Conjuntos Num+®ricos

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MATEMÁTICA BÁSICA I 
Conjuntos Numéricos 
Prof. Evanilson Landim 
Motivação 
Os números estão presentes nas mais diversas situações 
do nosso cotidiano. 
Conjuntos Numéricos 
Os números estão organizados em conjuntos numéricos. 
Cada conjunto possui características e propriedades bem 
definidas. Os conjuntos numéricos são: 
 Conjunto dos números naturais 
 Conjunto dos números inteiros 
 Conjunto dos números racionais 
 Conjunto dos números irracionais 
 Conjunto dos números reais 
 Conjunto dos números complexos 
 
 
Conjunto dos Números Naturais 
As formas de representar quantidades se modificaram 
ao longo da história. Mas, todas surgiram da 
necessidade de ordenar ou contar certo número de 
objetos. 
 
Nesse conjunto são definidas as operações adição e 
multiplicação. 
 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Conjunto dos Números Naturais: operações e 
propriedades 
Adição Multiplicação 
A1 – Associativa da adição 
(a + b) + c = a + (b + c), 
 
A2 – Comutativa da adição 
a + b = b + a, 
 
A3 – Elemento neutro da adição 
 a + 0 = a, 
M1 – Associativa da multiplicação 
(ab) c = a (bc), 
 
M2 – Comutativa da multiplicação 
ab = ba, 
 
M3 – Elemento neutro da multiplicação 
 a.1= a, 
 
M4 – Distributiva da multiplicação 
relativamente á adição 
A(b + c) = ab + ac, 
 cba ,,
 ba,
a
 cba ,,
 ba,
a
 cba ,,
Conjunto dos Números Inteiros 
Existem números antes do zero? 
 
 
Qual o resultado da subtração 1 – 3? 
Situações como as que envolvem indicação de altitudes, saldo 
bancário, registro de temperaturas mínimas de uma cidade ou 
resultados financeiros de uma empresa permitem compreender 
melhor os números negativos. 
Conjunto dos Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros (Z) é a união dos 
números naturais (N) dos números negativos e do zero 
que é nulo. 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
números negativos: ..., - 4, - 3, - 2, - 1 
Z = {..., - 4, - 3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
 
Subconjuntos de Z: 
 
A letra Z corresponde à letra inicial da palavra alemã Zahl, que quer dizer “número” 
*** ,,,,  ZZZZZ
Conjunto dos Números Inteiros 
No conjunto Z são definidas também as operações de 
adição e multiplicação que além das propriedades já 
citadas, apresentam também a propriedade simétrico ou 
oposto para a adição. 
 
Para todo a, existe tal que a + (- a) = 0 
 
Assim, podemos definir em Z a operação de subtração, 
estabelecendo que a – b = a + (- b) para todo 
Za Za
Zba ,
Divisibilidade 
Uma importante noção que devemos ter sobre números 
inteiros é o conceito de divisor. Dizemos que o inteiro a 
é divisor do inteiro b – símbolo – a | b – quando existe 
um inteiro c tal que ca = b. 
Exemplo: 
2 | 12 pois 6 . 2 = 12 
Quando a é divisor de b, dizemos que “b é divisível por 
a” ou “b é múltiplo de a”. 
Exemplos: 
 
 
,...}6,4,2,0{)2( M }2,2,1,1{)2( D
Conjunto dos Números Racionais 
Como dividir 2 frutas para 3 pessoas? 
 
O surgimento dos números racionais (Q) está associado 
à noção de medidas. Mas, o que é medir? 
Número racional é todo número que pode ser escrito 
na forma , com a e b inteiros e b não nulo . 
 
Quantos números racionais existem entre 0 e 1? 
},|{ *ZbZa
b
a
Q 
b
a
Conjunto dos Números Irracionais 
Como medir a diagonal do quadrado, utilizando seu 
lado como unidade ? 
Por muito tempo, pensou-se que ao efetuar uma medida 
o número encontrado sempre seria racional. 
Ao procurar a resposta para o problema acima, 
descobriu-se que há segmentos incomensuráveis. Assim, 
surgiram os números irracionais. 
 
