é o mesmo do caso real. 
PROBLEMA 104 
Pretende-se avaliar o caudal mássico que se escoa por gravidade de um reservatório 
de altura h, ao longo de um tubo vertical de diâmetro D e comprimento H>>h. O fluido é 
um líquido de propriedades ρ e µ. 
 
a) Identifique as grandezas que poderão influenciar o valor 
do caudal escoado e apresente a relação correspondente 
sob forma adimensional, utilizando o teorema de 
Buckingham. 
b) O problema concreto é estudar um escoamento de óleo 
(ρ=850 kg m-3 ; µ=0,01 kg/m/s) ao longo de um tubo com 
H=50 m e D=5 cm num modelo reduzido utilizando como 
fluido a água (ρ=1000 kg m-3 ; µ=0,001 kg/m/s). Qual a 
redução de escala a adotar? 
 
 
Análise dimensional 51 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 105 
Para determinar a velocidade de queda de uma esfera de alumínio (ρ=2700 kg m-3) 
com 1 cm de diâmetro mergulhada em água (ρ=1000 kg m-3 ; µ=0,001 kg/m/s) mediu-se 
a velocidade de queda de uma esfera de aço (ρ=7800 kg m-3) com 2 cm de diâmetro em 
óleo (ρ=900 kg m-3 ; µ=0,1 kg/m/s). 
Supondo desprezável a dependência dos fenómenos relativamente ao número de 
Reynolds (coeficiente de arrasto independente do Re), relacione as duas velocidades de 
queda. 
 
PROBLEMA 106 
A figura representa o corte de uma sala onde o ar é insuflado através de uma fenda 
existente junto ao teto, a uma velocidade V. 
 
a) Encontre uma relação entre o 
comprimento da zona descolada, l, e 
os restantes parâmetros relevantes. 
b) Se pretendesse estudar num modelo à 
escala 1:10 o caso de uma sala com 3 
m de pé direito em que se insufla ar 
(ρ=1,2 kg m-3 ; ν=1,51x10-5 m2/s) por 
uma fenda 
de 5 cm de altura a uma velocidade de 2,5 m/s, quais seriam a altura da fenda e a 
velocidade de ensaio apropriadas para o ensaio se o fluido utilizado fosse água 
(ρ=1000 kg m-3 ; ν=1,01x10-6 m2/s)? 
 
PROBLEMA 107 
Prove que num escoamento governado simplesmente por forças de inércia, gravidade 
e pressão, a razão dos caudais volúmicos de dois sistemas dinamicamente semelhantes 
é igual à razão dos comprimentos característicos elevada a 5/2. 
 
PROBLEMA 108 
Pretende-se saber qual a força de arrasto verificada num avião cuja velocidade é de 
600 km/h. 
Será possível ensaiar um modelo à escala 1:20 do avião num túnel de vento à mesma 
pressão e temperatura a que vai estar sujeito o protótipo com o fim de avaliar a referida 
força de arrasto? Em caso negativo sugira como poderia eventualmente ser contornado o 
problema. 
 
V
h
H
l
Análise dimensional 52 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 109 
Num modelo à escala 1:100 de um porto de mar, qual o intervalo de tempo que deverá 
corresponder ao período real de marés de 12,4 horas? 
 
 
PROBLEMA 110 
Um avião destina-se a voar a uma altitude de 3000 m, onde a pressão e a temperatura 
são respetivamente 70,2 kPa e -15 °C, à velocidade de 120 m/s. 
Um modelo à escala 1:20 é ensaiado num túnel de vento pressurizado à temperatura 
de 15 °C. 
Para que exista semelhança dinâmica quais os valores de pressão e velocidade que 
deverão ser adotados no ensaio? 
Admita que para o ar µ ∝ 
3/ 2
( 117)
T
T +
 
PROBLEMA 111 
O binário necessário para operar o leme de um submarino profundamente submerso 
deslocando-se à velocidade de 3 m/s é estudado num modelo à escala 1:20, num túnel 
de água doce. 
Num teste apropriado, o binário medido era de 8,3 Nm. Qual o binário esperado no 
submarino? 
ρ
 água slagada = 1025 kg m-3 ; ρágua doce= 1000 kg m-3; µ água slagada = µ água doce 
PROBLEMA 112 
O aumento de pressão, ∆p=p2-p1, através da expansão súbita representada na figura e 
pela qual escoa um líquido pode ser expresso como: ∆p=ƒ(A1, A2, ρ, v1), onde A1 e A2 
são 
as áreas das secções de passagem a montante e a jusante, 
ρ é a massa volúmica do fluido e v1 é a velocidade a 
montante. 
Alguns dados experimentais obtidos com A2=0,11613 m2, 
v1=1,524 m/s e utilizando água (ρ=1000 kg m-3) são dados 
na seguinte tabela: 
 
