Apostila Matrizes e Sistemas Lineares

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1 
 
 
 
Matrizes, 
 Sistemas Lineares 
 
E 
 
Números 
Complexos 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Aziz Kalaf Filho 
 
Edição 2013 
 2 
MATRIZES 
 
 
1. Definição: 
 
Sejam 
1m 
 e 
1n 
 onde m,n são números inteiros positivos, uma matriz real 
mxn é uma dupla seqüência de nºs reais, distribuídos em “m” linhas e “n” colunas, 
formando uma tabela. 
 
 
2. Notação: 
 
mxnijaA )(
: sendo 
ija
 os elementos que compõem a matriz, com 
 
mi1 
 e 
nj1 
 
 i : descreve a linha que contém o elemento 
 j : descreve a coluna que contém o elemento 
 m : é a quantidade de linhas 
n : é a quantidade de colunas 
 
 

















mnmmm
n
n
n
mxn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
........
........................
........
........
........
321
3333231
2232221
1131211
)(
 é uma matriz (mxn) 
 
 
 
3. Tipos de Matrizes: 
1. Matriz Retangular : (
nm 
 ) 












12
53
61
)( 23xijaA
 
(Nº de linhas diferente de Nº de colunas) 
 
 3 
2. Matriz Quadrada : (
nm 
) 













311
480
652
)( 33xijaA
 
(Nº de linhas igual de Nº de colunas) 
Podemos indicar por: 
mnmijnij AAaAaA ou ou )(ou )(
 
Diagonal principal: formada pelos elementos 
 nnaaaaa ,......,,,, 44332211
 
 
3. Matriz Linha : (
1m 
) 
 1.......56)( 1 xnijaA
 
Só tem uma linha, também chamada de vetor linha e pode ser indicada por 
apenas um índice. 
 
 nni aaaaA .......)( 21
 
 
4. Matriz Coluna : (
1n 
) 














2
.
5
9
)( 1mxijaA 
Só tem uma coluna, também chamada de vetor coluna e pode ser indicada 
por apenas um índice. 
 













m
mi
a
a
a
aA
.
)(
2
1
 
 
5. Matriz Diagonal : é uma matriz quadrada , tal que 
0ija
 para 
ji 
 













44
33
22
11
4
000
000
000
000
)(
a
a
a
a
aA ij 
Obs: Det(A) = 
nnaaaaa ....44332211
 
 
 
 
 4 
6. Matriz Unitária ou Identidade: é uma matriz diagonal, tal que 
1iia
 













1000
0100
0010
0001
)( 4ijaI 
Obs: Det(I) = 1 
 
7. Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada, tal que aij=0 para i>j 













44
3433
242322
14131211
4
000
00
0
)(
a
aa
aaa
aaaa
aA ij 
Obs: Det(A) = 
nnaaaaa ....44332211
 
 
8. Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada, tal que aij=0 para i<j 













44434241
333231
2221
11
4
0
00
000
)(
aaaa
aaa
aa
a
aA ij 
Obs: Det(A) = 
nnaaaaa ....44332211
 
 
9. Matriz nula: todos os aij = 0 













0000
0000
0000
0000
)( 4ijaA 
Obs: Det(A) = 0 
 
10. Matriz com um elemento: 
 11)( aaA ij 
 
Obs: Det(A) = a11 
 
 
 
 5 
11. Matriz Transposta: 
Dada uma matriz 
mxnijaA )(
, a matriz 
nxmjibB )(
 tal que os 
ijij ab 
 para todo i e 
todo j é a matriz transposta de A e indicada AT ( na prática é suficiente trocar 
linhas por colunas ) 
 












12
53
61
)( 23xijaA
 e 








156
231
)( 32xji
T bBA
 
 
12. Matriz Oposta: 
Dada uma matriz 
mxnijaA )(
, a matriz 
mxnijbB )(
 tal que os 
ijij ab 
 para todo i e 
todo j é a matriz oposta de A e indicada (-A) 
 












12
53
61
)( 23xijaA
 e 














12
53
61
)( A
 é a oposta de A 
 
13. Matriz Simétrica: 
Uma matriz é simétrica se for quadrada e A = AT 
 













741
459
192
)( 3ijaA
 e 













741
459
192
TA
 com A = AT 
 
14. Matriz Anti – Simétrica: 
Uma matriz é anti - simétrica se for quadrada e A = -AT 
 













041
409
190
)( 3ijaA
 e 













041
409
190
TA
 com A = -AT 
 
 
 
