Cálculo I - Maria Julieta

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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
Capítulo 1: Números Reais
1.1- Conjuntos Numéricos
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos 
então o conjunto
{ },...4,3,2,1 =N .
Os números –1, –2, –3, –4, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais 
com os inteiros negativos e o zero define o conjunto dos números inteiros que denotamos por 
{ },...4 ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±±=Ζ .
 
Os números da forma q
p
, onde p e q são inteiros e q ≠ 0 são chamados de frações e formam o conjunto dos 
números racionais. Denotamos por




≠Ζ∈Ζ∈= 0q , ;Q eqp
q
p
.
Cada número racional q
p
 possui, também, uma representação decimal. Para obtê-la, basta efetuar a divisão 
de p por q. Por exemplo:
 ,641,0
12
5 e 142857,0
7
1 ,25,0
4
1
===
onde a barra acima dos algarismos indica que aquele grupo de algarismos repete-se indefinidamente. Dizemos, 
nesse caso, que se trata de uma dízima periódica.
Observe que, dado o número racional q
p
, ao dividirmos p por q, temos, em cada passo da divisão, apenas 
um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2, ... , q – 1. Portanto, após no máximo q passos, 
chegaremos ao resto zero, que é o que ocorre com 
4
1
, e a representação decimal será finita, ou repetiremos algum 
resto, que é o que ocorre com 
12
5 e 
7
1
, quando teremos uma representação decimal na forma de dízima periódica.
Reciprocamente, se x possuir uma representação decimal finita ou for uma dízima periódica, então x será 
um número racional. Os exemplos a seguir podem ser generalizados para dízimas quaisquer e permitem entender 
como obter uma fração a partir de uma representação decimal.
Exemplo 1: 
4
1
100
2525,0 == .
Exemplo 2: Como 142857,0=x possui um período de 6 dígitos, multiplicamos por 106 para obter 
.142857,142857106 =x Assim, ( ) resulta e 142857110 que modo de ,14285710 66 =−=− xxx
7
1
777
111
10101
1443
111111
15873
999999
142857
110
142857
6 =====
−
=x .
Regra Geral: 
9...999
......,0 321321 tt
aaaaaaaax == , onde o denominador tem tantos dígitos iguais a 9 quantos 
forem os algarismos do período (t, nesse caso).
1
Exemplo 3: Como os dois primeiros dígitos da parte decimal de 641,0=x não fazem parte do período, 
multiplicamos x por 102 para obter 
3
125
3
23.41
3
241
9
6416,0416,41102 =+=+=+=+==x ; portanto, 
12
5
300
125
==x . 
 
Existem números que não podem ser representados na forma q
p
, onde p e q são inteiros e q ≠ 0, ou seja, 
números cuja expansão decimal não é finita e nem periódica, tais como 2,101001000100001..., 
. ...7182818,2 ...,1415927,3 ...,41421,12 === epi Estes números formam o conjunto dos números 
irracionais que denotaremos por QC.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto 
dos números reais, que denotaremos por
CQQR ∪= .
Temos também os números da forma bia + , onde ba e são números reais e 12 −=i , que constituem o 
conjunto dos números complexos denotado por{ } 1 , ; −=∈∈+= ieRbRabiaC .
Observação: As letras N, Q, R e C são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente, real e complexo, 
respectivamente. A letra Z é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão. 
1.2- O Corpo dos Números Reais
No conjunto dos números reais introduziremos duas operações, chamadas adição e multiplicação, as quais 
satisfazem os axiomas a seguir.
 
A adição faz corresponder a cada par de elementos a, b ∈ R sua soma a + b ∈ R, enquanto a multiplicação 
associa a esses elementos o seu produto a . b ∈ R. 
- Axiomas da adição
A1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a + b) + c = a + (b + c).
A2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a + b = b + a.
A3. Elemento neutro: Existe 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, qualquer que seja a ∈ R.
A4. Simétrico: Todo elemento a ∈ R possui um simétrico em R, denotado por –a, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0.
- Axiomas da multiplicação
M1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a . b) . c = a . (b . c).
M2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a . b = b . a.
M3. Elemento neutro: Existe 1 ∈ R tal que 1 ≠ 0 e a . 1 = 1 . a = a, qualquer que seja a ∈ R.
M4. Inverso multiplicativo: Todo elemento a ≠ 0 em R possui um inverso multiplicativo em R, denotado por a-1 ou 
1/a, tal que a . a-1 = a-1. a = 1.
D1. - Axioma da distributividade:
Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se a . (b + c) = a . b + a . c e (a + b) . c = a . c + b . c.
2
Observações:
1. Outros conjuntos numéricos apresentam-se munidos das operações de adição e multiplicação, satisfazendo as 
nove propriedades anteriormente referidas. Por exemplo, o conjunto Q dos números racionais e o conjunto C dos 
números complexos.
2. Um conjunto K munido de duas operações satisfazendo aos nove axiomas anteriores é denominado corpo. 
Portanto, relativamente às operações de adição e multiplicação, R é um corpo. Também Q e C são corpos.
3. Usando os axiomas A.4 e M.4 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
- Subtração: Se a e b são números reais, a diferença entre a e b, denotada por a – b, é definida por 
a – b = a + (– b). A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R sua diferença a – b ∈ R chama-se 
subtração.
- Divisão: Se a e b são números reais e b ≠ 0, o quociente de a por b, denotado por 
b
a
, é definido por 
b
aba
b
a 1 . . 1 == − . A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R, com b ≠ 0, o quociente R
b
a
∈ 
chama-se divisão.
1.3- Algumas propriedades que se deduzem dos axiomas de corpo
P.1. O elemento neutro da adição em R é único.
Vamos supor que 0 e 0’ são elementos neutros para a adição em R.
Temos:
0 é neutro e 0’∈ R ⇒ 0 + 0’= 0’; 
0 ∈ R e 0’é neutro ⇒ 0 + 0’ = 0.
Logo, 0’= 0. Portanto o elemento neutro da adição em R é único.
 
P.2. O elemento simétrico em R é único.
Vamos supor que –a e a’são simétricos de a ∈ R.
Então: 
a' = a’+ 0 = a’+ [a + (–a)] = (a’+ a) + (–a) = 0 + (–a) = –a.
Portanto o elemento simétrico de a ∈ R é único.
P.3. O elemento neutro da multiplicação em R é único.
Vamos supor que 1 e 1’ são elementos neutros para a multiplicação em R.
Temos:
1 é neutro e 1’∈ R ⇒ 1 . 1’= 1’; 
1 ∈ R e 1’é neutro ⇒ 1 . 1’ = 1.
Logo, 1’= 1. Portanto o elemento neutro da multiplicação em R é único. 
P.4. O elemento inverso em R é único.
Vamos supor que a-1 e a’ são inversos de a ∈ R, a ≠ 0.
Então: 
a' = a’. 1 = a’. (a . a-1) = (a’. a) . a-1 = 1 . a-1 = a-1.
Portanto o elemento inverso de a ∈ R, a ≠ 0, é único.
P.5. Se a ∈ R então a . 0 = 0.
Temos:
a.0 = a. (0 + 0) = a.0 + a.0 ⇒ a.0 + [– (a.0)] = a.0 + a.0 + [– (a.0)] ⇒ 0 = a.0.
Logo, a.0 = 0. 
3
P.6. Se a, b ∈ R tais que a . b = 0 então a = 0 ou b = 0.
Se a = 0, não temos nada a mostrar.
Vamos supor, então, a ≠ 0. Assim existe a-1 ∈ R e obtemos:
a.b = 0 ⇒ a-1 (a.b) = a-1.0 ⇒ (a-1.a).b = 0 ⇒ 1.b = 0 ⇒ b = 0. 
P.7. Se a, b, c ∈ R então, a – b = c ⇔ a = b + c.
Temos:
a – b = c ⇒ a + (–b) = c ⇒ [a + (–b)] + b = c + b ⇒ a + [(–b) + b] = b + c ⇒ a + 0 = b + c ⇒ a = b + c.
a = b + c ⇒ (–b) + a = (–b) + (b + c) ⇒ a + (–b) = [(–b) + b] + c ⇒ a – b = 0 + c ⇒ a – b = c. 
P.8. Se a, b, c ∈ R, com b ≠ 0, então, cbac
b
a .=⇔= .
Temos:
( ) ( )
( ) ( ) ..1........
...1.......
11111
111
c
b
acbacbbbacbbabcba
cbacbacbbbabcbbacbac
b
a
=⇒=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
−−−−−−−−
P.9. Se a, b, c ∈ R então, a + c = b + c ⇒ a = b.
Temos:
a + c = b + c ⇒ (a + c) + (–c) = (b + c) + (–c) ⇒ a + [c + (–c)] = b + [c + (–c)] ⇒ a + 0 = b + 0 ⇒ a = b. 
P.10. Se a, b, c ∈ R, com c ≠ 0, então, a . c = b . c ⇒ a = b.
Temos: 
a.c = b.c ⇒ (a.c).c-1 = (b.c).c-1 ⇒ a.(c.c-1) = b.(c.c-1) ⇒ a.1 = b.1 ⇒ a = b.
P.11. Se a, b ∈ R então, – a = (– 1) . a; 
 – ( – a) = a;
 (– a) b = a (– b) = – (a b);
 (– a) (– b) = a b.
1) (–1).a + a = (–1).a + 1.a = [(–1) + 1].a = 0.a = 0; logo o simétrico de a é (–1).a, ou seja, –a = (–1).a.
2) a + (–a) = 0; logo o simétrico de (–a) é a, isto é, –(–a) = a.
3) (–a).b + a.b = [(–a) + a].b = 0.b = 0; logo (–a).b é o simétrico de a.b, isto é, (–a).b = –(a.b).
a.(–b) + a.b = a.[(–b) + b] = a.0 = 0; logo a.(–b) é o simétrico de a.b, ou seja, a.(–b) = –(a.b).
4) (–a).(–b) = –[a(–b)] = –[ –(a.b)] = a.b. 
P.12. Se a, b ∈ R então, a2 = b2 se, e somente se, a = ± b.
Temos:
( ) ( ) 00.02222 =−⇔=+−⇔=−⇔= bababababa ou baba =⇔=+ 0 ou ba −= . 
1.4- Desigualdades e suas propriedades
- Axioma de Ordem
No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado de conjunto dos números positivos tal 
que as seguintes condições são satisfeitas:
(i) dado a ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou a = 0, ou a é positivo ou 
– a é positivo;
(ii) a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é positivo.
4
- Definições
1. O número real a é negativo se, e somente se, – a é positivo.
2. Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos como segue:
(i) a < b ⇔ b – a é positivo;
(ii) a > b ⇔ a – b é positivo.
3. Os símbolos ≤ (menor que ou igual a) e ≥ (maior que ou igual a) são definidos como segue:
(i) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b;
(ii) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b.
4. Expressões envolvendo os símbolos <, >, ≤ ou ≥ são chamadas desigualdades. Expressões do tipo a < b e 
a > b são desigualdades estritas, enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas.
- Propriedades
Sejam a, b, c e d números reais. Temos:
P.1. a > 0 ⇔ a é positivo
a > 0 ⇔ a – 0 é positivo ⇔ a é positivo 
P.2. a < 0 ⇔ a é negativo 
a < 0 ⇔ 0 – a é positivo ⇔ – a é positivo ⇔ a é negativo 
 
