Apostila Mat Fin Brandao PUC

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
Prof. Luiz Brandão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
1. INTRODUÇÃO 4 
1.1 FLUXO DE CAIXA ...................................................................................................... 5 
1.1.1 AMBIENTE ..................................................................................................... 6 
1.1.2 DEFINIÇÕES ................................................................................................... 6 
1.2 JUROS ....................................................................................................................... 7 
1.3 EXERCÍCIOS.............................................................................................................. 7 
2. JUROS SIMPLES 8 
2.1 EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES................................................................................... 10 
3. JUROS COMPOSTOS 11 
3.1 EXERCÍCIOS: JUROS COMPOSTOS............................................................................. 14 
3.2 UTILIZANDO CALCULADORAS FINANCEIRAS............................................................ 15 
3.2.1 EXERCÍCIOS: USANDO A CALCULADORA......................................................... 18 
3.3 ANUIDADES (PMT) ................................................................................................... 20 
3.4 PERPETUIDADES ....................................................................................................... 22 
3.4.1 EXERCÍCIOS: ANUIDADES E PERPETUIDADES................................................... 23 
3.5 FLUXOS NÃO UNIFORMES ......................................................................................... 24 
3.6 TAXAS DE JUROS....................................................................................................... 25 
3.6.1 TAXA EFETIVA ............................................................................................... 25 
3.6.2 TAXA NOMINAL............................................................................................. 25 
3.6.3 TAXA REAL.................................................................................................... 27 
3.6.4 TAXAS PROPORCIONAIS .................................................................................. 27 
3.6.5 TAXAS EQUIVALENTES ................................................................................... 28 
4. EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 30 
4.1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.................................................................................... 31 
4.1.1 PAGAMENTO NO FINAL ................................................................................... 31 
4.1.2 SISTEMA AMERICANO .................................................................................... 31 
4.1.3 SISTEMA PRICE .............................................................................................. 31 
4.1.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................. 32 
4.1.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTA - SAM .................................................... 32 
4.2 EXERCÍCIOS: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.............................................................. 36 
 
 
 
5. DESCONTO BANCÁRIO 38 
5.1 EXERCÍCIOS: DESCONTO BANCÁRIO ..................................................................... 39 
6. ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO 40 
6.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO...................................................................................... 40 
6.2 TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR.......................................................................... 42 
6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA.............................................................. 42 
6.4 EXERCÍCIOS:............................................................................................................. 44 
7. MATERIAL COMPLEMENTAR 49 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 4 
1. Introdução 
 
uando o controle acionário da Cervejaria Brahma foi comprado em 1989, os novos 
donos pagaram o equivalente a US$ 60 milhões de dólares pela maioria das ações 
ordinárias. Em 1997, oito anos depois, o valor de mercado desta participação era de 
US$ 1 bilhão de dólares. É óbvio que esta operação resultou num bom negócio para os novos 
sócios, mas se quiséssemos saber exatamente qual a rentabilidade média anual que esses 
investidores obtiveram nesse período, como faríamos este cálculo? Ao comprar uma geladeira 
de R$ 1.000 numa loja de eletrodomésticos, o vendedor lhe dá a opção de pagar à vista ou em 
três parcelas de R$ 350. Considerando que você tem R$5.000 investidos em caderneta de 
poupança, qual a melhor opção para você? 
 
Estas e outras questões que dizem respeito ao valor do dinheiro no tempo são o objeto de 
estudo da Matemática Financeira. Sabemos que o valor das ações de uma empresa depende 
em parte do “timing” dos fluxos de caixa que os investidores esperam receber no futuro, e 
dado que um dos principais objetivos do gerente financeiro é maximizar o valor da empresa 
para o acionista, é essencial que o gerente financeiro tenha o domínio dos conceitos de 
Matemática Financeira para que possa avaliar corretamente o valor destes e outros ativos da 
empresa. 
 
O conceito básico da Matemática Financeira é que um real recebido hoje vale mais de que um 
real a ser recebido daqui a um ano. Dizemos então que o dinheiro tem valor no tempo. Mas 
como comparar um real hoje com R$1,20 reais a serem recebidos em um ano? Sabemos que 
não podemos comparar estes dois valores diretamente, pois eles ocorrem em épocas 
diferentes. É a Matemática Financeira que nos permite comparar fluxos de caixa distintos e 
indicar qual é mais vantajoso para o indivíduo ou a empresa, e isso é feito transformando cada 
fluxo de caixa no seu valor equivalente à vista, “descontando” esses valores de um tempo 
futuro até o momento atual. Uma vez que os valores então se encontram agora todos na 
mesma data, podemos então comparar esses valores entre si e tomar a nossa decisão. 
 
O conceito de fluxo de caixa descontado tem inúmeras aplicações, desde a elaboração de 
planilhas de cálculo de amortização de empréstimos até a decisão de investimento em projetos 
industriais. De todos os conceitos básicos de finanças, podemos dizer que a análise do Fluxo 
de Caixa Descontado é um dos mais importantes. 
 
Veremos também que a transformação desses fluxos só pode ser feita com a fixação dos juros, 
e pode-se ainda dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas 
e fatores, se prende, exclusivamente, à existência dos mesmos. Dada essa importância dos 
juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em detalhe no 
decorrer do curso. 
Q 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 5 
1.1 Fluxo de Caixa 
Para representar as entradas e saídas de caixa de um fluxo, adotaremos a seguinte convenção: 
 
Dinheiro investido (saída de caixa), seta para baixo, ou valor negativo 
 
 
 
 
 
 
Dinheiro recebido (entrada de caixa), seta para cima 
 
 
 
 
 
 
Denomina-se fluxo de caixa (de uma firma, de um investimento, de um projeto, de um indivíduo 
etc...) ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um fluxo de 
caixa pode apresentar diversas entradas e saídas de caixa, a fim de facilitar a visualização dos 
fluxos de caixa de um problema em particular, adotaremos o conceito da linha do tempo, 
conforme diagrama a seguir: 
 
0 1 2 3 4 5 
 
 
 
 
 
O instante zero representa a data de hoje: é o momento atual, o instante da decisão a ser 
tomada. O tempo 1 ocorre daqui a um ano, e representa o instante final do ano 1, ou seja, 31 
de dezembro do ano 1. Da mesma forma, o tempo dois representa o instante final do ano 2, 
que começa em 01/01/02 e termina em 31/12/02, e os tempos 3, 4 e 5 tambémrepresentam o 
instante final do ano 3, 4 e 5. Observe que os períodos de um fluxo podem representar não só 
anos, como também meses, semanas, dias, trimestres, ou qualquer período que se queira. 
 
O total de juros devido pelo tomador ao aplicador depende de dois fatores básicos: A taxa 
pactuada e o prazo da operação. Como o tomador, em geral, dispõe de recursos em datas 
preestabelecidas, é comum estabelecer indiretamente a vigência das operações pelas 
respectivas datas de tomada e liquidação dos empréstimos. 
 
Os comerciantes medievais adotaram algumas regras simplificadoras dos cálculos, criando o 
mês e o ano comercial. Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias e o ano, 
por ser decomposto em exatos 12 meses, tem 360 dias. assim o prazo de uma operação pode 
ser definido em termos exatos (mês e ano civil) e em termos comerciais (mês e ano 
comercial). Quando o prazo da operação é dado em termos comerciais, os juros são chamados 
de juros comerciais; quando o número de dias dos meses correspondem aqueles do ano civil, 
são chamados de juros exatos. 
 
(100) 
100 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 6 
1.1.1 Ambiente 
Para efeitos didáticos consideraremos o nosso ambiente como sendo um ambiente 
aonde não existem outros custos além dos especificamente mencionados. Ou seja 
custos como: reciprocidade exigida pelos bancos, custos devido à exigência de saldos 
médios a serem mantidos nos bancos, custos devido à compra “compulsória” de 
seguros empurradas pelos agentes financeiros, taxas de abertura de crédito, taxas de 
cadastro, imposto de renda, IOF, Imposto sobre diversos, emolumentos, custos de 
transação tais como comissões, inadimplências, falências, congelamentos, e assim 
sucessivamente somente serão considerados quando explicitamente mencionados nos 
exemplos e exercícios. 
 
1.1.2 Definições 
Um real na mão hoje vale mais do que um real a ser recebido daqui a um ano, pois se 
você tiver um real hoje você pode investi-lo e receber juros deste investimento, de 
forma que daqui a um ano você terá mais do que um real. Para exemplificar, suponha 
que você possua R$1.000 e tenha a oportunidade de investi-lo no banco a uma taxa de 
juros de 10% ao ano. Quanto você teria ao final do ano? Adotaremos a seguinte 
notação: 
 
VP (Valor Presente, 
Principal) 
Æ Valor que você dispõe hoje. No nosso exemplo é R$ 
1.000. 
i (Taxa de Juros) Æ Taxa de juros que o banco paga por período. 
Assumimos que esse juros é pago no final do período. 
VF (Valor Futuro) Æ Valor de que você dispõe ao final do período, que 
inclui o valor que você tinha no inicio mais os juros 
recebidos no final do período. 
n (No de Períodos) Æ Número de Períodos envolvidos na análise. No caso, 
n = 1. 
J Juros Æ Valor de Juros recebidos 
 
 
 No nosso exemplo, temos então: 
 
 VP = 1.000 
 i = 10% a.a. 
 n = 1 
0 1 
 
 
VP =1.000 J = ? 
VF = ? 
 