 
 6 
15. Matriz dos cofatores (dos complementos algébricos) 
 
Dada uma matriz quadrada An, podemos formar uma nova matriz também 
quadrada 
A n tal que, cada elemento 
ij
a
 da matriz 
A n é obtido calculando-se 
o determinante da matriz A , quando se elimina a linha i e a coluna j 
correspondente do elemento aij . Este valor calculado deve ser multiplicado por 
ji)1( 
 ( isto corresponde trocar o sinal do valor calculado se (i+j) for um nº 
impar e manter o sinal calculado se (i+j) for um nº par 
 













421
210
312
)( 3ijaA
 e 

























245
5112
128
)(
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
aA ij
 
 
8
42
21
11 

a
 ; 
2
41
20
)1(12 

a
 ; 
1
21
10
13 

a
 
2
42
31
)1(21 


a
 ; 
11
41
32
22 

a
 ; 
5
21
12
)1(23 


a
 
5
21
31
31 

a
 ; 
4
20
32
)1(32 a
 ; 
2
10
12
33 

a
 
 
16. Matriz Adjunta: 
Dada uma matriz quadrada An , a matriz adjunta de A , indicada por Adj(A) é 
tal que: Adj(A) = T
A
 ( é a matriz transposta da matriz dos cofatores ) 













421
210
312
)( 3ijaA
 e 

























245
5112
128
)(
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
aA ij
 
 













251
4112
528
)(
T
AAAdj
 
 
 7 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Montar as matrizes 
a) A=(aij)2x2 tal que: aij = 3i-2j 
b) B=(bij)3x4 tal que: bij= i+2j se 
ji 
 e bij= 2i-j se 
ji 
 
c) C=(cij)2x3 tal que: cij= i3-j2+2 
 
2. Considerando a matriz A=(aij)2x2 com aij=(3+i-j)2, calcular os valores de x, y,z e 
t para que se tenha: 
 
   
    







tzt3z2
yx4y2x3
A
 
 
3. A matriz A é simétrica e: 
 
 
  











x1z2
3yx3
y21
A
 determinar x , y , z 
 
4. A matriz B é anti-simétrica e: 
 
 
 













4z2zy
c)1y(x
bax2
B
 determinar a , b , c , x , y , z 
 
5. Determine a matriz adjunta, nos casos: 
a)





 

41
52
A
 b) 













102
012
121
B
 c) 















1241
0013
0221
1101
C8 
4. Operações com Matrizes 
 
4.1 Adição (Subtração) de Matrizes 
 
Definição: 
Dadas duas matrizes A = (aij) e B = (bij) do mesmo tipo mxn , chamamos de soma 
da matriz A com a matriz B , que se indica por A+B , a matriz C = (cij) também do 
tipo mxn tal que : cij = aij + bij , para todo i e para todo j . 
 
Observações: 
a) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo e a soma se obtém 
somando os elementos correspondentes; 
b) A diferença de duas matrizes pode ser calculada fazendo: 
A - B = A + (-B) , que é a soma da matriz A com a oposta de B 
 
Propriedades da adição: 
 1ª - A + B = B + A : ( comutativa ) 
 2ª - ( A + B ) + C = A + ( B+C) : ( associativa ) 
 3ª - A + 0 = A : ( existência do elemento neutro – matriz nula ) 
 4ª - A + (-A) = 0 : ( existência do elemento oposto – matriz oposta ) 
 
4.2 Multiplicação de um número Real (um escalar) por uma Matriz 
 
Definição: 
Dada a matriz A = (aij)mxn e um número real 

, chama-se produto do número real 

 pala matriz A , a matriz B = (bij)mxn , tal que : bij = 

aij , para todo i e para todo j 
. Escrevemos B = 

A 
 
Observação: 
No produto de um número real 

 por uma matriz A, devemos multiplicar todos os 
elementos da matriz A pelo número real 

 , e o resultado é uma matriz do 
mesmo tipo. 
 
