Exercícios resolvidos- probabilidade e estatística

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D I S C I P L I N A : M é t o d o s E s t a t í s t i c o s 
 E x e r c í c i o s : E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a
 
Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - http://www.pucrs.br/famat/viali/ 
01. Uma amostra dos salários de 120 professores do ensino público estadual revelou os resultados da 
resultados da tabela: 
(a) Determine as freqüências absolutas. 
(b) Determine as freqüências relativas acumuladas 
(c) Determine o salário médio dos professores 
(d) Determinar a variância e o desvio padrão dos 
salários. 
(e) Qual é o salário mediano. 
(f) Determinar o salário modal pelos critérios de King e 
Czuber. 
(g) Se for dado um aumento de 12% para todos os professores, qual será o novo salário médio e o novo 
desvio padrão dos salários? 
(h) Se for dado um abono de 0,5 sm a todos os professores como fica a média e o desvio padrão dos 
salários? 
 (b) (a) 
xi fri Fri fi Fi fixi fixi2 
2 0,25 0,25 30 30 60 120 
4 0,40 0,65 48 78 192 768 
6 0,20 0,85 24 102 144 864 
8,5 0,15 1,00 18 120 153 1301 
Σ 1,00 – 120 – 549 3053 
 
(c) Média = 4,5750 = 4,58 s. m. 
(d) S2 = 4,5069 = 4,51 (s.m.)2 
 s = 2,1229 = 2,12 s.m. 
(e) me = 3,6250 = 3,62 s.m 
(f) King 3,4444 = 3,44 s.m. 
 Czuber 3,4286 = 3,43 s.m. 
(g) Média 5,1240 = 5,12 s.m. 
 Desvio 2,3777 = 2,38 s.m. 
(h) Média 5,0750 = 5,08 s.m. 
 Desvio 2,1229 = 2,12 s.m. 
 
02. O que acontece com a média e o desvio padrão de um conjunto de dados quando: 
(a) Cada valor é multiplicado por -2. 
(b) Soma-se o valor 10 a cada valor. 
(c) Subtrai-se a média de cada valor. 
(d) De cada valor subtrai-se a média e em seguida divide-se pelo desvio padrão 
(a) A média fica multiplicada por -2 e o desvio padrão por |-2| = 2 
Salário (em s.m.) % de professores 
1 |---- 3 0,25 
3 |---- 5 0,40 
5 |---- 7 0,20 
7 |--- 10 0,15 
Total 1,00 
 
 
(b) A média aumenta 10 unidades, mas o desvio padrão não se altera. 
(c) A média fica zero e o desvio padrão não se altera 
(d) A média fica zero e o desvio padrão fica igual a 1 (uma unidade). Isto é denominado de 
padronização dos valores. 
 
03. Um grupo de alunos teve média 7 e desvio padrão 2. Qual o escore A das seguintes notas: 
(a) Oito 50,0
2
78z −=−= Escore = 100.-0,5 + 500 = 450 pontos 
(b) Cinco 0,1
2
75z −=−= Escore = 100.-1,0 + 500 = 400 pontos 
(c) Dez 50,1
2
710z =−= Escore = 100.1,50 + 500 = 650 pontos 
 
04. Considerando o grupo do exercício três, determine qual a nota de um aluno que teve escore A igual 
a: 
(a) -1,25 50,45,27725,1.2x
2
7x25,1 =−=+−=→−=− 
(b) 0,85 70,87,17785,0.2x
2
7x85,0 =+=+=→−= 
(c) 0,35 70,77,07735,0.2x
2
7x35,0 =+=+=→−= 
 
