AP1 MD2 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 15/09/2013
Questa˜o 1: (2,5pts) Se f e´ uma func¸a˜o dada pela expressa˜o f(x) = 2x+4
2x−3 . Calcule o dom´ımio de
f e depois encontre a expressa˜o de f−1 e conclua determinando imagem de f .
Soluc¸a˜o: (1,0pt para o dom´ınio, 1,0pt para encontrar a inversa e 0,5pt para determinar a imagem)
Inicialmente vamos determinar o dom´ınio de f . Para que f(x) esteja bem definida e´ necessa´rio e
suficiente que 2x− 3 6= 0⇐⇒ x 6= 3
2
. Portanto
Df =
{
x ∈ R : x 6= 3
2
}
.
Para calcularmos a inversa vamos trocar x por y e tentar isolar o y, isto e´,
x =
2y + 4
2y − 3 ⇔ 2yx− 3x = 2y + 4⇔ 3x+ 4 = 2yx− 2y = y(2x− 2)⇔ y =
3x+ 4
2x− 2 .
Portanto, f−1(x) = 3x+4
2x−2 . Agora que conhecemos a f
−1(x) fica fa´cil de determinar a imagem de
f(x), pois coincide com o dom´ınio de f−1, enta˜o
Im(f) = {x ∈ R : x 6= 1} .
Questa˜o 2: (2,5pts) Considere a func¸a˜o h(x) = 4x+5
x2−1
i) Determine o dom´ınio de h;
ii) Calcule as assintotas horizontais;
iii) Calcule as assintotas verticais.
Soluc¸a˜o: i) Para determinar o dom´ınio de h basta calcularmos os x ∈ R tais que x2 − 1 6= 0⇐⇒
x 6= ±1. Portanto,
D(h) = {x ∈ R : x 6= 1 e x 6= −1} .
ii) As assintotas horizontais sa˜o obtidas por calcular os limites para x→ ±∞
lim
x→+∞
4x+ 5
x2 − 1 = limx→+∞
x(4 + 5/x
x2(1− 1/x2) = limx→+∞
4 + 5/x
x(1− 1/x2) = 0
lim
x→−∞
4x+ 5
x2 − 1 = limx→+∞
x(4 + 5/x
x2(1− 1/x2) = limx→+∞
4 + 5/x
x(1− 1/x2) = 0.
Portanto, so´ existe uma assintota horizontal que e´ y = 0.
iii) As assintotas verticais sa˜o obtidas por calcular os limites para x se aproximando pela direita e
esquerda de 1 e −1.
lim
x→1+
4x+ 5
x2 − 1 = +∞
lim
x→1−
4x+ 5
x2 − 1 = −∞
lim
x→−1+
4x+ 5
x2 − 1 = −∞
lim
x→−1−
4x+ 5
x2 − 1 = +∞.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
Portanto, as assintotas verticais sa˜o x = −1 e x = 1.
Questa˜o 3: (3,0pts) Considere f(x) = 2x+1
x−1 e g(x) = ln(
x+1
x−2) (onde ln e´ o logaritmo na base
e = 2, 7182...).
a) Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x).
b) Calcule (g ◦ f)(x).
Soluc¸a˜o: a) (2,pts) Para determinar o dom´ınio de g precisamos determinar os x tais que x+1
x−2 > 0,
fazendo a ana´lise de sinal temos
Figura 1: Sinal da x+1
x−2
Portanto,
D(g) = {x ∈ R : x < −1 ou x > 2}
b) (1,0pt) Basta calcularmos
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = ln(f(x) + 1
f(x)− 2) = ln(
2x+1
x−1 + 1
2x+1
x−1 − 2
) = ln(
2x+ 1 + x− 1
2x+ 1− 2x+ 2) = ln(x).
Questa˜o 4: (2,0pts) Calcule os seguintes limites:
A) lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
B) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
Soluc¸a˜o: A) (1,0pt) veja que tanto x3+1 avaliando em −1 assim como x2+4x+3 da˜o zero. Isso
significa que x+ 1 divide os dois polinoˆmios e da´ı,
x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1) e x2 + 4x+ 3 = (x+ 1)(x+ 3).
lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
= lim
x→−1
(x+ 1)(x2 − x+ 1)
(x+ 1)(x+ 3)
= lim
x→−1
(x2 − x+ 1)
(x+ 3)
=
3
2
.
B)(1,0pt) Veja que tanto
√
x − 1 como √2x+ 3 −√5 avaliados em x = 1 da˜o zero. Ja´ sabemos
que nas situac¸o˜es que envolvem ra´ızes precisamos usar as identidade a2 − b2 = (a + b)(a − b). A
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3
novidade aqui e´ que precisamos fazer tanto para o numerador como para o denominador, veja
lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5 · 1 · 1 = limx→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
√
x+ 1√
x+ 1
√
2x+ 3 +
√
5√
2x+ 3 +
√
5
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(
√
2x+ 3−√5)(√2x+ 3 +√5)
√
2x+ 3 +
√
5√
x+ 1
= lim
x→1
x− 1
2x− 2
√
2x+ 3 +
√
5√
x+ 1
= lim
x→1
1
2
√
2x+ 3 +
√
5√
x+ 1
=
√
5
2
.
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