 
 
 9 
Propriedades: 
 1ª - 
A )()A (  
 
 2ª - 

 ( A+B ) = 

A + 

B 
 3ª - 
A A A) (  
 
 
Exemplo: 
Com as operações de soma, subtração e multiplicação por um número real. 
Das as matrizes A , B e C , calcular a matriz D tal que : D = 2A + 4B –3C 
 











12
23
31
A
 , 













41
12
12
B
 , 













23
21
10
C
 e D = 2A + 4B + (–3C) 














)]2)(3()4(4)1(2[()]3)(3()1(4)2(2[(
)]2)(3()1(4)2(2[()]1)(3()2(4)3(2[(
)]1)(3()1(4)3(2[()]0)(3()2(4)1(2[(
D
 = 













241
25
1310
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Dadas as matrizes A e B calcular : 
a) (A + B) e (A – B) 
b) 
)B
3
1
A
2
1
( 
 e 
)B
3
1
A
2
1
( 
 
c) (3A - 4B) e (4A + 3B) 
 












4210
862
604
A
 













960
639
01215
B
 
 
2. Considere as matrizes A e B 
3. 





 

30
12
A
 e 








25
43
B
 
 
a) Resolver a equação, na matriz incógnita X : 3X – 2A = B + 5X 
b) Resolver os sistemas de equações matriciais, nas matrizes incógnitas X e Y: 
 10 
 b1 ) 2X –3Y = A b2 ) X + Y = 2A - B 
 5X – 6Y = B X - Y = A + 2B 
 
4.3 Multiplicação de Matrizes 
 Sejam A =(a1k)1xn uma matriz linha com n elementos e B = (bk1)nx1 uma matriz 
coluna com n elementos: 
 
n1131211
a..aaaA 
 e 





















1n
31
21
11
b
.
.
b
b
b
B
 
O produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, é uma matriz C = (c11)1x1 com 
um único elemento, indicada por C = A.B , tal que: 


n
1k
1kk11nn131132112111111
ba ba........bababac
 
“ O único elemento da matriz C, o c11 é igual a soma dos produtos dos elementos 
da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B.” 
Exemplo: 
 721351A 
 e 























3
6
2
5
1
2
B
 
então 
c11=(-1).2 + 5.(-1) + 3.(-5) + 1.2 + (-2)6 + 7.3 = - 2 - 5 -15 + 2 -12 +21 = -11 
logo 
 11C 
 
 
Definição: 
Dadas as matrizes A = (aik) do tipo (mxn) e B = (bkj) do tipo (nxp), o produto AB é 
uma matriz C = (cij)mxp do tipo m linhas e p colunas (mxp), isto é , com o mesmo 
número de linhas da matriz A e com o mesmo número de colunas da matriz B. 
Os elementos cij da matriz C são obtidos por: 


n
1k
kjikij
b.ac
 
 
 11 
“O elemento da linha “i” e coluna “j” da matriz C, é a soma dos produtos dos 
elementos da linha “i” da matriz A pelos elementos da coluna “j” da matriz B.” 
 Ex: C23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 + a24b43 + ...... + a2kbk3 + ...... + a2nbn3 
Observações 
1. O produto “A.B” só poderá ser realizado se o número de colunas da matriz A 
for igual ao número de linhas da matriz B ; 
2. A matriz C terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número 
de colunas da matriz B; 
Exemplos: 
a) (2x3).(3x5)=(2x5) ; (4x5).(5x8)=(4x8) ; (3x4).(5x7)= não pode ser realizada 
b) (7x7).(7x7)=(7x7) ; (nxn).(nxn)=(nxn) 
c) (nxm).(mxn)=(nxn)=quadrada de ordem n  (2x4).(4x2)=(2x2) 
d) (mxn).(nxm)=(mxm)=quadrada de ordem m  (4x2).(2x4)=(4x4) 
3. Pelos exemplos acima podemos verificar que se um produto A.B puder ser 
realizado, nem sempre o produto B.A poderá ser , e se puder, A.B

B.A (em 
geral) 
4. Mesmo no caso de as matriz serem quadradas de mesma ordem, 
(nxn).(nxn)=(nxn) , em geral A.B

B.A 
 
Propriedades 
1ª (AB)C = A(BC) Associativa 
2ª (A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB Distributiva 
 
