Fundamentos da Cristalografia

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Unidade 2
FUNDAMENTOS DA CRISTALOGRAFIA
Caracterização de sólidos do estado cristalino. Evidências da estrutura interna dos 
sólidos cristalinos. Eixos cristalográficos. Sistemas cristalinos: triclínico, monoclínico, 
ortorrômbico, tetragonal, hexagonal, trigonal (romboédrico) e cúbico ou isométrico. As 
trinta e duas classes de simetria cristalina.
Mineralogia
• Cristalografia morfológica – apesar de seu importante papel
na evolução da mineralogia definindo os limites externos dos
cristais, é hoje um campo científico encerrado.
• Cristalografia estrutural – se ocupa da estrutura, ou seja, da
ordem tridimensional periódica das partículas que constituem o
cristal.
• Cristalografia química – é o campo que estuda a relação
entre a estrutura interna dos cristais e suas propriedades físico-
químicas.
• Cristalografia física – correlaciona as propriedades físicas dos
minerais com sua estrutura cristalográfica fundamental.
A cristalografia tem ampla
aplicação não só no
entendimento de cristais
naturais (mineralogia e
gemologia), como também
na fabricação de cristais
sintéticos ou artificiais.
Os minerais possuem um arranjo interno ordenado que é característico dos sólidos cristalinos. 
 Estrutura Cristalina da Halita (NaCl) Cristal de Halita (NaCl)
Quando em condições favoráveis, eles podem ter superfícies planas e lisas, que assumem uma forma 
geométrica regular, conhecido como CRISTAL .
Hoje em dia, muitos dos cientistas usam o termo CRISTAL para definir qualquer sólido que possui uma 
estrutura interna ordenada, independentemente de este apresentar faces externa cristalina ou não.
Na maioria das vezes, a presença de face cristalina é um acidente de crescimento e sua ausência não 
provoca modificações nas propriedades fundamentais do cristal.
O forte ordenamento atômico interno dos minerais geram formas geométricas extremamente simétricas.
Apatita
Feldspato
Diamante
Quartzo
• Estados de agregação da matéria
• Gasoso (pequena quantidade de identidades – átomos, íons, moléculas e
pequeno nº de colisões)
• Líquido (maior quantidade de identidades e maior nº de colisões)
• Sólido (grande aproximação dos constituintes e pouquíssimas colisões)
1cm³ de matéria sólida contém 10²² átomos, com distâncias de 10-16 m.
Gás Líquido
Sólido
• Matéria cristalinas e amorfas
• Cristal – quando os constituintes da matéria no estado sólido
apresentam-se organizados em estruturas regulares e definidas.
Ex. a maioria dos minerais, sal, açúcar...
• Amorfo – quando os constituintes se distribuem de maneira aleatória e
eventual, irregular, sem estrutura definida. Do ponto de vista estrutural
as substâncias amorfas se assemelham aos líquidos.
Ex. vidro, alguns mineralóides...
Amorfo é geralmente aceito como o oposto de
estrutura cristalina. Esta substância pode ser
rígida, no entanto não possuem a estrutura de
uma substância sólida.
As substâncias amorfas podem ser líquidas ou
gasosas, já que não possuem estrutura atômica
definida. Algumas substâncias comuns no dia-a-
dia são amorfas, como o vidro, poliestireno ou até
mesmo o algodão doce.
Estrutura cristalina do NaCl
• Estrutura cristalina
A estrutura interna é a
característica básica de um
cristal, não importando a forma
externa. Este é um fator de
grande importância para a
gemologia, já que as amostras
são lapidadas.
Arranjo geométrico 
bem definido dos 
átomos, ou seja, 
agrupamentos que se 
repetem nas três 
direções do espaço.
• Cristalografia estrutural
• Formação da estrutura cristalina
• Cela unitária e retículo cristalino
• Simetria
• Classes de simetria
• Sistemas cristalinos
• Formas cristalinas
Cristais variam muitíssimo de tamanho, conforme as condições de ambiente
para o crescimento. De nanocristais de diamante em meteoritos a
gigantescos megacristais, como os cristais de selenita em Naica, México.
• Formação da estrutura cristalina
Uma rede é definida por um agrupamento periódico regular de pontos no
espaço, uma abstração matemática.
