SLIDES MATEMATICA FINANCEIRA AULA TEMA 01

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Matemática Financeira
Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Tema 1 – Fundamentos da Matemática
Financeira
Contrato Pedagógico
• A Matemática Financeira é muito
importante para os cursos de
Administração, Ciências Contábeis e
demais cursos.
• As aulas terão vários exemplos práticos.
• Porém é muito importante que você faça
os exercícios propostos em aula, do
Caderno de Atividades e do PLT (Programa
Livro Texto).
Contrato Pedagógico
• Aprender entendendo o conceito de
matemática financeira é o mais correto.
• Nunca decore o conceito, pois ao decorar a
facilidade de se confundir é maior.
Contrato Pedagógico
• Se possível faça a impressão dos slides e
utilize para acompanhar as aulas.
• Uma maneira de testar seu conhecimento
é tentar resolver os exercícios da aula, sem
ver a resolução.
• Muitos alunos possuem grande dificuldade
em matemática básica, portanto o
aumento da carga de estudos é
importante.
Matemática Financeira
Estudo do Valor do Dinheiro no Tempo
Qualquer operação financeira deve estar
estruturada em função do tempo [...].
(Gimenes, 2012, p. 21, Programa Livro-
Texto).
R$ 100,00 
(Hoje)
Quanto 
vale?
3 meses
Terminologia
• PV (Present Value) – Valor Presente é o
valor inicial de uma operação,
representado no instante “zero”. Valor
Atual, Principal ou Capital.
• FV (Future Value) – Valor Futuro é um
valor que é representado num momento
futuro. Pode ser chamado de Montante
ou Capital + Juros.
• FV= PV + J.
Terminologia
• J – Juros – Representam a remuneração
do Capital empregado em alguma
atividade produtiva; R$.
• i – (interest rate) taxa de juros – A
taxa de juros indica qual remuneração será
paga ao dinheiro emprestado, para um
determinado período; Ex.: 1,5% ao mês.
• n – número de períodos na operação.
É o prazo, o tempo.
Tempo Utilizado: Ano Comercial
• Um ano possui 360 dias.
• Um mês possui 30 dias.
Diagrama das Operações Financeiras
Fluxo de Caixa – facilita a visualização da
operação financeira.
0
FV= 130
2 meses1 3
PV= 100
Diagrama das Operações Financeiras
Do ponto de vista do financiador (banco):
A HP12c trabalha com esta mesma
metodologia.
0
FV= 130
2 meses1 3
PV= 100
Juros Simples
• “A definição de capitalização a juros simples se
concentra na aplicação direta dos conceitos mais
básicos de matemática.” (Gimenes, 2012, p. 23,
Programa Livro-Texto).
• Exemplo 1. Uma pessoa aplicou a quantia de R$
100,00 num Banco, pelo prazo de três meses, com
uma taxa de 10% ao mês, no regime de juros
simples. Determine o saldo final acumulado nesta
aplicação.
Juros Simples
Mês PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final
1 100,00 10%
2
3
10,00 110,00
100,00 10% 10,00 120,00
100,00 10% 10,00 130,00
+
=
Fórmulas dos Juros Simples
FV = Valor Futuro ou Montante
PV = Valor Presente
n = prazo / tempo
i = taxa de juros (%)
J = Juros (R$)
C=PV= Capital ou Valor Presente
n = prazo / tempo
FV = PV.(1 + n . i)
J = PV . i . n
Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula:
Utilizar no mínimo seis casas decimais,
quando houver valores quebrados.
PV = 100
n = 3 meses
i = 10% ao mês
FV = ?
i= 10%/100=0,10
FV = PV . (1 + n . i)
FV = 100 . (1 + 3. 0,10)
FV= 100 . ( 1 + 0,30)
FV= 100 . (1,30)
FV = 130,00
Exemplo 2
No regime de juros simples, quais os
juros correspondentes à aplicação de R$
12.000,00 por 4 meses, à taxa de 7% ao
mês?
J = ? (R$)
PV= 12.000
n= 4 meses
i= 7%a.m.
i=7/100=0,07
J = C. i . n
J = 12000 . 0,07 . 4
J = 3.360,00
Exercício 3
Durante quantos meses um capital
deve ser aplicado a juros simples para que
triplique de valor a uma taxa de 1,5% ao
mês?
Exercício 3
n = meses ?
PV =
FV =
i = 1,5%a.m.
