1ª Lista de ExercÃ-cios de Cálculo Numérico

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO – PROF. HENRIQUE 
 
1) Converta os seguintes números da base decimal para a base binária: 
a) 125 b) 514 c) 896 d) 1627 e) 0,6875 f) 13,8125 
 
2) Converta os seguintes números da base binária para a base decimal: 
a) 11100101 b) 101011110 c) 1001110101 d) 100011101100 e) 11,011 f) 1011101,0111 
 
3) Resolva as equações seguintes usando o critério de parada |f(xn)| < 0,01 ou |xn+1 – xn| < 0,01. Para cada 
equação, utilize: Método da bissecção, Método da falsa posição, Método do ponto fixo, Método da secante, 
Método de Newton. 
a) 2
x
 – 3x = 0 b) x3 + x – 8 = 0 c) x – xln(x) = 0 d) x2 + log x = 0 e) x2 – sen x = 0 
 
4) No método da bissecção, podemos fazer uma estimativa do número de iterações que serão efetuadas até 
obtermos uma precisão ε. Dado um intervalo inicial [a,b] que contenha uma raiz, o próximo intervalo terá 
comprimento igual à metade do intervalo [a,b], ou seja, 
2
b a
. Após a 2ª iteração, o novo intervalo terá 
comprimento 
22
b a
. Assim, após k iterações, obteremos um intervalo de comprimento 
2k
b a
. Se quisermos 
precisão ε, faremos iterações até chegarmos em 
2k
b a



. Dessa última desigualdade, segue que: 
.2 2 2 log 2 log .log 2 logk k k k
b a b a b a b a
b a k                          
 ( )log
log 2
b a
k



. 
Portanto, o número de iterações necessárias será um valor inteiro k que satisfaça a desigualdade: 
 ( )log
log 2
b a
k



. 
Calcule o número de iterações necessárias para se obter precisão ε = 0,001 = 10-3 em cada caso seguinte: 
a) x
3
 – 9x + 3 = 0. Intervalo: [0,1] 
b) x. (logx) – 1 = 0. Intervalo: [1,4] 
 
5) Dada a equação x
3
 – x – 1 = 0: 
a) Mostre como chegar à função de iteração 
3( ) 1x x  
. 
b) Use o método de ponto fixo com a função de iteração φ(x), começando por x0 = 1,5 para obter uma raiz 
x
 tal que |f(
x
)| < 0,001 ou 
* 0,001x x 
. 
6) A equação x
5
 – 6 = 0 possui raiz real igual a 
5 6x 
. Use o método de Newton para encontrar uma raiz 
x
 com erro 
* 0,001x x   
. 
 
7) Obtenha os números críticos das funções seguintes com o auxílio de um método numérico tomando 
precisão ε = 0,001. 
a) 
 
2
( ) ln( ) 1
2
x
f x x x  
 b) g(x) = e
x
 + x
2
 
 
8) Mostre que as funções seguintes possuem apenas um zero real. 
a) f(x) = x
3
 + x – 8 b) g(x) = ex + x3 c) h(x) = x2 + log x d) f(x) = 
ln 0x x 
 
 
9) Deseja-se construir um reservatório em forma de um prisma reto de base quadrada, com capacidade de 2 
mil litros, usando para paredes, fundo e tampa, 20 m
2
 de um certo material. Quais devem ser as dimensões 
do reservatório, considerando precisão ε = 0,001? (Obs: 1 m3 = 1000 litros). 
 
10) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da parábola de equação y = 1 – x2 e da hipérbole de 
equação 
1
y
x

, com precisão ε = 0,001. 
 
11) As teclas de uma calculadora referentes às funções trigonométricas estão defeituosas. Mesmo assim, 
pede-se que você calcule, com erro menor que 0,001 o valor do cosseno de 20º. 
Sugestão: Usar o fato de cos 60º = ½ e a fórmula cos 3θ = 4cos3 θ – 3cos θ, com θ = 20º e cos θ = x. É 
claro que 0 < x < 1. 
12) Dada a função y = x
2
 – 5x + 6, obtenha as funções de iteração φ1(x) = 5 – 6/x e 
2( ) 5 6x x  
. Em 
seguida, verifique se elas fornecem, pelo método do ponto fixo, uma sequência de aproximações que 
converge para a raiz. Verifique usando o teorema de convergência das funções de iteração. 
 
GABARITO: 
1) a) 1111101 b) 1000000010 c) 1110000000 d) 11001011011 e) 0,1011 f) 1101,1101 
2) a) 229 b) 350 c) 629 d) 2284 e) 3,375 f) 93,4375 
3) a) 0,4688 e 3,3010 b) 1,8338 c) e = 2,7182 (número de Euler) d) 0,5327 e) 0 ou 0,8712 
4) a) 10 iterações b) 12 iterações 
5) b) 1,3246 
6) 1,4309 
7) a) 0,5667 
9) Aresta da base: x = 2,9392 m e Altura: h = 0,6804 m. 
10) (–1,3247 , –0,7548) 
11) 0,9397