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Mecânica Geral II – Notas de AULA 6 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
1 
 Forças em vigas e em cabos 
 
¾ Introdução 
 
Analisaremos dois tipos de forças internas 
em dois tipos de estruturas em engenharia: 
1. Vigas 
2. Cabos. 
 
 
9 FORÇAS INTERNAS NOS 
ELEMENTOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elemento submetido à várias forças: 
 
 
 Considere o corte feito e o corpo livre JD: 
 A força F é necessária para equilibrar a 
componente vertical de T. 
 A força V é necessária para equilibrar a 
componente horizontal de T. 
 O Momento M é necessário para equilibrar 
o momento de T em relação a J. 
 
 
9 FORÇA CORTANTE E MOMENTO 
FLETOR. 
A força F, no caso anterior, é denominada de 
força axial; a força V é denominada de força 
cortante e o momento M do binário é denominado 
de momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 – A estrutura apresentada, 
determinar as forças internas: 
(a) As componentes que agem em cada barra 
da estrutura representada. 
(b) no ponto J do elemento ACF e 
(c) No ponto K do elemento BCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 Como apenas duas barras estão acopladas 
em cada nó, a estrutura é agora desmembrada, e 
componentes iguais e contrárias são representadas 
sobre cada barra em cada nó. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral II – Notas de AULA 6 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
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9 Forças internas em J: Sistemas força-
binário equivalente em J: 
( )( )
1
0 1.8 1.2
N
J
i
M M
=
+ = ⇔ − +∑3
2.16M kN= ⇐/
0=
1.80 cos 41.7 0F − ⋅ ° =
1.34F kN= ⇐2
1
0
N
y
i
F
+
=
=∑/
 
1
0
N
x
i
F
+
=
→ =∑
 
 
 
 
1.80 41.7 0V sen− + ⋅ ° = 
1.20V kN= ⇐0 9 As forças internas em J são, portanto, 
equivalentes a um binário de momento M, uma 
força F axial e uma força cortante V. O sistema 
força-binário interno que atua na parte JCF é igual 
com sentido oposto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Forças internas em K: Cortamos o 
elemento BCD em K e obtemos as duas partes 
indicadas. Considerando o corpo livre BK, 
escrevemos: 
1
0
N
K
i
M
=
+ =∑3
 ( ) ( )1.2 1.5 0M⇔ ⋅ + =
 1.80M kN m= − ⋅ 2⇐ 
1
0
N
x
i
F
+
=
→ =∑
 
0F = 
0F kN= ⇐ 
1
0
N
y
i
F+
=
↑ =∑
 
1.2 0 1.2V V kN⇔ − − = ⇔ = − 
1.2V kN= + ↑⇐ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
 Vigas 
 
¾ Vários Tipos de Carregamentos e de 
Vínculos Externos. 
Um elemento estrutural projetado para suportar 
cargas aplicadas em vários pontos de sua extensão é 
denominado viga. Em geral as cargas são 
perpendiculares ao eixo da viga, na qual causarão 
somente cisalhamento e flexão. Quando as cargas 
não formam ângulo reto com a viga, produzem 
também forças axiais. 
Em geral, vigas são barras prismáticas retas e 
longas. Projetar uma viga consiste essencialmente 
em selecionar uma seção reta que proporcionará 
resistência mais efetiva ao cisalhamento e flexão 
produzidos pelas cargas aplicadas. O projeto da 
viga, portanto, inclui duas partes distintas. 
Na primeira parte, as forças cortantes e os 
momentos fletores produzidos pelas cargas são 
determinados. 
A segunda parte refere-se na escolha da seção 
reta mais adequada para resistir a forças cortantes e 
momentos fletores determinados na primeira parte. 
Esta seção, Vigas, trata da primeira parte do 
projeto, que compreende a determinação de forças 
cortantes e momentos fletores nas vigas submetidas 
a várias condições de carregamento e vinculadas de 
modos diversos. 
A segunda parte do problema pertence ao 
estudo da Resistência dos Materiais. 
Uma viga pode estar submetida a cargas 
concentradas Q1, Q2,... expressas em N ou em seu 
múltiplo quilonewtons, a uma carga distribuída w, 
expressa em N/m ou kN/m ou a uma combinação 
de ambas. Quando a carga por unidade de 
comprimento tem um valor constante sobre parte da 
viga, diz-se que a carga é uniformemente 
distribuída sobre aquela região da viga. A 
determinação da reação nos vínculos externos pode 
ser consideravelmente simplificada se as cargas 
distribuídas forem substituídas por cargas 
concentradas, equivalentes, conforme explicado. 
Essa substituição, no entanto, não deve ser 
efetuada ou, pelo menos, deve ser efetuada com 
cuidado, quando forças internas sendo calculadas. 
As vigas são classificadas de acordo com o modo 
pelo qual são vinculadas. 
Diversos tipos de vigas freqüentemente 
usadas são representadas. 
 