A estrutura cristalina forma-se então com uma base de átomos ligados a cada
ponto da rede (unidade estrutural): rede + base = estrutura cristalina.
• Rede = estrutura geométrica
• Base = distribuição dos átomos em cada ponto da rede.
• Cela unitária
Estrutura mínima de um cristal que melhor enfoque
a sua simetria e que possua o maior número de ângulos
retos possível, ou maior número de ângulos iguais ou de
arestas iguais.
A cela consiste num 
pequeno grupos de 
átomos que formam um 
modelo repetitivo ao 
longo da estrutura 
tridimensional (analogia 
com elos da corrente). 
É usada para 
especificar um dado 
arranjo de pontos em 
um retículo cristalino.
Cela Unitária
• Retículo cristalino
ARRANJO INTERNO:
aparecimento de uma 
forma poliédrica
com faces, arestas e 
vértices.
TEORIA RETICULAR
BRAVAIS (1850):
Comportamento de certas propriedades
da matéria cristalina estão relacionadas
ao arranjo interno das suas partículas.
RETÍCULOS DE BRAVAIS
Um retículo cristalino é um conjunto periódico no qual as
celas unitárias são repetidas.
Estrutura cristalina é um arranjo de átomos reais,
dinâmico e sujeito a imperfeições, enquanto o
retículo espacial é simplesmente um conjunto de pontos
no espaço, uma abstração geométrica.
Existem 14 retículos espaciais ou retículos de Bravais,
modos de dispor os pontos no espaço, de tal forma que
tenham sempre um mesmo ambiente.
• Retículo cristalino
primitiva (P)
(F)
(I)
Tipo de Cela Unitária
P (primitiva) = pontos somente nos vértices
F (faces centradas) = pontos nos vértices e nos 
centros das faces
I (centrada) = pontos nos vértices e no centro
C (base centrada) = pontos nos vértices e nas 
fases basais.
primitiva (P)
(I)
primitiva (P)
(F)
(I)
de base
centrada (C)
primitiva (P)
ou de base
centrada (C)
primitiva (P)
de base
centrada (C)
primitiva (P)
• Simetria – cristalografia morfológica
Cristais crescem em sistemas lógicos e regulares 
que apresentam simetria em diversos graus. 
-Plano de simetria
-Eixo de rotação
-Centro de simetria
-Eixo de inversão
-Rotação
-Reflexão
-Inversão rotatória
operações fundamentais
parâmetros de simetria
Simetria
Simetria vem do grego onde quer dizer justa proporção.
Simetria quer dizer uma correspondência exata de forma
e da configuração em lados opostos de um plano dee da configuração em lados opostos de um plano de
divisão, ou em torno de um centro ou eixo.
Em termos geométricos, considera-se simetria como a
semelhança exata da forma em torno de uma determinadaç
linha reta (eixo), ponto ou plano.
Simetria em relação a um planoSimetria em relação a um plano
É um plano imaginário que divide o objeto em duas metades que sãop g q j q
imagens especulares. Isto significa que se encostarmos uma das metades
em um espelho veremos a imagem do objeto inteiro.
O operador de simetria é denominado plano de simetria e representado pela 
letra m (do inglês mirror). Também conhecido por Espelho de Simetria.
A figura ao lado mostra um
tâ l 4 lretângulo com 4 planos
traçados.
De acordo com a definição
apenas os planos 3 e 4 (em
azul) são planos de simetriaazul) são planos de simetria.
Planos 1 e 2
Planos 3 e 4
espelho
Um cubo possui 9 (nove) planos de simetria.
Espelho de Simetria (m)Espelho de Simetria (m)
Refletir através de um Espelho de SimetriaRefletir através de um Espelho de Simetria
Simetria em relação a um ponto
Um objeto possui simetria segundo um ponto se eqüidistante desteUm objeto possui simetria segundo um ponto, se eqüidistante deste
ponto, em direções opostas, motivos idênticos são encontrados.
Este ponto necessariamentecoincide com o centro geométrico do objeto
e é chamado centro de simetria, representado pela letra i.
O plano e o centro de simetria geram enantiomeros*O plano e o centro de simetria geram enantiomeros*
Centro deCentro de 
inversão
Plano de 
simetria
*Moléculas que são imagens no espelho uma da outra e não são sobreponíveis, nem por rotação, nem por translação.