P.3. a > 0 ⇔ – a < 0
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ – a é negativo ⇔ – a < 0 
 
P.4. a < 0 ⇔ – a > 0
a < 0 ⇔ a é negativo ⇔ – a é positivo ⇔ – a > 0 
P.5. Se a ∈ R e a ≠ 0 então a2 > 0. Em particular, 1 > 0.
Como a ∈ R e a ≠ 0 temos, pelo axioma de ordem, que a > 0 ou – a > 0.
Também pelo axioma de ordem obtemos que se a > 0 então a2 = a.a > 0 e se – a > 0 então a2 = a.a = (– a).( – a) > 0. 
Em particular, 1 ≠ 0 e 1 = 12; logo 1 > 0. 
P.6. Dados a, b ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: ou a = b, ou a < b ou a > b.
Sendo a, b ∈ R então b – a ∈ R e, pelo axioma de ordem, temos: ou b – a = 0, ou b – a > 0 ou – (b – a) > 0. Assim, 
ou a = b, ou a < b ou a > b.
P.7. Se a < b e b < c então a < c.
Temos:
a < b e b < c ⇒ b – a > 0 e c – b > 0 ⇒ (b – a) + (c – b) > 0 ⇒ c – a > 0 ⇒ a < c. 
P.8. Se a < b então a + c < b + c.
Temos:
a < b ⇒ b – a > 0 ⇒ b + c – c – a > 0 ⇒ (b + c) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + c. 
5
P.9 Se a < b e c > 0 então a c < b c.
Temos:
a < b e c > 0 ⇒ b – a > 0 e c > 0 ⇒ c. (b – a) > 0 ⇒ b.c – a.c > 0 ⇒ a.c < b.c 
P.10. Se a < b e c < 0 então a c > b c. Em particular, a < b é equivalente a – a > – b.
Temos:
a < b e c < 0 ⇒ b – a > 0 e – c > 0 ⇒ (b – a).( – c) > 0 ⇒ a c – b c > 0 ⇒ a c > b c. 
P.11. Se a < b e c < d então a + c < b + d.
Temos:
a < b e c < d ⇒ b – a > 0 e d – c > 0 ⇒ (b – a) + (d – c) > 0 ⇒ (b + d) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + d. 
P.12. Se 0 < a < b e 0 < c < d então a c < b d.
Temos:
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc
c < d e b > 0 ⇒ bc < bd
Logo, ac < bd. 
P.13. Se a > 0 e b < 0 então a b < 0.
Temos:
a > 0 e b < 0 ⇒ a > 0 e – b > 0 ⇒ a.( – b) > 0 ⇒ – (ab) > 0 ⇒ ab < 0.
 
P.14. Se a > 0 então a-1 > 0. Segue-se que a > 0 e b > 0 implica 0>
b
a
.
Como a > 0 e a.a-1 = 1 > 0 então a-1 > 0, pois se a-1 = 0 então a.a-1 = a.0 = 0 e se a-1 < 0 então a.a-1 < 0.
Se a > 0 e b > 0 então a > 0 e b-1 > 0; logo 01 >= −ab
b
a
.
P. 15. Se 0 < a < b então b-1 < a-1.
Temos:
( ) ( ) ( ) 0111111 111 >−=−=


−=


−=−=−
−
−− ababab
abb
ab
a
ab
abbaab
ab
ba
ba .
Logo, b-1 < a-1.
- Observações:
1. As propriedades P.7 a P.15 válidas para a relação < também são válidas para as relações >, ≤ e ≥. É evidente 
que se a ∈ R então a ≤ a, e dados a, b ∈ R, tem-se a = b se, e somente se, a ≤ b e b ≤ a. 
2. Um corpo ordenado é um corpo K no qual se destaca um subconjunto P ⊂ K, chamado o conjunto dos 
elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:
P.1. Dado x ∈ K, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ P ou – x ∈ P.
P.2. A soma e o produto de elementos positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ P então x + y ∈ P e x.y ∈ P.
Os elementos – x de K tais que x ∈ P chamam-se negativos. 
Portanto, R e Q são corpos ordenados. 
 
3. Num corpo ordenado K, se a ≠ 0 então a2 ∈ P. De fato, sendo a ≠ 0, ou a ∈ P ou – a ∈ P. No primeiro caso, a2 
= a.a ∈ P. No segundo caso, a2 = (– a).( – a) ∈ P, pois valem as mesmas regras de sinais vistas para o conjunto R.
Em particular, num corpo ordenado 1 = 1. 1 é sempre positivo e, segue que, – 1 é negativo. Portanto, num corpo 
ordenado, – 1 não é quadrado de elemento algum. Assim, concluímos que C não é ordenado.
6
4. Geometricamente, o conjunto dos números reais pode ser visto como uma reta, através de uma correspondência 
entre os números reais e os pontos da reta. Para tanto, escolhemos um ponto arbitrário da reta, que denominamos 
origem, e uma unidade de medida. A origem fica em correspondência com o número 0 (zero). Na semi-reta da 
direita representamos os números reais positivos e, na semi-reta da esquerda, os números reais negativos. Essa reta, 
provida da origem e da correspondência com os números reais, costuma ser denominada reta real e denotada, 
também, por R. Na correspondência com a reta real, ba < significa que a fica à esquerda de b.
 
1.5- Valor absoluto de um número real
Se quisermos obter, para cada número real x, a distância entre x e a origem, devemos considerar os 
seguintes casos:
 
Nos dois primeiros casos, dizemos que a distância entre x e 0 é o próprio x. No terceiro caso, a distância é –x.
- Definição
O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, denotado por x , é definido por:
 

<−
≥
=
.0 ,
0 ,
xsex
xsex
x 
 
De acordo com a definição temos que se x ∈ R então 0≥x , e 0=x se, e somente se, x = 0.
Além disso, se x ∈ R, ou x e – x são ambos zero, ou um é positivo e o outro é negativo. Aquele, dentre 
x e – x, que não for negativo, é x . Logo, x é o maior dos elementos x e – x, ou seja, x = máx { x, – x}.
Temos, portanto, xx ≥ e xx −≥ . Esta última desigualdade pode ser escrita xx ≤− e obtemos 
xxx ≤≤− .
Pelo que vimos, geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância entre x e 0 (zero).
Para encontrarmos a distância entre dois números reais a e b quaisquer, devemos analisar três situações 
possíveis para pontos a e b arbitrários da reta real:
 
No primeirocaso, como 0>− ab , temos abab −=− ; no segundo caso, como 0=− ab , temos 
abab −==− 0 ; no terceiro caso, como 0<− ab , temos ( ) baabab −=−−=− . Assim, em qualquer 
caso, temos baab e entre distância =− .
7
- Propriedades
P.1. Para todo a ∈ R temos 2
2 aa = . 
Como a é um dos elementos a ou -a então 2
2 aa = ou ( ) 222 aaa =−= .
Logo, 2
2 aa = .
P.2. Se a ∈ R então aa =− .
 