 J = VP x i = 1.000 x 10% = 1.000 x 0,10 = 100 
 
 VF = VP + J = 1000 + 100 = 1.100 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 7 
 Podemos deduzir a fórmula do Valor Futuro (FV): 
 
 VF = VP + VP x i 
 VF = VP (1+i) 
 
 Aplicando a fórmula ao exemplo: VF = 1000 (1+0,10) = 1.100 
 
1.2 Juros 
O conceito de juros pode ser introduzido através das expressões: 
a. dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros 
colocado à nossa disposição. 
b. remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou, ainda, remuneração 
paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. 
 
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de 
tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. 
 
Ex 1: 12% ao ano = 12% a.a. 
 10% ao mês = 10% a.m. 
 
Ex 2: Um capital de $10.000, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no 
final de um ano, um total de juros. Qual é este total de juros? 
 Resp: 8% de 10.000 = (8 / 100) x 10.000 = 0,08 x 10.000 = 800 
 
0 1 
 
 
VP =10.000 J = 800 
 
1.3 Exercícios 
1) Qual a importância da Matemática Financeira? 
2) O que é juros? 
3) Explique o que significa uma aplicação a juros simples. 
4) Explique o que significa uma aplicação a juros compostos. 
5) Se você aplicar hoje $1.000 a juros simples com uma taxa de 10% ao ano quanto 
terá em 2 anos? 
6) Se você aplicar hoje $1.000 a juros compostos com uma taxa de 10% ao ano quanto 
terá em 2 anos? 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 8 
2. Juros Simples 
s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização 
simples se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados sempre em 
cima do valor inicial do empréstimo. Sobre os juros não pagos não incide cobrança 
de juros. Nessa categoria os juros de cada período são sempre calculados em função do capital 
inicial. Considere um poupador que investiu $1.000 numa aplicação de renda fixa que lhe 
renderá juros simples à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de 4 anos? 
 
Ano Saldo no 
Início do ano 
Taxa de 
Juros 
Base de 
Cálculo 
Juros do 
período 
Saldo final 
do ano 
1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100 
2 $1.100 10% $1.000 $100 $1.200 
3 $1.200 10% $1.000 $100 $1.300 
4 $1.300 10% $1.000 $100 $1.400 
 
 
Neste caso, é importante realçar que o banco sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobre 
o capital inicial de $1.000, e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período. 
Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados. 
Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a não 
remunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital por 
conta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos. Neste caso o poupador 
estaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta não 
mais seria uma situação de juros simples. 
 
Exemplo: Suponha que você pegou emprestado $1.000 com 10% de juros ao ano. O cálculo 
do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: 
 
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros 
Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,10 = 100 
Valor do Principal = 1.000 
O Valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do 
principal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.100 
 
0 1 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 
O 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 9 
Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar 
serão os seguintes: 
 
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos 
Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 2 = 200 
Valor do Principal = 1.000 
 
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do 
principal, ou seja: 200 + 1.000 = 1.200 
 
0 1 2 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 J = 100 
VF = 1.200 
 
Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar 
serão os seguintes: 
 
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos 
Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 3 = 300 
Valor do Principal = 1.000 
 
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do 
principal, ou seja: 300 + 1.000 = 1.300 
 
0 1 2 3 
 
 
VP =1.000 J1 = 100 
VF1 = 1.100 
 J2 = 100 
VF2 = 1.200 
 J3 = 100 
VF3 = 1.300 
 
Fórmula Geral: 
 
0 1 2 3 ...... n 
 
 
VP =1.000 J1 = 100 
VF1 = 1.100 
 J2 = 100 
VF2 = 1.200 
 J3 = 100 
VF3 = 1.300 
...... Jn = 100 
VFn = 1.300 
 
 VF VP Juros n= + ⋅ 
 VF VP VP i n= + ⋅ ⋅ 
 
 VF VP i n= +⋅1b g 
 
A fórmula é somente esta, porém podemos através de manipulações algébricas utilizar a 
fórmula do valor futuro (FV) para calcular Valor Presente (VP), taxa de juros (i) ou valor dos 
juros a pagar (J). 
 VF VP i n= + ⋅1b g VP VF
i n
= + ⋅1 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 10 
 i VF VP
VP n
= −⋅ J VF VP VP i n= − = ⋅ ⋅ 
VF VPn
i VP
−= ⋅ 
 
Onde: n: é o número de períodos 
 VP: é o Valor Presente de principal aplicado 
 i: é a taxa de juros expressa em decimais 
 VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal 
 J: é o total de juros pagos sobre o principal durante o investimento 
 
Observe que só existem 4 variáveis: Taxa de Juros, Valor Presente, Valor Futuro e Número de 
Períodos. Assim sendo só existem 4 tipos básicos de pergunta que podemos formular. 
 
Ex: Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa de 2% a.m., no regime de 
juros simples, a partir de um principal (VP) igual a $2.000 ? 
 
Solução: P = $2.000 i = 2% a.m. 2/100 = 0.02 ao mês 
 n = 24 meses VF = ? 
 VF = 2.000 ( 1 + 0,02 x 24) = 2.960 
 
2.1 Exercícios: Juros Simples 
1) Você tem hoje (t=0) $1.000 para aplicar a juros simples a uma taxa de 10% ao ano. 
Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $1.300 
 
2) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos 
$2.400. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? 
Resp: 10% 
 
3) Você tem hoje $10.000 e pretender ter um total (juros mais principal) de $19.000 em uma 
aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado?
 Resp: 3 anos 
 
4) Você precisa ter $17.760 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso 
financeiro. Quanto você deve investir hoje, sabendo que a taxa de juros que essa aplicação 
paga é 12% ao ano? Resp: $12.000 
 
5) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000 a juros simples pelo período de 4 
anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $3.600 
 
6) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500. Considere 
que a taxa de juros simples que você usou é de 10% ao ano. Resp: $1.000 
 
7) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000 por 2 anos a uma taxa de juros 
simples de 20% ao ano? Resp $1.200 
 
8) Qual é a taxa de juros simples que faz uma aplicação de $180 em t=0 valer $360 em 10 
anos? Resp: 10% a.a. 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 11 
3. Juros Compostos 
s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização 
composta se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados, a cada 
período do empréstimo, sobre o saldo devedor do empréstimo que inclui o principal 
e os juros ainda não pagos. Nessa categoria os juros de cada período são calculados sempre 
em função do saldo existente no inicio de cada respectivo período. Daqui para frente, 
consideraremos que todos os juros em questão são juros compostos. 
 
Considere a mesma situação do exemplo anterior de juros simples, agora com a diferença da 
utilização de juros compostos para o cálculo da remuneração ao investidor. 
 
Ano Saldo no 
Início do ano 
Taxa de 
Juros 
Base de 
Cálculo 
Juros do 
período 
Saldo final 
do ano 
1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100 
2 $1.100 10% $1.100 $110 $1.210 
3 $1.210 10% $1.210 $121 $1.331 
4 $1.331 10% $1.331 $133 $1.464 
 
 
Nesse caso o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico a 
seguir, podemos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nestas 
tabelas. 
 
Juros Simples e Juros Compostos
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Juros Simples
Juros Compostos
 
 
 
O 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 12 
Exemplo: 
 
1) Suponha que você pegou emprestado $1.000 hoje, para pagar este empréstimo com 
juros de 10% ao ano capitalizados de forma composta. Desta forma se você pegou este 
empréstimo por apenas 1 ano o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os 
seguintes: 
 
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros 
Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 
Valor do Principal = 1.000 
 
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do 
principal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.100 
 
0 1 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 
Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a 
pagar serão os seguintes: 
 
Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros 
Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 
 
 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: 
 
Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100 
Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros 
Valor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110 
 
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os 
juros do ano 2 mais o principal, ou seja: 100 + 110 + 1.000 = 1.210 
 
0 1 2 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 J = 110 
VF = 1.210 
 
Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a 
pagar serão os seguintes: 
 
Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros 
Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 
 
Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: 
 
Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100 
Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros 
Valor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 13 
 
Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do terceiro ano será: 
Principal + Juros (ano1) + Juros (ano2) = 1.000 + 100 110 = 1.210 
 
Valor dos juros para o terceiro ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros 
Valor do Juros do terceiro ano = 1.210 x 0,1 = 121 
 
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os 
juros do ano 2 + os juros do ano 2 + o principal, ou seja: 
100 + 110 + 121 + 1.000 = 1.331 
 
0 1 2 3 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 J = 110 
VF = 1.210 
 J = 121 
VF = 1.331 
 
 
Fórmula Geral para Juros Compostos: 
 VF VP i n= +1b g 
 
A partir da fórmula acima podemos obter: 
 VP VF
i n
= +1b g i
VF
VP
n= FHG
I
KJ −
1
1 n
VF
VP
i
=
F
HG
I
KJ
+
ln
ln 1b g 
 
Onde: n: é o número de períodos 
 VP: é o Valor Presente de principal aplicado 
 i: é a taxa de juros expressa em decimais 
 VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal 
 
OBS: Valor Presente, Valor Atual, Valor de hoje, agora ou tempo zero (t=0) são sinônimos. 
 
