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MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA 
BBÁÁSSIICCAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Católica de Brasília – UCB 
 
 
 
 
 
 
 2
SUMÁRIO 
1. Conjuntos Numéricos ______________________________________________ 4 
1.1. Conjunto dos Naturais _______________________________________________ 4 
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos____________________ 4 
1.3. Conjunto dos Racionais ______________________________________________ 4 
1.4. Conjunto dos Irracionais _____________________________________________ 4 
1.5. Conjunto dos Reais __________________________________________________ 4 
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais ________________ 5 
2.1. Sinais Resultantes nas Operações ______________________________________ 5 
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração ___________________________5 
2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão _______________________5 
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. _______________5 
3. Operações e Suas Inversas _________________________________________ 12 
3.1. Regra das Operações Adição e Subtração ______________________________ 12 
3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão ___________________________ 13 
3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação ____________ 14 
4. Prioridades nas Operações _________________________________________ 17 
5. Relações e Funções _______________________________________________ 19 
5.1. Plano Cartesiano___________________________________________________ 19 
5.2. Função do 1º Grau _________________________________________________ 20 
5.3. Função do 2º grau ou quadrática _____________________________________ 23 
5.4. Função Exponencial ________________________________________________ 27 
5.5. Função Logarítmica ________________________________________________ 28 
5.6. Funções Trigonométricas ____________________________________________ 29 
6. Soluções de Sistemas de Equações ___________________________________ 30 
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias ______________ 33 
7.1. Razão ____________________________________________________________ 33 
7.2. Proporção ________________________________________________________ 33 
7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas._________________ 33 
7.3.1. Diretamente Proporcionais ________________________________________________33 
7.3.2. Inversamente Proporcionais________________________________________________35 
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. ________36 
7.3.4. Porcentagens ___________________________________________________________37 
7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) ________________________________________________37 
7.3.4.2. Porcentagem _________________________________________________________37 
7.4. Média ____________________________________________________________ 39 
7.4.1. Média Aritmética Simples _________________________________________________39 
7.4.2. Média Aritmética Ponderada _______________________________________________39 
7.4.3. Média Geométrica _______________________________________________________39 
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais ____________________ 40 
8.1. Adição e subtração de expressões _____________________________________ 40 
 3
8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis. ___ 40 
8.2.1. Produtos Notáveis _______________________________________________________41 
8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais__________________________ 41 
8.4. Fatoração e Simplificação ___________________________________________ 42 
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo ______________ 44 
9.1. Relações Trigonométricas ___________________________________________ 44 
9.2. Relações Métricas __________________________________________________ 46 
10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações ______________ 47 
10.1. Grandezas Físicas __________________________________________________ 47 
10.2. Fenômenos Físicos__________________________________________________ 47 
10.3. Medição __________________________________________________________ 47 
10.4. Sistemas de Unidades _______________________________________________ 47 
10.5. Fatores que interferem na medição____________________________________ 48 
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida ________________________________ 48 
10.7. Algarismo significativo______________________________________________ 48 
10.8. Arredondamentos __________________________________________________ 48 
10.8.1. Operações com Algarismos Significativos __________________________________49 
10.8.1.1. Adição e Subtração ____________________________________________________49 
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão:________________________________________________49 
10.9. Notação Científica__________________________________________________ 49 
10.10. Ordem de grandeza. ______________________________________________ 50 
10.11. Grandezas Físicas ________________________________________________ 50 
10.11.1. Grandezas Escalares ___________________________________________________50 
10.11.2. Grandezas Vetoriais ___________________________________________________50 
10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais _____________________________________51 
10.11.2.1.1. Adição ___________________________________________________________51 
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal _______________________________________________51 
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo ___________________________________________51 
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana ___________________________________52 
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença ______________________________________________53 
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal _______________________________________________53 
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo ___________________________________________53 
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana __________________________________54 
 
 4
MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA BBÁÁSSIICCAA 
 
 Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas, 
palavras, frases, vírgulas, pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos 
algarismos, números, símbolos, sinais, prioridades e propriedades nas operações para 
que possamos equacionar, criar fórmulas, realizar cálculos tão necessários em nosso 
quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a 
calculadora ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o 
uso adequado destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos. 
 
1. Conjuntos Numéricos 
O conjunto dos números Reais (R) é o que melhor atende a solução dos problemas 
básicos de nosso quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos: 
 
1.1. Conjunto dos Naturais 
{ },...4,3,2,1,0=N 
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos { }...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z 
 
1.3. Conjunto dos Racionais { }...3...2...1...0...1...2...3... −−−=Q 
2
9−
 
2
3− 2,0 25,2 
 ...555,0− 
 
1.4. Conjunto dos Irracionais 
}{ ......3...2...2... π−=I 
 
 
1.5. Conjunto dos Reais 
Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que: 
R
I
QZN ⊂
⊂⊂
 ou RIQ ⊂∪ )( 
está contido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
Z 
Q 
I 
R 
Obs.: Não conseguimos escrever na forma de fração 
Obs.: Conseguimos escrever 
na forma de fração decimal 
exatas, dizimas periódicas 
simples e compostas. 
1,4159 
 5
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais 
 
2.1. Sinais Resultantes nas Operações 
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração 
 
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja: + 3 + 4 = 7 
Obs. Quando é positivo, podemosdeixar sem o sinal na resposta. 
 
( - ) com ( - ) dá ( - ). Veja: - 3 - 4 = - 7 
 
(+) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja: 



=+=−+
−=−+
2213
253
 
 
( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja: 



−=+−
=+=+−
123
2253
 
 
2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão 
 
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja: 



=+=÷=+÷+
=+=⋅=+⋅+
3326)2(6
6623)2(3
 
Obs. Quando o número é positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicação e 
divisão. 
 
( - ) com ( - ) dá ( + ). Veja: 



=+=−÷−
=+=−⋅−
5,15,1)2(3
66)2(3
 
 
( + ) com ( - ) dá ( - ). Veja: 



−=−÷+
−=−⋅+
3)2(6
6)2(3
 
 
( - ) com ( + ) dá ( - ). Veja: 



−=+÷−
−=+⋅−
3)2(6
6)2(3
 
Nos símbolos de multiplicação e divisão podemos usar: 



−=−
⋅==÷
=⋅=
−
b
a
b
a
bababa
abbaaxb
1/
 
 
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. 
 
 
1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale (1). 10 =a 
Divisão 
Deixar o sinal negativo da fração, quando tiver, 
sempre no numerador. 
Multiplicação 
 6
 
 Veja: 
120 = ; ( ) 12 0 =− ; 1
5
3 0 =

 ; ( ) 12 0 = 
 
2º) Não tem divisão de número por zero 
 
Veja: 
?
0
7 = (impossível, confira na calculadora). 
 
3º) Zero dividido por qualquer número dá zero. 
 
Veja: 
0
7
0 = (confira na calculadora). 
 
4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos. 
 
 
 
Ran ∉− 
 
 
 
R∉− 4 
 
 
 
 
 
R∉−4 4 
 
Obs. Cuidado, se o índice for impar, tem raiz. Veja: 
 
 
 
283 −=− 
 
5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica 
positivo. 
 expoente par 
 
 
 Maior que zero (positivo) 
 
Índice impar 
Índice par 
Não pertence ao conjunto dos Reais 
Não tem solução em R 
Índice (2) não se escreve 
Índice par 
)(
0
impossívela = 
00 =
a
 
( ) 0>− na 
 7
Veja: 
( ) ( ) ( ) 44222 2 =+=−⋅−=− 
( ) 813 4 =− 
Cuidado: ( ) 22 22 −≠− 
 É diferente, pois: 
( ) ( ) ( )

 −=⋅−=−
=−⋅−=−
4222
4222
2
2
 
( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− (número negativo elevado ao expoente impar, o 
resultado fica negativo). 
 
6º) Potência de potência, multiplicamos os expoentes. 
Veja: 
15
8
5
4
3
25
4
3
2
3
2
3
2
3
2
−

 −⋅
−


=

=









 
 
7º)Uma potência troca de sinal quando muda de posição subindo para o numerador ou 
descendo para o denominador. 
 
 
 
 
Veja: 
a) 3
3
2
12 =− 
b) 55 33
1 =− 
 
8º) O expoente de uma fração muda de sinal quando invertemos a fração. 
 