 
 
 
 
 
 
Viga simplesmente apoiada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga simplesmente apoiada com balanço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga em balanço 
 
 
 
 
 
 
 
Viga contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga engastada em um extremo e 
simplesmente apoiada em outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga biengastada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vigas combinadas 
 
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 A distância L entre os apoios é 
denominada vão. Observe-se que as reações serão 
determinadas se os vínculos externos envolverem 
apenas três incógnitas. As reações serão 
estaticamente indeterminadas se mais incógnitas 
forem envolvidas; nesse caso, os métodos da 
estática não serão suficientes para determinar as 
reações, e as propriedades da viga com relação a 
sua resistência à flexão devem ser consideradas. 
Vigas apoiadas por dois roletes não são 
ilustradas aqui; tais vigas são apenas parcialmente 
vinculada e mover-se-ão sob certas condições de 
carregamento. 
 
¾ Vigas estaticamente determinadas 
Algumas vezes, duas ou mais vigas são 
acopladas por articulações para formar uma única 
estrutura contínua. Dois exemplos de vigas 
articuladas em um ponto H são representadas nas 
Figuras (a) e (b). Será observado que as reações nos 
vínculos externos envolver quatro incógnitas e não 
podem ser determinadas a partir do diagrama de 
corpo livre do sistema das duas vigas. Entretanto, 
essas incógnitas poderão ser determinadas 
considerando-se separadamente o diagrama de 
corpo livre de cada viga; seis incógnitas estão 
envolvidas (incluindo duas componentes da força 
na articulação), e dispõe-se de seis equações. 
 
 Força Cortante e Momento Fletor em 
uma Viga. 
 
Consideremos uma viga AB submetida a várias 
cargas concentradas e distribuídas. Propomo-nos a 
determinar a força cortante e o momento fletor em 
qualquer ponto da viga. No exemplo aqui 
considerado, a viga é simplesmente apoiada; 
porém, o método utilizado pode ser aplicado a 
qualquer tipo de viga estaticamente determinada. 
Primeiro determinamos as reações em A 
e B, escolhendo a viga inteira como corpo livre; 
escrevendo ΣMA = 0 e ΣMB =0, obtemos, 
respectivamente RA , e RB. 
Para determinar as forças internas em C, 
cortamos a viga em C e desenhamos os diagramas 
de corpo livre das partes AC e CB da viga. Usando 
o diagrama de corpo livre de AC, podemos 
determinar a força cortante V em C, igualando a 
zero a soma das componentes verticais de todas as 
forças que atuam em AC. Analogamente, o 
momento fletor M em C pode ser determinado 
igualando-se a zero a soma dos momentos em 
relação a C de todas as forças e de todos os binários 
que atuam em AC. Poderíamos ter usado 
igualmente o diagrama de corpo livre de CB* e 
determinado a força cortante V e o momento fletor 
AT, igualando a zero a soma das componentes 
verticaise a soma dos momentos em relação a C de 
todas as forças e binários que atuam em CB. Ainda 
que essa liberdade quanto à escolha do corpo livre 
possa facilitar o cálculo dos valores numéricos da 
força cortante e do momento fletor, torna-se 
necessário indicar em que parte da viga as forças 
internas consideradas estão agindo. Se a força 
cortante e o momento fletor, entretanto, forem 
calculados para todos os pontos da viga e 
eficientemente registrados, não será necessário, a 
cada instante, especificar qual parte da viga é 
utilizada como corpo livre. Adotaremos, portanto, a 
seguinte convenção: 
Para determinar a força cortante em uma 
viga, sempre suporemos que as forças internas V e 
V´ estão dirigidas conforme representamos a seguir. 
Um valor positivo obtido para seu valor 
V indicará que essa hipótese estava correia e que as 
forças cortantes estão realmente dirigidas conforme 
representado. Um valor negativo obtido para V 
indicará que a hipótese estava errada e que as 
forças cortantes estão dirigidas em sentidos 
opostos. Assim, somente a intensidade V, associada 
a um sinal mais ou menos, necessita ser registrada 
para definir completamente as forças de 
cisalhamenfco em um dado ponto da viga. O 
escalar V é comumente referido como força 
cortante em um dado ponto da viga. 
 A força e o vetor-binário que representam 
as forças internas sobre CS serão agora designados 
V e - M' em vez de V e M, como anteriormente, de 
modo a evitar confusão quando aplicarmos a 
convenção de sinais que a força cortante V e o 
momento fletor M em um dado ponto de uma viga 
serão positivos quando as forças internas e os 
momentos que atuam em cada parte da vige 
estiverem orientados conforme o esquema na 
figura. 
Essa convenção pode ser lembrada mais 
ente se observarmos que: facilm
1. A força cortante em C é positiva 
quando as forças externas (cargas e reações) que 
atuam na viga tendem a cisalhá-la em C, conforme 
indicado. 
2. O momento fletor em C ê positivo 
quando as forças externas que atuam na viga 
tendem a flexioná-la em C, como indicado. 
Pode também ser útil observar que a 
situação descrita na Fig. 7.9 e correspondente a 
valores positivos da força cortante e do momento 
fletor é precisamente a situação que ocorre na 
metade esquerda de uma viga simplesmente 
da que suporta uma única carga concentrada apoia
Mecânica Geral II – Notas de AULA 6 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
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em seu ponto médio. Esse exemplo particular é 
completamente, analisado na seção seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Forças internas na seçao 
(forças cortante c momento fletor positivo) 
(b) Efeito das forças externas 
(força cortante positiva) 
(c) Efeito das forças externas 
(momento fletor positivo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagramas de Força Cortante e 
Momento Fletor. 
 