 
Ex 1: Qual o montante acumulado em 6 anos, à uma taxa de 10% a.a., no regime de juros 
compostos, a partir de um principal inicial de $100,00 ? 
 
Solução: Utilizando a fórmula: FV = VP (1 + i)n = 100,00 (1 + 0.1)6 = 177,16 
 
Fazendo passo a passo: 
 
Seja VP1 o principal no inicio do ano 1, VP2 no inicio do ano 2 e assim sucessivamente 
Seja VF1 o montante ao final do ano 1, VF2 ao final do ano 2 e assim sucessivamente 
Seja J1 o total de juros pagos ao final do ano 1, J2 ..... aonde J = i VP 
 
Fazendo o reinvestimento período a período até o sexto período de todo o disponível ao final 
do período anterior, teremos: 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 14 
0 1 2 3 4 5 6 
 
 
VP0 =100 J1 = 10 
VF1 = 110 
J2 = 11 
VF2 = 121 
J3 = 12,1 
VF3 = 133,1 
J4 = 13,31 
VF4 = 146,41J5 = 14,461 
VF5 = 161,051 
J6 = 16,105 
VF6 = 177,15 
 
 
no inicio do ano 1 VP1 = 100,00 
no final do ano 1 VP1 + J1 = VF1 =100 + 10 = 110 
 
no inicio do ano 2 VP2 = 110 
no final do ano 2 VP2 + J2 =VF2 = 110 + 11 = 121 
 
no inicio do ano 3 VP3 = 121 
no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = 121 + 12,1 = 133,1 
 
no inicio do ano 4 VP4 = 133,1 
no final do ano 4 VP4 + J4 = VF4 =133,1 + 13.31 = 146,41 
 
no inicio do ano 5 VP5 = 146,41 
no final do ano 5 VP5 + J5 = VF5 = 146,41 + 14,641 = 161,051 
 
no inicio do ano 6 VP6 = 161,051 
no final do ano 6 VP6 + J6 = VF6 = 161,051 + 16,1051 = 177.15 
 
3.1 Exercícios: Juros Compostos 
1) Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá 
depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $1.331,00 
 
2) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 
anos $2.420. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? 
 Resp: 10% 
 
3) Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso 
financeiro. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros 
que esta poupança paga é 12% ao ano? Resp: $7.626,22 
 
4) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos pelo 
período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $4.147,20 
 
5) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500,00. 
Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. Resp: $931,38 
 
6) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa de 
juros compostos de 20% ao mês? Resp $1.320,00 
 
7) Você tem hoje (t=0) $1.000.000,00 para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto você 
terá depois de 4 anos desta aplicação? Resp: $1.749.006,25 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 15 
3.2 Utilizando Calculadoras Financeiras 
As calculadoras financeiras facilitam o uso da Matemática Financeira, automatizando os 
cálculos mais tediosos e complexos. Embora cada modelo existente no mercado seja diferente 
na maneira de utilizá-lo, de um modo geral todos adotam as seguintes convenções: 
 
0 1 2 3 n 
 
 
PV PMT PMT PMT PMT 
FV 
 
n - Número de períodos do investimento ou empréstimo 
i - Taxa de juros que vai incidir sobre o VP, PMT e FV 
PV - Valor Presente (Present Value) 
PMT - Pagamento Periódico (Payment) 
FV - Valor Futuro (Future Value) 
 
Na HP 12c, estão funções estão na primeira linha de teclas, no lado esquerdo. Se você tem 
uma calculadora HP 12c observe que a maioria das teclas de sua calculadora tem 3 funções 
diferentes: 
1. função escrita em letras ou números “BRANCOS” 
2. função escrita em “AZUL” e 
3. função escrita em “AMARELO”. 
 
 
 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 16 
Quando você liga a máquina automaticamente está na função BRANCA das teclas. Você 
pode determinar qual a função desejada simplesmente apertando as teclas “ f ” ou “ g ” 
seguida então da tecla com a função da cor desejada. 
 
A HP12c tem memória contínua, isto é, ela não perde os dados que estão em memória ao ser 
desligada. Por isso, antes de efetuar qualquer calculo é necessário limpar os dados que estão 
na memória da calculadora teclando a tecla e depois a tecla FIN em amarelo. 
 
Convenciona-se em nosso país considerar que os fluxos ocorrem ao final de cada período. 
Assim, se um fluxo que ocorre ao longo de todo o ano 1 seja representado por um único fluxo 
no final deste ano, ou seja, no dia 31 de dezembro do ano 1. Para que sua calculadora também 
considere os fluxos ao final de cada período, é preciso ajustá-la para isso. Se sua calculadora 
possui a opção END mode ou BEGIN mode coloque em END mode. Na calculadora HP 12c 
realize esta operação teclando a tecla azul seguida da tecla que tem a letras azuis “END”. 
 
Na calculadora HP12c você deve entrar com o valor da taxa de juros, tecla BRANCA “i” em 
base percentual. Isto é se a taxa for 20% digite 20 e em seguida tecle “ i ”. Lembre-se que 
quando você usa fórmulas, se a taxa for 20% você dever inserir na fórmula “0,2” que é base 
decimal. Para escolher o número de casas decimais que o seu visor deve mostrar, 
simplesmente tecle seguido do número de casas decimais que pretende utilizar. Sugere-
se que adote duas casas decimais como padrão. 
 
 
 
Exemplo: Calculando um Valor Futuro 
 
Suponha que você irá investir $100 num banco a uma taxa de 10% a.a. por um período de 6 
anos. Qual o montante a receber ao final dos 6 anos? 
 
Valor do investimento hoje: PV = 100 
Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 10% 
No de períodos que o investimento irá durar: n = 6 
Valor Futuro deste investimento: FV = ? 
 
 Você deverá obter: FV = -177,16 
 
Procedimento passo a passo para HP 12c: 
 
Passo Ação Descrição 
1 tecle FIN Limpa a memória financeira 
2 100 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.000 
3 10 e tecle Informa que os juros são de 10% por período 
4 6 e tecle Informa que são 6 períodos 
5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 17 
 
Para alterar o número de casas decimais no visor da calculadora para: 
três casas decimais: tecle “ f ” “ 3 ” e obterá: - 177,156 
quatro casas decimais: tecle “ f ” “ 4 ” e obterá: - 177,1561 
cinco casas decimais: tecle “ f ” “ 5 ” e obterá: - 177,15610 
seis casas decimais: tecle “ f ” “ 6 ” e obterá: - 177,156100 
 
Lembre-se que a calculadora trabalha internamente sempre com precisão de 16 casas 
decimais, independente de quantas casas você definiu para o visor da tela. 
 
Note que o resultado apresenta um sinal negativo. Isto ocorre porque a calculadora considera 
que se você pegou um empréstimo (você recebeu $) deverá pagar com juros ao final do 
período “N” (você paga $). Assim, se você coloca o VP (ou PV em inglês) com valor 
positivo, significando que você recebeu, por exemplo, a resposta sairá com o sinal trocado (no 
exemplo, sinal negativo) significando que você pagou o FV. A recíproca também é 
verdadeira: se você colocar PV com sinal negativo sua resposta, o FV será dado com sinal 
positivo. 
 
 
Exemplo: Calculando um Valor Presente 
 
Qual o principal que deve ser aplicado hoje (Valor Presente) para se ter acumulado um total 
de $1.000 daqui a 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês? 
Valor Futuro: FV = 1.000 
Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 3% 
No de períodos que o investimento irá durar: n = 12 
Valor Presente deste investimento: PV = ? 
 Você deverá obter: PV = - 701,38 
 
Procedimento passo a passo para HP 12c: 
 
Passo Ação Descrição 
1 tecle FIN Limpa a memória financeira 
2 12 e tecle Informa que são 12 períodos 
3 3 e tecle Informa que os juros são de 3% por período
4 1000 e tecle Informa que o Valor Futuro será de $1.000 
5 tecle Calcula o Valor Presente: -701.37 
 
 
Observação: O sinal do valor em FV será sempre diferente do sinal do valor em PV, posto 
que para a calculadora um valor é recebimento e o outro pagamento (ou vice-versa). 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 18 
Exemplo: Calculando uma taxa de juros 
 
Qual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00 
em 1 ano? 
Valor Presente: PV = 1.000
Valor Futuro: FV = - 1.200
No de períodos: n = 1 
Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = ? 
 Você deverá obter: i = 20% 
 
Procedimento passo a passo para HP 12c: 
 
Passo Ação Descrição 
1 tecle FIN Limpa a memória financeira 
2 1000 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.0003 1200 e tecle Informa que o Valor Futuro será de - $1.200 
4 1 e tecle Informa que é 1 período 
5 tecle Calcula os juros: 20% 
 
Obs: É necessário teclar para trocar o sinal do Valor Futuro. 
 
