CAROLINA_CI_2013_2_P2

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1 (6,5 pontos). As para´bolas y = x2 + 8x + 13 e y = ax2 + bx − 14 possuem uma tangente comum
no ponto (−3,−2). Determine os valores de a e b.
2 (9 pontos). Considere a func¸a˜o f : (−∞, 0]→ R definida por f(x) = x |48x2+12x3−6x4|. Determine
a derivada de f.
3 (13,5 pontos). Esboce o gra´fico de f(x) = −x3 − 3x2 + 9x+ 16, para −4 6 x 6 2.
4. Para diversificar suas aulas, uma professora organizou um jogo. Cada dupla de alunos deveria
posicionar-se da seguinte maneira: um dentro de uma piscina circular e outro em sua borda. O
primeiro deveria nadar a partir de qualquer ponto da borda da piscina (digamos, A) ate´ outro ponto
da borda (digamos, B), onde encontraria seu colega. Este deveria chegar ao ponto C diametralmente
oposto ao ponto A de partida, pela borda da piscina. A dupla formada por “Bout” e “Felps”
completou a prova no maior tempo poss´ıvel. Sabendo que um nadou a 2 m/s, o outro correu a 4 m/s
e o raio da piscina e´ 10 m, determine como eles procederam. Para isto, siga o roteiro abaixo.
(a) [1 ponto] Fac¸a um desenho representando a piscina, os pontos A, B, C, o aˆngulo BAˆC=α e O
o ponto me´dio de AC.
(b) [1 ponto] Use a lei dos cossenos para obter uma equac¸a˜o que relacione o segmento BC, o
diaˆmetro da piscina e a trajeto´ria AB percorrida a nado.
(c) [2 pontos] Observando que todo triaˆngulo inscrito numa semi-circunfereˆncia e´ retaˆngulo, obtenha
uma nova equac¸a˜o de AB em func¸a˜o de α.
(d) [2 pontos] O arco BC pode ser determinado em func¸a˜o de α do seguinte modo: BC = 10·BOˆC.
(e) [2 pontos] Obtenha uma equac¸a˜o do tempo gasto em func¸a˜o de α, determinando seu domı´nio.
(f) [3 pontos] Analise a func¸a˜o obtida no item anterior para dar sua resposta.