 
 
 
 
Veja: 
9
16
3
4
4
3 22 =

=

 − ; 8
1
2
2
1 33 =

=

 − 
 
9º) Equivalência - potenciação - radiciação (como tirar do radical e retornar) 
 
 
 
 
Veja: 
a) 2
5
2 5 33 = 
 
( ) nmnm aa ⋅= 
n
n
a
a −= 1 nn aa
1=− 
nnnn
a
b
b
aou
a
b
b
a 

=



=

 −− 
n
m
n m aa = 
 8
b) 
7
3
7
3
3
2
3
2 

=

 
 
c) 55 15
1
777 == 
 
10º) Para somar e subtrair frações precisamos reduzir ao mesmo denominador. Veja: 
 
a) 
5
4
4
2 + 
 
Achando o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de 4 e 5, fatoramos assim: 
 
5
2
2
1
5
1
2
4
 
Logo: m.m.c = 2 · 2 · 5 = 20 
20 é o m.m.c de 4 e 5. 
 2÷ 
10
13
02
62
20
1610
5
4
4
2 =//
//=+=+ 
2÷ 
 
Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que dá ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 
dando 10 etc. Ao simplificar 


20
26 você deve dividir o numerador e o denominador por 
um mesmo número. 
 
b) 
60
23
60
3512
12
7
15
3 −=−=− 
 
m.m.c de 15 e 12: 
 
5
3
2
2
1
3
6
12
1
5
15
 
Logo: m.m.c = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 
 
c) 
5
42
2
3 +− lembre que 
1
22 −=− logo, o m.m.c de 2, 1, 5 é: 
 
5
2
111
512
 
Logo: m.m.c = 2 · 5 = 10 
 9
 
10
3
10
82015
5
42
2
3 =+−=+− 
 
11º) Para multiplicação de frações, multiplicamos numerador pelo numerador e 
denominador pelo denominador. Veja: 
 
a) 
15
8
5
4
3
2 =⋅ 
 
 
 
b) 
7
24
7
38 −=⋅− 
Lembre que 
1
88 −=− 
 4÷ 
c) 
15
1
06
4
4
1
3
2
5
2 −=//
/−=⋅

 −⋅ 
4÷ 
 
12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração. Veja: 
2÷ 
a) 
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2 =//
//=⋅=÷ ou 
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=//
//=⋅= 
2÷ 
b) 
2
15
2
53
5
23 =

 −⋅=

 −÷ lembre que 
1
33 = 
 
c) ( )
15
2
3
1
5
23
5
2 =

 −⋅−=−÷− lembre que -3 = 
1
3− 
 
13º) Na multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os 
expoentes nmnm aaa ⋅=⋅ (a = base; m e n = expoentes). Veja: 
 
a) 127575 3333 ==⋅ + 
 
b) 1515
1
15
109
3
2
5
3
3
2
5
3
222222 ====⋅
−−−
 
 
c) 
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
12
2
11
2
11
=

=

=

=

=

⋅


−+−+−−
 
 
d) 10122122 10101010 −−− ==⋅ 
 10
 
14º) Na divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os 
expoentes nmnm aaa −=÷ (a = base; m e n = expoentes). Veja: 
 
a) 
9
1
3
13333 2
27575 ====÷ −− 
 
b) 10373
7
55
5
5 −−−− == 
 
c) 
15
2
15
1210
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 

=

=

=

=

÷


+−+−

 −−−−−
 
 
d) 5151015
10
1010
10
10 −− == 
 
15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero. Veja: 
 
a) →= 4,0
5
2 tem uma casa decimal (casa depois da vírgula) 
 
b) →= 25,0
4
1 tem duas casas decimais 
 
c) →353,2 tem três casas decimais 
 
Para obter a fração que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos: 
• Numerador: colocamos o número todo sem a vírgula. 
• Denominador: colocamos 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais (casas depois da vírgula). Veja: 
a) 
5
2
01
44,0 =//
/= 
 
b) 
4
1
001
5225,0 =///
//= 
 
c) 
1000
2353353,2 = 
 
16º) Dízima Periódica Simples: valor resultante de uma operação divisão que não dá 
exata e logo depois da vírgula aparece um número que se repete, denominado de 
período. Veja: 
 
a) 0,33... Também representado por 3,0 
 
b) 0,272727...ou 27,0 
 11
 
c) 2,444... ou 4,2 
 
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica simples fazemos: 
Numerador: Colocamos o período (parte que se repete) 
Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Veja: 
a) 
3
1
9
333,0 =/
/= 
b) 
11
3
33
9
99
27...272727,0 === 
c) 
9
23
9
518
9
52...555,02...555,2 =+=+=+= 
 Parte inteira não entra na regra. 
 
17º) Dízima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e 
depois da vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de 
um período (parte que se repete). Veja: 
 
 Parte não periódica (que não se repete) (4) 
a) 0,4333... 
 Parte periódica (que se repete) (3) 
 
 Não periódica (23) 
b) 2,23717171... 
 Periódica (71) 
 
Para obter a fração que deu origem(geratriz) de uma dízima periódica composta, 
fazemos: 
Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor, a 
parte não periódica. 
Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período 
seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. 
Veja: 
 Parte não periódica 
 Periódica 
 Parte não periódica 
a) 
30
13
09
93
90
443...4333,0 =//
//=−= 
 
 
 
 
 Parte não periódica (23) 
 Período (71) 
b) 
2475
5872
2475
5872
0594
47112
0099
84322
9900
2323712...23717171,2 +⇒+=////
////+=////
////+=−+= 
 Parte inteira não entra na regra (2) 
2475
5537
2475
5874950 =+ 
Um zero só, pois a parte não periódica só é 
constituída de um algarismo que é o 4. 
Um nove só, pois a parte periódica só é 
constituída de um algarismo que é o 3. 
 12
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa
inversa
inversa 
 
3. Operações e Suas Inversas 
 
Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou 
variáveis necessitamos conhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores, fazemos operações inversas. Para 
trocar de membro um valor qualquer, fazemos operação inversa. É errado dizer que 
trocamos de sinal quando passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos 
operação inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. Regra das Operações Adição e Subtração 
 
 
 
 
 
Veja os exemplos: 
 
a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o (+ 4 ) que está fazendo adição(somando) com o 
( x ) para o segundo membro fazendo operação inversa, isto é, subtração. Logo: 
x = 12 – 4 
x = 8 
 
b) x - 7 = 17 isolando o x, passamos o 7 que está subtraindo para o 2º membro onde 
estará somando fazendo assim operação inversa. Logo: 
x = 17 + 7 
x = 24 
 
Adição Subtração 
Multiplicação Divisão 
Potenciação Radiciação Logaritmação 
1º Membro à esquerda 
da igualdade 
2º Membro à direita 
da igualdade. =
inversa
inversa
Adição Subtração 
 13
inversa 
c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2º membro, como estava somando, passa 
subtraindo. 
20 - x = 30 
- x = 30 – 20 
- x = 10 
 
Em (-x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto, podemos 
multiplicar por (- 1) os dois membros da igualdade. 
 
 
- x = 10 (-1) 
 
x = -10 
 
3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão 
 
 
 
 
Veja os exemplos: 
 
a) 2 x = - 14: isolando o ( x ), passamos o ( +2 ) que está multiplicando o ( x ) para o 
segundo membro fazendo operação inversa, isto é, dividindo. 
Logo: 7
2
14 −=⇒−= xx 
 
b) 4
3
2 =x isolando o ( x ), passamos o ( +3 ) que está dividindo para o 2º membro 
multiplicando, operação inversa. Veja: 122432 =⇒⋅= xx e o 2 que está 
multiplicando o x para o 2º membro dividindo, operação inversa. 
6
2
12 =⇒= xx 
 
c) 2
8
44
3
2 −−=+− xx achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois 
1
22 = 
 
3
2
2
2
1
1
1
2
4
8
1
3
 
Logo: m.m.c = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 
⇒−−=+−
24
481212
24
168 xx 
 
⇒−−−=−− 481216128 xx Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro e 
os números para o 2º membro fazendo operações inversas. 
 
Mesmo denominador em ambos os membros podemos 
simplificar. 
Multiplicação Divisão 
 14
inversa 
inversa 
inversa
inversa
⇒−=− 7620x Multiplicando por (-1) ambos os membros temos. 
7620 −=− x (-1) 
⇒= 7620x Isolando o x, passamos o (+ 20) que está multiplicando o x para o 2º 
membro dividindo e depois simplificamos: 
5
19
01
83
02
67 =//
//=//
//=x 
 
3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação 
 
 
 
 
 
 
 Determinar (b) é calcular o logaritmo (log) 
cab = 
 Determinar o (c) é calcular a potência 
 Determinar o (a) é calcular a raiz 
 
(isola a potência) 
 
Radiciação⇒=⇒= bb cxcx (isola a base) 
 
Aplicando radiciação ( )b c em ambos os membros para isolar o x, temos: 
bb b cx =/ de onde obtemos: b cx = 
 
ãoLogaritmaç
log
log ⇒=⇒=
a
bxba x (isola o expoente) 
 
Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: 
ba x loglog = onde, usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever 
bax loglog = de onde obtemos: 
a
bx
log
log= . 
Propriedades dos logaritmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a base é 10, não representamos. AA loglog10 = 
Para números fatoráveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo. 
 
a) Potência822223 ⇒=⇒⋅⋅=⇒= xxx 
 
1) yxyx logloglog +=⋅ 
2) yx
y
x logloglog −= 
3) xmxm loglog = 
oPotenciaçã⇒= bax 
Potenciação Radiciação Logaritmação 
 15
b) ⇒=⇒= 32282 xx Mesma base igualamos os expoentes. 
 