Processo Prático 
 













1024
1133
5231
A
4x3 4x3
34333231
24232221
14131211
C
cccc
cccc
cccc











 
 















4123
1005
2332
2011
B
4x4 
 
 
 
 12 
 1 3 -2 5 
A = 3 3 1 -1  c23 = C 
 4 2 0 -1  c32 
   
 1 -1 0 2 
 B = 2 3 3 -2 
 5 0 0 1 
 3 2 1 4 
 
 
c23 = 3*0+3*3+1*0+(-1)*1 = 8 
c32 = 4*(-1)+2*3+0*0+(-1)*2 = 0 
 
EXERCÍCIOS 
1. Dadas as matrizes, determinar: 
a) A . B ; b) (A . B)T ; c) B . A ; d) (B . A)T ; e) AT. BT ; f) BT. AT 













65
53
02
A
 ; 





 

256
123
B
 
2. Calcule, se existir, os produtos AB e BA, sendo dadas as matrizes, nos 
seguintes casos: 
 
 a) 







13
31
A
 ; 







4
2
B
 
b) 







13
20
A
 ; 








14
41
B
 
c) 







13
20
A
 ; 







23
21
B
 
d) 







b0
a0
A
 ; 







00
dc
B
 
 
3. Sendo 








24
42
A
 e 







1
1
B
 encontrar a matriz X tal que AX = B 
4. Determinar a matriz X na equação matricial AX = B 
 13 
 











211
012
101
A
 e 











13
4
6
B
 
5. Resolver a equação, e determinar a matriz X , sabendo que : AX = I2 
 







52
42
A
 
6. Dadas as matriz, calcular A2 e B3 
 





 

24
12
A
 e 







02
20
B
 
7. Calcule “a” e “b”, sabendo que : X2 –2X = [0] , onde 







b0
0a
X
 
6. Matriz Inversa 
Consideremos o seguinte problema: 
Dada a matriz 







25
13
A
 , determinar uma matriz B tal que A.B = B.A = I2 
Vamos admitir 







by
ax
B
 e determinar os valores de x , y , a , b 
Temos: 







25
13
A
2
I
10
01






 então 














10
01
)25()25(
)3()3(
bayx
bayx 
 







by
ax
B
 
do conceito de igualdade de matrizes , resultam as equações: 
( I ) 
025
13


yx
yx
 e ( II ) 
125
03


ba
ba
 
É um conjunto de dois sistemas de duas equações com duas incógnitas 
Resolvendo os sistemas ( I ) e ( II ) separadamente , temos como solução: 
 x = 2 e y = -5 do sistema ( I ) portanto 









35
12
B
 
a = -1 e b = 3 do sistema ( II ) 
Fazendo as multiplicações, podemos verificar que: 


































10
01
 
35
13
35
12
 
35
12
25
13 = A.B = B.A = I2 
 
 A B B A I2 
 
 14 
Portanto, temos AB = BA =I2 ,ou seja, existe uma matriz que se for multiplicada 
por A , em qualquer ordem, vai resultar na matriz Unidade ou Unitária, Sempre 
que isto ocorrer para uma matriz quadrada A , dizemos que ela é inversível. 
 
Definição: 
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir uma 
matriz B , tal que AB = BA = In . A matriz B quando existe, é chamada de matriz 
inversa de A e será representada por B = A-1 
Então temos: A.A-1 = A-1.A = In 
Convém observar que nem toda matriz quadrada é inversível 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar, se existir, a matriz inversa A-1, de cada matriz abaixo: 
 
a) 







21
23
A
 b) 









11
23
A
 c) 








14
43
A
 
d) 











100
210
321
A
 e) 














113
121
211
A
 
 
2. Repetir os exercícios anteriores a), b), c), d), e), usando a Adjunta da matriz A 
 Determinação de matriz inversa A-1 através da matriz adjunta. 
 