Se a = 0 então –a = 0 e aa ==− 0 .
Se a > 0 então –a < 0; assim ( ) aaa =−−=− e aa = .
Se a < 0 então –a > 0; segue que aa −=− e aa −= .
Portanto, aa =− .
P.3. Se ax = então x = a ou x = – a, onde 0 e , ≥∈ aRax .
Como ax = e x é um dos elementos x ou –x então x = a ou – x = a. Logo, x = a ou x = – a. 
P.4. Se a, b ∈ R e ba = então a = b ou a = – b.
Como a = a ou – a, b = b ou – b e ba = então a = b ou a = – b. 
P.5. ax < se, e somente se, axa <<− , onde 0 e , >∈ aRax .
Temos:
{ } axaaxaxaxaxaxxx <<−⇔−><⇔<−<⇔<−= e e ,max .
P.6. ax ≤ se, e somente se, axa ≤≤− , onde 0 e , >∈ aRax .
Demonstração análoga a P.5.
P.7. ax > se, e somente se, axax −<> ou , onde 0 e , >∈ aRax .
( )
( ) a. obtemos como e então Se . temos como e Se 
.ou logo ;ou então ou e Como 
>−≥>−−<>≥>⇐
−<>>−>−=>⇒
xxxaxaxaxxxax
axaxaxaxxxxax
P.8. ax ≥ se, e somente se, axax −≤≥ ou , onde 0 e , >∈ aRax .
Demonstração análoga a P.7.
P.9. Se a, b ∈ R então baba . . = .
Temos:
( ) ( ) bababababababa ....... 2222222 ±=⇒==== .
Como baba . e . são reais não negativos obtemos baba . . = .
8
P.10. Se a, b ∈ R e b ≠ 0 então b
a
b
a
= .
Inicialmente vamos mostrar que 
bb
11
= . De fato, 11 . .1 −− == bbbb ; assim 1 −b é o inverso multiplicativo 
de b , ou seja, 11 −− = bb . Logo, 
bb
11
= .
Portanto, 
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
====
1.1.1. .
P.11. Se a, b ∈ R então baba +≤+ . (Desigualdade triangular)
Se a = b = 0, é claro que baba +≤+ . 
Se a ≠ 0 ou b ≠ 0, temos: ( ) babababababbbaaa +≤+⇒+≤+≤+−⇒≤≤−≤≤− e .
P.12. Se a, b ∈ R então baba +≤− . 
Temos:
( ) babababa +=−+≤−+=− .
P.13. Se a, b ∈ R então bababa −≤−≤− .
Se a = b, é claro que bababa −≤−≤− .
Se a ≠ b, temos:
( ) bababbabbaa −≤−⇒+−≤+−= 
( ) bababaababaabaabb −−≥−⇒−=−≤−⇒+−≤+−= 
Assim obtemos: bababa −≤−≤−−
Logo, baba −≤− e, portanto, bababa −≤−≤− .
P.14. Se a, b, c ∈ R então cbbaca −+−≤− .
Temos:
cbbacbbaca −+−≤−+−=− .
P.15. Se a ∈ R então aa =2 . 
Explicação:
Dados um número real a ≥ 0 e um número natural n, demonstra-se que sempre existe um único real positivo 
ou nulo b tal que bn = a.
Ao número b chamamos raiz n-ésima de a e indicamos por n ab = , onde a é chamado radicando, o 
símbolo é o radical e n é o índice.
9
Por exemplo:
 2325 = , pois 25 = 32 007 = , pois 07 = 0
39 = , pois 32 = 9 116 = , pois 16 = 1
Conseqüências:
1. Da definição decorre que ( ) aa nn = .
2. Pela definição temos que 636 = e não 636 ±= . Mas, 39 ,24 ,283 ±=±−=−−=− são 
sentenças verdadeiras, onde o radical não é o causador do sinal que o antecede.
3. Note que no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito temos: aa =2 . 
De fato, 2a é, por definição, o único número real positivo ou nulo que elevado ao quadrado resulta 2a . Como 
22 aa = e 0≥a , segue que aa =2 . 
Por exemplo, ( ) ( ) 55 não e 555 22 −=−=−=− .
1.6- Intervalos
 
- Definições
Sejam a e b números reais, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R definidos a seguir são chamados 
intervalos:
[ ] { } ( ] { }
( ) { } ( ) { }
[ ) { } [ ) { }
( ] { } ( ) { }
( ) ., 
,;, ,;,
,;, ,;,
,;, ,;,
,;, ,;,
R
xaRxabxaRxba
xaRxabxaRxba
bxRxbbxaRxba
bxRxbbxaRxba
=+ ∞∞−
<∈=+ ∞≤<∈=
≤∈=+ ∞<≤∈=
<∈=∞−<<∈=
≤∈=∞−≤≤∈=
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [ ]ba, é um intervalo fechado, ( )ba, é aberto, 
[ )ba, é fechado à esquerda, ( ]ba, é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: ( ]b,∞− é a 
semi-reta esquerda, fechada, de origem b; ( )b,∞− é a semi-reta esquerda, aberta, de origem b; [ )+ ∞,a é a semi-
reta direita, fechada, de origem a; ( )+ ∞,a é a semi-reta direita, aberta, de origem a; ( )+ ∞∞− , pode ser 
considerado aberto ou fechado. Quando a = b, o intervalo fechado [ ]ba, reduz-se a um único elemento 
[ ] { }aaa =, , chama-se um intervalo degenerado, e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios.
- Observações:
1. Os símbolos – ∞ (leia-se menos infinito) e +∞ (leia-se mais infinito) não representam números reais.
2. Todo intervalo não-degenerado é um conjunto infinito e contém números racionais e números irracionais.
10
1.7- Exemplos
1. Encontre um número racional c e um número irracional d tais que bdca <<< , para os números reais a e b 
dados, com a < b.
a) 
3
1 e 
4
1
== ba
b) 328994,0 e 327994,0 == ba
c) ...8714799,0 e 479871,0 == ba
d) 10010002,0 e ...10010001,0 == ba
2. “O resultado da soma de dois números irracionais é um número irracional.” Verifique se é verdadeira ou falsa 
essa afirmação, justificando sua resposta. 
3. Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica na reta real.
a) 2 + 3x < 5x + 8
b) 4 < 3x – 2 ≤ 10
c) 0 , 2
7
≠> x
x
d) 3 , 4
3
≠<
−
x
x
x
e) (x + 3) (x + 4) > 0
4. Resolva as seguintes equações:
a) 523 =+x
b) 3412 +=− xx
c) 345 −=+x
d) xxx 4122 +=−+
5. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
a) 45 <−x
b) 2 ,4
2
23
−≠≤
+
− x
x
x
c) 523 >+x 
1.8- Exercícios
Páginas 10 e 11 do livro texto. 
11
___________________________________________
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
Capítulo 2: Funções
2.1- Definições
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. 
Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A 
um único elemento y de B.
O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f).
O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f.
O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos 
que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f.
Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o 
conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(A). Simbolicamente, 
temos: { }AxxfAff ∈== );()()Im( .
Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por BAf →: (leia: f de A 
em B).
Duas funções BAf →: e DCg →: são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), 
∀x ∈ A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a 
mesma regra de correspondência.
Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função 
BAf →: , onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções 
reais de uma variável real.
- Observações:
1. Usa-se a notação )(xfx  para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).
 
2. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assumenum 
ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f. 
3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável 
dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x.
4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) ∈ B quando é dado x ∈ A é inteiramente 
arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições:
1ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x ∈ A;
2ª) A cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x’ em A 
então f(x) = f(x’) em B.
5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de 
correspondência )(xfx  . Mesmo quando dizemos simplesmente “a função f”, ficam subentendidos 
12
seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim 
sendo, uma pergunta do tipo “Qual é o domínio da função f(x) = 1/x ?”, estritamente falando, não faz 
sentido. A pergunta correta seria: “Qual é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a fórmula f(x) = 1/x define 
uma função RAf →: ?” Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra )(xfx  ou, 
simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito 
que o contradomínio é R e que o domínio é o “maior” subconjunto de R para o qual faz sentido a regra 
em questão, ou seja, f(x) é um número real. 
- Notações:
 [ ) ( ) ( ] ( )0 , 0 , ,0 ,0 ** ∞−=∞−=∞+=∞+=
−−++ RRRR
- Exemplos e Contra-exemplos:
1. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + 1 define uma função 
NNf →: , sendo f(n) = n + 1. D(f) = N e Im(f) = N – {1}. 
2. A regra que associa a cada [ ]2,1∈x o seu dobro define uma função [ ] Rf →2,1: , com f(x) = 2x.
D(f) = [1, 2] e Im(f) = [2, 4].
3. A fórmula A = pir2 da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, 
determinando assim, uma função RRf →+
*: tal que f(r) = pir2. ** )Im( e )( ++ == RfRfD .
4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções 
de A em B. 
 
 
5. Seja dada a regra 24)( xxf −= . Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) ∈ R é 
4 – x2 ≥ 0, ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2. Logo D(f) = [-2, 2] e Im(f) = [0, 2].
 2.2- Gráfico de uma função
Seja BAf →: uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. 
O conjunto ( ){ } AxBAxxfxfG ⊂∈= ; )(, )( denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é 
um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais.
Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode 
então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela 
que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a 
não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de 
gráficos.
 