Fatorando (8) 
32
2
2
2
1
2
4
8
⇒



 
 
Logo: x = 3⇒ Logaritmo 
c) ⇒=⇒= 333 28 xx Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: raiz2 ⇒=x . 
 
Obs. 8 (fatorando) 328 == 
 
Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração, usamos a 
calculadora cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns 
exemplos usando a calculadora cientifica. 
 
a) x=32 
8=x 
 
 
 
b) 82 =x 
2log
8log=x 
3=x 
 
 
Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de 
calculadoras. Pode usar a calculadora padrão do Windows (Iniciar > Executar > 
Calç). Configure para ter opções da calculadora científica (no menu Exibir > 
Científica) 
 
c) 83 =x 
3 8=x 
2=x 
 
 
 
Resolvendo outros exemplos: 
 
d) x=5,12 
...828427,2=x 
 
 
 
 
Tecla: 2 
Tecla: yx ou ∧ 
Tecla: 1,5 
Tecla: = 
Tecla: 2 
Tecla: yx ou ∧ 
Tecla: 3 
Tecla: = 
Tecla: log ou ln 
Tecla: 8 
Tecla: ÷ 
Tecla: log ou ln 
Tecla: 2 
Tecla: = 
Tecla: 3 
Tecla: 2ndF ou Shift 
Tecla: x 
Tecla: 8 
Tecla: = 
 16
e) x=− 5,12 
 
 
 
 
 
 
f) 7,45,2 =x ou 5,2 7,4=x 
 
 
 
 
 
 
g) 32 =x ou ...584962,1
2log
3log ==x 
 
 
 
 
 
 
h) 7,195,1 =x 
35,7
5,1log
7,19log ==x 
 
 
 
i) Veja a utilidade de saber isolar variável fazendo operações inversas para obter 
fórmulas. Dada a fórmula do montante no sistema de capitalização composta 
tiCM )1( += 
 
M = Montante no final do período de aplicação 
C = Capital 
i = Taxa 
t = Tempo de aplicação 
Isolar cada uma das variáveis M, C, i, t utilizando operações inversas. 
 
1º) Para calcular o (M) a fórmula já está pronta, pois o mesmo já está isolado: 
tiCM )1( += 
 
2º) Para calcular (C) passamos ti)1( + que está multiplicando o C para o outro lado 
(membro) dividindo. Logo: ti
MC
)1( += 
 
Tecla: 2 
Tecla: ∧ ou xy 
Tecla: 1,5 
Tecla: ± 
Tecla: = 
Tecla: 2,5 
Tecla: 2ndF ou Shift 
Tecla: x 
Tecla: 4,7 
Tecla: =
Tecla: log 
Tecla: 3 
Tecla: ÷ 
Tecla: log 
Tecla: 2 
Tecla: = 
Tecla: log 
Tecla: 19,7 
Tecla: ÷ 
Tecla: log 
Tecla: 1,5 
Tecla: = 
 17
3º) Para calcular o (t) que é expoente, usamos logaritmos. Em tiCM )1( += passamos o 
(C) que está multiplicando para o outro lado dividindo, ficando assim: ( )ti
C
M += 1 . 
Agora aplicamos logaritmo em ambos os membros e depois isolamos o (t). Veja: 
)1log(
log
i
C
M
t += 
4º) Para calcular o (i) que é base, usamos radiciação. Em tiCM )1( += passamos o 
(C) para o outro lado, ficando assim: ( )
C
Mi t =+1 . Agora aplicamos radiciação isolando 
o (i). Veja: 11 −=⇒=− tt
C
Mi
C
Mi 
Notou como precisamos das (sete) 7 operações para trabalhar com esta fórmula mais 
usada no mundo dos juros e montante composto. 
 
4. Prioridades nas Operações 
 
(Quem resolver primeiro?). 
 
Quando as (sete) 7 operações estão aparecendo em parteou todas numa mesma 
expressão numérica ou algébrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferência de 
resolução: 1º ( ), 2º [ ], 3º { }, e dentro de cada um desses símbolos, ou mesmo na 
ausência deles, devemos resolver na seguinte ordem: 
 
(1º) lugar: Potenciação – Radiciação – Logaritmação na ordem que aparecem da 
esquerda para a direita. 
 
(2º) lugar: Multiplicação e Divisão na ordem que aparecem. 
 
(3º) lugar: Adição e Subtração na ordem que aparecem. 
 
Exemplos: 
a) 33 8100log4425242 −−−÷+⋅− 
 
 1º lugar (potenciação, radiciação, logaritmação) 
 
 
224285242 −⋅−−÷+⋅− 
 
 2º lugar (multiplicação, divisão) 
375,17282625,082 −=−−−+− 
 
 3º lugar (adição e subtração) 
 
 
0,625 8 8 
22 8
 18
b) 24538log416243 22 ÷⋅−−−÷−÷+ 
 
 1º lugar 
 
24539031,01642432 ÷⋅−−−÷−÷+ 
 
 2º lugar 
 
 
1531,31039031,025,029 −=−−−−+ 
 
 3º lugar 
 
c) ( )[ ]{ }342423543 2 −÷−−−⋅−⋅ 
 
 1º lugar (parênteses) ( )[ ]{ }35,0229543 −−⋅−−⋅−⋅ 
( )[ ]{ }35,049543 −−−−⋅−⋅ 
( )[ ]{ }35,4543 −−⋅−⋅ 
 2º lugar (colchetes) 
 [ ]{ }35,2243 −−⋅−⋅ 
{ }3903 −⋅ 
 
 3º lugar (chaves) { } 261873 =⋅ 
 
d) 



 +

 +

 −−+ 162
8
1
3
2
4
13224 
 
 m.m.c de 3 e 8 é 24 



 +

 +

 −−+ 162
24
316
4
13224 



 +

 +

−+ 162
24
13
4
13224 



 +

 +−+ 162
96
133224 
 
 m.m.c de 1; 96;1 é 96 
 



 +

 +−+ 16
96
19213307224 



 +


///+ 1669
325124 
2 9 0,25 -10
4 16 0,9031
 19
48
4211
48
960325120
48
325116
48
32514 =+=+=


 ++ 
 
5. Relações e Funções 
 
As relações e funções são fórmulas úteis na análise e solução de problemas no nosso dia 
a dia. Todo o controle bancário, a análise da economia, os cálculos de engenharia, 
estatística, enfim, tudo o que envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma 
relações e funções. O que a matemática denomina de ( x ) e ( y ) => variáveis e a, b, c 
=> coeficientes, as outras áreas do conhecimento atribuem outros nome. Veja um 
exemplo só: 
 
⇒+= baxy Função do 1º grau em matemática 
escoeficientba ⇒, 
⇒yx, variáveis 
)(livreteindependenx ⇒ 
dependentey ⇒ (depende de x) 
 
As fórmulas a seguir também são funções do 1º grau que resolvem problemas nas 
diversas áreas de conhecimentos. 
 
⇒+= oVatV Função da velocidade no MRUV 
 
⇒+= oSVtS Função da posição no MRU 
 
⇒+= baPD Função demanda de mercado 
 
⇒+= baPS Função oferta de mercado 
 
⇒+= baqC Função custo 
 
Etc., etc., etc. Como você percebe, cada relação e função têm infinitas aplicações no 
nosso quotidiano produzindo respostas numéricas e permitindo análises gráficas no 
plano cartesiano. 
 
5.1. Plano Cartesiano 
 
O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo (x) 
(abscissas) e eixo (y) (das ordenadas) e os dois eixos permitem estabelecer as 
coordenadas de cada ponto. 
 Ordenada (y) 
 
 (a, b) Coordenadas do ponto (P) 
 
 Abscissa (x) 
 
 
Vejamos a localização de alguns pontos. a 
b 
P 
y 
x 
 20
 
 
 
 
5.2. Função do 1º Grau 
 
É uma relação do tipo baxy += cujo gráfico no plano cartesiano é uma reta. 
a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relação ao eixo ( x ) 
b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒−=
a
bx raiz, onde a reta corta o eixo ( x ) 
 
Para traçar o gráfico no plano cartesiano podemos usar um dos métodos a seguir: 
1º Método: Atribuindo de forma arbitrária (livre) valores para x e depois calculando os 
valores de y (método da tabela) 
 
2º Método: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de intersecção 
com os eixo (x) e (y) e outras propriedades dos gráficos que veremos a seguir. 
-4 -6 
-3 0 
-5 
4
2 
4 
6
y 
x
A ( 0 ,0 ) 
B ( 4 , 2 ) 
C ( 0, 4 ) 
F ( -4 , 0) 
E ( -6 , -5) 
D ( -3, 6 ) 
b
x
a < 0
decrescente 
x
y
P ( x , y ) 
x 
b 
crescente 
x 
y 
a > 0 
b
y
x
a = 0
constante 
 21
1º) Atribuindo valores para (x) e calculando (y), temos: 
 
Exemplo (1) 62 −= xy 
 b = - 6 
 a = 2 
 
1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores 
(pontos) 
 
4612
6602
4
6
1
0
−=−⋅=⇒
−=−⋅=⇒
−
−
y
y
yx
 
 
Ou escolha outros que achar mais fácil e útil e determine os correspondentes em (y). 
 