 
)A(Det
)A(Adj
A 1 
 
lembrando que : T
AAAdj )(
 e 
A
 é a matriz dos cofatores de A 
3. Usando as matrizes A-1 encontradas nos exercícios 1. e 2., determinar as 
matrizes X, tais que AX = B 
Demonstrar inicialmente que: Se A é uma matriz inversível, e se AX = B, então 
X = A-1B 
Considerar: 
a) 








2
2
B
 b) 







1
2
B
 c) 







2
1
B
 
d) 














2
3
2
B
 e) 











2
2
7
B
 
 
 15 
7. Operações elementares com as linhas 
 
Dada uma matriz A, entendemos por operações elementares com as linhas de A, 
uma qualquer das seguintes alternativas: 
 
a) Permutar (trocar) duas linhas de A; 
b) Multiplicar uma linha de A por um número real, diferente de zero; 
c) Somar a uma linha de A, uma outra linha de A multiplicada por um 
número real. 
 
Se uma matriz B puder ser obtida de A, através de um número finito dessas 
operações, diz-se que B é equivalente a A 
 Demonstra-se que uma matriz A é inversível se, e somente se, In é 
equivalente a A. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que 
transforma A em In , transforma In em A-1. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar, se existir, a matriz A-1 usando operações elementares, em 
cada caso. 
 IA
 ~~~ 
 1AI
 
a) 











342
412
321
A
 resolvido 










100342
010412
001321
 ~ 
13
12
11
2
2
LL
LL
LL















102300
012230
001321
 ~ 
 
23
1 L












102300
0
3
1
3
2
3
210
001321
 ~ 
33
21 2
LL
LL

















102300
0
3
1
3
2
3
210
0
3
2
3
1
3
501
 ~ 
 ~
33
1 L 














3
10
3
2100
0
3
1
3
2
3
210
0
3
2
3
1
3
501
 ~ 
32
31
3
2
3
5
LL
LL

















3
10
3
2100
9
2
3
1
9
2010
9
5
3
2
9
13001
 
 16 
   






























306
232
5613
9
1
3
10
3
2
9
2
3
1
9
2
9
5
3
2
9
13
1A 
b) 











121
210
122
A c) 












113
112
111
A d) 











013
312
201
A
 
e) 















1101
1110
1112
1101
A
 f) 














1000
1101
1010
0002
A 
 
 
8. Sistemas Lineares 
 
 
8.1 Equações lineares 
 
Uma equação linear é uma expressão do tipo: 
bxaxaxaxa nn  ......332211
 , onde 
IRaaaa n ,....,, 321
(números 
reais) e 
IRxxxx n ,....,, 321
 são as variáveis (incógnitas). 
Os escalares 
ia
 são chamados coeficientes e b é chamado de termo 
independente. 
Exemplos 
632  zyx
 (equação linear) 
0242  wtzyx
 (equação linear) 
54  tzxy
 (não é equação linear) 
332  tzyx
 (não é equação linear) 
 
Uma solução para a equação será uma seqüência ordenada de números reais 
para as variáveis 
ix
 de modo que, substituídas na equação a tornem verdadeira. 
 17 
Dada a equação linear 
232  zyx
 temos que: 
21 a
 , 
32 a
 , 
13 a
 de coeficientes e 
2b
 de termo independente; sendo 
zyx , , 
 as 
incógnitas (variáveis) da equação. 
Quando 
1x
,
1y
e 
1z
 temos: 2(-1) + 3(1) - (-1) = 2 e 2 = 2 (verdadeira) 
Quando 
1x
,
2y
e 
1z
 temos: 2(1) + 3(2) - (1) = 7 e 7 

 2 (falsa) 
 
Representamos uma solução da equação dada por: 
),.....,,,(),.....,,,( 43214321 nx cccccxxxxx 
 , no caso do exemplo temos: 
)1,1 ,1(),,( zyx
 
Observemos que não podemos afirmar que esta solução é única. 
 
 
8.2 Sistemas lineares 
 
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. Assim um 
sistema com m equações lineares com n variáveis (incógnitas) pode ser 
representado por: 
 
S =(mxn) 
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa





..........
............................................
..........
..........
..........
332211
33333232131
2232322212111313212111
 
 
Sendo: 

















mnmmm
n
n
n
mxn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
........
........................
........
........
........
321
3333231
2232221
1131211
)(
 a matriz dos coeficientes (mxn) 
 

















n
n
x
x
x
x
X
..
3
2
1
 matriz das variáveis e ; 

