13
 - Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa 
o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio 
pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer 
reta vertical corta a curva no máximo em um ponto.
 
A curva C1 representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C2 não representa.
- Exemplos:
1. Considere a função f(x) = x2. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.
 
2. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico.
 
3. Seja 
2 se ,4 
22 se ,2 
2 se ,2
)(por definida :



>
≤<−
−≤−
=→
x
x
x
xfRRf . Temos: D(f) = R, Im(f) = {– 2, 2, 4} e o 
gráfico de f é mostrado pela figura a seguir.
 
 
14
4. Seja xxf =)( . Então D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo.
 
5. Seja 
x
xf 1)( = . Então D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f.
 
6. Seja [ ]xxf =)( = maior inteiro ≤ x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:
2.3- Operações
 Operações aritméticas sobre funções
Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A ∩ B ≠ ∅, podemos definir:
a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A ∩ B.
b) Função Diferença de f e g: (f – g) (x) = f(x) – g(x), sendo D(f – g) = A ∩ B.
c) Função Produto de f e g: (f . g) (x) = f(x) . g(x), sendo D(f . g) = A ∩ B.
d) Função Quociente de f por g: ( ) ( )( ) ( ){ } φ≠≠∩∈=



=



0 ; sendo , xgBAx
g
fD
xg
xfx
g
f
.
- Observação:
Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k ∈ R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, 
multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções.
15
- Exemplo:
Sejam as funções 1)( e 4)( 2 −=−= xxgxxf .
Então { } { }1ou 1 ;)( e 4 ;)( ≥−≤∈==≤∈== xxRxBgDxRxAfD .
Temos:
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=+−+−=+ xxRxBAgfDxxxgf
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=−−−−=− xxRxBAgfDxxxgf
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ;. ; 1.4. 2 ≤≤−≤∈=∩=−−= xxRxBAgfDxxxgf
( ) { } { }41ou 1 ;0)( ; ; 
1
4
2
≤<−<∈=≠∩∈=



−
−
=



xxRxxgBAx
g
fD
x
xx
g
f
( ) ( ) { }4 ;5 ; 4 5 )5( ≤∈==∩=−−−=− xRxAARfDxxf
 Composição de Funções
Sejam RBgRAf →→ : e : duas funções tais que Im(f) ⊂ B, ou seja, para todo x ∈ A temos 
que o valor f(x) ∈ B. A função RAgof →: definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função 
composta de g e f.
 
- Exemplos:
1. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x. Determinar as funções gof e fog.
Temos: 
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ∞).
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = (3x – 2)2 + 4 (3x – 2) = 9x2 – 4 e D(gof) = D(f) = R.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) = 3(x2 + 4x) – 2 = 3x2 + 12x – 2 e D(fog) = D(g) = R.
Logo: 2123)(por dada : e 49)(por definida : 22 −+=→−=→ xxxfogRRfogxxgofRRgof .
2. Sejam f e g funções dadas por 2)( e )( xxgxxf == . Determinar as funções gof e fog.
Temos: 
D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+.
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x )2 = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = xx =2 , pois D(fog) = D(g) = R.
Logo: xxfogRRfogxxgofRRgof =→=→+ )(por dada : e )(por definida : .
- Observações:
1. A função h: R → R definida por h(x) = (x2 – 1)10 pode ser considerada como a composta gof das 
funções f: R → R dada por f(x) = x2 – 1 e g: R → R definida por g(x) = x10 .
2. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) ⊄ D(g). Neste caso, 
{ })()();()( gDxffDxgofD ∈∈= . 
Por exemplo: xxgxxf =−= )( e 32)( . Temos:
16
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, +∞); Im(g) = [0, +∞).
Im(f) ⊄ D(g) ⇒ { } { } 


+ ∞=≥−∈=∈∈=−= ,
2
3032;)()();()( e 32)( xRxgDxffDxgofDxxgof .
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ [ )+ ∞==−= ,0)()( e 32)( gDfogDxxfog .
 
 
2.4- Exercícios
Páginas20, 21, 22, 23 e 24 do livro texto. 
2.5- Funções Especiais
 Função Constante
 fixo real número um sendo ,)(por definida : kkxfRRf =→
 D(f) = R e Im(f) = {k}
 Exemplo: 3)( ;: −=→ xfRRf 
 
 Função Identidade
 )(por definida : xxfRRf =→ (Notação: f = idR)
 D(f) = R e Im(f) = R 
 
 Função do 1º Grau
 0 a e reais números b e a sendo ,)(por definida : ≠+=→ baxxfRRf
 D(f) = R e Im(f) = R
 Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de 
coeficiente linear.
 Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) 
também cresce.
 Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) 
decresce.
 O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados.
 Exemplos:
a) f(x) = 2x + 3 é uma função do 1º grau crescente pois a = 2 > 0.
b) f(x) = – 3x + 1 é uma função do 1º grau decrescente pois a = – 3 < 0. 
17
 
 Função Módulo
 )(por definida : xxfRRf =→
 D(f) = R e Im(f) = [0, +∞)
 
 Função Quadrática ou Função do 2º Grau
 0 a e reais números c e b a, sendo ,)(por definida : 2 ≠++=→ cbxaxxfRRf
 D(f) = R
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo 
vertical (y).
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
 A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função.
 , então )( quadrática função da zeros os são e Se 21
2
21 a
bxxScbxaxxfxx −=+=++= 
 ).)(()( )( e . 21
2
21 xxxxaPSxxaxfa
cxxP −−=+−===
 A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de 
coordenadas 

 ∆−−
aa
b
4
,
2
, sendo acb 42 −=∆ .
 Dada uma função quadrática )( 2 cbxaxxf ++= , usando a técnica de completar os 
quadrados, podemos escrevê-la na forma ( ) vv yxxaxf +−= 2)( , sendo ( )vv yx , o vértice 
da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv.
 
18
 
 
 
 Função Polinomial
função.
dagrau o determina que negativo não inteiro um e 0, es,coeficient chamados reais números
 , , ... , , , sendo , x ... )(por definida : 121001
2
2
1
1
na
aaaaaaxaaxaxaxfRRf
n
nn
n
n
n
n
≠
+++++=→
−
−
−
 D(f) = R
 Exemplos:
a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero.
b) A função f(x) = ax + b, a ≠ 0, é uma função polinomial do 1º grau (grau 1).
c) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma função polinomial do 2º grau 
(grau 2).
d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica.
 
e) A função f(x) = x4 – 1 é uma função polinomial de grau 4. 
 
 
 
 
 Função Racional
Uma função racional f é uma função dada por )(
)()(
xq
xpxf = , onde p e q são funções 
polinomiais.
19
 { }0)( ;)( ≠∈= xqRxfD 
 Exemplos:
a) A função 
1
1)(
+
−
=
x
xxf é racional de domínio { }1)( −−= RfD .
 
b) A função 
( ) ( )
( ) ( )3.12
9.43)( 2
22
+−+
−−+
=
xxx
xxxxf é racional de domínio { }3,3,4)( −−−= RfD .
 
2.6- Função Par e Função Ímpar
Uma função RAf →: diz-se par quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf =− .
 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
 Exemplo: 2)( ;: xxfRRf =→
Uma função RAf →: diz-se ímpar quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf −=−
.
 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
 Exemplo: 53)( ;: xxxfRRf +=→
2.7- Funções Periódicas
Uma função RAf →: é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo 
Ax ∈ tem-se Apx ∈± e )()( xfpxf =+ .
 O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f.
 O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p.
 Exemplos: xxgsenxxf cos)( e )( == são periódicas de período 2pi.
20
2.8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Dizemos que uma função BAf →: é injetora quando, para quaisquer 
)()( se- tem, com , 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈ . Em outras palavras, dizemos que BAf →: é injetora 
se 212121 então , em e com , )()( xxAxxxfxf == . 
 
 Exemplo: injetora. é )(por definida : xxfRRf =→+
Dizemos que uma função BAf →: é sobrejetora quando, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que 
y = f(x). Em outros termos, BAf →: é sobrejetora quando Im(f) = B. 
 
 Exemplo: a.sobrejetor é )(por definida : 2xxfRRf =→ +
Dizemos que uma função BAf →: é bijetora quando é injetora e sobrejetora.
 
 Exemplo: bijetora. é )(por definida : 3xxfRRf =→
2.9- Função Inversa de uma Função Bijetora
Seja BAf →: uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que 
para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. 
Podemos, então, definir uma função ABg →: que a y ∈ B associa o único x ∈ A tal que f(x) = y, ou 
seja, yxfxyg =⇔= )( )( .
Se BAf →: é uma função bijetora, a função ABg →: definida por yxfxyg =⇔= )( )( 
denomina-se função inversa da função f e denotada por 1−f .
 