 
2º Método: Determinando os pontos de intersecção com os eixos. 
 
Em ⇒+= baxy O coeficiente linear (b) é sempre o ponto de intersecção da reta com o 
eixo (y) 
Em 662 −=⇒−= bxy 
Em ⇒+= baxy Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado é sempre o ponto de 
intersecção da reta com o eixo x que denominamos de raiz. Logo: 
baxy += 
0=+ bax 
 
⇒−=⇒−=
a
bxbax raiz ou ponto de intersecção da reta com o eixo x. 
 
Em 

−=
=⇒−=
6
2
62
b
a
xy 
 ( ) ⇒=−−=−= 3
2
6
a
bx raiz 
 
Com os valores obtidos podemos traçar o gráfico 
 
a = 2 > 0 função crescente pois: 
x => cresce 
y => cresce 
Note que: 
y = ax + b 
y = 2x - 6 
a = 2 > 0 => indica que a função é crescente 
 
Exemplo (2) y = -3x + 8 
 
y
x
-4 
-6 
(0,-6) 
(1,-4) 
x 
3
-6
y 
 22
Intersecção com o eixo (y) 
1º Método 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Método: 
 
baxy
xy
+=
+−= 83



⇒+=−
−=−=
⇒=
...66,2
3
8
8
a
bx
b
 
 
⇒<−= 03a Função decrescente, pois: 
x => cresce 
y => decresce 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (3) 044 +=⇔= xyxy 
 
1º Método: 
 
414
4)1(4
4
4
1
1
=⋅=
−=−⋅/=→
→
−−
y
xy
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Método: 
x 
y
-1 
1 
-4 
y
4
y 
x
8
-1
3
(0,8) 
(3,-1) 
Intersecção com o eixo (x) ou raiz 
8/3 
8 
y 
x 
2,66... 
1833
8803
1
8
3
0
−=+⋅−=⇒
=+⋅−=⇒
− y
y
yx
 23
 
baxy
xy
+=
+= 04



⇒=−=−=
⇒=
0
4
0
0
a
bx
b
 
 
⇒>= 04a Função crescente, pois: 
x => cresce 
y => cresce 
 
 
 
 
Exemplo (4) 606 +=⇔= xyy 
 
1º Método: 
 
6610
6600
6
6
1
0
=+⋅=→
=+⋅=→
y
y
yx
 
 
 
2º Método: 
 
y = 6 ou y = 0x + 6 
 



⇒−=−=
⇒=
)(
0
6
6
impossível
a
bx
b
 
Logo a reta não tem raiz, não corta o eixo (x), 
É paralela a este eixo 
⇒= 0a função constante pois: 
x => cresce 
y => constante (valor sempre 6) 
 
5.3. Função do 2º grau ou quadrática 
 
É uma relação do tipo: cbxaxy ++= 2 cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva 
denominada de parábola. 
 
c => indica onde a parábola corta o eixo (y) 
a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB = 
Concavidade Voltada para Baixo. 
 
 
 
 
 
Intersecção com o eixo (x) raiz 
6
y 
x 
0 1 
6
y
x
CVB 
CVC 
Intersecção com o eixo (y) 
0
x 
y
Intersecção (y) 
 24
 
Fórmula de Báscara onde 
 
 
x’ e x”, indica onde a parábola corta o eixo (x) que 
denominamos de raízes. 
 
a
bxV 2
−= 
 
a
yV 4
∆−= 
 
(Xv, YV) => indica as coordenadas do vértice da parábola. 
 
 
Podemos aqui também traçar o gráfico da parábola usando um dos métodos já vistos. 
 
1º Método: 
Método da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y. 
 
2º Método: 
Método dos pontos importantes e propriedades. 
 
Vamos traçar alguns gráficos pelos dois métodos. 
Exemplo (1) 
cbxaxy ++= 2 
62 −+= xxy 



−=
=
=
6
1
1
c
b
a
 
 
1º Método: 
Atribuímosvalores para (x) e calculamos (y). Para a parábola precisamos de diversos 
pontos. E este método não é o mais recomendado, pois não garante o traçado completo 
da parábola. 
 
x’ xv 
c 
y 
yv 
x” 
x
⇒∆±−==
a
bxx
2
"' 
cab ⋅⋅−=∆ 42 
 25
 
 
764)3(
062)2(
660)0(
462)2(
664)4(
7
0
6
4
6
3
2
0
2
4
2
2
2
2
2
=−+=→
=−+=→
−=−+=→
−=−−−=→
=−−−=→
−−−
−
y
y
y
y
y
yx
 
 
1º Método: 
Os pontos importantes e propriedades 
cbxaxy ++= 2 
62 −+= xxy 



−=
=
=
6
1
1
c
b
a
 
a) C = -6 => Ponto onde a parábola corta o eixo (y) 
b) raízes => Ponto onde a parábola corta o eixo (x) 
cab ⋅⋅−=∆ 42 
25)6(1412 =−⋅⋅−=∆ 
⇒∆±−==
a
bxx
2
"'



=+−=
−=−−=
⇒±−=⋅
±−=
2
2
51"
3
2
51'
2
51
12
251
x
x
x 
c) vértice: 
25,6
4
25
14
25
4
5,0
2
1
12
1
2
−=−=⋅
−=−
∆−=
−=−=⋅
−=−=
a
y
a
bx
V
V
 
 
d) a = 1 > 0: CVC 
Juntando as conclusões a, b, c, d traçamos a parábola. 
 
6
2 3
-4 
y 
7
-2
-4 
x
 26
 
 
Exemplo (2) 
 
532 2 +−−= xxy 
Resolvendo só pelo 2º método 
a) c = 5 => ponto de intersecção da parábola com o eixo (y) 
b) raízes => intersecção da parábola com o eixo (x) 
acb 42 −=∆ 
494095)2(4)3( 2 =+=⋅−⋅−−=∆ 
4
73
)2(2
49)3(
2 −
±=−⋅
±−−=∆±−=
a
bx 
5,2
4
73' −=−
+=x 
1
4
73" =−
−=x 
c) vértice 
 
 
a) a = -2 < 0: Logo CVB 
Exemplo (3) 
24xy = note que é uma função do 2º grau incompleta, pois para cbxaxy ++= 2 faltam 
os termos bx e c, onde concluímos que: 
a = 4 
b = 0 
c = 0 
Podemos traçar o gráfico usando o 1º método (tabela) atribuindo valores ou o 2º método 
(pontos principais e propriedades). Vamos usar o 2º método. 
a) c = 0 => onde a parábola intercepta o eixo (y) 
b) Raízes: onde intercepta o eixo (x) 
acb 42 −=∆ = 004402 =⋅⋅− 
y
x-0,5 
-6,25 
6
2-3 
125,6
8
49
)2(4
49
4
75,0
4
3
4
3
)2(2
)3(
2
+=−
−=−⋅
−=−
∆−=
−=−=−=−⋅
−−=−=
a
y
a
bx
V
V
CVB
-2,5 -0,75 1 
6,125 
5 
 27
0
8
0
8
00
)4(2
00
2
==±=⋅
±−=∆±−=
a
bx 
c) vértice 
0
16
0
44
0
4
0
8
0
42
0
2
=−=⋅
−=−
∆−=
−=−=⋅
−=−=
a
y
a
bx
V
V
 
 
d) a = 4 > 0 : CVC logo 
 
 
5.4. Função Exponencial 
 
É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a). 
Se a > 1, temos gráfico do tipo: 
Crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Se 0 < a< 1, temos gráfico do tipo: 
Decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (1) 
xy 2= 
Usando o 1º método (da tabela) atribuímos valores para (x) e calculamos (y). 
 
x y 
 
-2 0,25 25,04
1
2
1)2( 2
2 ====→ −y 
 
-1 0,5 ( ) 5,02
1
2
12 1
1 ====→ −y 
0 1 1)2( 0 ==→ y 
1 2 2)2( 1 ==→ y 
Crescente 
x => cresce 
y => cresce 
 
xay = 
CVC
x 
y
x
y 
1
1
0,5 
0,25 
1
-2 -1
2
y
1
x
 28
 
 
Exemplo (2) 
x
y 

=
2
1 : 
Usando o método da tabela temos: 
x y 
 
-2 0,25 25,04
1
2
1)2( 2
2 ====→ −y 
 
-1 0,5 ( ) 5,02
1
2
12 1
1 ====→ −y 
0 1 1)2( 0 ==→ y 
1 2 2)2( 1 ==→ y 
 
Decrescente 
x => cresce 
y => decresce 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5. Função Logarítmica 
 
É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a) se a > 1, 
obtemos gráfico do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 0 < a < 1, obtemos gráfico do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xy alog=
1
2
4
0,5
1-1-2
crescente
y 
x1
decrescente
y 
x1
 29
Exemplo: xxy log2log2 10 == usando o 1º método (da tabela) atribuindo valores para 
x, temos: 
Usando (log) na calculadora científica. 
401,0log22
2)1(21,0log22
0)0(21log20
21210log21
01,0
1,0
1
10
−==→−
−=−⋅==→−
===→
=⋅==→
y
y
y
y
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São infinitas as relações funções e para cada uma delas corresponde um gráfico. 
Vejamos só mais uma. 
 