3.2.1 Exercícios: Usando a Calculadora 
 
1) Você tem hoje $10.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $21.970,00 
em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro 
aplicado? Resp: 3 anos 
 
2) Qual é a taxa de juros compostos que faz uma aplicação de $180,00 em t=0 valer $360,00 
em 10 anos? Dica: Não se esqueça de colocar PV e FV com sinais diferentes. 
 Resp: 7,177% ao ano 
 
3) Suponha que você tem $2.000,00 hoje e se investir na poupança da CEF terá em 10 anos 
$5.187,48. Qual é a taxa anual que a CEF está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 
 
4) Pedro tem disponíveis hoje $50.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de 
$82.151,60 em uma aplicação que paga 18% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu 
dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 
 
5) Você quer ter $100.000,00 daqui a seis anos para comprar uma casa. Quanto você deve 
depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que a poupança paga é 12% ao 
ano? Resp: $50.663,11 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 19 
6) Qual é o Valor Futuro que você espera obter se aplicar $222.000,00 a juros compostos 
pelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $2.850.298,99 
 
7) Maria quer comprar um automóvel popular. O preço de automóveis populares tem se 
mantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar o 
automóvel daqui a quatro anos, e que precise ter $15.000,00 para poder comprá-lo. 
Sabendo que ela tem uma aplicação que vai remunerar seus depósitos a uma taxa de juros 
anual de 18% ao ano durante os próximos quatro anos, que valor Maria deve depositar 
hoje nessa aplicação para que daqui a quatro anos ela possa comprar o seu automóvel? 
Resp: $7.736,83 
 
8) Qual é o valor dos juros que você vai receber por uma aplicação num fundo de renda fixa 
se aplicar $30.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês? 
Resp $2.448,00 
 
9) Qual é a taxa de juros que faz uma aplicação qualquer dobrar de valor em 5 anos? 
Resp: 14,87% ao ano 
 
10) Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante de 
$1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3 % ao mês? 
 Resp: -701,38 
 
11) Um principal foi investido em uma aplicação financeira. Suponha que a taxa de juros seja 
3% ao mês no regime composto. No final do quarto mês o valor do montante é $100,00. 
Qual era o valor do montante ao final do primeiro mês e qual o valor do montante ao 
final do sétimo mês ? Resp: a) $91,51 b) $109,27 
 
12) Um indivíduo recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 para 
receber $ 1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do 
investimento proposto no regime de juros compostos? Resp: 3% a.m. 
 
13) Em quantos meses um capital dobra, a juros compostos de 2% a.m. Resp: 35 meses 
 
14) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que 
remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. 
Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o 
montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340,0956 
 
15) Durante a época de alta inflação no Brasil, o comércio paulista popularizou a seguinte 
forma de venda: “20% de desconto para pagamento à vista ou em 30 dias sem juros”. 
Nessas condições, qual a taxa efetiva para o pagamento em 30 dias? 
 Resp: 25% ao mês 
 
16) Um cidadão investiu $10.000 nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a 
taxa de rentabilidade mensal de seu investimento? Resp: 3.00% ao mês 
 
17) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que 
remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. 
Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o 
montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 20 
3.3 Anuidades (PMT) 
 
Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos 
feitos ao final de cada período de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmente 
durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá ao final destes três 
anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade. 
 
0 1 2 3 
 
 
 1000 1000 1000 
 
 1100 
 1210 
 3310 
 
 
VF PMT i PMT i PMT
VF
VF
= + + + +
= × + × +
=
( ) ( )
. .
1 1
1000 11 1000 11 1000
3310
2
2 
 
A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma anuidade (PMT) é dada por: 
 VF PMT i n t
t
n
= + −
=
∑ 1
1
b g e também podemos ter PMT VF
i n t
t
n=
+ −
=
∑ 1
1
b g
 
Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma: 
 
 VF PMT
i
i
n
= + −L
N
MM
O
Q
PP
1 1b g e PMT VF i
i n
= + −
L
N
MM
O
Q
PP1 1b g 
 
 
Uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular as vantagens ou desvantagens 
de se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia de seguro lhe deu a opção de 
parcelar a renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é de 
2.000 reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se você tem dinheiro investido que rende 1% 
ao mês, qual a melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente desta 
anuidade. 
0 1 2 3 
 
 
 730 730 730 
 
723 
716 
708 
2147 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 21 
 VP PMT
i
PMT
i
PMT
i
= + + + + +1 1 12 3b g b g b g 
 VP
VP
= + +
=
730
101
730
101
730
101
2147
2 3. . . 
 
 
O Valor Presente desta anuidade é maior do que o Valor para pagamento à vista, de modo que 
não é interessante este parcelamento. A fórmula geral do Valor Presente de uma anuidade é a 
seguinte: 
 
 VP PMT
i tt
n
= +=∑
1
11 b g e também podemos ter PMT
VP
i tt
n=
+=∑
1
11 b g
 
Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma: 
 
 VP PMT
i
i i
n
n= + −+
L
N
MM
O
Q
PP
1 1
1
b g
b g e PMT VP
i i
i
n
n= ++ −
L
N
MM
O
Q
PP
1
1 1
b g
b g 
 
A calculadora financeira simplifica os cálculos envolvendo anuidades, como podemos ver a 
seguir: 
 
Exemplo: Calculando o Valor Futuro de uma Anuidade 
 
Se você depositar $100 mensalmente numa aplicação que rende juros de 1% ao mês, quanto 
você terá ao final de dois anos? 
 
Valor da Anuidade: PMT = 100 
No de períodos: n = 24 
Taxa de juros por período: i = 1 
Valor Futuro: FV = ? 
 Você deverá obter: FV = - 2.697,35 
 
Procedimento passo a passo para HP 12c: 
 
Passo Ação Descrição 
1 tecle FIN Limpa a memória financeira 
2 100 e tecle Informa que a Anuidade é $100 
3 1 e tecle Informa que os juros são de 1% por período 
4 24 e tecle Informa que são 24 períodos 
5 tecle Calcula o Valor Futuro: - 2.697,35 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 22 
Qualquer uma das variáveis de uma anuidade pode ser calculada se os valores das demais 
variáveis forem conhecidos. Dessa forma, dado o Valor Presente, a Anuidade e o número de 
períodos, podemos calcular a taxa de juros, ou dada a taxa de juros, podemos calcular o 
número deperíodos. 
3.4 Perpetuidades 
Quando a anuidade não tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo de pagamentos (ou 
recebimentos) é infinito, o que acontece com o seu Valor Presente? Vamos calcular os Valor 
Presente das seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos e crescentes. 
Suponha um PMT de $100 e uma taxa de desconto de 10% por ano: 
 
 No de Períodos PMT Valor Presente 
a) 10 anos 100 
b) 30 anos 100 
c) 100 anos 100 
d) 500 anos 100 
e) Infinito 100 
 
 
Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para um determinado valor, que é 
dado pela seguinte fórmula: VP PMT
i
= . Isso pode ser deduzido a partir da fórmula da 
anuidade, fazendo-se n tender para o infinito. 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1
n n
n n n
i i
VP PMT PMT
i i i i i i
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − += = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
( )
1 1
1 n
VP PMT
i i i
⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Quando n Æ ∞ o segundo termo dentro do parênteses tenderá a zero, e ficamos então com 
PMTVP
i
= . 
 
Se a perpetuidade apresentar um crescimento constante " g " , isto pode ser incorporado na 
fórmula, que passa a ser: 
 VP PMT
i g
= − 
Estas fórmulas são importantes na avaliação de empresas, pois supõe-se que uma empresa tem 
duração indeterminada, e portanto, apresenta fluxos de anuidade infinita. 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 23 
 
 
3.4.1 Exercícios: Anuidades e Perpetuidades 
 
1) Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $150.000,00 daqui a 8 anos para 
comprar uma casa. Quanto você deve depositar anualmente num investimento de renda 
fixa que rende 15% ao ano, considerando que o seu primeiro depósito ocorrerá 
exatamente daqui a um ano, e todos estes depósitos anuais serão do mesmo valor? 
Resp: $10.927,51 
 
2) No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser depositado, considerando que 
o primeiro depósito ocorrerá imediatamente? Resp: $9.502,19 
 
3) Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação que 
rende 1% a.m., durante cinco anos? Resp: $20.417,42 
 
4) Qual é a taxa mensal de juros compostos que faz uma aplicação mensal de $100,00 
crescer para $3.000,00 em dois anos? Resp: 1,89% ao mês 
 
5) Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $ 1.000 que tenha a duração de 7 anos, a uma 
taxa de juros de 18% a.a.? Resp: 3.811,53 
 
6) Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $2.500 que tenha a duração de 10 anos, a 
uma taxa de juros de 20% a.a.? Resp: $10.481,18 
 
7) Qual o Valor Presente de uma Perpetuidade de $2.500 anuais, a uma taxa de juros de 
20% ao ano? Resp: $12.500,00 
 
8) As ações da Datalog S.A. pagam um dividendo anual de $12,00. A expectativa do 
mercado é de que este dividendo se mantenha constante no futuro. Se a taxa de juros a 
ser utilizada for de 15% a.a., qual deve ser o valor desta ação? Resp: $80.00 
 
9) Uma ação está sendo negociada no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribua 
dividendos anuais constantes de $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo de capital da 
empresa é de 20% a.a. Este preço está correto? Você deve comprar ou vender esta ação? 
Resp: $75,00, compra. 
 