m
n
b
b
b
b
B
..
3
2
1
 matriz dos termos independentes 
 
se 
0........4321  mbbbbb
 , dizemos que o sistema S=(mxn) é um sistema 
homogêneo 
 
 18 
e matricialmente indicamos: BAX  
 
 
Dizemos que uma solução do sistema linear é uma seqüência ordenada de 
números reais, 
),.....,,,(),.....,,,( 43214321 nn cccccxxxxx 
, que é a solução simultânea 
de cada uma das equações do sistema, isto é, substituindo em cada uma das 
equações do sistema verificamos que são verdadeiras. 
 
Observamos que um sistema pode ou não ter solução e, tendo solução, 
pode ter mais do que uma solução. 
 
- Se um sistema não tem solução dizemos que é um sistema impossível (SI) 
- Se um sistema tem solução dizemos que é um sistema possível (SP) 
- Se for um sistema possível e tem uma única solução, será um sistema possível 
e determinado (SPD) 
- Se for um sistema possível e tem infinitas soluções, será um sistema possível e 
indeterminado (SPI) 
 
No sistema homogêneo, (0,0,0,....,0) é sempre uma solução, chamada de solução 
TRIVIAL, assim todo sistema homogêneo é sempre possível, o que se pretende é 
determinar outras soluções além da trivial. 
 
Exemplos: 
 
a) O sistema AX = B 
0
12


yx
yx 
 
Transformado matricialmente em: 








11
21
A
 , 







y
x
X
 e 







0
1
B
 
resolvendo por eliminação: 
3
1
x
 , 
3
1
y
 e 









3
1
3
1
X
 
 é um sistema possível (SPD) 
 
 
b) O sistema AX = B 
142
02


yx
yx 
 
Transformado matricialmente em 









42
21
A
 , 







y
x
X
 e 







1
0
B
 
 
resolvendo por eliminação: 
142 
042


yx
yx 
 
Concluímos que: 0 = 1 (Falso) e, portanto é um sistema impossível (SI) 
 
 19 
 
c) O sistema AX = B 
12 
242


yx
yx 
 
 
Transformado matricialmente em: 







21
42
A
 , 







y
x
X
 e 







1
2
B
 
 
resolvendo por eliminação: 
242
2 42 


yx
yx 
 
Concluímos que: 0 = 0 (verdadeiro) e, portanto é um sistema possível e 
indeterminado (SPI) com infinitas soluções, e verificamos que as equações são 
equivalentes, pois a Equação 1 é igual a duas vezes a equação 2 assim temos 
somente uma única equação com duas incógnitas. 
Para encontrar as infinitas soluções, escolhemos uma das incógnitas como 
“livre”, por exemplo, o “x” e escolhemos uma das equações, por exemplo, a 2ª e 
isolamos o outra incógnita em função da incógnita escolhida como “livre”, assim: 
 
xy
2
1
2
1

 e, para encontrar as infinitas soluções, atribuímos valores arbitrários 
 
para a incógnita “x” (livre) e calculamos o y correspondente. 
 
 .3,2,1,0,1x e teremos 






 .,.........1,
2
1
,0,
2
1
,1y
 
 portanto as soluções do sistema são da forma:
 






 xyIRyx
2
1
2
1
, 2
 
ou de um modo mais simples 






 xyx
2
1
2
1
,
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
a) Por substituição 
b) Por eliminação (adição) 
c) Por escalonamento 
d) Pelo método de Cramer 
 
 
Observação: 
Iremos estudar apenas pelos métodos por escalonamento e de cramer, visto que 
os dois primeiros métodos já devam ser conhecidos. 
POR ESCALONAMENTO 
 
 
 20 
Considerando o sistema “S” de equações lineares (mxn) 
 
S (mxn) = 
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa





..........
............................................
..........
..........
..........
332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
 
 
Sendo: 

















mnmmm
n
n
n
mxn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
........
........................
........
........
........
321
3333231
2232221
1131211
)(
 a matriz dos coeficientes (mxn) 

















n
n
x
x
x
x
X
..
3
2
1
 matriz das variáveis e ; 

















m
n
b
b
b
b
B
..
3
2
1
 matriz dos termos independentes 
 
Dizemos que dois sistemas S e S’ são equivalentes se toda solução de S é 
solução de S’ 