5.6. Funções Trigonométricas 
Exemplo: )(10 xseny = Ângulo 
 Seno 
Pelo método da tabela temos: 
 
X Y 
0º y = 10 sen 0º = 10 (0) = 0 
90º y = 10 sen 90º = 10 (1) = 10 
180º y = 10 sen 180º = 10 (0) = 0 
270º y = 10 sen 270º = 10 (-1) = -10 
360º y = 10 sen 360º = 10 (0) 0 
450º y = 10 sen 450º = 10 (1) = 10 
540º y = 10 sen 540º = 10 (0) = 0 
630º y = 10 sen 630º = 10 (-1) = -10 
720º y = 10 sen 720º = 10 (0) = 0 
 
1
0,01 0,1 
10
-4
-2
2
 30
 
 
6. Soluções de Sistemas de Equações 
 
Resolver sistemas de equações significa determinar os valores de (x, y) que atendem 
simultaneamente ao sistema, ou seja, se são comuns às funções. Graficamente significa 
determinar o ponto de intersecção das curvas das funções colocadas no mesmo plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São inúmeras as aplicações deste campo da matemática de pontos comuns como: 
• Equilíbrio oferta-demanda 
• Ponto de nivelamento custo-receita 
• Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento 
• Pontos de mesma velocidade, aceleração, inflação, etc. 
São muitos os métodos utilizados para a solução de sistemas. Os básicos são: 
• Método da adição 
• Método da substituição 
• Método da comparação 
 
Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano. 
2x - y = 6 
- x + 3y = - 2 
Resolvendo pelo método da adição, multiplicamos a 2ª equação por (2) para que, 
somando com a 1ª, possamos eliminar uma das variáveis. 
( )

⋅⇔−=+−
−=−
223
62
yx
yx
 

−=+//−
−=−//⇒
462
62
yx
yx
 2
5
10105 −=⇒−=⇒−=⇒ yyy 
Substituindo o valor encontrado em uma das duas equações acharemos x 
correspondente. Escolhendo a 1ª temos: 
540450
x
y 
-10
10
360 7206300 27018090
y 
x 
x
y2 
y1 
 31
4
2
882
262
622
6)2(2
62
−=⇒=⇒−=
−−=
−=+
−=−−
−=−
xxx
x
x
x
yx
 
Logo: a solução do sistema é (-4, -2) 
Para traçar o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1º 
método (tabela) ou 2º método (pontos de intersecção com os eixos) já visto. Veja: 
Usando o 2º método, isolando (y), temos: 
)ª1(626262 funçãoxyxyyx ⇔+=⇒−−=−⇒−=− 
)ª2(
3
2
3
12323 funçãoxyxyyx −=⇒−=⇒−=+− 
⇒= 6b onde corta o eixo (y) para 1ª função 
⇒−=
3
2b onde corta o eixo (y) para 2ª função 
⇒−− )2,4( ponto comum para a 1ª e 2ª função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (2) 


⇒=−
⇒=−
)ª2(22
)ª1(42
yx
yx
 
Resolvendo pelo método da substituição, isolamos uma das variáveis de uma das 
equações e substituímos na outra. 
 


=−
+=⇒=−
22
4242
yx
yxyx
 
Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2ª equação. 
2
3
663823284
2)42(2
−=⇒−=⇒−=⇒−=⇒=−+
=−+
yyyyyy
yy
 
Agora substituímos y = -2 em x = 2y + 4. Para determinar (x), teremos: 
x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2) é a solução do sistema(intersecção das retas). 
Para traçar o gráfico, podemos isolar o (y) nas duas equações e achar as raízes (onde 
cada uma corta o eixo x) 
6
-4
1º
2º 
-2/3
-2 
Isolamos (x) da 1ª equação e substituímos na 2ª 
 32
 



−=⇒+−=−⇒=−
−=⇒+−=−⇒=−
222222
2
2
14242
xyxyyx
xyxyyx
 
 
raizfunção
a
bxba
raizfunção
a
bxba
)º2(1
2
)2(2;2
)º1(4
2
1
)2(2;
2
1
=−−=−=⇒−==
=−−=−=⇒−==
 
(0, -2) => ponto comum para a 1ª e 2ª função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio para as 
seguintes funções de demanda e oferta. 
 


+−=
−=
pS
pD
28
534
ou 

−=+−=
+−=−=
8228
345534
xxy
xxy
 
Pois 
=
=
xp
yD
 
D => demanda (procura, compra de bens e serviços) 
S => oferta (venda de bens e serviço) 
P => preço por unidade 
Resolvendo pelo método da comparação, igualamos: 
D = S 
34 – 5p = -8 +2p 
-5p -2p = -8 -34 
-7p = -42 
P = 6 substituindo em uma das equações, temos: 
 
D = 34 – 5p 
D = 34 – 5 . 6 
D = 34 – 30 
D = 4 
Logo, para o preço P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em 
equilíbrio para a quantidade 4. logo (6, 4) solução do sistema. 
y 
x
1º f
1 4
-2
2º f
onde corta o eixo x 
onde corta o eixo x 
 33
 
 
 
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias 
 
7.1. Razão 
É uma relação do tipo quociente entre dois valores. Lê-se a para b. 
 
Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relação 
candidatos vagas? 
 
Resolução: 
1
80
05
0004 =//
////==
b
a
vaga
candidato 
São 80 candidatos para dada vaga 
 
Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por mês 200 unidades e da marca (B) 40 
unidades. Qual a razão entre (A) e (B). 
 
Resolução: 
1
4
05
002 =//
///=
B
A . A relação é de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a 
marca (A) vende 4 vezes mais que a marca B. 
 
7.2. Proporção 
É a igualdade entre duas razões. ⇒=
d
c
b
a a está para b assim como c está para d. 
Propriedade das proporções: a . d = b . c 
 
7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas. 
 
7.3.1. Diretamente Proporcionais 
São diretamente proporcionais quando a razão de cada número da seqüência 
 
A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqüência B (b1, b2, b3...) derem origem a uma 
constante (K). 
 
k
b
a
b
a
b
a ==== ...
3
3
2
2
1
1 
No caso de grandezas vale a mesma relação, pois serão diretamente proporcionais se o 
aumento do valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e então as 
6
D
S
S, D
34
-8
4
P
 34
razões de dois valores de uma é igual á razão dos dois valores correspondentes a eles na 
outra. 
2
1
2
1
1221
2
2
1
1
b
b
a
aoubaba
b
a
b
a ==⇒= 
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta 
montagem é denominada de regra de três simples. No esquema prático, como são 
grandezas diretamente proporcionais, as setas terão mesmo sentido. 
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓ 
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↓ 2
1
2
1
b
b
a
a = ou 1221 baba = 
 
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão dos números (20, x, y) são diretamente 
proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1). 
Resolução: 
124
20 yx == ⇒=⇒⋅=⇒=⇒ 4042024
24
20 xxx 10=x 
⇒⋅=⇒= 1204
14
20 yy 5=y 
 
Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros? 
Resolução: Comprimento (m) preço (R$) 
 
Comprimento(m) Preço (R$) 
8
5↓ 
x
80↓ 
 
Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra 
em metros maior será o preço) 
00,128:$
5
640808580
8
5 Rxxx
x
=⇒=⇒⋅=⇒= 
 
Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2 de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em 
25 dias? 
Dias Reboco (m2) 
25
4↓ 
x
20↓ 
 
2125
4
5002520420
25
4 mxx
x
==⇔⋅=⇒= 
 
Exemplo (4) Se a distância no mapa, medido com a régua, entre duas cidades é de 10cm 
e a escala do mapa é 1/100000, qual a distância real entre elas? 
 