v1
A1
A2
p1 p2
 
 
A1 (m2): 0,00929 0,02323 0,03437 0,04831 0,05667 
∆p (Pa): 155,610 375,858 493,164 555,408 588,924 
a) Represente graficamente estes dados experimentais usando parâmetros 
adimensionais adequados. 
b) Para uma expansão súbita com A1=0,02323 m2 e A2=0,06637 m2, percorrida por um 
fluido (ρ=1115 kg m-3) com velocidade v1=1,143 m/s, preveja o valor de ∆p 
correspondente. 
Análise dimensional 53 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 113 
A altura (h) que atinge um líquido num tubo capilar 
depende do diâmetro do tubo (d), do peso específico do 
fluído (γ - produto da massa específica pela aceleração 
da gravidade), da tensão superficial do fluido (σ) e do 
ângulo de contacto (θ). 
 
a) Adimensionalize este problema. 
b) Se numa experiência for medido um valor de h=3 cm, 
qual será a altura atingida noutro caso semelhante em 
que a tensão superficial é a metade 
d
θ
h
 
do caso anterior e onde a massa volúmica do fluído é duas vezes superior, para um 
mesmo ângulo de contacto? 
 
 54 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
Soluções dos exercícios de Mec. dos Fluidos I 
(6º versão) 03/07/25 
 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS – LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 
1 
a) U
H
yyu =)( 
H
Uy µτ =)( b) 225 N/m2 
2 0.075 N 
3 a) 219.4 N b) 1.54µm c) 219.4 N 
4 a) 9.82E-5m b) igual 
5 35.6 m/s 
6 1131 W 
7 a) 286 N b) 366.7 W 
8 a) 1.96E-2 N/m.s b) pequenas viscosidades 
9 a) 176.9 m/s b) medindo a velocidade de descida 
10 1.11E-3 kg m-1 s-1 Não esquecer o momento 
resistente na base 
11 
a) 
θ
ωpiµ
hsen
rM oo
2
4
=
 
 
12 
32
3
R
Msen
piω
θµ ≈ 
13 
a) 
4
D
w
β
τ −= ;
84
DD β
τ −=





 b) LDF 2
4
βpi= 
14 












+
−−= )(exp1)( mMh
At
A
hMgtv µ
µ
; )(∞v 
15 µ1=2×µ2 
Hidrostática ( g = 9.8 m/s-2, Patm = 1 bar) 
16 1.25807x105 Pa, 945.1 mmHg, 1.283 kgf/cm2, 
12.85m.c.a 
 
17 a) 95485.7 Pa b) 96,22 cm c) retirando agua 
18 a) 5.32 cm b) 56 J 
19 1
2
2( )( )
d
D
sen gf+ −θ ρ ρ 
 
 
20 a) 240.1 Pa 
21 a) 1.96E5 Pa b) 17.2 kg 
22 a) 5265 Pa b) 0.015 m 
23 P= (M-8335.95xH)0.32pi/4-276.19 (N) 
24 a) 0 N b) não afeta 
25 0.79 m Patm=1.01325×105 Pa 
26 i. 7.7 kN ii. 3.8 kN iii. Não 
27 a) 10% b) a água não afeta a sensibilidade 
28 159.4 m 
29 a) ZB=2.725 m, ZC=1.931 m b) 
30 b) 3.14 MN 
 55 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
31 
i. µρ
ρ
L
Hb
p
a
2
2
> ii. 
L
Hb
p
a
ρ
ρ
3
3
< 
 
32 1.7 m 
33 b) 481 Nm 
34 4 m 
35 h=(7.875 x cos θ x sen2 θ / B)1/3 
36 20.6 kN, ycp= -0.68 mm Pressões absolutas 
37 41.31 kN, ycp= -96.2 mm, xcp= 0, P=13.8 kN 
38 a) 4.76 m b) 5.70 m 
39 b) ycp= -1.94 mm c) 0 b) Pressões absolutas 
40 i. 22,17 kN ycp= - 0.2357 m 
41 b) 17.25 kNm 
42 a) 9.5 m b) 2414 kgf 
43 FH= 201.5 MN, FV=259 MN 
44 F= 631.44 kN 
45 Fy=142.07 kN, Fx=-36.78 kN, Mo= 18.38 kNm 
46 b) 292 kN, c) 19.4 ton 
47 a) 444 kgf b) 4632 kgf c) 10.27 kN 
48 b) 432.5 N (de baixo para cima), c) 1263.2 N 
49 a) 134300 Pa, 641 kgf, b) 6732 N 
50 b) FH=10.08MN, FV=42.37 kN 
51 ( )
( )hb 21
2
ρρ
ρρ
−
−
=
 