 Solução(S) = solução(S’) 
 
Como sistemas equivalentes têm o mesmo conjunto solução, podemos através de 
operações elementares transformar o sistema dado S em um sistema equivalente 
S’, mas dito escalonado. 
 
Na transformação, o sistema S, será transformado num dos sistemas dos tipos: 
 
 
 S’ (mxn) = 
mn
nn
nn
nn
bxxxx
bxaxxx
bxaxaxx
bxaxaxax





1..........000
............................................
..........100
..........10
..........1
321
33321
2232321
113132121
 
 
E a matriz dos coeficientes na forma de Matriz triangular superior, com diagonal 
unitária: 
 
 
 21 

















1........000
........................
........100
........10
........1
3
223
11312
)( n
n
n
mxn a
aa
aaa
A
 
 
ou na forma 
 
S’ (mxn) = 
mnmmm
n
n
n
bxxaxaxa
bxxxaxa
bxxxxa
bxxxx





1..........
............................................
0..........1
0..........01
0..........001
332211
33232131
232121
1321
 
 
 
E a matriz dos coeficientes na forma de Matriz triangular inferior, com diagonal 
unitária: 
 

















1........
........................
0........1
0........01
0........001
321
3231
21
)(
mmm
mxn
aaa
aa
a
A
 
 
 
Matriz completa: 
Adicionamos à matriz dos coeficientes, a matriz dos termos independentes; 
 

















mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
completa
........
............................
........
........
........
321
33333231
22232221
11131211
 
 
 
e, as mesmas operações elementares utilizadas na matriz dos coeficientes para 
transformar numa matriz triangular superior ou inferior, também transformam os 
termos independentes 
 
Assim para resolver por escalonamento um sistema podemos utilizar a notação 
matricial e após o escalonamento, retornamos a notação de sistemas e 
determinamos a sua solução. 
 
 
 
 22 
Exemplo: 
 
Resolver o sistema de equações lineares; 
 
03
22
12



zyx
zyx
zyx
 
 
Matriz completa 
 











0311
2112
1121
 ~ 
13
12
11
2
LL
LL
LL
















1430
0330
1121
~ 
23
2
11
3
3
LL
L
LL
















1100
0110
1121
 
 
Retornando no sistema: 
 
1
0
12



z
zy
zyx
 (poderia ter usado triangular inferior) 
 
 
Portanto: 
da 3ª equação : 
1z
 
substituindo na 2ª , 
1y
 solução: S =( 2 , -1 , -1) 
substituindo na 1ª , 
2x
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Resolver os sistemas lineares por escalonamento 
 
 
1. 
37
032
12



yx
zyx
zyx
 Resp. = SPI 
 
 
2. 
643
11118105
54342
3322




wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
 Resp.= SI 
 
 
 23 
3. 
455
023
4



zyx
zyx
zyx
 Resp. = SPI 
 
4. 
722
63
222
132
4321
4321
4321
4321




xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 Resp.S=
 4321 ,,,
 
 
5. 
02
42
1



zyx
zyx
zyx
 Resp.S=
 113 ,,
 
 
6. 
2222
42
023
532
4321
4321
4321
4321




xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 Resp.S=
 2211 ,,, 
 
 
7. 
6432
723
4322
32
4321
4321
4321
4321




xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 Resp.S=
 1212  ,,,
 
 
8. 
63
622
834



zyx
zyx
zyx
 Resp. S=
 123 ,,
 
 
9. 
435
2843
30354



zyx
zyx
zyx
 Resp.S=
 642 ,,
 
 
 
 
 
 24 
REGRA DE CRAMER 
(Aconselhável para aplicação em sistemas 2x2xou 3x3) 
 
Considerando o sistema “S” de equações lineares (mxn) 
 
S (mxn) = 
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa





..........
............................................
..........
..........
..........
332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
Sendo: 
 

















mnmmm
n
n
n
mxn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
........
........................
........
........
........
321
3333231
2232221
1131211
)(
 a matriz dos coeficientes (mxn) 
 

















n
n
x
x
x
x
X
..
3
2
1
 matriz das variáveis e ; 

















m
n
b
b
b