 ==⇒⋅=⋅⇒== kmcmccmx
x
cm
realocompriment
mapaocomprimentescala 10100000010100000110
100000
1
)(
)(
 
 35
7.3.2. Inversamente Proporcionais 
São inversamente proporcionais quanto à razão de cada número da seqüência 
A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada número correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) 
derem origem a uma constante (k) ou o produto de cada número da seqüência A (a1, a2, 
a3,...) pelo correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante 
(k). 
kbababaK
b
a
b
a
b
a ......
111 332211
3
3
2
2
1
1 ===⇔==== 
 
No caso de grandezas, vale a mesma relação, pois serão inversamente proporcionais se 
o aumento do valor de uma leva a diminuição proporcional do valor da outra e então as 
razões dos valores de uma pelo inverso da correspondente é igual a razão da outra pela 
inversa da correspondente. 
2
2
1
1
11
b
a
b
a = ou 2211 baba = 
 
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta 
montagem é denominada de regra de três simples. 
No esquema prático, como são grandezas inversamente proporcionais, as setas terão 
sentidos contrários. 
 
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓ 
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↑ 
 
Para igualar, invertemos a seta da grandeza (B) com seus valores fazendo com que as 
duas grandezas apontem para o mesmo sentido. 
 
2
1
a
a↓ 
1
2
2
1
1
2
b
b
a
a
b
b =⇒↓ ou 2211 baba = 
 
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão de números (4, x, y) são inversamente 
proporcionais aos números da sucessão (9, 12, 36). 
Resolução: 
 
1
3636
3694
3
1236
1294
361294
=
⋅=
⋅=⋅
=
⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅=⋅
y
y
y
x
x
x
yx
 
 
Exemplo (2) Três torneiras nas mesmas condições enchem um tanque em 90 min. 
Quantas torneiras de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo 
tanque em 54 min? 
 
 36
Tempo(m) nº torneias 
54
90↓ 
x
3↑ 
 
Setas em sentido contrário por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, pois 
diminuindo o tempo teremos que aumentar o número de torneiras. Invertendo uma das 
setas para ficarem com mesmo sentido, temos: 
 
Tempo(m) nº torneias 
54
90↓ 
x
3↓ 
)(539054
354
90 torneirasxxx =⇒⋅=⇒= 
 
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente 
proporcionais. 
 
Seguem as mesmas regras já vistas para as regras de três simples com grandezas diretas 
e inversamente proporcionais. Só que agora uma grandeza varia em dependência com 
duas ou mais grandezas. 
 
Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peças. Quantas 
pessoas trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peças? 
Resolução: 
1º Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna 
x
Pessoasn
10
º
 
7
5
º Diasn
 
8
6
º Horasn
 
500
400
º Peçasn
 
 
2º Passo: Colocamos uma seta na coluna da variável sentido qualquer e depois 
comparamos esta coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se 
tratar de grandezas diretamente proporcionais e sentido contrário se tratar de grandezas 
inversamente proporcionais, sem olhar para os números da coluna. Só pense no 
comportamento da idéia da coluna. 
 
x
Pessoasn
10
º
 
7
5
º Diasn
 
8
6
º Horasn
 
500
400
º Peçasn
 
Comentário: Deve-se pensar que (mesmo que os números da tabela não confirmem): 
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de dias (setas contrárias). 
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de horas (setas contrárias). 
Se aumentar o nº de pessoas aumenta o número peças. 
 
3º Passo: Para resolver fazemos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna 
da variável (x) 
x
10↓ 
5
7↓ 
6
8↓ 
500
400↓ 
 37
 
4º Passo: A razão da coluna da variável é igualada a razão do produto das demais 
colunas. 
 
⇔///⋅/⋅
///⋅/⋅=
00365
0048710
x
Simplificando 
 
 
4
112
4504510112
45
11210 ≅⇒=⇒⋅=⇒= xxx
x
(aproximadamente 4 pessoas) 
 
7.3.4. Porcentagens 
 
É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito 
utilizada no nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros,taxa previdência, 
etc. 
Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva. 
⇒=
100
10%10 de cada 100 partes 10 foram perdidas. 
 
Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8. 
⇒=
100
20%20 de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8. 
 
7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) 
Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100 
 
Exemplo: ipercentualtaxaunitáriataxacentesimalrazão =−=−=− )%(2)(02,0)(
100
2 
⇒== %202,0
100
2 (lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100. 
 
7.3.4.2. Porcentagem 
 
Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido 
também recebe um nome especial: porcentagem. 
 
 
 
P = Porcentagem 
i = Taxa de porcentagem 
p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal) 
 
Exemplo (1) Quanto é 4% de 750. 
Resolução: 
 
P = i . p 
4 
3 
 38
?
750
04,0
100
4%4
=
=
===
P
p
i
 
3075004,0 =⋅⇒⋅= piP 
 
Podemos também usar regra de três simples. Veja: 
 
%4
%100
)( mporcentageTaxa
 
x
mPorcentage
750 
30
100
30007504100750
4
100 =∴=⇒⋅=⋅⇒= xxx
x
 
 
Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse 
objeto? 
800
?
15,0
100
15%15
=
=
===
P
p
i
 
33,5333:$
15,0
80015,0800 RpppiP ==⇒⋅=⇒⋅= 
Usando regra de três: 
 
x→
→
%100
800%15
 ou 
x
800
100
15 = 
33,5333:$
15
8000080010015 Rxxx =⇒=⇒⋅=⋅ 
Exemplo (3) Ao pagar uma dívida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 
de multa. De quantos por cento foi a multa? 
Resolução: 
 
 
00,1800
130
?
=
=
=
P
p
i
 
%2,7072,0
1800
1301800130 ===⇒⋅=⇒⋅= iipiP 
 
Ou regra de três: 
%2,7
%1001301800
130
%1001800
=
⋅=
→
→
x
x
x
 
 
 39
7.4. Média 
 
É a obtenção de um resultado único partindo de uma seqüência de dados com a 
finalidade de obter uma informação classificatória ou para comparar com outros valores 
similares. 
 
7.4.1. Média Aritmética Simples 
 
Média aritmética simples (XS) é a razão entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n 
(quantidade destes valores). 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram: 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B 
= 6 e 4º B = 8. Qual a média aritmética do ano? 
 
5,5
4
8653 =+++=SX 
 
7.4.2. Média Aritmética Ponderada 
 
Média aritmética ponderada (XP) é a razão entre a soma do produto dos pesos 
( nppp ,...21 ) pelos seus respectivos valores ),...,( 21 nxxx e a soma dos pesos. 
 
 
 
 
 
Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram 1º B = 3; 2º B 
= 5; 3º B = 6 e 4º B = 8. Qual a média aritmética ponderada se os pesos dos bimestres 
foram: 
1º B = 1; 2º B = 2; 3º B = 3; 4º B = 4 
 
3,6
10
63
4321
84635231 ==+++
⋅+⋅+⋅+⋅=PX 
 
7.4.3. Média Geométrica 
 
A média geométrica de (n) números reais positivos é a raiz n-ésima do produto entre 
esses números, isto é: 
 
n
nG xxxxX ...321 ⋅⋅= 
 
Exemplo (1) A média geométrica entre os números 7, 13, 18, 35 é dada por: 
47,15573303518137 44 ==⋅⋅⋅=GX 
n
nn
P ppp
xpxpxpX +++
++=
...
...
21
2211 
n
xxxx
X nS
...321 +++= 
 40
 
Exemplo (2) Qual o retângulo de menor perímetro com área de 64 cm2? 
64=⋅ ba A média geométrica de ba ⋅ fornece este valor: ⇒== 864GX É o 
quadrado de lado 8 cujo perímetro vale 32 cm. 
 
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais 
 
As expressões algébricas contêm parte numérica e parte literal (letras) e são usadas na 
solução de problemas e demonstrações de fórmulas em todas as áreas do conhecimento 
quantitativo. 
Polinômios: As expressões algébricas são denominadas de polinômios quando 
possuírem só um tipo de variável na forma dos exemplos a seguir: 
⇒x3 Monômio (um termo) 
⇒+ 23x Binômio (dois termos) 
⇒−+ 122 2 xx Trinômio (três termos) 
⇒+−+ 2325 23 xxx Polinômio (denominação genérica). 
 
8.1. Adição e subtração de expressões 
 
Só podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto é, que tem a mesma parte literal 
com mesmo expoente. 
 
 
Exemplo (1) )4323()342()3( zyxxyzyxzyxy −++=−++−− 
 
 
 
 
Exemplo (2) 
58311)642545()6425()45( 33333 −+−=++−−+−=−−+−+− yxxyxyyxyxxyxyzxyxxy
 
 
 
8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis. 
 