 
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS – FORMULAÇÃO INTEGRAL 
52 
53 a) 19.13 kPa, b) 0.202 m, c) 
V V
z
− =
+
−2
2
0 2
0 25
0 25
2
0 255
.
( . . )
.
pi
 
 
54 
V
P P
D D1
1 2
1 2
4
2
1
=
−
−
( )
(( / ) )ρ 
 
55 a) 2.93 l/s 
56 a) h < 0.91 m, b) h < 7 m 
57 2.17 kg/s P1=124500 Pa P2=114700Pa 
P3=90200Pa 
 
58 1122 s 
59 a) 10.24 kg/s, b) 0.0036 Pa, 
60 a) 25.2 l/s b) 8.34 m 
61 b) 4.571 m/s, c) P1-P2=-2636 Pa 
62 -105 i kgf 
63 O corpo A 
64 5 m 
65 a) 1958 kg, b) 5 m/s 
66 1.89 N 
67 a) 450×sen θ, b) αA1, (1-α)A1 com α=(1+cos θ)/2 
68 a) 40.7 kg/s, b) 142.8 i -257.4 j (N) 
69 a) 27.96 Pa , 0.321 m3/h b) 0.896 m/s 
 56 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
70 8425.9i-555.6j N 
71 1198i-5709j N 
72 b) v1=1.30 m/s, v2=9.27 m/s, c) 68.3 kN 
73 86 W 
74 b) 7.12 bar, c) 63 R.P.M. 
75 a) 56.7 l/s b) -898 i (N) 
76 a) 2.6kW, b) H< 9.7 m 
77 a) 506.6 KW b) 2988 kgf c) (ver res. aula prática) 
78 a) 27 kW b) 298.6 m3/h 
79 a) 0.329 m, b) 16.7i -32.7j (kgf) 
80 2.16 kgf/cm2 
81 a) 101.4 kW, b) (–14.15i –23.54j) kN 
82 a) 52.3 m3/h, b) 503.4 W, c) 249.3 m3/h 
83 a) 55 m, b) 135.7 m3/h, c) 33.8 kW, d) 113.5 kg 
84 b) 713 m3/h, c)-i 2.75×105 Pa, c)-ii FH=-1076N, 
FV=0 
 
Equações fundamentais - Formulação diferencial 
85 
u
dP
dx b y= − −
1
2
2 2
µ ( ) 
Eixo dos xx no centro da 
conduta. 
86 
a) u U yh
h dP
dx
y
h
y
h= − −
2
2
1µ ( ) 
b) τ µ= − −Uh
dP
dx
h
y( )
2
 
 
87 
U
dP
dx
H
m = −
1
2 4
2
µ 
 
88 
a) u h g sen yh
y
h= −
2
1
2
ρ θ
µ
 
 ( ) 
 u
h g sen
=
2
3
ρ θ
µ
 
, τ ρ θW h g sen= 
 
89 V gh0
2 3− ρ µ / ( ) 
90 
b) U dPdx
h
=
2
2µ 
 
91 
a) U Um=
2
3 , b) K
dP
dx= −
1
2µ , c) 12000 m
-1s-1 
 
92 
U
µ
µ µ
1
1 2+
 
 
93 
a) 322 )(
 100
yx
x
x
P
+
=
∂
∂ ρ
, 15 Pa/m, b) vr=0, vθ=-10/r 
 
94 a) –29.7 m/s2, –64.55 mm, b) –48 Pa, –0.050 m 
95 a) sim é satisfeita a l.c.m., b)
)
22
( 
44
22
0
yxyxPP ++−= ρ 
 
 57 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL - SEMELHANÇA 
96 ),( 2 µ
ρφ
ρ
VD
D
d
V
P
=
∆
 
 
97 )
 
,( 2U
DVD
D
x FF
F ρ
γ
µ
ρφ= 
98 
a) D P
V
D n
V
V
D
4
2
3∆
ρ φ
ρ
µ & ( & ,
&
)=
 
 
99 
a) 
&
( , , )int.V
d g
P
gd
d g d
H5
3
= φ ρ ν 
 
100 
a) fD
U
UD H
D
= φ ρµ( , ) , b) 29.6 Hz 
 
101 
a) Pot
U D
D
U
UD
ρ φ
ρ
µ3 2 = ( , )
Ω
 
 
102 
a) ∆P
U
UD
ρ φ
ρ
µ 2 = ( ) 
 