Simetria em relação a um eixoSimetria em relação a um eixo
É uma linha imaginária que passa pelo centro geométrico do objeto e osÉ uma linha imaginária que passa pelo centro geométrico do objeto e os
motivos se repetem através de giros em torno desta linha, tantas vezes
quanto necessário até completar 360o.
Sendo n a ordem do eixo e θ o ângulo de giro, se a operação de
simetria se repete até completar 360o então:simetria se repete até completar 360 , então:
0360=θ
n
Ei d d 1 θ 360oEixo de ordem 1 θ = 360o
Ei d d 2 θ 180oEixo de ordem 2 θ = 180o
Ei d d 3 θ 120oEixo de ordem 3 θ = 120o
Ei d d 4 θ 90oEixo de ordem 4 θ = 90o
Ei d d 6 θ 60oEixo de ordem 6 θ = 60o
O cubo possui:O cubo possui:
Três eixos de ordem 4 normais às facesTrês eixos de ordem 4 normais às faces
Quatro eixos de ordem 3 nas 
diagonais de corpo
Seis eixos de 2 passando pelo meio Se s e os de p ss do pe o e o
de arestas opostas
Vimos eixos de rotação de ordem: 1 2 3 4 6
• Perguntas:
• Na natureza existem eixos de ordem 5 e superiores a 6?Na natureza existem eixos de ordem 5 e superiores a 6?
i l fi i i d d i• Na cristalografia existem eixos de ordem 5 e superiores a 
6?
• Respostas:Respostas:
• Na natureza: simNa natureza: sim
• Na cristalografia: não
Limitação da Ordem dos Eixos de Rotação:
A di ib i ã dA distribuição deve ser
congruente e não gerar espaço
vazio (ausência de matéria)vazio (ausência de matéria),
pois a existência espaço vazio
gera superfície eletricamente
carregada, consequentemente
instável quimicamente!
Assim, só existem eixos de ordem 
1; 2; 3; 4 e 6; ; ;
Não existe o de Ordem 5 nem superiores a 6
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
1 1
Eixos de rotação 
binário, ternário, 
quaternário e 
senário
Planos de simetria (P) – reflexão (mirror – m)
Centro de simetria (C)
• Simetria – cristalografia morfológica
• Simetria – cristalografia morfológica
Rotação Plano de reflexão Centro de 
simetria
Rotação com 
inversão
OS SISTEMAS CRISTALINOS
Os tipos de redes cristalinas tridimensionais estão 
agrupados em sete sistemas cristalinos de acordo com os 
sete tipos convencionais de células unitárias:
cúbico, hexagonal, romboédrico, tetragonal, 
ortorrômbico, monoclínico e triclínico
Para representar os s is temas 
cristalinos, usamos na representação 
cartesiana os eixos a, b e c (ou x, y e z) e 
os ângulos α, β e γ, entre os eixos.
• Sistemas cristalinos
Para o estudo e a classificação dos 
sistemas cristalinos utiliza-se o 
sistema cartesiano de 
representação tridimensional com 
três eixos no espaço.
As variações lineares e relações
angulares entre estes eixos resultará
nos sete sistemas cristalinos.
No caso do sistema 
hexagonal/trigonal adota-se a 
representação com um eixo c vertical 
e eixos a1, a2 e a3 no plano 
horizontal 
SISTEMA Constantes 
lineares
Constantes 
angulares
Exemplos Simetria
CÚBICO
a = b = c α = β = γ = 90º FLUORITA 4E3
TETRAGONAL
a = b ≠ c α = β = γ = 90º ZIRCÃO E4
ORTORRÔMBICO
a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90º TOPÁZIO 3E2
MONOCLÍNICO
a ≠ b ≠ c α = β = γ ≠ 90º MALAQUITA E2
TRICLÍNICO
a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90º ALBITA C
TRIGONAL
a1 = a2 = a3 ≠ c α = β = 120º
γ = 90º
TURMALINA E3
HEXAGONAL
a1 = a2 = a3 ≠ c α = β = 60º
γ = 90º
BERILO E6
• Sistemas cristalinos
• Sistemas cristalinos
1. Sistema isométrico (cúbico)
9 3 eixos cristalográficos perpendiculares, com
comprimentos iguais.