 
 AxidxyfxffAAidoff AA ∈∀===→= −−− (x),)())(( pois ,: 111
 ByyidyxfyffBBidfof BB ∈∀===→= −− ),()())(( pois ,: 11
 Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas 
ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de 
f em apenas um ponto.
 Os gráficos da função bijetora BAf →: e de sua inversa ABf →− :1 são simétricos em 
relação à bissetriz y = x do 1º e 3º quadrantes, pois 
 )(),()()()(),( 11 −− ∈⇔=⇔=⇔∈ fGxyyfxxfyfGyx
 Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta 
traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.
21
 Exemplos:
a) A função 13)(por dada : +=→ xxfRRf é bijetora. Logo, admite inversa RRf →− :1 .
Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para 1−f .
1º modo: Sendo y = 3x + 1, basta tirar x em função de y, isto é, 
3
1−
=
yx . Logo,
RxxxfRyyyf ∈∀−=∈∀−= −− ,
3
1)( seja,ou , ,
3
1)( 11 .
2º modo: Sendo seja,ou ,1)(3 que segue , ,))(( 11 yyfRyyyff =+∈∀= −−
Ryyyf ∈∀−=− ,
3
1)(1 . 
 
b) A função 
x
xfRRf 1)(por dada : ** =→ é bijetora. Logo, admite inversa **1 : RRf →− 
dada por 
x
xf 1)(1 =− . Excepcionalmente temos 1−= ff .
 
c) O gráfico abaixo ilustra a função 2)(por dada : xxfRRf =→ que não possui inversa. 
Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. 
Por exemplo, a função [ ) [ ) 2)(por definida ,0 ,0: xxff =∞+→∞+ tem como inversa a 
função [ ) [ ) xxff =∞+→∞+ −− )(por dada ,0 ,0: 11 .
 
 
22
2.10- Algumas Funções Elementares
 Função Exponencial de base a
A função ,10 real, número um sendo ,)(por definida : ≠<=→ aaaxfRRf x é denominada 
função exponencial de base a.
 D(f) = R e Im(f) = *R + = (0, + ∞)
 O gráfico de xaxf =)( está todo acima do eixo das abscissas (x), pois0>= xay para 
todo x ∈ R.
 O gráfico de xaxf =)( corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, 1), pois a0 = 1.
 Quando a > 1, xaxf =)( é crescente.
 Quando 0 < a < 1, xaxf =)( é decrescente.
 Um caso particular importante é a função exponencial xexf =)( , onde e é o número 
irracional conhecido por constante de Euler (e ... 597182818284,2≅ ).
 Propriedades:
 Se a, x, y são números reais e a > 0, então: 
( )
( )
x
x
xxx
y
x
yxyxyx
x
xxyyx
aa
bbaba
a
aaaaa
a
aaa
11
0 para , ..
 particular em , .
1 particular em , 
=


>=
==
==
−+
−
 
 Função Logarítmica de base a
A função ,10 real, número um sendo ,log)(por definida : * ≠<=→+ aaxxfRRf a é denominada 
função logarítmica de base a.
 D(f) = *R + e Im(f) = R
23
 O gráfico de xxf alog)( = está todo à direita do eixo y.
 O gráfico de xxf alog)( = corta o eixo das abscissas (x) no ponto (1, 0), pois loga1 =0.
 Quando a > 1, xxf alog)( = é crescente.
 Quando 0 < a < 1, xxf alog)( = é decrescente.
 As funções xxfRRf alog)(por definida :
*
=→+ e 
xaxgRRg =→ + )(por definida :
* , 
sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, são inversas uma da outra, pois ya axxy =⇔= log . 
Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x.
 Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função 
logarítmica natural, que denotamos por xxf ln)( = .
 Propriedades:
Se 0 < a ≠ 1 e x e y números reais positivos, então:
( )
yx
y
x
yxyx
dxdx
aaa
aaa
a
d
a
logloglog
loglog.log
 real númeroqualquer para , loglog
−=



+=
=
 
 Funções Trigonométricas
• Medida de ângulo em radiano (rad)
É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo 
centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não 
depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte:
A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo 
ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo. 
 
24
Rs
R
s
R
sÔBA
R
sAÔB
ÔBAAÔB
.
radianos 
'
'''
radianos 
''
αα
α
=⇒=
=
=
==
 A medida de um ângulo de “uma volta”, ou seja, 360o, em radianos é 2pi rad, pois 
rad 2 2 piααpiα =⇒=⇒= RRRs .
 Um ângulo mede 1 radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo, 
cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo. 



≅


=
o
o
rad 57
2
3601
pi
 .
 Quando o raio R do círculo é igual a 1, a medida do ângulo em radianos coincide com o 
comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre 
ângulos e números reais.
• Círculo Trigonométrico
 
 
• Relações Fundamentais
 
xgx
x
x
tgx
senx
xgx
tgx
gx
x
senxtgx
senx
xxxsen
22
22
22
cot1seccos 
cos
1sec
x 1sec coscot
 1cot 
cos
1seccos 1cos
+==
+==
==
==+
• Ângulos Notáveis
 
0
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi pi
2
3pi 2pi
0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
Seno 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cosseno 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
Tangente 0
3
3 1 3 Não existe 0 Não existe 0
25
. eixo u: eixo dos cossenos
. eixo v: eixo dos senos
. eixo t: eixo das tangentes
. eixo c: eixo das cotangentes
xOD
xOS
gxBC
tgxAT
xOP
senxOP
OA
seccos
sec
cot
cos
1
2
1
=
=
=
=
=
=
=
 
• Fórmulas de Transformação
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
tgbtga
tgbtgabatg
tgbtga
tgbtgabatg
senbsenababa
senbsenababa
asenbbsenabasen
asenbbsenabasen
.1
.1
.cos.coscos
.cos.coscos
cos.cos.
cos.cos.
+
−
=−
−
+
=+
+=−
−=+
−=−
+=+
 
 
( )
( )
ba
basentgbtga
ba
basentgbtga
babasensenbsena
babasensenbsena
basenbasenba
bababa
cos.cos
cos.cos
2
cos.
2
2
2
cos.
2
2
2
.
2
2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
−
=−
+
=+
+−
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+
• Função Seno
senxOPxfRRf ==→ 1)(por definida :
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função senxxf =)( é ímpar, pois ( ) senxxsen −=− .
 A função senxxf =)( é periódica de período 2pi, pois ( ) senxxsen =+ pi2 .
 A função senxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] e decrescente 
no intervalo [pi/2, 3pi/2].
 O gráfico da função senxxf =)( é denominado senóide.
 
• Função Cosseno
xOPxfRRf cos)(por definida : 2 ==→
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função xxf cos)( = é par, pois ( ) xx coscos =− .
 A função xxf cos)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx cos2cos =+ pi .
 A função xxf cos)( = é decrescente no intervalo [0, pi] e crescente no intervalo 
[pi, 2pi].
 O gráfico da função xxf cos)( = é denominado cossenóide.
 
26
a
aatg
aa
aasen
atg
tgaatg
asenaasenaa
asenaasen
2cos1
2cos1
2
2cos1cos
2
2cos1
1
22
211cos2cos2cos
cos.22 
2
2
2
2
2222
+
−
=
+
=
−
=
−
=
−=−=−=
=
• Função Tangente
x
senxtgxATxfRZkkxRxf
cos
)(por definida ,
2
 ;: ===→



∈+≠∈ pi
pi
 



∈+≠∈= ZkkxRxfD ,
2
 ;)( pipi e Rf =)Im(
 A função tgxxf =)( é ímpar, pois ( ) tgxxtg −=− .
 A função tgxxf =)( é periódica de período pi, pois ( ) tgxxtg =+ pi .
 A função tgxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2), (pi/2, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi].
 O gráfico da função tgxxf =)( é denominado tangentóide.
 
• Função Cotangente
{ }
tgxsenx
xgxBCxfRZkkxRxf 1coscot)(por definida , ;: ====→∈≠∈ pi
 { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e Rf =)Im(
 A função gxxf cot)( = é ímpar, pois ( ) gxxg cotcot −=− .
 A função gxxf cot)( = é periódica de período pi, pois ( ) gxxg cotcot =+ pi .
 A função gxxf cot)( = é decrescente nos intervalos (0, pi) e (pi, 2pi).
 
• Função Secante
x
xOSxfRZkkxRxf
cos
1sec)(por definida ,
2
 ;: ===→



∈+≠∈ pi
pi
 



∈+≠∈= ZkkxRxfD ,
2
 ;)( pipi e ( )1,1)Im( −−= Rf
 A função xxf sec)( = é par, pois ( ) xx secsec =− .
 A função xxf sec)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx sec2sec =+ pi .
 A função xxf sec)( = é crescente nos intervalos [0, pi/2) e (pi/2, pi] e decrescente 
nos intervalos [pi, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi].
 
 
27
• Função Cossecante
{ }
senx
xODxfRZkkxRxf 1seccos)(por definida , ;: ===→∈≠∈ pi
 { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e ( )1 ,1)Im( −−= Rf
 A função xxf seccos)( = é ímpar, pois ( ) xx seccosseccos −=− .
 A função xxf seccos)( = é periódica de período 2pi, pois 
( ) xx seccos2seccos =+ pi .
 A função xxf seccos)( = é crescente nos intervalos [pi/2, pi) e (pi, 3pi/2] e 
decrescente nos intervalos (0, pi/2] e [3pi/2, 2pi).
 
