3-Graficos

Prévia do material em texto

Gráficos	
  
Material	
  online:	
  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  	
  
O	
  que	
  f’	
  nos	
  diz	
  sobre	
  f?	
  
O	
  que	
  f’	
  nos	
  diz	
  sobre	
  f?	
  
f(x) = x2
f �(x) = 2x
x > 0↔ f �(x) > 0
f �(x) > 0
x < 0↔ f �(x) < 0
f �(x) < 0
a)  f’(x) ≥ 0 em um intervalo A se e somente se f é crescente em A ���
	
b)  f’(x) ≤ 0 em um intervalo A se e somente se f é decrescente em A	
Demonstração:	
  
x2 − x1 > 0
f(x2)− f(x1) ≥ 0
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 ≥ 0
lim
x→x+1
f(x)− f(x1)
x− x1 ≥ 0
Suponha f crescente, ou seja: 
x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2) ∀x1, x2 ∈ I
f �(x1) = ∀x1
Suponha f’(x) ≥ 0 em A	
  
Se x2 > x1, teremos f(x2) ≥ f(x1).	
  
Pelo Teorema do Valor Médio, 
existe c em (x1,x2) tal que	
  
Tome x1, x2 quaisquer em A.	
  
f �(c) =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
Mas f’(c) ≥ 0 por hipótese, logo: 	
  
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 ≥ 0
Exemplo: Encontre onde a função é crescente e onde���
ela é decrescente.	
Calculando as raízes…	
  
x1 = 2, x2 = −1
Vamos estudar o sinal de f’(x), ou seja, quando f’(x) > 0 e quando f’(x) < 0:	
  
= 12x(x2 − x− 2)
x =
1±�(−1)2 − 4 · 1 · (−2)
2 · 1 =
1±√9
2 · 1 =
1± 3
2 · 1
f �(x) = 12x(x− 2)(x+ 1)
o	
  
-­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
-­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
+	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
+	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
decrescente 	
  
crescente 	
  
crescente 	
  
decrescente 	
  
Exemplo: Encontre onde a função é crescente e onde���
ela é decrescente.	
o	
  
-­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
-­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
+	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
+	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
decrescente 	
  
crescente 	
  
crescente 	
  
decrescente 	
  
-1	
   2	
  
Relembrando…	
  
Mas nem todo ponto crítico é 
ponto extremo! Quando será?	
Teste da Primeira Derivada: Suponha que c seja um número crítico de uma função 
contínua f.	
a)  Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo 
local em c.	
b)  Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo 
local em c.	
c)  Se f’ não mudar de sinal em c (ambos os lados positivos ou negativos), f não tem 
máximo ou mínimo local em c.	
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função	
o	
  
-­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
-­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
+	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
+	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  +	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
decrescente 	
  
crescente 	
  
crescente 	
  
decrescente 	
  
Vamos detectar onde o sinal de f’ muda…	
   x=-1: negativo para positivo	
  
x=0: positivo para negativo	
  x=2: negativo para positivo	
  
x = -1: ponto de mínimo 	
  
x = 0: ponto de máximo	
  
x = 2: ponto de mínimo 	
  
mínimo local: f(-1) = 0	
  
máximo local: f(0) = 5	
  
mínimo local: f(2) = -27	
  
-
1	
  
2	
  
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função:	
Vamos estudar o sinal de g’…	
  
g�(x) < 0→ 1 + 2 cos(x) < 0
cos(x) < −1
2
x =
2π
3 x =
4π
3
2π
3
< x <
4π
3
g�(x) > 0→ 1 + 2 cos(x) > 0
0 ≤ x < 2π
3
ou	
   4π
3
< x ≤ 2π
o	
  
crescente 	
  
decrescente 	
  
crescente 	
  
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função:	
o	
  
crescente 	
  
decrescente 	
  
crescente 	
  
: ponto de máximo	
  x = 2π
3
máximo local:	
   f
�
2π
3
�
≈ 3, 83
: ponto de mínimo	
  x = 4π
3
mínimo local:	
   f
�
4π
3
�
≈ 2, 46
Concavidade	
  
Concavidade	
  
Definição: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo���
I, então ele é dito côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de 
todas assuas tangentes em I, é dito côncavo para baixo em I.	
  