 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 24 
3.5 Fluxos não Uniformes 
Uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante de 
pagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma série de 
pagamentos que não tem relação entre si, especialmente na análise de fluxos de caixa de 
projetos de investimento de empresas, como no exemplo a seguir: 
 
 
0 1 2 3 4 
 
 
 100 170 200 140 
 
 
O Valor Presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o Valor Presente 
de cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. Supondo 
uma taxa de juros de 10% por período, temos: 
 
 
0 1 2 3 4 
 
 
 100 170 200 140 
90,9 
140,5 
150,3 
95,6 
477,3 
 
 
 
VP CF
i
CF
i
CF
i
CF
i
VP
VP
= + + + + + + +
= + + +
=
1 2
2
3
3
4
4
2 3 4
1 1 1 1
100
11
170
11
200
11
140
11
477 3
b g b g b g b g
, , , ,
,
 
 
 
Alternativamente podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel para 
automatizar os cálculos necessários. 
 
 
Exemplo: Calculando o Valor Presente de um fluxo não uniforme 
 
Considere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso 
das teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla , é o seguinte: 
 
 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 25 
Passo Ação Descrição 
1 tecle FIN Limpa a memória financeira 
2 100 e tecle CFj Informa que o primeiro Fluxo é $100 
3 170 e tecle CFj Informa que o segundo Fluxo é $170 
4 200 e tecle CFj Informa que o terceiro Fluxo é $200 
5 140 e tecle CFj Informa que o quarto Fluxo é $140 
6 10 e tecle Informa que os juros são de 10% por período 
7 tecle NPV Calcula o Valor Presente: 477,3 
 
 
 
Exemplo: Calcule o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de 
juros de 15% a.a.: 
 
0 1 2 3 4 5 
 
 
 2.800 2.000 (4.500) 3.000 5.500 
 
Resp: VP(15%) = 5.437,98 
 
3.6 Taxas de Juros 
 
Em finanças trabalha-se com diversos tipos de taxas de juros: Efetiva, Nominal, Real, , 
Proporcional, Equivalente, e outras. 
 
3.6.1 Taxa efetiva 
Taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com as 
unidades de tempo dos períodos de capitalização. 
• 3% ao mês, capitalizados mensalmente 
• 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 
• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente 
• 10% ao ano, capitalizados anualmente 
 
3.6.2 Taxa Nominal 
Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com 
a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É a taxa cotada por bancos, 
credores ou outros agentes do mercado financeiro. Dessa forma, se você estiver 
negociando com um gerente de banco, analista de mercado financeiro, ou um vendo 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 26 
um anúncio de financiamento de automóvel na televisão, a taxa de juros mencionada é 
sempre uma taxa nominal. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos 
anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais. A 
taxa nominal inclui a inflação estimada para o período. 
 
São exemplos de taxas nominais: 
• 12% ao ano capitalizados mensalmente 
• 24% ao ano capitalizados semestralmente 
• 10% ao ano capitalizados trimestralmente 
 
A taxa nominal é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usado 
nos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxa 
efetiva embutida na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada 
período de capitalização. Para entendermos o significado de uma taxa nominal, vamos 
mostrar as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais: 
 
a) 12% a.a. capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de: 
 12% . .
12 meses
ao mêsa a = 1% 
 
b) 24% a.a. capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 
 24% . .
2 semestres
ao semestrea a = 12% 
 
c) 10% a.a. capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de: 
 10% . .
4 trimestres
ao trimestrea a = 2 5%, 
 
No nossos cálculos, devemos sempre trabalhar com as taxas efetivas correspondentes, 
ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre ou 2,5% ao trimestre, e nunca com taxas 
nominais. Conforme podemos observar, a obtenção da taxa efetiva embutida na taxa 
nominal feita no regime de jurossimples. Evidentemente a taxa anual equivalente a 
essa taxa efetiva embutida é maior do que a taxa nominal que lhe deu origem, pois 
esta equivalência é feita no regime de juros compostos. 
 
Exercícios: 
1) Qual é a taxa anual nominal equivalente a 3,5% efetivos ao mês? 
2) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% nominais ao ano? 
3) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% efetivos ao ano? 
4) Qual é a taxa mensal equivalente a 10% nominais ao semestre? 
5) Quanto você vai receber de juros em 4 meses se aplicar $2.500,00 a uma taxa 
24% ao ano efetiva? 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 27 
3.6.3 Taxa Real 
São as taxas utilizadas nas aplicações pós-fixadas. A taxa de juros real não inclui a 
inflação estimada para o período. Ela pode ser calculada a partir de uma taxa nominal 
ou efetiva, expurgando-se a inflação nela embutida através da seguinte fórmula: 
 
 1 1
1
+ = ++r
i
F
 Æ r i
F
= ++ −
1
1
1 
 
 onde r = taxa de juros real 
 i = taxa de juros nominal 
 F = inflação no período 
 
Ex: Suponha um país onde a taxa de inflação mensal seja de 20% a.m. Se um 
empréstimo tem uma taxa mensal nominal de 26%, qual a taxa real deste empréstimo? 
 
 r = ++ − =
1 0 26
1 0 20
1 5%,
,
 
 
 
3.6.4 Taxas proporcionais 
 
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando, ao serem aplicadas a um mesmo 
principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no 
final daquele prazo, no regime de juros simples. O conceito de taxas proporcionais 
está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples. Assim, considerando o 
período de um ano, as seguintes taxas são proporcionais entre si: 
 
 1% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 12% ao ano. 
 
Podemos verificar isso calculando o montante obtido através da aplicação de $1000 
por um ano a cada uma dessas taxas em regime de juros simples, utilizando a fórmula: 
 
 S = P (1+ i.n) 
 
Período Taxa Formula Montante Final 
mês 1% S = 1000 (1+0,01 x 12) 1.120 
trimestre 3% S = 1000 (1+0,03 x 4) 1.120 
semestre 6% S = 1000 (1+0,06 x 2) 1.120 
ano 12% S = 1000 (1+0,12 x 1) 1.120 
 
 
 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 28 
Exemplos: 
 
1) Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de 
$100, com uma taxa de juros de 12% a.a. , no regime de juros simples? 
Resp: S = 100 ( 1 + 0,12 x 4 ) = 148 
 
2) Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de 
$100, com uma taxa de juros de 6% ao semestre, no regime de juros simples? 
Resp: S = 100 ( 1 + 0,06 x 8 ) = 148 
 
3) Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de 
$100, com uma taxa de juros de 3% ao trimestre, no regime de juros simples? 
Resp: S = 100 ( 1 + 0,03 x 16 ) = 148 
 
Conclusão: As taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 3% ao trimestre são 
proporcionais. 
 
 
3.6.5 Taxas equivalentes 
Duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo 
principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no 
final daquele prazo, no regime de juros compostos. O conceito de taxas equivalentes 
está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. 
 
 
Exemplo: 
 
1) Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de 
$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos? 
Resp: FV = PV (1 + i )n = 100,00 ( 1,01)12 = $112,68 
 
2) Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de 
$100,00, com uma taxa de juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos? 
Resp: FV = PV (1 + i )n = 100,00 ( 1,01)12 = $112,68 
 
Conclusão: Os juros de 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro de 
12,683% a.a. Assim, as taxas de 1% a.m. e 12,683 a.a. são taxas equivalentes. 
 
Fórmulas de equivalência no tempo: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1360 12 4 2+ = + = + = + = +id im it is ia 
 
 onde: id = Taxa de juros diária 
 im = Taxa de juros mensal 
 it = Taxa de juros trimestral 
 is = Taxa de juros semestral 
 ia = Taxa de juros anual 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 29 
Exemplo: 
 
1) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 12% a.a.? 
 
(1 + im )12 = (1+ia) = 1 + 0.12 = 1,12 
(1 + im )12 = 1,12 
 1 + im = (1,12)(1/12) 
 im = (1,12)(1/12) - 1 
 im = 0,00948 ou seja 0,948 % a.m. 
 