Prove que é um número irracional 
2
Outros Números Irracionais 
Além dos números irracionais representados por 
radicais, existem outros números irracionais famosos, 
como: 
 
Conjunto dos Números Reais 
Denominamos número real a todo número racional ou 
irracional. Assim: 
 
 IQR 
Conjunto dos Números Complexos 
Da necessidade de ampliação dos conjunto dos números 
reais, surge o Conjunto C dos Números Complexos. 
 
 
Exemplos: 
- 2 + 3i 
5i 
- 9 
23 
Exercícios 
1. Utilizando uma calculadora (pode ser a do celular) 
tente identificar qual dos números abaixo é racional? 
a) d) 
 
b) e) 
 
c) 
 
31
26
13
11
19
14
9
7
19
63
Exercícios 
2. Seja H o conjunto , n múltiplo de 2, n 
não múltiplo de 3}. Qual é o número de elementos de 
H? 
3. Um subconjunto X de números naturais contém 12 
múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 
números ímpares. Qual é o número de elementos de X? 
4. Sendo A = {n | n = 2p – 1 e p B}, qual é a condição 
sobre B para que n seja um número natural ímpar? 
 
 
402|{  nNn

Exercícios 
5. Qual dos números abaixo é irracional? 
a) d) 
 
 
b) e) 
 
 
c) 
2
4
3 64
...1616,0
196
225
...222,0
...1515,2
17
347629
290 
Exercícios 
6. Dado um círculo de centro C e raio 5 cm, conforme a 
figura, a diagonal BD é expressa por um número: 
a) natural; 
b) inteiro negativo; 
c) racional não inteiro; 
d) irracional; 
e) imaginário puro. 
 
 
 
 
 
BD = AC = 5 cm 
Exercícios 
7. Na figura abaixo, sobre as regiões A e B é correto 
afirmar que: 
 
a) tem superfícies expressas por números de um mesmo conjunto; 
b) a superfície A tem medida racional e a superfície B medida irracional; 
c) a superfície A tem medida inteira e a superfície B medida racional; 
d) a superfície A tem medida irracional e a superfície B natural; 
e) a superfície B tem medida inteira e a superfície A medida natural; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a 
A 
B 
Exercícios 
8. Determine a fração geratriz de cada dízima: 
a) 1,444... 
b) 3,2565656... 
 
 
 
Resposta: 
a) 13/9 b) 1612/495 
Exercícios 
9. Numa classe de 35 alunos há 22 homens e 13 
mulheres. Na prova de Matemática a nota média dos 
homens foi 4,8 e a das mulheres foi 4,0. Qual foi a 
média da classe? 
 
 
 
Resposta: 
~4,5 
Exercícios 
10. Prove que x > 1 > y x + y > xy + 1 
 
 
 

Exercícios 
8. Justifique por meio de ilustração a igualdade abaixo: 
 
 
 
3
1
3
2
2
1
x
Exercícios 
9. Justifique por meio de ilustração a igualdade abaixo: 
 
 
 
4
3
3
2
:
2
1

Referências 
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 2004. 
v. 1 e v.2. 
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática - temas e metas: conjuntos numéricos 
e funções. 2 ed. São Paulo: Atual: 1988. v. 1. 248 p. 
MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: lógica, conjuntos e funções. 
São Paulo: Scipione, 1988. v. 1. 
SCHWERTI, Simone Leal, Matemática Básica, 2a ad, edifurb, 2010 
SILVA, Sebastião Medeiros ET AL, Matemática Básica para Cursos Superiores, 
Atlas, 2002 
SMOLE, Katia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. 5ª ed, Saraiva, 
2007. 
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