Agora que a força cortante e o momento 
fletor já foram claramente definidos tanto em 
sentido quanto em módulo, podemos facilmente 
registrar seus valores em qualquer ponto da viga, 
representando esses valores em função de uma 
distância x medida a partir de uma das 
extremidades da viga. Os gráficos obtidos desse 
modo são denominados, respectivamente, diagrama 
de força cortante e diagrama de momento fletor. 
Como exemplo, consideremos uma viga Ao 
simplesmente vinculada, de vão L, submetida a 
uma única carga concentrada Q, aplicada em seu 
ponto médio D. Em primeiro lugar, determinamos 
as reações nos vínculos externos, a partir do 
diagrama de corpo livre de toda a viga . Resulta que 
o módulo de cada reação é igual a Q/2. 
Em seguida, cortamos a viga em um ponto C 
entre A e -D e traçamos os diagramas de corpo livre 
de AC e CB. 
Supondo que a força cortante e o momento 
fletor sejam positivos, orientamos as forças internas 
V e V e os binários internos M e AT como indicado 
na Fig. 7.9a. Considerando o corpo livre AC e 
escrevendo que a soma das componentes verticais e 
a soma dos momentos em relação a C, das forças 
que atuam no corpo livre, são iguais a zero, 
encontramos V = + Q /2 e M = + Q x/2. Por 
conseguinte, tanto a força cortante quanto o 
momento fletor são positivos: isto pode ser 
comprovado observando-se que a reação em A 
tende a cisalhar e fletir a viga em C, conforme 
indicado. Podemos representar graficamente V e M 
entre A e D (Fig. 7.10e e f)\ a força cortante tem um 
valor constante V = Q/2, enquanto o momento 
fletor cresce linearmente desde M = 0, em x = 0, até 
M = QL/4, em x =L/2. 
Cortando agora a viga em um ponto E 
entre D e B e considerando o corpo livre EB, 
escrevemos que a soma das componentes verticais 
e a soma dos momentos em relação a E, das forças 
que atuam no corpo livre, são iguais a zero. 
Obtemos V=-Q/2 e M= Q(L - x)/2. 
Portanto a força cortante é negativa e o 
momento fletor positivo; isto pode ser comprovado 
observando-se que a reação em B flexiona a viga no 
ponto E, conforme indicado, mas tende a cisalhá-la 
de maneira oposta àquela representada . Podemos 
completar agora os diagramas de força cortante e 
momento fletor; a força cortante tem valor 
constante V=-Q/2 entre O e B, enquanto o 
momento fletor decresce linearmente de M=QL/4 
em x = L/2 até M =0 em x = L. 
 