103 
a) Mg
U D
UD
ρ φ
ρ
µ2 2 = ( ) , b) (Mg)m=(Mg)P 
 
104 
a) & ( , )m
D
H
D
D g
µ φ
ρ
µ= 
3 2
2 , b) 1:5.17 
 
105 V
V
AL
Aço
.
.= 0 33 
 
106 
a) ( , )l H Vh
h h
ρφ
µ
= , b) hm= 0.005 m, Vm=1.67 
m/s 
 
107 
108 
109 1.24 h 
110 125.9 m/s, 16.3 bar 
111 162 N.m 
112 b) 326.9 Pa 
113 
a) 2 ,
h
d d
σφ θ
γ
 
=  
 
, b) 1,5 cm 
 
 
 
 58 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
 
 
 
 
1 (5 v) – A figura (dimensões em milímetros) representa um reservatório de 
combustível líquido (ρ = 800 kg/m
por uma massa M, de forma cilíndrica, 
suscetível de se elevar por ação da pressão, 
abrindo a passagem do combustível para um 
tubo de descarga D. O ar na parte superior do 
reservatório é pressurizado por um 
compressor. 
a) Calcule o valor da massa M para garantir um 
nível máximo de enchimento H
uma pressão manométrica do ar de 1,2 bar.
b) Se a tampa circular puder rodar em torno do 
eixo E (perpendicular à figura), qual o esforço 
a que estará sujeito o parafuso de fixação P, 
ainda para a situação referida na alínea anterior?
c) De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido
 
2 (3 v) – Considere o escoamento entre duas placas planas, sujeito a um gradiente 
de pressão longitudinal 
processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é 
Newtoniano. 
a) Encontre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 
∂p/∂x = K, com K < 0. 
b) Determine a força necessária para arrastar uma placa 
de área A =1 m2, com uma velocidade U
uma película de óleo de espessura h
gradiente de pressão, ∂p/∂x, é igual a 
A massa específica e viscosidade do óleo são 
ρ = 900 kg/m3 e µ = 0,3
Nota: Caso não tenha respondido à alínea anterior, 
considere que o perfil de velocidade é dado por
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
MECÂNICA DOS FLUIDOS I
A figura (dimensões em milímetros) representa um reservatório de 
= 800 kg/m3), provido de um limitador de nível constituído 
por uma massa M, de forma cilíndrica, 
suscetível de se elevar por ação da pressão, 
passagem do combustível para um 
tubo de descarga D. O ar na parte superior do 
reservatório é pressurizado por um 
Calcule o valor da massa M para garantir um 
nível máximo de enchimento Hmáx = 2 m e 
uma pressão manométrica do ar de 1,2 bar. 
tampa circular puder rodar em torno do 
eixo E (perpendicular à figura), qual o esforço 
a que estará sujeito o parafuso de fixação P, 
ainda para a situação referida na alínea anterior? 
De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido
Considere o escoamento entre duas placas planas, sujeito a um gradiente 
de pressão longitudinal ∂p/∂x. Admita que o escoamento é incompressível, que se 
processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é 
tre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 
Determine a força necessária para arrastar uma placa 
, com uma velocidade U = 1 m/s, sobre 
uma película de óleo de espessura h = 1 cm, em que o 
∂p/∂x, é igual a -2000 Pa. 
A massa específica e viscosidade do óleo são 
0,3 kg/(m·s), respetivamente. 
Nota: Caso não tenha respondido à alínea anterior, 
considere que o perfil de velocidade é dado por 
µ2
2yhy
x
p
h
yUu −





∂
∂
−=
 
 
59 
2013 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
3º ANO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
Exame – 2010.01.12 
A figura (dimensões em milímetros) representa um reservatório de 
), provido de um limitador de nível constituído 
De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido atrás? 
Considere o escoamento entre duas placas planas, sujeito a um gradiente 
∂p/∂x. Admita que o escoamento é incompressível, que se 
processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é 
tre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 
 60 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
3 (8 v) – A figura representa um túnel aerodinâmico (ar, ρ = 1,225 kg.m-3, 
µ = 1,789×10-5 kg.m-1.s-1), em circuito 
aberto, de secção circular, à semelhança 
de um disponível no laboratório, em que o 
ventilador instalado numa das 
extremidades assegura as condições de 
funcionamento exigidas. Na secção de 
trabalho foi colocado um objeto de forma 
irregular. Os perfis de velocidade nas 
secções 1 e 2, na saída do túnel 
(atmosfera), são os representados, tendo-se admitido desprezável o efeito das tensões 
de corte na parede do tubo/ túnel de vento.