1,5/100=0,015
FV = PV.(1 + n . i)
3 = 1.(1 + n . 0,015)
3 = 1 + n. 0,015
R$1,00
R$3,00
3 - 1 = n . 0,015
2 = n . 0,015
2 / 0,015 = n
n = 133,33 meses 
Juros Compostos
Continuando
Calculadora Financeira – HP12c
• A mais conhecida é a HP 12c Gold,
existem outros modelos: Platinum e
Prestige.
Calculadora Financeira – HP12c
• A HP12c é famosa pela facilidade dos
cálculos financeiros:
Funções Financeiras
Calculadora Científica – Casio 
modelo fx-82ms
Instruções de como
utilizar no Tema 3
Caderno de Atividades
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casio_fx-82MS.jpg?uselang=pt-br
Juros Compostos
• No regime de capitalização composta
também se pagam juros sobre o valor
presente, mas com uma pequena e
importante diferença: o valor inicial deve
ser corrigido período a período.
(GIMENES, 2012, p. 26) – PLT;
• É o popular juros sobre juros.
Exemplo 1 – Juros Compostos
Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100,00
num Banco, pelo prazo de 3 meses, com
uma taxa de 10% ao mês, no regime de
juros compostos. Determine o saldo final
acumulado nesta aplicação.
Juros Compostos
MÊS PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final
1 100,00 10%
2
3
10,00 110,00
110,00 10% 11,00 121,00
121,00 10% 12,10 133,10
Fórmula dos Juros Compostos
FV = Valor Futuro ou Montante
PV = Valor Presente
n = prazo / tempo
i = taxa de juros (%)
• Potenciação = desafio matemático.
Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula:
Utilizar no mínimo 6 casas decimais, quando
houver valores quebrados.
PV = 100
n = 3 meses
i = 10% ao mês
FV = ?
i= 10% /100=0,1
Resolvendo o Exemplo 1 na HP12c
PV = 100
n = 3 meses
i = 10% a.m.
FV = ?
-133,10FV
PV100
n3
i10 Aceita %, não precisa dividir por 100 
f Clx
Exemplo 2
Se você aplicar R$ 8.000,00 hoje à taxa de
juros compostos de 2% ao mês, quanto terá
disponível daqui a 14 meses?
(Gimenes, 2012, p. 76)
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
PV = 8.000
i = 2 % ao mês
2 % /100 = 0,02
n = 14 meses
FV= ?
Exemplo 2 – Resolução pela HP12C
PV = 8.000
i = 2 % ao mês
2 % /100 = 0,02
n = 14 meses
FV= ? FV
PV8 000
n14
-10.555,83
i2
f Clx
Exercícios Práticos
Juros Simples e Compostos
Agora é sua vez
Exercício 1
Um investidor aplicou R$ 800,00 a uma taxa
de juros simples de 5% ao mês. Qual o
montante acumulado ao final de 3 anos?
PV = 800,00
i = 5% ao mês
FV= ?
n = 3 anos => 3.12 = 36meses 
/100 = 0,05 (Forma unitária)
FV = PV.(1 + n . i)
Resolução Exercício 1
PV = 800,00 i = 0,05
FV = ? n = 36 meses
FV = PV.(1 + n . i)
FV = 800.(1 + 36 . 0,05)
FV = 800.(1 + 1,80)
FV = 800. (2,80)
FV = 2.240,00
Atenção: efetuar a 
multiplicação 
primeiro.
Exercício 2 – PV (Valor Presente)
Sua dívida junto à Financeira YK atualmente
é de R$ 28.224,08. Se ela foi contraída há 4
trimestres, qual o valor originalmente devido,
se a taxa de juros é de 7,5%a.m?
(Gimenes, 2012, p. 81, PLT)
Exercício 2 – PV (Valor Presente)
FV = 28.224,08
n = 4 trim.
PV = ?
i = 7,5%a.m.
n = 4 x 3=12m.
i = 7,5%/100 =
i = 0,075
Exercício 2 – PV (Valor Presente) na 
HP12C
FV = 28.224,08
n = 4 trim.
PV = ?
i = 7,5%a.m.
n = 4 x 3 = 12m. 12 n
PV = -11.849,99
f CLx
FV28 224,08
i7,5 aceita em %
Na HP12c, o resultado negativo não quer dizer que 
está errado, pois ela trabalha como fluxo de caixa.
Exercício 3 – i (taxa de juros 
compostos)
Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00 
produzam R$ 700,00 juros em 7 meses?
(Gimenes, p. 91, 2012, PLT)
Revisão de matemática básica:
Exercício 3 – i (taxa de juros 
compostos)
Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00
produzam R$ 700,00 juros em 7 meses?
i = ? Mensal PV = 2150 J = 700
n = 7 meses
FV = PV+J
FV = 2150+700
FV = 2850
Exercício 3 – i (taxa de juros 
compostos)
7 SHIFT ^
X 100 = 4,1086%a.m.