2) Quais as taxas anual, semestral trimestral e diária equivalentes à taxa de 3% a.m.? 
 
 Colocando a taxa em base decimal mensal im = 3/100 = 0.03 
 
 Taxa anual (1 + im)12 = (1 + ia) 
 (1 + 0.03)12 = (1 + ia) = 1,4258 
 ia = 0.4258 = 42,58 % a.a. 
 
Taxa Semestral (1 + is)2 = (1 + im)12 
 (1 + is) = (1 + im)6 
 is = (1 + im)6 - 1 
 is = (1 + 0,03)6 - 1 
 is = 0.1941 = 19,41 % a.s. 
 
 
Taxa trimestral (1 + it) = (1 + im)3 
 it = (1 + im)3 - 1 
 it = (1.03)3 - 1 
 it = 0.0927 = 9,27 % a.t. 
 
Taxa diária (1 + id)30 = (1 + im) 
 id = {Raiz (30) de (1 + im)} -1 
 id = raiz (30) de (1,03) - 1 
 id = 0,000986 = 0,0986 % a.d. 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 30 
4. Equivalência de fluxos de caixa 
 
ois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros, 
se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. O estudo 
da equivalência de fluxos de caixa se faz no regime de juros compostos 
 
Convém ressaltar que se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor atual a uma determinada 
taxa de juros, então seus montantes após n períodos, obtidos com essa mesma taxa, serão 
necessariamente iguais. Assim a equivalência dos fluxos de caixa não precisa 
obrigatoriamente no período zero, isto é, com cálculo de valores atuais. Ela pode ser realizada 
em qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos. É 
importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se 
dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for 
alterada. 
 
 
Exemplo: 
 
1) Analisamos quatro planos diferentes, porém equivalentes, de se financiar $1.000,00 a uma 
taxa de 10% a.a. Verificar se esses planos são equivalentes (quando descontados à taxa de 
10% a.a.) pelo método do Valor Presente, VP. 
 
 
Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 
1 100,00 315,47 350,00 
2 100,00 315,47 325,00 
3 100,00 315,47 300,00 
4 1.464,10 1.100,00 315,47 275,00 
 
Solução: 
 
Plano A: VP (10%) = 1.464,10 / (1,10)4 = 1.000,00 
 
 
Plano B: VP(
, , , ,
10%) 100
110
100
110
100
110
1100
1101 2 3 4
= + + + 
 
 = 90,909 + 82,644 + 75,131 + 751,314 = 1.000,00 
 
D 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 31 
 
Plano C: VP( ,
,
,
,
,
,
,
,
10%) 315 47
110
315 47
110
315 47
110
315 47
1101 2 3 4
= + + + 
 
 = 287,036 + 260,942 + 237,220 + 215,654 = 1.000,00 
 
 
Plano D: VP(
, , , ,
10%) 350
110
325
110
300
110
275
1101 2 3 4
= + + + 
 
 = 318,1817 + 268,595 + 225,394 + 187,828 = 1.000,00 
 
 
Conclusão: Esses diversos fluxos de caixa são equivalentes, por terem o mesmo Valor 
Presente quando descontados a taxa de 10%. 
4.1 Sistemas de Amortização 
Quando fazemos um financiamento de um bem, seja de automóvel, ou de uma casa, ou um 
empréstimo para uma empresa, é preciso determinar como serão pagos os juros e 
amortizações devidos ao longo do tempo. Por exemplo, pode-se determinar que o principal 
somente será pago ao final do prazo do empréstimo, ou ele pode ser amortizado durante a sua 
vigência. Assim, cada parcela de pagamento pode incluir tanto os juros do períodoquanto a 
amortização do principal. Os sistemas mais utilizados são: 
 
 
4.1.1 Pagamento no final 
O financiamento é pago de uma única vez no final. Os juros são capitalizados ao final 
de cada período (mês ou ano por exemplo). Esta modalidade de pagamento é utilizada 
em Papéis de renda fixa (Letras de Câmbio ou Certificados de Depósito com renda 
final) e Títulos descontados em banco comercial 
 
 
4.1.2 Sistema Americano 
É realizado o pagamento somente de juros ao final de cada período e ao final do prazo 
do empréstimo é pago, além dos juros do último período, também o principal integral. 
Esta modalidade é utilizada em papéis de renda fixa com renda paga periodicamente 
como letras de câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, 
trimestral, etc. 
 
 
4.1.3 Sistema Price 
Esta modalidade de amortização consiste em uma série de pagamentos iguais e 
periódicos, conforme já visto anteriormente A parcela periódica de pagamentos 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 32 
compreende os juros do período mais amortização de parte do principal. Esta 
modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor 
(automóveis, eletrodomésticos). Este também é conhecido como o sistema Francês de 
amortização. 
 
 Cálculo: 
a) Cálculo do valor da prestação constante (com o uso de tabelas ou de 
calculadoras) 
b) Cálculo dos juros do período pela aplicação da taxa do contrato sobre os 
valores do saldo (remanescente do principal) no inicio do período. 
c) Cálculo da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação e 
o valor dos juros do período 
 
Observa-se que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o 
principal remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é 
constante, a parcela de amortização de cada prestação vai aumentando ao longo do 
tempo. 
 
 
4.1.4 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O financiamento é pago em prestações decrescentes. Cada parcela compreende 
pagamento de juros e da amortização de parte do principal. Esta modalidade é 
utilizada em financiamentos imobiliários e em financiamentos à empresas, por parte 
de entidades governamentais 
 
Cálculo: 
a) Cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as 
prestações, através da divisão do principal pelo número de prestações. 
b) Cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre valor 
do saldo (remanescente do principal) no inicio do período 
c) Cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os 
juros do período. 
 
 
Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como 
todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme, e, portanto os juros dos 
períodos também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo 
 
 
4.1.5 Sistema de Amortizações Mista - SAM 
O principal é pago por parcelas periódicas cujos valores correspondem a média do 
Sistema PRICE e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). É utilizada na 
liquidação de financiamentos da casa própria. 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 33 
 
Exemplo: 
 
1) Suponha um financiamento de $100,00 sobre o qual incidam juros à taxa de 5% a.a. e 
que o prazo do empréstimo seja de cinco anos. Calcule o juros, amortização e saldo 
devedor a cada ano em cada um dos seguintes sistemas de amortização: 
 
 
Pagamento ao Final 
 
Ano 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 
Juros do ano 5,00 
Saldo Final 105,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros 
Amortização 
Total 
Saldo Devedor Final 100,00 105,00 
 
 
 
 
Sistema Americano - Amortização ao Final 
 
Ano 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 
Juros do ano 5,00 
Saldo Final 105,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) 
Amortização 
Total (5,00) 
Saldo Devedor Final 100,00 100,00 
 
 
 
 
Sistema Price - Pagamento Constante 
 
Ano 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 
Juros do ano 5,00 
Saldo Final 105,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) 
Amortização (18,10) 
Total (23,10) 
Saldo Devedor Final 100,00 81,90 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 34 
 
 
 
 
 
SAC - Sistema de Amortização Constante 
 
Ano 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 
Juros do ano 5,00 
Saldo Final 105,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) 
Amortização (20,00) 
Total (25,00) 
Saldo Devedor Final 100,00 80,00 
 
 
 
 
 
SAM - Sistema de Amortização Misto 
 
Ano 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 
Juros do ano 5,00 
Saldo Final 105,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) 
Amortização (19,05) 
Total (24,05) 
Saldo Devedor Final 100,00 80,95 
 
 
 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 35 
 
Respostas: 
 
Pagamento ao Final 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55 
Juros do ano 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08 
Saldo Final 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (27,63)
Amortização (100,00)
Total (127,63)
Saldo Devedor Final 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55 0,00 
 
 
 
Sistema Americano 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 
Juros do ano 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 
Saldo Final 105,00 105,00 105,00 105,00 105,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (5,00)
Amortização (100,00)
Total (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (105,00)
Saldo Devedor Final 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 0,00 
 
 
 
Sistema Price 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00 
Juros do ano 5,00 4,10 3,15 2,15 1,10 
Saldo Final 105,00 86,00 66,05 45,10 23,10 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) (4,10) (3,15) (2,15) (1,10)
Amortização (18,10) (19,00) (19,95) (20,95) (22,00)
Total (23,10) (23,10) (23,10) (23,10) (23,10)
Saldo Devedor Final 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00 0,00 
 
 
 
SAC 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 
Juros do ano 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 
Saldo Final 105,00 84,00 63,00 42,00 21,00 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) (4,00) (3,00) (2,00) (1,00)
Amortização (20,00) (20,00) (20,00) (20,00) (20,00)
Total (25,00) (24,00) (23,00) (22,00) (21,00)
Saldo Devedor Final 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 36 
 
 
 
SAM 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00 
Juros do ano 5,00 4,05 3,07 2,07 1,05 
Saldo Final 105,00 85,00 64,52 43,55 22,05 
Pagam no Final do Ano: 
Juros (5,00) (4,05) (3,07) (2,07) (1,05)
Amortização (19,05) (19,50) (19,98) (20,47) (21,00)
Total (24,05) (23,55) (23,05) (22,55) (22,05)
Saldo Devedor Final 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00 0,00 
 
 
4.2 Exercícios: Sistemas de Amortização 
1) Um determinado bem pode ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4 
planos equivalentes de financiamento a taxa de 10% a.a. que apresentam os esquemas de 
pagamentos vistos na tabela a seguir, em forma de pagamentos anuais (em $): 
 
Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 
1 200,00 200,00 150,00 300,00 
2 290,00 240,00 195,00 280,00 
3 270,00 275,00 285,00 260,00 
4 350,00 305,00 365,00 240,00 
5 220,00 330,00 385,00 220,00 
 
Elabore uma tabela para cada um destes 4 planos de financiamento que permita obter o 
desdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 10% ao ano, e 
que, ainda, forneça o saldo devedor (remanescente do principal) ao final de cada ano, 
antes e depois de cada pagamento. 
 