b
B
..
3
2
1
 matriz dos termos independentes 
 
Consideremos: 
D = Determinante da matriz A , matriz dos coeficientes 
 
Di =Determinante das matrizes obtida de A , substituindo-se sua i-ésima coluna de 
 A , pela coluna da matriz B (matriz dos termos independentes). 
 
 
 D1 = substituir 1ª coluna de A pela matriz B 
 D2 = substituir 2ª coluna de A pela matriz B 
 D3 = substituir 3ª coluna de A pela matriz B 
 . 
 . 
 . 
 Dn = substituir nª coluna de A pela matriz B 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
Assim: 
 
D
D
x 11 
 ; 
D
D
x 2
2

 ; 
D
D
x 33 
 ; ......... 
D
D
x nn 
 
 
Retomemos o exercício resolvido por escalonamento 
 
03
22
12



zyx
zyx
zyx
 
 













311
112
121
A
 D = Det(A) = -3 
 













310
112
121
B
 D1 = Det(B) = -6 x = D1/D = -6/-3 = 2 









 

301
122
111
C D2 = Det(C) = 3 y = D2/D = 3/-3 = -1 












011
212
121
D D3 = Det(D) = 3 z = D3/D = 3/-3 = -1 
 
 
Solução: S = ( 2 , -1 , -1 ) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Repetir todos os exercícios que foram propostos por escalonamento 
 
 
9. Valores Próprios e Vetores Próprios 
 
 
a) VALOR PRÓPRIO 
 
Dada uma Matriz quadrada An , o número real  é chamado de valor próprio (ou 
auto valor) da matriz An tal que: 
 
 
 Det(An-In) = 0 
 
 26 
onde In é uma matriz Identidade 
 
O polinômio p() obtido, do Det(An-In)=0 é denominado polinômio característico 
de An . As raízes reais de p() são os valores próprios (ou autos valores) de An. 
Para se calcular os valores próprios, devemos determinar a matriz (An-In); 
 
 



















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
....
321
3333231
2232221
1131211
 e 



















1....000
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0....100
0....010
0....001
I
 
 























)(....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....)(
....)(
....)(
)(
321
3333231
2232221
1131211





nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
IA
 
 
 
e o polinômio p() obtido do determinante: p()=Det(A-I)=0 , é o polinômio 
característico, cujas raízes reais são os valores próprios ( auto valores) da A. 
 
 
b) VETOR PRÓPRIO 
 
Dizemos que 
0u
é um vetor próprio (ou auto vetor) de An para os vetores 
),,.........,,( 321 nxxxxu 
 tais que: 
 
 
(An-In). 
u
= 0 
 
 
 






















)(....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....)(
....)(
....)(
321
3333231
2232221
1131211




nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.





































0
.
.
0
0
0
.
.
3
2
1
nx
x
x
x
 
 
 
 
 
 27 
EXEMPLO: 
 







01
10
A
 e 












1
1
)( 22 IA
 
 
p() = Det(A - I) = 0 
 
Det(A2 - I2) = (-)(-) – 1.1 = 0   p() = 2 –1 = 0 
cujas raízes de p() são : 1 = 1 e 2 = -1 que são os valores próprios de A 
 
sendo (An-In). 
u
= 0 onde 
),( 21 xxu 
 
 
 
a) para 1 = 1  




















0
0
.
11
11
2
1
x
x temos: 
 
 
0 
0
21
21


xx
xx sendo a solução: 
xxx  21
 e 
) 1 , 1 () 1 , 1 (),(1  xxxu
 
 
logo para o valor próprio 1 = 1 , temos o vetor próprio 
) 1 , 1 (1 u
 
 
 
b) para 2 = -1  


















0
0
.
11
11
2
1
x
x temos: 
 
0 
0
21
21

xx
xx sendo a solução : 
21 xx 
 e 
) 1- , 1 () 1- , 1 (),(2  xxxu
 
 
logo para o valor próprio 2 = -1 , temos o vetor próprio 
) 1- , 1 (2 u
 
 
Resp. 1 = 1 , 
) 1 , 1 (1 u
 
 2 = -1 , 
) 1- , 1 (2 u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
EXERCÍCIOS 
 
Determinar para cada caso, os valores próprios(autos valores) e os 
correspondentes vetores próprios (autos vetores) das matrizes. 
 
 
1. 











000
010
001
A
 2. 








11
31
A
 
 
 
3. 












211
011
000
A
 4. 














622
622
622
A
 
 
 
5. 












202
022
000
A
 6. 












311
023
001
A