 
 Funções Trigonométricas Inversas
• Função Arco Seno
É impossível definir uma função inversa para a função senxxfRRf =→ )(por dada : , 
pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de
senxxf =)( necessitamosrestringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções 
trigonométricas.
Seja [ ] senxxff =−→


− )(por definida função a 1 ,1
2
 ,
2
: pipi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por 
[ ] xsenarcxff )( onde 
2
 ,
2
1 ,1: 11 =


−→− −−
pipi
. 
Simbolicamente, para : temos,
22
pipi
≤≤− y xsenyxsenarcy =⇔= .
 
 senxxf =)( xsenarcxf )(1 =−
28
Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de 
senxxf =)( a qualquer dos seguintes intervalos: [pi/2, 3pi/2], [3pi/2, 5pi/2], [5pi/2, 7pi/2], ... ou 
[-3pi/2, -pi/2], [-5pi/2, -3pi/2], [-7pi/2, -5pi/2], ... . 
• Função Arco Cosseno
Seja [ ] [ ] xxff cos)(por definida função a 1 ,1 ,0: =−→pi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por 
[ ] [ ] xarcxff cos )( onde ,01 ,1: 11 =→− −− pi . 
Simbolicamente, para : temos,0 pi≤≤ y xyxarcy =⇔= cos cos .
 
 xxf cos)( = xarcxf cos )(1 =−
Observação: 
A função xarcy cos = pode ser definida também pela equação xsenarcxarc 
2
 cos −= pi . 
 
• Função Arco Tangente
Seja tgxxfRf =→


− )(por definida função a 
2
 ,
2
: pipi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por 
xtgarcxfRf )( onde 
2
 ,
2
: 11 =


−→ −−
pipi
. 
Simbolicamente, para : temos,
22
pipi
<<− y xtgyxtgarcy =⇔= .
 
 
 tgxxf =)( xtgarcxf )(1 =−
29
• Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante
 ( ) bijetora é cot)( ; ,0: gxxfRf =→pi . 
 ( ) tgxarcgxarcxfRf 
2
cot )( ; ,0: 11 −==→ −− pipi . 
 ( ] [ ) bijetora é sec)( ; ,1 1 , ,
2
 
2
 ,0: xxff =∞+−∞−→




 pi
pipi
. 
 ( ] [ ) 


==




→∞+−∞− −−
x
arcxarcxff 1cos sec )( ; ,
2
 
2
 ,0 ,1 1 ,: 11 pipipi  . 
 ( ] [ ) bijetora é seccos)( ; ,1 1 ,
2
 ,0 0 ,
2
: xxff =∞+−∞−→




− 
pipi
. 

( ] [ ) 


==




−→∞+−∞− −−
x
senarcxarcxff 1 seccos )( ; 
2
 ,0 0 ,
2
 ,1 1 ,: 11 pipi  . 
 
 
 Funções Hiperbólicas
• Função Seno Hiperbólico
2
)(por definida :
xx eesenhxxfRRf
−
−
==→
 D(f) = R e Im(f) = R
• Função Cosseno Hiperbólico
2
cosh)(por definida :
xx eexxfRRf
−+
==→
 D(f) = R e Im(f) = [1, +∞)
 
30
Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva 
representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação 
correspondente é 


=
a
xy cosh , onde a ∈ R e a ≠ 0. Esta curva recebe a denominação de catenária. 
 
 
• Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas 
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por:
 ( ) ( ) ( )1 ,1Im e ; 
cosh
−==
+
−
==
−
−
tghRtghD
ee
ee
x
senhxtghx xx
xx

( ) { } ( ) ( ) ( )∞+−∞−=−=
−
+
==
−
−
 ,11 ,cotIm e 0cot ; coshcot ghRghD
ee
ee
senhx
xghx xx
xx
 ( ) ( ) ( ]1 ,0secIm e sec ; 2
cosh
1sec ==
+
==
−
hRhD
eex
hx xx
 ( ) { } ( ) { }0seccosIm e 0seccos ; 21seccos −=−=
−
==
−
RhRhD
eesenhx
hx xx
 
 
• Identidades Hiperbólicas
 
xghxh
xtghxh
ghx
tghx
xsenhx
22
22
22
cot1seccos
1sec
cot
1
1cosh
−=−
−=
=
=−
31
 Funções Hiperbólicas Inversas
• Função Inversa do Seno Hiperbólico
Analisando o gráfico da função senhxxf =)( vemos que ela é bijetora; logo admite 
inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e 
denotada por arg senh, é definida por:
senhxxfRRf arg)( ; : 11 =→ −− .
 RfRfD == −− )Im( e )( 11
 
 senhyxsenhxy =⇔= arg 
• Função Inversa do Cosseno Hiperbólico
Seja [ ) [ )∞+→∞+ ,1 ,0:f a função dada por xxf cosh)( = . Esta função é bijetora. A sua 
inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por:
[ ) [ ) xxff cosharg)( ; ,0 ,1: 11 =∞+→∞+ −− . 
 [ ) [ )∞+=∞+= −− ,0)Im( e ,1)( 11 ffD
 0 , cosh cosharg ≥=⇔= yyxxy
 
 
• Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
 ( ) bijetora é )( ; 1 ,1: tghxxfRf =−→ . 
 ( ) tghxxff arg)( ; R1 ,1: 11 =→− −− . 
 { } ( ) ( ) bijetora é cot)( ; 1, 1,0: ghxxfRf =+ ∞−∞−→−  . 
 ( ) ( ) { } ghxxfRf cotarg)( ; 01, 1,: 11 =−→+ ∞−∞− −−  . 
 [ ) ( ] bijetora é sec)( ; 1 ,0,0: hxxff =→+ ∞ . 
 ( ] [ ) hxxff secarg)( ; ,01 ,0: 11 =+ ∞→ −− . 
 { } { } bijetora é seccos)( ; 00: hxxfRRf =−→− . 
 { } { } hxxfRRf seccosarg)( ; 00: 11 =−→− −− . 
32
 
 
 
 
• Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas
 
( )
( )
0 , 11lnseccosarg
10 , 11lnsecarg
1 , 
1
1ln
2
1cotarg
11 , 
1
1ln
2
1arg
1 , 1lncosharg
 , 1lnarg
2
2
2
2
≠


 +
+=
≤<



−+
=
>


−
+
=
<<−


−
+
=
≥−+=
∈++=
x
x
x
x
hx
x
x
xhx
x
x
xghx
x
x
xtghx
xxxx
Rxxxsenhx
33
2.11- Aplicações
1. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as 
informações recebidas na tabela seguinte:
Opções Diária Preço por km rodado
Locadora 1 R$ 50,00 R$ 0,20
Locadora 2 R$ 30,00 R$ 0,40
Locadora 3 R$ 65,00 km livre 
a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados, 
em cada uma das situações apresentadas na tabela.
b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações.
c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora 1 ao invés da Locadora 2?
d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3?
2. Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro 
R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna 
máxima a receita da companhia? 
3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar 
do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de 
meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário 
para que sua massa seja reduzida à metade.
 Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante 
qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por kteMM −= 0 , sendo k > 0 uma 
constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial.A constante k depende do 
material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele.
 Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar:
a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material;
b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0;
c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da 
quantidade original.
4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por 
47520)( 2 ++= qqqCT , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada 
por qqR 120)( = . 
a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo?
5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a 53.
2.12- Exercícios
Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto.
34
 35 
 
___________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
 
Capítulo 3: Limite de uma Função e Continuidade 
 
3.1- Noção de Limite de uma Função (Noção Intuitiva) 
 
Exemplo 1: Considere a função 
x
xf
1
1)( 
 definida para todo x real e x ≠ 0. 
 Observe os valores da função f quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce 
ilimitadamente. Observe também o seu gráfico. 
 
 Esta função se aproxima de 1 quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente. 
Dizemos que esta função tende a 1 quando x tende a +∞ e quando x tende a – ∞ e denotamos 
1)(lim e 1)(lim 

xfxf
xx
. 
 Além disso, observando o gráfico da função, podemos dizer que f(x) cresce ilimitadamente 
quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0 e que f(x) decresce ilimitadamente quando x se 
aproxima de 0 por valores maiores que 0. Neste caso nos referimos aos limites laterais e denotamos, 
respectivamente, por 

 
)(lim e )(lim
00
xfxf
xx
. 
 
Exemplo 2: Considere a função 
23)( 2  xxxf
 definida para todo x real. 
Intuitivamente, analisando as sucessões nas tabelas seguintes, podemos dizer que f(x) tende para +∞ 
quando x tende para +∞ ou para –∞ e denotamos por 


)(lim e )(lim xfxf
xx
. 
 
 
 36 
Exemplo 3: Observando o gráfico da função 
x
xf
1
cos)( 
 e a tabela a seguir podemos afirmar que o 
gráfico oscila numa vizinhança de zero sem tender para um limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Observando o gráfico da função 
)1(
)1).(12(
)(



x
xx
xf
 definida para todo x real e x ≠ 1 e as 
tabelas abaixo podemos escrever 
3)(lim ainda,ou , )(lim3)(lim
111

 
xfxfxf
xxx
. 
 
