Avaliação 4 (cônicas, diagonalização)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
CAMPUS ITABIRA
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear - Avaliac¸a˜o 4
Data: 28/06/18
MATi02 - T01
Professora: Ana P. P. Pereira Valor: 5 pontos Nota:
Aluno: RA:
Instruc¸o˜es:
- os aparelhos celulares e similares devem
permanecer desligados e guardados dentro da
mochila. O porte dos mesmos durante a prova
sera´ considerado fraude, caso em que a profes-
sora recolhera´ a avaliac¸a˜o aplicando nota zero;
- preencha o cabec¸alho da prova;
- esta avaliac¸a˜o e´ composta por 4 questo˜es;
o valor de cada questa˜o esta´ indicado no in´ıcio
da mesma;
- a prova pode ser feita a la´pis, mas a res-
posta final deve ser escrita a caneta;
- apresente todos os ca´lculos de forma clara
e organizada;
- respostas sem justificativas sera˜o anula-
das;
- proibido o uso de calculadora e similares;
- a prova e´ individual e sem consulta: a
consulta a colegas ou a utilizac¸a˜o de quaisquer
materiais na˜o autorizados pela professora, sera´
considerada fraude, caso em que a professora
recolhera´ a(s) avaliac¸a˜o(o˜es), aplicando nota
zero aos alunos envolvidos.
BOA PROVA!
Questa˜o 1. (1,5 pontos) Dada a matriz
[
5 2
2 2
]
, determine:
(a) polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) =
(b) autovalores
λ1 = λ2 =
(c) autovetores
~v1 = ~v2 =
(d) auto-espac¸os
W1 =
W2 =
(e) base para os auto-espac¸os
B1 =
B2 =
2
Questa˜o 2. (1 ponto) Diagonalize a matriz
[
5 2
2 2
]
por meio de uma matriz ortogonal, ou seja,
determine uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP t.
Dica: Use os resultados da Questa˜o 1.
Questa˜o 3. (1,5 pontos) Considere a equac¸a˜o 5x2 + 4xy + 2y2 − 12 = 0.
Dica: Use os resultados da Questa˜o 1.
(a) Determine a equac¸a˜o reduzida referente ao sistema x′y′.
(b) Classifique a coˆnica (para´bola, elipse ou hipe´rbole) representada pela equac¸a˜o.
(c) Fac¸a o esboc¸o da coˆnica no plano x′y′.
5
Questa˜o 4. (1 ponto) Determine as coordenadas do ponto P = (
√
3, 1) apo´s os eixos coordenados
serem rotacionados de 30◦.
FORMULA´RIO
x2
a2
+
y2
b2
= 1
x2
b2
+
y2
a2
= 1
x2
a2
− y
2
b2
= 1
y2
a2
− x
2
b2
= 1
y2 = 4px x2 = 4py
Valores Aproximados:
√
2 = 1, 4
√
3 = 1, 7
√
6 = 2, 4
√
7 = 2, 6
√
5 = 2, 2
√
12 = 3, 5
p(λ) = det(A− λI)
∆ = b2 − 4ac
λ =
−b±√∆
2a
(A− λI)~v = ~0
θ
pi
6
pi
4
pi
3
sen(θ)
1
2
√
2
2
√
3
2
cos(θ)
√
3
2
√
2
2
1
2
tg(θ)
√
3
3
1
√
3
ax2 +bxy+cy2 +dx+ey+f = 0
A =
 a b2b
2
c

λ1x
′2 +λ2y′2 +d′x′+e′y′+f = 0
‖~v‖ =
√
v21 + v
2
2
Rθ =
[
cos θ −senθ
senθ cos θ
]
[
x′
y′
]
= Rtθ
[
x
y
]
A = PDP−1
X = PX ′