2) A firma pesqueira Peixão D’Ouro contratou você para determinar qual será o valor de 
todas as suas dívidas no dia 30 de janeiro de 2004, considerando que todas as prestações 
dos seus diversos financiamentos estejam em dia nessa data. Vocêestá em 30 de janeiro 
de 2001 (isto é hoje, para efeitos de seus cálculos). O panorama da Peixão D’Ouro é o 
seguinte: 
a) Prédio do escritório central: Comprado em 30 de janeiro de 2001, com 20 anos de 
prazo para pagamento pelo sistema PRICE, com taxa de juros pré fixada de 8% ao 
ano. Custo do prédio: $1.200.000 com 30% de entrada e o restante financiado. 
b) Barco de Pesca “Priscilla, Rainha do Mar” com casco cor de rosa com adornos na 
cor lilás degradé. A compra foi efetuada com 50% de entrada e com o restante 
financiado pelo Banco Mãos ao Alto. O barco novo custou $1.800.000 (pagos ao 
estaleiro), em 30 janeiro de 1999, financiado pelo sistema SAC em 10 anos com 
taxa de juros pré fixada de 10% ao ano. 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 37 
c) Terreno comprado por $400.000 junto ao Porto do Rio Seco para guarda e manuseio 
de cargas frigorificadas. O sistema adotado foi de pagamento de juros durante o 
financiamento com pagamento do principal apenas no final. O financiamento foi em 
15 anos e o negócio foi fechado em 30 de janeiro de 2000. A taxa de juros adotada 
foi de 12% ao ano, fixos. 
 
3) Abaixo temos a receita para a construção de um sistema de amortização, o qual calcula o 
valor das prestações período a período da seguinte forma: 
a) Características do Financiamento: $1.000,00, à taxa de 10% a.a. 
b) Cálculo da prestação: Os juros de cada ano devem ser calculados sobre o saldo 
devedor do inicio do ano imediatamente após o pagamento da prestação. 
c) A prestação de cada ano é obtida através da divisão do saldo devedor, 
imediatamente antes do pagamento, pelo número de prestações a pagar. Exemplo: A 
primeira prestação é igual a (1.000,00 + 100,00) / 5 = $220,00 
 
 Monte um quadro deste financiamento. 
 
4) Desenvolva uma tabela de planos equivalentes de financiamentos, semelhante ao quadro 
na forma abaixo, de acordo com as seguintes condições: 
 
Principal financiado: $1.000 
Prazo do financiamento: 5 trimestres 
Taxa de juros: 6% ao trimestre 
Regime de juros: Compostos 
Capitalização: Trimestral 
 
Os planos a serem considerados são os seguintes: 
 
Plano A: Pagamento ao final 
Plano B: Pagamento periódico de juros 
Plano C: Prestações iguais - Sistema “PRICE” 
Plano D: Sistema de amortizações constantes - SAC 
Plano E: Sistema de amortizações mistas - SAM 
 
Forma do quadro: 
 
Trimestre 0 1 2 3 4 5 
Saldo Inicial do Trimestre 
Juros do Trimestre 
Saldo Final 
Pag no Final do Trimestre: 
Juros 
Amortização 
Total 
Saldo Após Pagam 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 38 
5. Desconto bancário 
escontos bancários são operações de crédito que utilizam duplicatas e títulos. De 
modo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente pelo qual 
determinado ativo – que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro – pode 
ser negociado hoje. 
 
A fórmula para desconto é: VP = VF – Juros 
 VP = VF – VF . i . n 
 VP = VF (1 – i . n) 
Exemplo: 
 
Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses é 
descontada com uma taxa de 4% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor descontado 
deste titulo. 
 
Solução: 
Dados valor Futuro = 1.000, o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer: 
VP = VF (1 – i . n) 
VP = 1.000 (1 – 0,04 x 2) 
VP = 1.000 – 80 = 920 
Valor do desconto = $80,00 
Valor Presente do titulo descontado = $920,00 
 
 
Exemplo: 
 
Vamos verificar agora quanto que o agente financeiro está recebendo como taxa de retorno 
por fazer este desconto de duplicata do exemplo 1 (anterior). 
 
Solução: 
Quem está investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, está recendo efetivamente 
a seguinte taxa de juros compostos: 
PV – 920 
N 2 
FV 1.000 
PMT 0 
I ??? 
D 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 39 
 
Resposta: 
A taxa de retorno é 4,26% ao mês. 
O que você pode concluir disto? 
 
 
5.1 Exercícios: Desconto bancário 
1) Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamento 
acertado para daqui a 2 meses (60 dias). O problema é que você precisa de dinheiro hoje 
para fechar a folha de pagamentos de sua firma. Você decide ir ao banco Forte e descontar 
a duplicata relativa à essa venda. Suponha que o gerente do banco Forte lhe informe que a 
taxa de desconto está fixada em 3% ao mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se 
descontar essa duplicata? 
Resp: Você vai receber R$ 9.400,00. 
 
 
2) Você é o cliente e foi ao banco para descontar, hoje, uma promissória no valor de face 
(valor escrito na promissória) de R$ 20.000,00, com vencimento para daqui a 2 meses. O 
banco lhe creditou, hoje, em sua conta, R$ 18.000,00, em virtude da operação de 
desconto. Qual é a taxa de desconto bancário em questão? 
Resp: A taxa de desconto bancário é de 5% ao mês. 
 
 
3) Você trabalha em uma grande fabrica de escovas. Seus clientes são muitos e você sempre 
lhes concede prazo para que possam pagar suas contas. Supondo que você desconte uma 
duplicata no valor de R$15.000,00, com vencimento para daqui a 3 meses, junto a um 
banco que cobre uma taxa de desconto de 2% ao mês, quanto você deve receber hoje do 
banco ao realizar essa operação? 
Resp: Você deve receber hoje R$ 14.100,00. 
 
 
4) A alta administração do banco onde você trabalha determinou que as taxas para desconto 
de promissórias ou duplicatas sejam de 9% ao mês. Você recebe seu primeiro cliente do 
dia e ele quer descontar uma duplicata no valor (valor de face) de R$ 13.000,00, com 
vencimento para daqui a 2 meses. Quanto você deve creditar hoje na conta do cliente, caso 
decida realizar a operação? 
Resp: Você deve creditar hoje R$ 10.660,00 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 40 
6. Análise de Projetos de Investimento 
 
s projetos de investimento de uma empresa podem ser representados como uma série de 
fluxos de caixa, onde os valores negativos representam as saídas de caixa, ou os 
investimentos e custos a serem incorridos, enquanto que os valores positivos 
representam o retorno liquido que o projeto oferece em cada período, já deduzidos todos os 
custos, taxas, impostos associados ao projeto. Em termos gerais, um fluxo de caixa de projeto 
tem a seguinte representação: 
 
 
0 1 2 3 ...... j 
 
 
CF0 CF1 CF2 CF3 ...... CFj 
 
6.1 Valor Presente Líquido 
 
Diz-se que um projeto é economicamente viável quando os seus ganhos são maiores que o 
investimento necessário para implantá-lo. Como geralmente os ganhos de um projeto estão 
distribuídos ao longo de uma série de períodos, é necessário "descontar" esses fluxos, isto é, 
calcular o seu Valor Presente, até o instante zero que é o momento atual onde a decisão de 
investir ou não está sendo tomada. A diferença entre o Valor Presente do fluxo de caixa do 
projeto, o investimento necessário, é chamado de Valor Presente Líquido, ou VPL. 
 
Assim, podemos dizer que o VPL é a soma de todas os fluxos, positivos ou negativos, de um 
projeto, descontados até o instante zero. Este VPL representa o valor do projeto, e aceita-se o 
projeto caso VPL seja > 0. Isto representa uma firma trocando um ativo (caixa, dinheiro em 
espécie) por outro ativo (projeto) que acredita-se ter maior valor. Se isto se confirmar, os 
acionistas irão se beneficiar do montante da diferença. Caso VPL < 0, isto significa que o custo 
do projeto é maior do que os seus retornos, e ele não deve ser realizado. 
 
