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Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Faculdade de Engenharia
Juiz de Fora - MG
Apostila de Resistência dos Materiais II
Prof. Elson Magalhães Toledo (emtc@lncc.br)
Profa. Flávia de Souza Bastos (flavia.bastos@ufjf.edu.br)
Prof. Alexandre Abrahão Cury (alexandre.cury@ufjf.edu.br)
2017
Sumário
1 Teoria da Flexão Oblíqua 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Caracterização da Flexão Oblíqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Caracterização das Deformações na Flexão Oblíqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Tensões Normais na Flexão Oblíqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Cálculo com Mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.2 Posição relativa: Eixo de solicitação × Linha Neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.3 Flexão reta como caso particular da flexão oblíqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.4 Tensões na Flexão Oblíqua segundo eixos baricêntricos quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.5 Tensões na Flexão Oblíqua com eixos principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.6 Diagrama de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.7 Verificação da Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.8 Máximo Momento Fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 EXEMPLO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Cálculo das tensões pela fórmula σx =
Mnu
In
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Cálculo das tensões a partir dos eixos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 EXEMPLO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Geometria das massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Cálculo das tensões máximas utilizando os eixos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.3 Cálculo das tensões pela projeção de M em eixos quaisquer (eixos não principais de inércia) . . 16
1.7.4 Cálculo das tensões pela projeção de M sobre a LN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.5 Diagrama de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 EXEMPLO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Geometria das massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Cálculo das tensões máximas utilizando os eixos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.3 Cálculo das tensões pela projeção de M sobre os eixos baricêntricos (eixos não principais de
inércia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8.4 Cálculo das tensões pela projeção de M sobre a LN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Teoria da Flexão Composta 21
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Ocorrências Usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Distribuição de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Determinação da linha neutra (nn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Equação da linha neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Paralelismo entre as LN's da Flexão Oblíqua e da Flexão Composta . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Análise de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 EXEMPLO 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 EXEMPLO 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Núcleo Central de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.2 Obtenção do Núcleo Central de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7.3 Propriedade Fundamental da Antipolaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8 EXEMPLO 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Revisão de Geometria das Massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.1 Rotação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.2 Eixos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.3 Momentos principais de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9.4 Roteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i
ii SUMÁRIO
3 Estado Triaxial de Tensões 37
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Caso da barra sujeita a esforço axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Tensão: Conceito e Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Matriz de tensões num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Convenção de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Simetria da matriz de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Vetor tensão total num plano qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Cálculo das tensões normal e tangencial num plano qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.2 Exemplo 2 - Tratamento para o caso da barra a esforço axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Rotação do tensor de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Aplicação ao estado triaxial de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 Exemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Tensões Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 Determinação das tensões principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.3 Ortogonalidade das direções principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.4 Estacionaridade das Tensões Principais