(05) Os resultados de um concurso vestibular na prova de Geografia apresentaram um número médio 
de acertos de 13 questões com um desvio padrão de 3 questões. Determine o percentual de alunos que 
estão: 
(a) afastados mais do que um e meio desvio padrão da média 
Os que não estão afastados da média são: 1 – 1/1,52 = 1 – 1/2,25 = 44,44. Então os que 
estão afastados são: 1 – 0,4444 = 55,56% 
(b) no intervalo média mais dois desvios e média menos dois desvios. 
Neste caso o percentual é: 1 – 1/22 = 1 – 1/4 = 1 – 0,25 = 75% 
(c) incluídos no intervalo de 4 a 22 acertos. 
A média é 13, portanto 4 e 22 estão afastados 3 desvios da média. Assim o percentual de 
valores no intervalo é: 1 – 1/32 = 1 – 1/9 = 8/9 = 88,89% 
06. Um conjunto de dados apresenta valores no intervalo [10; 30]. 
(a) Sabendo que o conjunto tem uma distribuição assimétrica positiva você diria que a média de do 
conjunto é 20, menor que 20 ou maior que 20. Justifique. 
Como a cauda da distribuição é para a direita (valores acima da média) a média segue esta 
tendência e será portanto maior do que 20. 
(b) Qual seria o valor da média se o conjunto apresentasse uma distribuição simétrica. 
Neste caso a média seria 20, assumindo o mesmo valor que a mediana. 
 
 
07. Sobre o desvio padrão e a variância pode-se dizer que: 
(a) Ambos são medidas de variabilidade (dispersão); 
(b) Ambos são medidas de assimetria; 
(c) A variância mede dispersão, enquanto que o desvio padrão mede assimetria; 
(d) A variância não é afetada pela unidade de medida com que se mede a variável; 
(e) O desvio padrão está expresso na mesma dimensão e unidade de medida com que se mede a 
variável; 
(a) Correto, tanto a variância quanto o desvio medem variabilidade ou dispersão. 
(b) Medidas de assimetria são os coeficientes de Pearson. 
(c) Errado, veja a resposta (a) 
(d) Errado, pois a variância é expressa em unidades quadradas da variável, sendo assim 
afetada. 
(e) Correto, este é o motivo de se utilizar o desvio ao invés da variância como medida de 
dispersão. 
 
08. O chamado "coeficiente de assimetria de Pearson" é definido pela seguinte expressão: 
3(Média - Mediana) / Desvio padrão. 
Qual o valor deste coeficiente para o caso de uma distribuição perfeitamente simétrica? Por quê? 
 Se a distribuição é simétrica, então a média é igual a mediana, assim o coeficiente acima 
deverá ser zero. 
 
09. Algumas das medidas mais utilizadas em Estatística são afetadas em seu valor quando 
modificamos a unidade de medida utilizada para medir a variável. Pode-se dizer que as seguintes 
estatísticas são afetadas pela unidade de medida: 
(a) A variância; 
(b) O desvio padrão; 
(c) O coeficiente de variação; 
(d) A mediana; 
(e) A média. 
 
Das medidas acima somente o “coeficiente de variação”, por ser uma taxa, não é afetado 
pela unidade de medida da variável. 
10. A tabela abaixo dá a freqüência relativa do número de pessoas, por classe de renda mensal, em 
duas regiões fictícias: 
Classes de Renda Região A Região B 
De 0 a 1.000 0,20 0,60 
De 1.000 a 2.000 0,20 0,20 
De 2000 a 3.000 0,20 0,10 
De 3.000 a 4.000 0,20 0,09 
De 4.000 a 5.000 0,20 0,01 
(a) Na região A, todas as pessoas recebem a mesma percentagem da renda total; 
(b) A moda da variável renda pessoal, na região B, encontra-se na classe de 0 a 1.000; 
(c) A média da variável renda pessoal, na região A, encontra-se na classe 2.000 a 3.000; 
 
 
(d) A mediana da variável renda pessoal é maior na região B do que na região A; 
(e) Não é possível calcular a variância da renda, para qualquer uma das regiões, pois não conhecemos 
o total das pessoas em cada região. 
(a) Falso, pois na região A, todas as classes apresentam a mesma percentagem da renda total, 
isto não quer dizer que as pessoas individualmente recebam a mesma renda; 
(b) Correto, pois esta é a classe de maior freqüência; 
(c) Correto, pois a distribuição é simétrica. Assim a média deverá ser igual a mediana que 
devem estar na classe do meio da distribuição. 
(d) É o contrário, pois na região B a mediana está na primeira classe, enquanto que na região 
A ela está na terceira classe, sendo, portanto maior. 
(e) O fato de não saber o total não impede o cálculo da média ou da variância, pois neste caso 
utilizam-se as freqüência relativos cujo total é um ou 100%.