 
 
 
 
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 Exemplo 2 – Traçar os diagramas de 
momento fletor e força cortante para a viga e o 
carregamento apresentados: 
 
 Solução: 
 
 Determinando as reações considerando a 
viga inteira como um corpo livre: 
 
 46 14B DR kN R kN = ↑⇔ = ↑ 
 
9 Considerando as forças internas à direita 
da carga de 20 kN, aplicada em A: 
1
0
N
y
i
F+
=
↑ =∑ 
1 120 0 20V V kN⇔ − − = ⇔ = − 
1 20V kN= − ↓⇐ 
1
1
0
N
i
M
=
+ =∑3
 ( ) ( ) 120 0 0M⇔ ⋅ + =
 
1 0M kN m= ⋅ ⇐2 
9 Considere agora como corpo livre à 
esquerda da seção 2: 
1
0
N
y
i
F+
=
↑ =∑
2 220 0 20V V kN
 
⇔ − − = ⇔ = − 
2 20V kN= − ↓⇐ 
2
1
0
N
i
M
=
+ =∑3
 ( ) ( ) 220 2.5 0M⇔ ⋅ + =
 
2 50M kN m= − ⋅ 2⇐ 
9 Determinando a força cortante e o 
momento fletor nas seções 3,4,5 e 6 de modo 
similar, teremos: 
3 26V kN= ↑⇐ 3 50M kN m= − ⋅ ⇐2 
4 26V kN= ↑⇐ 4 28M kN m= ⋅ 3⇐ 
5 14V kN= − ↑⇐ 5 28M kN m= + ⋅ ⇐3 
6 14V kN= − ↑⇐ ⇐ 6 0M kN m= ⋅ 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9 CATENÁRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 - Faça os gráficos de força 
cortante e momento fletor para a viga AB. A carga 
distribuída de 8 KN/m estende-se por 0.30 m da 
viga, de A a C, e a carga de 2.00 kN é aplicada ao 
ponto E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Reações determinadas considerando a viga 
inteira como um corpo livre: 
1
0
N
A
i
M
=
+ =∑3
 
0.80 2.40 0.15 2.00 0.55 0yB⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ =
1.83yB kN=
 1.83yB kN= ↑⇐ 
1
0
N
B
i
M
=
+ =∑3
 
2.40 0.65 2.00 0.25 0.80 0A⇔ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
2.58A kN=
 2.58A kN= ↑⇐ 
1
0
N
x
i
F+
=
→ =∑ 
0xB⇔ = 
0xB kN= ⇐ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral II – Notas de AULA 6 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 
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9 A carga de 2.00 kN é substituída por um 
sistema força-binário equivalente aplicado ao ponto 
D da barra. 
9 De A a C: considerandoas forças internas 
a uma distância x do ponto A: 
1
0
N
y
i
F+
=
↑ =∑ 
2.58 8 0 2.58 8x V V⇔ − ⋅ − = ⇔ = − ⋅
2.58 8V x= − ⋅
x
 
1
1
0
N
i
M
=
+ =∑3 
12.58 8 0
2
x x x M⎛ ⎞⇔ − ⋅ − ⋅ ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
22.58 4M x x= ⋅ − ⋅ 
9 De C a D:Considerando a parte da viga à 
esquerda da seção 2: 
1
0
N
y
i
F+
=
↑ =∑ 
2.56 2.40 0 0.18V V⇔ − − = ⇔ =
0.18V kN=
kN
2
1
0
N
i
M
=
+ =∑3
( )2.58 2.40 0.15 0x x M⇔ − ⋅ + ⋅ − + =
( )0.36 0.18
 
 
 
M x kN m= + ⋅ ⋅
kN
 
9 De D a B:Utilizando a porção da viga à 
esquerda da seção 3: 
1
0
N
y
i
F+
=
↑ =∑ 
2.58 2.40 2 0 1.83V V⇔ − − − = ⇔ = −
1.83V kN= − 
3
1
0
N
i
M
=
+ =∑3 
( ) ( )2.58 2.40 0.15 0.20 2.00 0.45 0x x x M⇔− ⋅ + ⋅ − − + − + = 
( )1.46 1.83M x kN m= − ⋅ ⋅