 
À medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1 (x → 1), os valores de f(x) 
tornam-se cada vez mais próximos de 3 (f(x) → 3), independentemente da sucessão de valores de x 
usados. 
 Pode-se observar que é possível tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos, desde 
que tomamos x suficientemente próximo de 1 (x ≠ 1). 
 A idéia “tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos” é traduzido matematicamente 
pela desigualdade 
3)(xf
, sendo 

um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa 
imaginar. 
 A idéia “desde que tomamos x suficientemente próximo de 1 (x ≠ 1)” significa que deve existir 
um intervalo aberto de raio 
0
 e centro a = 1 tal que se x ≠ 1 variar nesse intervalo, isto é, 
se 
 3)( então 10   xfx . 
 
3.2- Definição de Limite de uma Função 
 
 Intuitivamente dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível 
tomar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomamos valores de x, x ≠ a, suficientemente 
próximos de a. 
 
 Formalmente, temos: 
 Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida em I, 
exceto, possivelmente, no próprio a. 
 Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos 
Lxf
ax


)(lim
, se para todo 
0
 existir um 
0
 tal que se   Lxfax )( então 0 . 
 Em símbolos, temos: 
 
  

LxfaxLxf
ax
)( 0 ;0 ,0 )(lim
 . 
 
 
 
 
 
 37 
Observação: Para a definição do limite, quando x tende a a, não é necessário que a função esteja definida 
em a e pode ocorrer que a função esteja definida em a e 
)()(lim afxf
ax


. O que interessa é o 
comportamento de f(x) quando x se aproxima de a e não o que ocorre com f quando x = a. 
 
 
3.3- Exemplos 
 
1. Considere a função 
)1(
)1).(12(
)(



x
xx
xf
 definida para todo x real e x ≠ 1. Assim, se x ≠ 1 então 
f(x) = 2x + 1. Vamos mostrar, usando a definição, que 
3)(lim
1


xf
x
. 
Devemos mostrar que dado 
0
, existe 
0
 tal que se 
  3)( então 10 xfx
. 
Dado 
0
, tomemos 
2

 
. Logo, obtemos: 
 
2
.212223123)(
2
1010 xxxxfxx
. 
Portanto, 
3)(lim
1


xf
x
. 
 
2. Seja 
RRf :
 definida por 






1 se ,5
1 se ,12
)(
x
xx
xf
. 
Temos 
)1(3)12(lim)(lim
11
fxxf
xx


 
 
 
3. Demonstre, usando a definição, que 
16lim 2
4


x
x
. 
Devemos mostrar que dado 
0
, existe 
0
 tal que se 
  16 então 40 2xx
. 
Notemos que 
4.4)4).(4(162  xxxxx
. 
Se 
14 x
, obtemos: 
949499475314114  xxxxxx
. 
Seja 







9
,1min


. Assim, 
 :obtemos 40 se e 
9
 ,1   x
 
  9.
9
4.416
9
4 e 94
9
4 e 1440 2 xxxxxxxx
. 
Portanto, 
16lim 2
4


x
x
. 
 
3.4- Unicidade do Limite 
 
Teorema 1 
Se 
2121 então )(lim e )(lim LLLxfLxf
axax


. 
 
Demonstração: 
Vamos supor L1 ≠ L2. 
Seja 
021  LL
. Como 
21 )(lim e )(lim LxfLxf
axax


 então existem 
0 , 21 
 tais que se 
2
)( então 0 se e 
2
)( então 0 2211
  LxfaxLxfax . 
 
 
 38 
Seja 
 21,min  
. Assim 
21 ,  
 e se 
2
)( e 
2
)( então 0 21
  LxfLxfax . 
Mas  
22
)()()()( 212121 LxfxfLLxfxfLLL
, o que é um absurdo. 
Portanto 
21 LL 
. 
 
 
3.5- Propriedades do limite de uma função 
 
Seja a elemento do intervalo aberto I e em I – {a} estão definidas as funções envolvidas na propriedade. 
 
L1 – Se f é uma função definida por f(x) = c, para todo x real, onde c  R, então 
ccxf
axax


lim)(lim
. 
 
L2 – Se c  R e 
Lxf
ax


)(lim
 então 
  Lcxfcxfc
axax
.)(lim.)(.lim 

. 
 
L3 – Se 
MLxgfMxgLxf
axaxax


))((lim então )(lim e )(lim
. 
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número finito de funções, isto é, se 










n
i
i
n
i
i
ax
ii
ax
LxfniNiLxf
11
)(lim então ,1 e , )(lim
. 
 
L4 – Se 
MLxgfMxgLxf
axaxax


))((lim então )(lim e )(lim
. 
 
L5 – Se 
MLxgfMxgLxf
axaxax
.))(.(lim então )(lim e )(lim 

. 
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para um produto de um número finito de funções, isto é, se 










n
i
i
n
i
i
ax
ii
ax
LxfniNiLxf
11)(lim então ,1 e , )(lim
. 
 
L6 – Se 
Lxf
ax


)(lim
 então 
   ,...3,2,1 para , )(lim 

nLxf n
n
ax
. 
 
L7 – Se 
M
L
x
g
f
MxgLxf
axaxax


))((lim então 0)(lim e )(lim
. 
 
L8 – Se 
ímpar , e 0ou e 0 com ,)(lim então )(lim nNnLNnLLxfLxf nn
axax


. 
 
L9 – Se 
    senLxfsenxfsenLxf
axaxax


)(lim)(lim então )(lim
. 
 
L10 – Se 
    cos)(limcos)(coslim então )(lim LxfxfLxf
axaxax


. 
 
 
 
Teorema 2 
O limite de uma função polinomial 
Raxaxaxaxaaxf i
n
i
i
i
n
n  

 , ...)(
0
2
210
, para x tendendo 
para a, é igual ao valor numérico de f(x) para x = a, ou seja, 
)()(lim afxf
ax


. 
 39 
Demonstração: 
É claro que 
ax
ax


lim
, pois, dado   axax então 0 se e tome0 . Assim 
  niaxx ii
ax
i
ax
, ... ,3,2,1 para , limlim 

. 
Temos, então: 
  )(limlimlim)(lim
000
afaaxaxaxaxf
n
oi
i
i
n
i
i
ax
i
n
i
i
i
ax
n
i
i
i
axax
 






. 
 
3.6- Exercícios 
 
1.Calcular os seguintes limites: 
a) 
 53lim 2
2


xx
x
 h) 
xx
x
x 2
4
lim
2
2
2 


 
b) 
7
5
lim
33 

 x
x
x
 i) 
1252
3116
lim
2
2
2
3 

 xx
xx
x
 
c) 
14lim 4
2


xx
x
 j) 
1
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
d) 22
1 23
12
lim 







 x
xx
x
 k) 
353
142
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 
e) 
3
2
23
2 34
232
lim


 xx
xxx
x
 l) 
132
243
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
 
f) 
x
xx
x 3
2
lim
2
2


 m) 
3
21
lim
3 

 x
x
x
 
g) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 n) 
1
12
lim
1 

 x
xx
x
 
 
Respostas: a) 15; b) -1/10; c) 5; d) 4; e) -2; f) 
3
122 
; g) 2; h) 2; i) 7/11; j) 3/2; k) 2; l) 5/3; m) ¼; n) 
4
2
. 
 
2. Seja a função f definida por 










1 se ,3
1 se ,
1
23
)(
2
x
x
x
xx
xf
. Calcular 
)(lim
1
xf
x
. (Resp.: -1) 
 
 
3. Seja a função f definida por 










2 se ,3
2 se ,
2
232
)(
2
x
x
x
xx
xf
. Calcular 
)(lim
2
xf
x
. (Resp.: 5) 
 
4. Calcular 
1 53
2
 lim
32 

 x
x
x
. (Resp.: 1) 
 
5. Calcular 
4
8
 lim
364 

 x
x
x
 . (Resp.: 3) 
 
Livro texto: Páginas 72 a 75, exceto números 16, 35 e 37. 
 
 40 
3.7- Limites Laterais 
 
 Ao considerarmos 
 )(lim Lxf
ax


, estamos interessados no comportamento da função nos valores 
próximos de a, isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto contendo a, mas diferentes de a, 
e, portanto, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a. 
 Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x está próximo de a, mas assume 
valores menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando x está próximo de a, mas 
assume valores maiores que a. 
 Por exemplo, na função 









 1 se ,2
1 se ,2
1 se ,4
)(
xx
x
xx
xf
 atribuindo a x valores próximos de 1, porém 
menores que 1 (à esquerda de 1), temos que os valores da função ficam próximos de 3; e atribuindo a x 
valores próximos de 1, porém maiores que 1(à direita de 1), temos que os valores da função ficam 
próximos de – 1. 
 
Definições: 
 
1) Limite lateral à direita 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, b). 
 O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela direita, será L e escrevemos 
Lxf
ax


)(lim
 se, 
para todo 
0
, existir 
0
 tal que se   Lxfaxa )( então . 
 Em símbolos, temos: 
 
  

LxfaxaLxf
ax
)( ;0 ,0 )(lim
. 
 
2) Limite lateral à esquerda 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (b, a). 
 O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L e escrevemos 
Lxf
ax


)(lim
 se, 
para todo 
0
, existir 
0
 tal que se   Lxfaxa )( então . 
 Em símbolos, temos: 
 
  

LxfaxaLxf
ax
)( ;0 ,0 )(lim
. 
 
Observação: As propriedades de limites e o teorema do limite de função polinomial são válidos se 
substituirmos 
 por ou por   axaxax
. 
 