2. Sistema tetragonal
a1 = a2 c=a1 = a2 c=
α = β = γ = 90ºα β γ 90
9 possuem um eixo quaternário de simetria
9 3 eixos cristalográficos perpendiculares entre si sendo os dois 9 3 eixos cristalográficos perpendiculares entre si, sendo os dois 
horizontais de comprimentos iguais e o vertical de comprimento diferente
3. Sistema ortorrômbico
a b c= =
α = β = γ = 90º
9 apresentam, ao menos, um eixo binário de simetria
9 3 i i t l áfi di l t i t d 9 3 eixos cristalográficos perpendiculares entre si, todos com 
comprimentos diferentes
4. Sistema monoclínico
a b c= =a b c= =
α = γ = 90º, β 90º=γ , β
9 apenas um eixo de simetria (binário), ou um único plano de simetria, ou 
a combinação de ambosa combinação de ambos.
9 3 eixos cristalográficos, todos com comprimentos diferentes.
9 dois eixos formam um ângulo oblíquo entre si, e o terceiro eixo é g q ,
perpendicular ao plano formado pelos dois anteriores.
5. Sistema triclínico
a b c= =a b c= =
α β γ 90º= = =
tudo torto
9cristais caracterizam-se pela ausência 
de eixos ou planos de simetria.
9 possuem três eixos cristalográficos possuem três eixos cristalográficos 
com comprimentos desiguais e oblíquos 
entre si.
6. Sistema6. Sistema
romboédrico
(= trigonal)(= trigonal)
6 classes
a1 = a2 = a3 c=
a a = 120º, a c = 90º
7. Sistema hexagonal
a a = 120º, a c = 90º
a1 = a2 = a3 c=
9 todos os cristais possuem: ou um eixo ternário de simetria, ou um eixo 
senário de simetriasenário de simetria.
9 4 eixos cristalográficos, sendo 3 horizontais, com comprimentos 
i i d â l d 120° t i i t l áfi é iguais, cruzando-se em ângulos de 120°; o quarto eixo cristalográfico é o
vertical, cujo comprimento é diferente dos demais.
(32)
Eixo de rotação 1 2 3 4 6
Eixo de rotoinversão 1 (= i ) 2 (= m) 3 4 6 (= 3/m)
Simetria rotacional aumentando
Eixo de rotoinversão 1 (= i ) 2 (= m) 3 4 6 (= 3/m)
Combinação de eixos rotacionais 222 32 422 622
Um eixo rotacional ⊥ espelho 2/m 3/m (= 6) 4/m 6/m
Um eixo rotacional || espelho 2mm 3m 4mm 6mm
Rotoinversão com rotação e espelho 3 2/m 4 2/m 6 2/m
Três eixos rotacionais e⊥ espelhos 2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/mTrês eixos rotacionais e⊥ espelhos 2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m
Outras formas isométricas 23 432 4/m 3 2/m 
2/m 3 43m
Proporção dos minerais conhecidos,nos sistemas cristalinos
• Classes de simetria
Por dedução lógica 
considerando as 
operações e os 
elementos de 
simetria só existem 
32 classes 
cristalinas que são 
agrupadas em sete 
sistemas
• Formas cristalográficas
A forma cristalográfica consiste 
num grupo de faces do cristal, 
que têm a mesma relação 
com os elementos de 
simetria.
• Defeitos cristalinos
• Cristal perfeito e cristal real
• Cristal perfeito é teórico
• Tipos de defeitos:
– Pontuais
– Lineares
– Planares
– Volumétricos
O estudo dos defeitos cristalinos encontra 
grande aplicação na engenharia de 
materiais. 
Na gemologia é um importante mecanismo 
de causa de cor e seu entendimento 
possibilita a aplicação de tratamentos que 
modificam a coloração.
a) Defeitos pontuais
Densidade de defeitos 
pontuais cresce com
a temperatura
b) Defeitos lineares
Discordância de 
borda
ou de cunha
Discordância
tipo parafuso
ou espiral.
d) Defeitos volumétricos
Precipitados de átomos, 
ex., O, C, N, dopantes, 
etc.
Falha de 
empilhamento.
c) Defeitos planares