Em análise de projetos, a taxa de desconto a ser utilizada no fluxo é o custo de capital da 
empresa. Este custo de capital é a média ponderada da taxa de juros que os credores cobram da 
empresa, e da taxa de retorno que os acionistas esperam receber no futuro da empresa. 
 
Fórmula Geral: VP
FC
i
j
j
j
n
= +=∑ ( )11 
 
O 
 
BrandãoMatemática Financeira 3.1 41 
Exemplo: 
 
1) Suponha um projeto com duração de seis anos, que demande um investimento único inicial 
no valor de $10.000 e que forneça um fluxo de caixa, livre de taxas e impostos conforme 
diagrama a seguir. O custo de capital para o levantamento dos $10.000 juntos aos bancos é 
de 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido deste projeto? 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 
 
 
CF0 
(10000) 
CF1 
2000 
CF2 
2200 
CF3 
1800 
CF4 
2800 
CF5 
3000 
CF6 
3500 
 
 
VPL CF CF
i
CF
i
CF
i
CF
i
VPL
= + + + + + + + ⋅⋅⋅ + +
= − + + + + + +
0
1 2
2
3
3
6
6
2 3 4 5 6
1 1 1 1
10000 2000
11
2200
11
1800
11
2800
11
3000
11
3500
11
b g b g b g b g
, , , , , ,
 
 
 VPL = 739 59. 
 
 
Isto significa que este projeto gera fluxos de caixa suficientes para “pagar” o custo do projeto à 
taxa de 10% a.a. e ainda deixa um resultado líquido (VPL) de $740 para os investidores. 
 
 
Utilizando a HP 12c: 
 
Passo Ação Descrição 
1 tecle FIN Limpa a memória financeira 
2 10000 e tecle 
CF0 
Informa que o primeiro Fluxo é -$10000 
2 2000 e tecle CFj Informa que o primeiro Fluxo é $2000 
2 2200 e tecle CFj Informa que o primeiro Fluxo é $2200 
2 1800 e tecle CFj Informa que o primeiro Fluxo é $1800 
3 2800 e tecle CFj Informa que o segundo Fluxo é $2800 
4 3000 e tecle CFj Informa que o terceiro Fluxo é $3000 
5 3500 e tecle CFj Informa que o quarto Fluxo é $3500 
6 10 e tecle Informa que o Custo de Capital é 10% ao ano
7 tecle NPV Calcula o Valor Presente: 740 
 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 42 
 
Nota: Cálculo do Valor Presente Líquido no Excel 
 
A planilha Excel oferece diversas funções de matemática financeira que simplificam o cálculos 
matemáticos necessários. No entanto, o uso da função VPL requer alguns cuidados para que se 
obtenham resultados corretos. Como Excel considera que os fluxos sempre se iniciam no ano 1, 
o fluxo do instante zero nunca deve ser incluído na fórmula do VPL - este valor deve ser somado 
a parte, fora da fórmula. Assim, a solução para o exemplo acima no Excel seria: 
 
 
 
 
6.2 Taxa Interna de Retorno - TIR 
 
A taxa interna de retorno é a taxa à qual o fluxo de caixa descontado de um projeto é igual ao 
Valor de Investimento, ou seja, o Custo do projeto. Nesse caso, necessariamente o VPL de um 
projeto descontado à TIR é zero. Podemos afirmar então que a TIR é o maior custo de 
oportunidade que um projeto pode suportar. Aceita-se um projeto se sua TIR for maior que o 
custo de oportunidade. A maior vantagem da TIR é que ela dá os mesmos resultados que o 
método do VPL na maioria das vezes, mas conflita em alguns casos. 
 
Como não existe fórmula analítica para a TIR, a única maneira de achá-la é por tentativas, 
alterando a taxa de desconto passo a passo até obtermos VPL = 0. Para calcular a TIR do 
exemplo anterior, utilizamos a função IRR (TIR) da calculadora, teclando IRR e a 
calculadora nos dá o valor de 12,2%. 
 
6.3 Taxa Interna de Retorno Modificada 
 
O método da TIR pressupõe que todos os fluxos de caixa positivos são reinvestidos à taxa 
interna de retorno do projeto. Essa premissa é válida desde que não haja uma grande 
discrepância entre a taxa interna de retorno e a taxa de desconto utilizada para o projeto. 
Quando isso ocorre, os resultados obtidos tendem a ser menos confiáveis, e podem induzir a 
erros de avaliação. Além disso, o método da TIR pode levar a múltiplas taxas internas para 
um mesmo projeto, caso haja mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto. 
Essas taxas múltiplas, embora matematicamente corretas, não tem significado financeiro 
relevante para o processo de decisão de investimento. 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 43 
O método da Taxa interna de retorno modificada (MIRR) evita esses dois problemas. Os 
fluxos negativos são trazidos a valor presente, enquanto que os fluxos positivos são levados a 
valor futuro no último períodos do fluxo. Com os valores concentrados no instante zero e no 
período final, o cálculo da taxa interna se torna fácil e direto. Observe que para levar os fluxos 
positivos para o seu valor futuro no período final, é mais fácil concentrá-los todos no instante 
zero, para depois projetá-lo para o instante final. 
 
a) Projetos mutuamente exclusivos com escalas de investimento muito diferentes. (Taxa de 
Desconto = 10%) 
 
0 1 TIR VPL 
 
 100% 820 
(1000) 2000 
 
0 1 TIR VPL 
 
 50% 3.636 
(10.000) 15.000 
 
b) Projetos com grandes diferenças de prazo, ou padrões de fluxo de caixa muito diferentes. 
(Taxa de Desconto = 10%) 
 
0 1 2 3 4 5 TIR VPL 
 
 33% 3.592 
(9.000) 6.000 5.000 4.000 0 0 
 
 
0 1 2 3 n TIR VPL 
 
 20% 9.000 
(9.000) 1.800 1.800 1.800 1.800 
 
 
 
Exemplo: 
 
1) Calcule o TIR e a TIR Modificada para o seguinte fluxo de caixa. Adote uma taxa de 
desconto de 14%: 
 
0 1 2 3 4 TIR VPL 
 
 21.86% 6.619 
(40.000) 16.000 16.000 16.000 16.000 
 
VP (14%) Entradas = 46.619,40 
VF (14%) Entradas = 78.738,30 
VP(14%) Saídas = (40.000) 
 
Fluxo final: 
 
0 1 2 3 4 TIRM 
 
 18.45% 
(40.000) 78.738 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 44 
6.4 Exercícios: 
 
1) Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa: 
 
0 1 2 
 
 
(4.000) 2.000 4.000 
 
a) Determine o seu VPL, considerando uma taxa de desconto de 10%. 
 
b) Determine o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 90%. 
 
 Taxa Desc VPL Taxa Desc VPL 
 0 50 
 10 60 
20 70 
30 80 
40 90 
 
 
 
c) Trace o gráfico da curva VPL x Taxa de Desconto 
 
 
 VPL 
Taxa Desc
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
 
d) Identifique a Taxa Interna de Retorno desse projeto. 
 
 
Brandão Matemática Financeira 3.1 45 
 
2) O gerente da VJC Produções Artísticas está analisando a proposta de lançamento do disco 
de um novo artista de música tecno-cool-metal. Ele sabe que o lançamento de um disco 
requer um grande investimento inicial em promoção e marketing, e que essa moda de 
música tecno-cool-metal deve durar 5 anos somente (felizmente). O fluxo de caixa deste 
projeto está apresentado abaixo. Considerando que os acionistas da VJC esperam receber 
um retorno de 15% no seu investimento na empresa, calcule o VPL, a Taxa Interna de 
Retorno (TIR). Deve o gerente investir neste projeto? 
 
0 1 2 3 4 5 
 
 
(6.500) 1.800 2.300 3.200 1.000 3.500 
Resp: VPL(15%) = 1220,27, TIR = 22,2% 
 
3) Para uma determinada obra pública há a alternativa de se adotar um encanamento de 
20cm ou 30cm. O encanamento de 20cm tem um custo inicial de $45.000 e o custo anual 
de bombeamento é estimado em $10.000. O encanamento de 30cm tem um custo inicial 
de $80.000 e um custo anual de bombeamento de $7.000. O serviço de tal equipamento 
será utilizado por 20 anos; nenhum valor residual é esperado para ambos os tipos ao final 
desse período. Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., qual encanamento deve 
ser utilizado? Resp: 20cm:VPL(10%) = 130.135, 30cm:VPL(10%) = 139.594 
 
4) Uma propriedade que contém lojas e escritório está à venda por $6.000. Estima-se que 
durante um período de 20 anos a renda proveniente dos aluguéis das lojas e escritório 
atingirá por ano $890, e que as despesas com impostos, manutenção, condomínio, etc, 
atingirão por ano $380. Estima-se ainda que ao final dos 20 anos, a propriedade poderá 
ser vendida por $4.500. Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., decida se vale a