Teorema 3 
Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x  I – {a}. Temos 
Lxf
ax


)(lim
 
se, e somente se, existirem os limites laterais 
)(lim xf
ax 
 e 
)(lim xf
ax 
 e forem ambos iguais a L. 
 
Demonstração: 
 
() Dado 
0
, como 
Lxf
ax


)(lim
, então existe 
0
 tal que se   Lxfax )( temos0 . 
Logo, se   Lxfaxaxa )( que, segue e, 0 então , ou seja, 
Lxf
ax


)(lim
. 
Também, se   Lxfaxaxa )( assim, e, 0 então , ou seja, 
Lxf
ax


)(lim
. 
 
 
 41 
() Dado 
0
, como 
)(lim)(lim xfLxf
axax  

, então existem 
0 e 0 21  
 tais que se 
  Lxfaxa )( temos1
 e se   Lxfaxa )( temos2
. Assim, se 
 21,min  
 
e se   Lxfaxaaxaax )( implica que o ,ou temos0 21. 
 Logo, 
Lxf
ax


)(lim
. 
 
Exemplos: 
 
1. Dada a função 
31)(  xxf
 , determinar, se possível, 
 )(lim
3
xf
x 
 e 
 )(lim
3
xf
x 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja a função f definida por 









1 se ,3
1 se ,1
1 se ,4
)(
2
xx
x
xx
xf
 . Determinar, se possível, 
)(lim
1
xf
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Seja a função f definida por 
xxf )(
 . Determinar, se possível, 
)(lim
0
xf
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Seja a função f definida por 









2 se ,9
2 se ,2
2 se ,1
)(
2
2
xx
x
xx
xf
 . Determinar, se possível, 
)(lim
2
xf
x
. 
 
 
 
 
 
 
 42 
3.8- Exercícios 
 
1. Calcular os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir(em), especificar a razão. 
a) 
)(lim )(lim )(lim 
 1 se ,14
1 se ,2
1 se ,23
)(
111
xfxfxf
xx
x
xx
xf
xxx  








 
 
b) 
)(lim )(lim )(lim 
 0 se ,1
0 se ,
)(
000
xfxfxf
x
x
x
x
xf
xxx  








 
 
c) 
)(lim )(lim )(lim 2 ,
2
253
)(
222
2
xfxfxfx
x
xx
xf
xxx  



Respostas: a) 1; 5; não existe; b) – 1; 1; não existe; c) 7; – 7; não existe. 
 
2. Dada a função f definida por 









1 se ,5
1 se ,3
1 se ,23
)(
xax
x
xx
xf
 . Determinar a R para que exista 
)(lim
1
xf
x 
. 
Resp.: a = – 10. 
 
3. Seja 






3 se ,73
3 se ,1
)(
xx
xx
xf
. 
Calcular: a) 
)(lim
3
xf
x 
 b) 
)(lim
3
xf
x 
 c) 
)(lim
3
xf
x
 d) 
)(lim
5
xf
x 
 e) 
)(lim
5
xf
x 
 f) 
)(lim
5
xf
x
. 
Esboçar o gráfico de f. 
 
Resp.: a) 2; b) 2; c) 2; d) 8; e) 8; f) 8. 
 
Livro texto: Páginas 79 e 80. 
 
 
3.9- Cálculo de Limites – Formas Indeterminadas 
 
Dizemos que as expressões 



1 , ,0 ,.0 , , ,
0
0 00
 são formas indeterminadas. 
Isso significa que nada podemos afirmar, por exemplo, sobre o limite do quociente 
)(
)(
xg
xf
, quando 
x tende a a, se f e g são funções tais que 
)(lim0)(lim xgxf
axax 

. Para comprovar isto, vejamos: 
1. Sejam f(x) = x
3
 e g(x) = x
2
. Temos 
0limlim
)(
)(
lim e )(lim0)(lim
02
3
0000


x
x
x
xg
xf
xgxf
xxxxx
. 
2. Sejam f(x) = x
2
 e g(x) = x
4
. Temos 

 204
2
0000
1
limlim
)(
)(
lim e )(lim0)(lim
xx
x
xg
xf
xgxf
xxxxx
 
(explicação deste último resultado no próximo item). 
 
Sobre as outras formas indeterminadas, veremos exemplos mais adiante. 
 
 43 
Exemplo: Calcular os seguintes limites: 
 
a) 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x
x
x
22
lim
0


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)  
h
xhx
h
22
0
lim


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.10- Exercícios 
 
Páginas 83 e 84 do livro texto. 
 44 
3.11- Limites Infinitos 
 
Definições: 
 
1) Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, em a. 
 Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce ilimitadamente e escrevemos 


)(lim xf
ax
 se, 
para qualquer número M > 0, existir 
0
 tal que se 
Mxfax  )( então 0 
. 
 Em símbolos, temos: 
 
 MxfaxMxf
ax


)( 0 ;0 ,0 )(lim . 
 
 Exemplo: Analisando o comportamento da função f definida por 
 21
1
)(


x
xf
 vemos que os 
valores da função são cada vez maiores à medida que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos 
tornar f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando valores 
para x bastante próximos de 1 e escrevemos 
 


21 1
1
lim
xx
. 
Formalmente, dado M > 0, seja 
0
1

M

. Se 
M
x
1
10 
 
então 
 
  MM
xx
xf 




2
22
1
1
1
1
)(
. Logo 
 


21 1
1
lim
xx
. 
 
 
2) Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, em a. 
 Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) decresce ilimitadamente e escrevemos 


)(lim xf
ax
 
se, para qualquer número M < 0, existir 
0
 tal que se 
Mxfax  )( então 0 
. 
 Em símbolos, temos: 
 
 MxfaxMxf
ax


)( 0 ;0 ,0 )(lim . 
 
 Exemplo: Analisando o comportamento da função f definida por 
 21
1
)(



x
xf
 vemos que os 
valores da função são cada vez menores à medida que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos 
tornar os valores de f(x) tanto menores quanto desejarmos, isto é, menores que qualquer número negativo, 
tomando valores para x bastante próximos de 1 e escrevemos 
 



 21 1
1
lim
xx
. 
Formalmente, dado M < 0, seja 
0
1



M

. Se 
M
x


1
10
 
obtemos: 
 
M
xx
xfM
xM
x 










222
2
1
1
1
1
)(
1
11
1
. 
Logo, 
 



 21 1
1
lim
xx
. 
 
 
Observação: Os símbolos “+∞” e “–∞” não representam números reais, nos indicam apenas o que 
ocorre com a função quando x se aproxima de a. 
 
 
 
 
 45 
3) Limites laterais infinitos 
 
 
 MxfaxaMxf
ax


)( ;0 ,0 )(lim  
 
 MxfaxaMxf
ax


)( ;0 ,0 )(lim  
 
 MxfaxaMxf
ax


)( ;0 ,0 )(lim  
 
 MxfaxaMxf
ax


)( ;0 ,0 )(lim  
 
 Exemplo: Observando o gráfico da função 
1
1
)(


x
xf
 podemos afirmar que 


)(lim
1
xf
x
 e 


)(lim
1
xf
x
. 
 
Teorema 4 
Sejam f e g funções tais que 
0)(lim e 0)(lim 

xgLxf
axax
. Então: 
1) 
0
)(
)(
 se ,
)(
)(
lim 
 xg
xf
xg
xf
ax
 quando x está próximo de a; 
 
2) 
0
)(
)(
 se ,
)(
)(
lim 
 xg
xf
xg
xf
ax
 quando x está próximo de a. 
 
Observação: Este teorema continua válido se substituirmos 
 por ou por   axaxax
. 
 
Exemplo: Calcular os seguintes limites: 
 
a) 
 21 1
23
lim


 x
x
x
 d) 
1
25
lim
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 22 2
1
lim


 x
x
x
 e) 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 21 1
32
lim


 x
x
x
 f) 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 46 
3.12- Limites no Infinito 
 
Definições: 
 
1) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, +∞). 
 Dizemos que, quando x cresce ilimitadamente, f(x) se aproxima de L e escrevemos 
Lxf
x


)(lim
 se, 
para qualquer número  > 0, existir N > 0 tal que se 
 LxfNx )( então 
. 
 Em símbolos, temos: 
 
  

LxfNxNLxf
x
)( ;0 ,0 )(lim
. 
 Exemplo: Observando o comportamento da função f definida por 
x
xf
1
1)( 
 vemos que quando x 
cresce ilimitadamente, os valores da função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar 
f(x) tão próximo de 1 quanto desejarmos, se atribuirmos para x valores cada vez maiores e escrevemos 
1
1
1lim 






 xx
. 
Formalmente, dado  > 0, tome 
0
1


N
. Se x > N obtemos: 
  xxxxfxx 111111)(1001
. 
Logo, 
1
1
1lim 






 xx
. 
 
 
2) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (– ∞, a). 
 Dizemos que, quando x decresce ilimitadamente, f(x) se aproxima de L e escrevemos 
Lxf
x


)(lim
 
se, para qualquer número  > 0, existir N < 0 tal que se 
 LxfNx )( então 
. 
 Em símbolos, temos: 
 
  

LxfNxNLxf
x
)( ;0 ,0