Concavidade	
  
Exemplo	
  
CB	
   CC	
   CC	
   CC	
  CB	
   CB	
  
Concavidade	
  para	
  cima	
  
Inclinação está crescendo	
   f’ é crescente	
   f’’ é positiva	
  
>	
  
<	
  
Exemplo: A Figura abaixo mostra um gráfico da população de abelhas cipriotas criadas ���
em um apiário. Como cresce a taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? Sobre���
quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo?	
Número de abelhas ���
(em milhares)	
  
Taxa populacional equivale à inclinação da reta tangente	
  
Taxa populacional começa pequena, e cresce até atingir t = 12	
Após t = 12, a taxa populacional diminui	
Consequentemente, a taxa é máxima em t = 12	
Côncavidade para cima: t em (0,12)	
Côncavidade para baixo: t em (12,18)	
Definição: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua 
no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.	
Exemplo: Esboce o gráfico de uma função qualquer que satisfaça as seguintes 
condições:	
em	
  
em	
  
em	
  
em	
  e	
  
Teste	
  da	
  Segunda	
  Derivada	
  
Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c.���
	
a)  Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então f tem um mínimo local em c	
b)  Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então f tem um máximo local em c	
Teste	
  da	
  Segunda	
  Derivada	
  
Obs.: Se f’’(c) = 0, use o teste da primeira derivada. Não é verdade que 
neste caso f não tem mínimo ou máximo local em c. Ex:	
f(x) = x4	
	
f’(x) = 4x3���	
f’’(x) = 12x2	
	
f’’(0) = 12(0)2=0, e f(0) é mínimo local!	
  
Exemplo: Examine a curva y = x4 – 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de 
inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.	
y’ = 4x3 – 12x2 = x2 (4x-12) 	
  
y’’ = 12x2 – 24x = x (12x – 24)	
  
Pontos críticos:	
  
y’ = 0  	
   x2 = 0	
   4x-12 = 0	
  ou	
  
x = 0	
   ou	
   x = 3	
  
Teste da segunda derivada:	
  
f’’(0) = 0	
   f’’(3) = 36 > 0	
  
f(3) = -27 é um mínimo local	
  
Teste da primeira derivada:	
  
Se x < 0, y’< 0	
  
Se 0 < x < 3, 	
  
g(x) = 4x-12 	
  
f(0) não é mínimo ou máximo local	
  y’< 0	
  
Exemplo: Examine a curva y = x4 – 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de 
inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.	
y’’ = 12x2 – 24x = x (12x – 24)	
  
Concavidade:	
  
y’’ = 0  	
   x = 0	
   x = 2	
  ou	
  
o	
   Concavidade	
  
para cima	
  
para cima	
  
para baixo	
  
f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão	
  
o	
   Concavidade	
  
para cima	
  
para cima	
  
para baixo	
  
f(3) = -27 é um mínimo local	
  
f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão	
  
pontos de 
inflexão	
  
x	
  
f é decrescente em x < 3���
���
f é crescente em x > 3	
  
y = x4 – 4x3 = x3 ( x – 4) = 0  x = 0 ou 4	
  
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de junto com suas assíntotas	
para esboçar seu gráfico.	
f(x) = e
1
x
O domínio de f é 	
  
Vamos analisar o comportamento de f quando x se aproxima de 0:	
  
x = 0 é assíntota vertical	
  
Assíntotas horizontais:	
  
Quando ,	
  
y = 1 é assíntota horizontal	
  
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de junto com suas assíntotas	
para esboçar seu gráfico.	
f(x) = e
1
x
f �(x) =
d
dx
�
1
x
�
e
1
x = −e
1
x
x2
e
1
x > 0 x2 > 0 f �(x) < 0, ∀x �= 0	
  
Logo, não há ponto crítico nem máximos ou mínimos locais.	
  
x4 > 0 e
1
x > 0 f ��(x) > 0 x > −12quando	
  	
  
x < −1
2
quando	
  f ��(x) < 0
(concavidade para cima)	
  
(concavidade para baixo)	
  
Ponto de inflexão: 	
   x = −1
2
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de junto com suas assíntotas	
para esboçar seu gráfico.	
f(x) = e
1
x
x > −1
2
x < −1
2
(concavidade para cima)	
  
(concavidade para baixo)	
  
Ponto de inflexão: 	
   x = −1
2 x = 0 é assíntota vertical	
  
y = 1 é assíntota horizontal	
  f �(x) < 0, ∀x �= 0 (f sempre decresce)	
  
x	
  
−1
2
Ponto de 
inflexão 	
  
x	
  
−1
2