Multiplicamos parte numérica com parte numérica e parte literal com literal. 
Exemplo (1) 
 
 
xyyx 15)3()5( −=−⋅ 
 
Exemplo (2) 
 
 
4734343)1()43( 2222222 +−+−⇒+−++−=+⋅+− yxxyxyxxxyxxyx 
 
Exemplo (3) 
)2()222( 223 −⋅−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo em colunas. 
semelhantes 
semelhantes 
semelhantes 
semelhantes
 41
Obs. O (-2) e o (x2) multiplicam cada termo e os resultados são postos em colunas por 
semelhança para somarmos em seguida. 
 
2
43
2
23
−
−−−
x
xxx
8226 23 +++− xxx
 2345 43 xxxx −−− 
82273 2345 ++−−− xxxxx
 
8.2.1. Produtos Notáveis 
 
Denominamos de produtos notáveis quando multiplicamos binômios iguais. Veja: 
 
 
22222 2)()()(º1 bababbaababababa ++=+++=+⋅+=+⇒ 
 
22 2))(()()(º2 babababababa +−=−−=−⋅−⇒ 
 
22)()(º3 bababa −=−⋅+⇒ 
 
Desenvolva usando produtos notáveis. 
 
Exemplo (1) 
 
22222 25309)5(532)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+ 
 
 
 
Exemplo (2) 
 
Usando o 2º produto notável 
 
2222 44222)2( xxxxx −−=+⋅−=− 
 
 
 
 
Exemplo (3) 
 
Usando o 3º produto notável 
9253)5()35)(35()53()53( 222 −=−=+−=+⋅+− xxxxxx 
 
 
 
8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais 
 
a b b2 a2 2ab 
a2- 2ab + b2 a b 
a2 – b2a b a b 
 42
Dividimos número por número e parte algébrica por parte algébrica de cada termo do 
numerador pelo termo do denominador. 
 
Exemplo (1) 
xxxx
xx
x
xxx 33
4
21412 3
2
32 =///
///=//
///=÷ 
 
Exemplo (2) 
yxxy
x
yxyx
x
yx
yxyxxyx 2222
3
33
3
8
3
4
3
4
3
8
3
4
3
43)844( ++=++⇒÷++ 
 
Exemplo (3) 
 
)2()233( 23 −÷−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo, neste caso, para a 
divisão de polinômios. Lembre: 
CR
RCBABA +⋅=⇔
 
A = Dividendo 
B = Divisor 
C = Quociente 
R = Resto 
 
2
210
512
− 22512 +⋅= 
 
23
23
63
233
xx
xxx
−//−
−−−// 
1793
2
2 +−
−
xx
x
 
xx
xx
189
29
2
2
+//+
−−//− 
3471
271
+///−
−///
x
x
 
32 
 
Podemos provar que: 32)2()1793(233 223 +−⋅+−=−−− xxxxxx 
 
Divide sempre 1º termo do dividendo pelo 1º do divisor e a resposta que dá no 
quociente multiplica por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do 
dividendo com sinal contrário em colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo 
procedimento podendo sobrar no final resto diferente de zero. 
 
8.4. Fatoração e Simplificação 
 
A resposta da divisão é 
1793 2 +− xx com resto 32 
 43
Sempre que for possível fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expressão 
numérica ou algébrica devemos fazê-lo com os seguintes procedimentos. 
• Colocando em evidência o que é comum a cada termo (fatoração) 
• Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da fração que 
sejam semelhantes (simplificação) 
• Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificação) 
• Juntando (adição e subtração) termos semelhantes (fatoração) 
Fatore e ou simplifique as expressões a seguir sempre que for possível. 
 
Exemplo (1) 
 
 
 
 
 
1º) Colocando em evidência (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y) 
do denominador por ser comum a cada termo. 
 
)1(
)2(3
2 −
−
xy
yxy 
 
2º) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidência. Vejamos. 
2
3
6
3
3 2 =//////=///
// /
yx
yxy
yx
yx 
Veja denominador 
12
2
==/
/
y
yx
y
xy 
3º) Simplificamos (y) (parte comum em evidência do numerador e denominador) e 
obtemos a resposta 
)1(
)2(3
2 −/
−/
xy
yyx 
1
)2(3
2 −
−
x
yx 
 
Exemplo (2) 
 
⇒

 −
9
116 2a (Fatoramos) lembrando o produto notável 22)()( bababa −=−⋅+ . É só 
extrair a raiz para obter os valores anteriores. 
3
1
9
1
416 2
=
= aa
 
Logo: 

 −⋅

 +=−
3
14
3
14
9
116 2 aaa 
 
yyx
xyxy
−
−
2
2 63 
 44
Exemplo (3) 
 
⇒+− 1682 xx vem de um produto notável do tipo: 
bababababa +−=−=−⋅− 2)()()( 22 . Para achar a e b é só extrair a raiz de x2 e 16. 
xx =2 
416 = 
Logo: )4()4(1682 −⋅−=+− xxxx 
 
Exemplo (4) 
 
⇒+−
−
96
9
2
2
xx
x Fatorando numerador e denominador com os produtos notáveis temos: 
 
)3()3(92 −⋅+=− xxx 
)3()3(962 −⋅−=+− xxxx 
xx =2 
39 = 
 
Logo: 
3
3
)3)(3(
)3)(3(
96
9
2
2
−
+=−−
−+=+−
−
x
x
xx
xx
xx
x 
 
Exemplo (5) 
Cuidado nas simplificações numéricas. 
• Nas adições e subtrações, todos os termos do numerador devem ser 
simplificados com o denominador, pois equivale a pôr em evidencia. Veja: 
 
yxyx 84
5
4020 +=+ pois yxyxyx 84)2(4
5
)2(20 +=+=+ 
• Na multiplicação e divisão, é um fator do numerador com um do denominador. 
Veja: 
xyyxyx 160
1
404
5
4020 =⋅=/
⋅ 
y
x
y
xyx
31
5
124
20)124(20 −=−=−÷ pois: )31(
5
)31(4
20
yy −=− 
 
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
A trigonometria básica do triângulo é uma das partes da matemática mais antiga e 
aplicada pelos povos antigos em suas construções de pirâmides, cálculos de distâncias, 
alturas, topografia, etc. Estudaremos aqui só as relações métricas e trigonométricas do 
triangulo retângulo. 
 
9.1. Relações Trigonométricas 
 
 45
(Relações lados - ângulos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tggente
seno
senoseno
alfaângulo
⇒
⇒
⇒
⇒
tan
coscos
)(α
 
α
αα
αα
cos
1cos22
sentg
sen
=
=+
 
 
c
asen =α 
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α 
hipotenusac ⇒ 
c
b=αcos 
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α 
hipotenusac ⇒ 
b
atg =α 
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α 
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α 
Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo (α ) e comprovar as demais 
relações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75,0
4
3
8,0
5
4cos
6,0
5
3
==
==
==
α
α
α
tg
sen
 
1cos 22 =+ ααsen 
α
a
c
b
α
3
5
4
 46
1
25
16
25
91
5
4
5
3 22 =+⇒=

+

 
α
αα
cos
sentg = 
 
75,0
4
3
4
5
5
3
5
4
5
3
4
3 ==/⋅/== 
 
O ângulo α vale 36,86989765º, usando sen-1 (0,6) na calculadora podemos obter este 
valor. 
 
sen 36,86989765º= 0,6 
cos 36,86989765º=0,8 
tg 36,86989765º=0,75 
 
9.2. Relações Métricas 
 
Pitágoras 
 
A soma dos quadrados dos catetos (a2 + b2) é igual ao quadrado da hipotenusa (c2) 
 
222 cba =+ 
 
Relações secundárias 
 
hcba
nmc
nmh
ncb
mca
cba
⋅=⋅
+=
⋅=
⋅=
⋅=
=+
2
2
2
222
 
 
 
 
Exemplo: Conferir as relações métricas do triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α
m
n
b = 4
h a = 3
c = 5
h
n
α
m
b
a
c
 47
25169543 222 =+⇒=+ 
5
1654
5
953
22
22
=⇒⋅=⇒⋅=
=⇒⋅=⇒⋅=
nnncb
mmmca



==+
=+
5
5
25
5
16
5
9
cnm
 
 
4,2
5
12
5
43
5
16
5
92 ==⋅=⋅=⋅=⇒⋅= nmhnmh 
 
12124,2543 =⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅ hcba 
 
10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações 
 
10.1. Grandezas Físicas 
 
Grandezas físicas (físicas, químicas, biológicas, etc) são todas as grandezas que 
podemos medir ou contar e que para tal tem instrumentos de medição e contagem e um 
significado físico padrão também denominado de unidade. 
 
10.2. Fenômenos Físicos 
 
O homem observa os fenômenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas 
científicas se traduzem em aplicações tecnológicas como o avião, o carro, o telefone 
celular, etc. 
 