Exercício 3 – i (taxa de juros 
compostos) na HP12c
i = ? Mensal
PV = 2150
J = 700
n = 7 meses
FV = PV+J
FV= 2150+700
FV = 2850
7 n
i = 4,108%a.m.
f CLx
CHS2 150 PV
FV2 850
*Na prova será aceito este padrão
de resposta. Colocar todos os
passos da HP12C.
Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)
Você aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de
10%a.m. Depois de algum tempo, o valor
disponível para o resgate era de R$
1.610,51. Qual o tempo dessa aplicação?
(Gimenes, 2012, p. 86, PLT)
Revisão matemática básica:
= 2.log 5
Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)
PV = 1000
i = 10%a.m.
FV = 1610,51
n = ?
Taxa ao mês
Resposta
em meses.
i = 10/100 = 0,1 n=0,206963/0,041393=5m.
Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)
PV = 1000
i = 10%a.m.
FV = 1610,51
n = ?
Taxa ao mês
Resposta
em meses.
10 i
n = 5 meses
f CLx
CHS1 000 PV
FV1610,51
Juros Simples e Compostos
Finalizando
Mais Estudos
• É muito importante que você resolva mais
exercícios.
• Não fique somente nos exercícios das
aulas.
• O treino e a variedade de exercícios
deverão complementar as aulas.
• Faça os exercícios do Caderno de
Atividades e do PLT.
• Tente resolver sem ver a solução.
Juros Simples x Compostos
MÊS PV i Juros (R$)
Saldo 
Final
1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00 
2 R$ 100,00 10% 10,00 120,00 
3 R$ 100,00 10% 10,00 130,00 
MÊS PV i Juros (R$)
Saldo 
Final
1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00 
2 R$ 110,00 10% 11,00 121,00 
3 R$ 121,00 10% 12,10 133,10 
= Juros Simples
Juros Compostos = 
Gráfico Comparativo de Juros 
Simples e Compostos
Simples Composto
Exercício 1
A que taxa mensal de juros simples um
capital deve ser aplicado para que triplique
em 5 anos?
i = ? % mensal
PV =
FV =
n = 5 anos
n = 5 x 12 = 60 m
1,00
3,00
Exercício 1 – Resolução
FV = PV . ( 1 + n . i )
3 = 1 . ( 1 + 60 . i )
3 = 1 + 60 i
3 – 1 = 60 i
2 = 60 i
2 / 60 = i
i = 0,033333 (forma unitária)
i = 0,033333 x 100
i = 3,33% a.m.
Exercício 2
A Cia. Brasília tomou um empréstimo no
Banco Ouro. No vencimento, pagou R$
59.701,93. O prazo da operação foi de 9
meses. A taxa de juros compostos foi de
1,99% ao mês. Qual o valor do empréstimo?
FV = 59.701,93
n = 9 meses
i = 1,99% a.m.
PV = ?
/100 = 0,0199 (Forma unitária)
Resolução Exercício 2
Exercício 3
Um consumidor comprou um aparelho à vista
por R$ 449,80. O mesmo bem poderia ser
pago algum tempo depois por R$ 600,00. A
loja opera com uma taxa de 5%a.m. Qual o
prazo disponibilizado pela loja para tal
pagamento?
(Gimenes, 2012, p. 86)
Exercício 3 – Resolução
PV = 449,80
FV = 600,00
i = 5,0%a.m.
n = ?
i = 5/100 = 0,05
Exercício 4 
A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento
um título de R$ 605,00 que vencerá em dois
anos. No entanto, a empresa está precisando
de dinheiro hoje para pagar uma despesa.
Trabalhando sempre com juros compostos e
com custo de oportunidade de 10% ao ano,
por qual valor mínimo, em reais, deverá
vender hoje este título?
(ENADE – 2002 – ADM)
Exercício 4 – Resolução
FV = 605
i = 10% a.a.
n = 2 anos
PV = ?
Para Reflexão
"O juro composto é a maior invenção da
humanidade, porque permite uma
confiável e sistemática acumulação de
riqueza”.
Albert Einstein
Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática 
financeira com HP12C e Excel. São Paulo: 
Pearson Education, 2012. Pearson – PLT –
Programa do Livro-Texto
OTSUKA, Leonardo Takamasa. Matemática 
Financeira. Caderno de Atividades. Valinhos: 
Anhanguera Educacional, 2014.