10.3. Medição 
 
A medição é a operação pela qual associamos um número a uma grandeza física. 
 Ex: massa de uma porção de ouro, m = 3 kg, medida com a balança. 
 
10.4. Sistemas de Unidades 
 
Sistema Internacional (SI) – grandezas fundamentais da física. 
Uma unidade física é um padrão de comparação. O sistema internacional de medidas 
(SI) também é denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as 
grandezas fundamentais da mecânica. 
 
 Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir. 
 
 Unidades e subunidades 
 
 
 
 
 
 
 1 tonelada = 1t = 1.000 kg 
 
 48
 tempo: 1h = 60 min = 3.600s 
 
 Exemplos: 
 1 km = 1.000 m 
 1 kg = 1.000 g 
 8 h = 28.800 s 
 5,80 m = 580 cm 
 600 g = 0,6 kg 
 1 mm = 0,001 m 
 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 l 
 2 km2 = 2.000.000 m2 
 500 l = 0,5 m3 
 
s
m
s
m
h
km 10
600.3
600.336 == 
 
10.5. Fatores que interferem na medição 
 
É impossível medir uma grandeza física com precisão absoluta devido a fatores como 
incompetência e desatenção do medidor, imperfeições do aparelho, grau de precisão do 
instrumento, etc. Fenômenos como dilatações, temperatura, umidade do ar e outros 
interferem no valor da medida. 
 
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida 
 
A precisão de um instrumento de medida corresponde à menor divisão do instrumento. 
Ex.: uma régua graduada em milímetros tem precisão de milímetros e uma balança 
graduada em dg (decigrama) tem precisão de decigrama. 
 
10.7. Algarismo significativo 
 
É todo o algarismo relacionado com a medição e o instrumento utilizado. Os algarismos 
corretos e o primeiro algarismo duvidoso, isto é, que vai além da menor divisão 
oferecida pelo instrumento, são chamados de algarismos significativos. 
 
 Exemplo: Em uma régua cuja menor divisão é o milímetro, deve-se obter medidas 
até décimos de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lápis 
com esta régua podemos obter valores como: 
 
 
 
duvidoso em décimos de mm (vai além do instrumento) 
precisão do instrumento em (mm) 
 
10.8. Arredondamentos 
 
Os valores das grandezas são arredondados para manter o número de algarismos 
significativos da medição. Assim, o procedimento mais simples utilizado é o seguinte: 
se o algarismo imediatamente à direita do último algarismo a ser conservado for inferior 
15,32 cm 
 49
a 5, suprimimos o algarismo e todos os subseqüentes a ele, e o anterior fica como está; 
se for igual ou superior a 5, o anterior é aumentado de uma unidade. 
 
 Ex.: se desejamos uma precisão de duas casas decimais, fazemos: 
 
 
 
 
 
10.8.1. Operações com Algarismos Significativos 
 
10.8.1.1. Adição e Subtração 
 
O resultado deverá ter o número de casas decimais da parcela que menos os tiver: 
 Exemplos: 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: 
 
O resultado deverá ter o número de algarismos significativos do fator que menos os 
tiver. 
 Exemplos: 
 
 a) { {
2
.2
2
.2.4
49443,492,342,15 cmcmcmcm
signsignsignif
→///=⋅321 
 b) { {mmmm
signsignsignif .3.2
2
.4
82,15975681,141,2378,4 →/=÷321 
 
10.9. Notação Científica 
 
Notação científica de uma grandeza física é escrever este valor num produto de dois 
fatores, onde o 1° é um número situado entre 1 e 10 e o 2° é uma potência de 10. 
20,345 cm = 20,35 cm. 
20,3449 cm = 20, 34 cm. 
 7,49 kg → 2 casas 
– 3,2 kg → 1 casa 
 4,29 kg 
 4,3 kg → 1 casa 
 8,389 m → 3 casas 
+ 0,40 m → 2 casas 
 8,789m 
 8,79 m → 2 casas 
 125,12 cm → 2 casas 
+ 40,3 cm → 1 casa 
 165,42 
 165,4 cm → 1 casa 
 50
 Ex.: 0,0003s = 3,0 . 10-4s. 
 1231m = 1,231 . 103m. 
 0,0021g = 2,1 . 10-3g. 
 carga elétrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb 
 Ano-luz 9,46 . 1015 metros. 
 N° de Avogadro 6,02 . 1023 
 Massa da Terra 5,983 . 1024 quilogramas. 
 
 Operações: 
Adição: 2⋅107 + 23⋅106 = 2⋅107 + 2,3⋅107 = 4,3⋅107 
Subtração: 4⋅108 – 4⋅107 = 4⋅108 – 0,4⋅108 = 3,6⋅108 
Multiplicação: (2.103).(4.106)=8.109 
Divisão: 43
7
37 102
102
104102104 ⋅=⋅
⋅=⋅÷⋅ 
10.10. Ordem de grandeza. 
 
É a potência de dez mais próxima do valor da medida. 
 Para facilitar a obtenção da ordem de grandeza de um número adotamos os 
seguintes passos: 
 1º passo: escrevemos o número em notação cientifica. 
 2º passo: se o número que multiplica a potência de dez for igual ou superior a 
5,5, isto gera 101 que vai se juntar à potência já existente. Caso for inferior a 5,5, gera 
100 que não vai alterar a potência anterior. 
 
 Ex.: 822 Æ 8,22 · 102 Æ 101 · 102 Æ 103 
 110 Æ 1,10 · 102 Æ 100 · 102 Æ 102 
 2,5 · 104 Æ 100 · 106 Æ 106 
 5,8 · 106 Æ 101 · 106 Æ 107 
 0,0055 Æ 5,5 · 10-3 Æ 101 · 10-3 Æ 10-2 
 
10.11. Grandezas Físicas 
É toda a grandeza que podemos medir. 
 
10.11.1. Grandezas Escalares 
são as que ficam bem definidas quando expressas por: 
 – um número 
 – um significado físico (unidade) 
 
 Ex.: 
 
 
 
10.11.2. Grandezas Vetoriais 
são as que ficam bem definidas quando expressas por: 
 – um número 
 – um significado físico (unidade) 
3kg, 2 s 
 significado físico 
 número 
 51
 – uma orientação (direção e sentido que é dado por uma flecha que denominamos de 
vetor.) 
 
 Ex.: 
 
 3 → número (intensidade) 
 N → Newton (unidade de força) 
 direção: horizontal 
 sentido: para direita 
 
 
10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais 
 
10.11.2.1.1. Adição 
21 VVS
rrr += ou 21 VVR
rrr += 
 
Seja a soma dos vetores 1V
r
e 2V
r
 
 
 
 
Vejamos três métodos para determinar o vetor resultante. 
 
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal 
 
Os vetores são postos um após o outro. 
 
 
 
 
08,63712916
120cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
≅=++=
°⋅⋅−+=
−+=
R
R
VVVVR α
 
 
 
 
 
 
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo 
Os vetores têm a mesma origem. 
 52
 
 
08,6
60cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
=
°⋅⋅++=
++=
R
R
VVVVR θ
 
 
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana 
 
 
 V2x = V2 cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5 
 
 V2y = V2 sen 60º = 3 . 0,866 = 2,598 
 
 Note que: 
 V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, já o vetor V1 = 4 já está sobre o 
eixo ou seja, já se encontra projetado onde: 
 V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x) 
 V1y = 0 (sobre o eixo y) 
 
 Logo: 
 
 
 
 
 
θ = 60º
Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5 
 
 resultante sobre o eixo x 
 53
 
 
 
 
 
 
08,69996,36
7496,625,30
)598,2()5,5( 22
22
≅=
+=
+=
+=
R
R
R
RRR yx
 
 
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença 
 
21 VVD
rrv −= 
Procede-se como na adição, bastando inverter o vetor. 
Veja: 
 
 
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal 
 
61,3131225
60cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
≅=−=
°⋅⋅−+=
−+=
D
D
VVVVD θ
 
 
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo 
 
 
 
61,3
)5,0(34234
120cos2
22
21
2
2
2
1
=≅
−⋅⋅⋅++=
°++=
D
D
VVVVD
 
 ou 
 
 
Ry = V2y = 2,598 
resultante sobre o eixo y 
 54
 
61,3
5,034234
60cos2
22
21
2
2
2
1
≅
⋅⋅⋅−+=
°−+=
D
D
VVVVD
 
 
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana 
 
 
 
 V2x = –V2 cos 60º = –3.0,5 = –1,5 
 
 V2y = –V2 sen 60º = –3.0,866 = –2,598 
 
 Rx = V1 + V2y = 4 – 1,5 = 2,5 
 
 Ry = V2y = –2,598 
 
 
 
61,3
9996,12
7496,625,6
22
≅
=
+=
+=
D
D
D
RRD yx