ED 10° Periodo Vibrações Mecanicas UNIP

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ED VIBRAÇOES MECANICAS 9/10 PERIODO ENG. MEC.
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 1 ( LETRA B )
Da expressão y(t)= Aocos(Wo.t+ϕ) sabemos que Wo acompanha a variável tempo, portanto é π/2
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 2 ( LETRA D )
f=w/2 π, sabendo que w é π/2, temos f=0,25. Portanto T=1/f= 4
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 3 ( LETRA B )
Substituindo t por 2, temos:
 y= 0,06.cos((π/2).2 + (π/3))
y=-0,03
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 4 ( LETRA C )
Derivando a equação horária temos:
V=-0,06sen((π/2).2 + (π/3)). π/2
V=0,0816
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 5 ( LETRA D )
Derivando a velocidade temos:
a= -0,06cos((π/2).2 + (π/3)).( π/2)²
a= 0,074
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 6 ( LETRA A )
W=2 π.f
W=2 π.5
W=10 π
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 7 ( LETRA B )
Sabendo que 0 e π corresponde a partícula cruzando o instante 0, portanto π/2 e 3π/2 representa as fase seguintes da partícula, ou a fase inicial da partícula no nosso caso
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 8 ( LETRA C )
Com a equação da velocidade, temos
v(t)=-Ao.sen(wo.t+ ϕ)
10,88=-Ao.sen(0.0,1+ π/2).10π
Ao=0,346m
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 9 ( LETRA D )
Da aceleração temos:
a(t)= Ao.Wo².cos(Wo.t+ ϕ)
a(0,1)=0,35.(10 π)².cos(10π.0,1+0)
a(0,1)=-345,4 m/s²
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 10 ( LETRA E )
Da posição temos:
x(t)= Ao.cos(wo.t+ ϕ)
x(0,2)=0,35.cos(10 π.0,2+ 2π)
x(0,2)=0,343
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 11 ( LETRA A )
f=1/T
f=1/0,25
f=4
f=w/2π
w=8 π
Portanto, a equação horário da posição em função do tempo é:
x(t)= 0,08.cos(8.π.t + π/4)
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 12 ( LETRA B )
V=0,08sen(8 π.t+ π/4).8 π
V=-2.sen(8 π.t+ π/4)
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 13 ( LETRA D )
Da derivada da velocidade temos a aceleração:
a(t)= -Ao.Wo².cos(8π.t+ π/4)
a(t)=-0,08.(8π)².cos(8π.t+ π/4)
a(t)= -50,53.cos(8π.t+ π/4)
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 14 ( LETRA A )
Da equação da velocidade, temos:
V=-2.sen(8 π.t+ π/4)
V=-2.sen(8π.4+π/4)
V=-1,41m/s
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 15 ( LETRA B )
Da equação da velocidade, temos:
V=-2.sen(8 π.t+ π/4)
V=-2.sen(8π.4+π/4)
V=-1,41m/s
Energia Potencial Mecanica=
Ep=m.v²/2
Ep=0,4.(-1,41)²/2
Ep=0,397
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 16 ( LETRA C )
Da equação da velocidade, temos:
V=-2.sen(8 π.t+ π/4)
V=-2.sen(8π.4+π/4)
V=-1,41m/s
Energia Potencial Mecanica=
EM=Ec
Em=m.v²/2
Em=0,4.(-1,41)²/2
Em=0,397.2
Em=0,79
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 17 ( LETRA D )
v(t)=-w.x(t)
v(t)=-8π.0,02
v(t)=0,5
Ec=m.v²/2
Ec=0,4.(0,5)²/2
Ec=0,05
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 18 ( LETRA E )
v(t)=-w.x(t)
v(t)=-8π.0,02
v(t)=0,5
Ec=m.v²/2
Ec=0,4.(0,5)²/2
Ec=0,75
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 19 ( LETRA D )
T/2=k1.y1; T/2=k2.y2; T=k3.y3
Y=T/2.k1; y2=T/2.k2; y3=T/k3
T=4k1.k2.k3.y/(k2.k3+k1.k3+4k1.k2)
a+T/m=0
a+282,35y=0
k=w².m
k=292,35.0,5
k=141,17
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 20 ( LETRA C )
Equacinando mola, temos:
2T-Fe=m.a (não possui massa)
2T=k1.y1
T=(k1.y1)/2
Equacionando Bloco, temos:
T=-m.a
Altura y2=2y1
Substituindo, temos:
(k1.y1)/2= m.a
a+k1.y1/2m=0
w0²=k/4m
w0=14,14 rad/s
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 21 ( LETRA E )
K1=W0².4m
K1=200.4.10
K1=8000
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 22 ( LETRA C )
Massa efetiva é o que divide pelo Kef, portanto
Mef= (I+R².m)
Mef= (1,6 + 0,8².10)
Mef= 8 Kg
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 23 ( LETRA B )
y= θ.R
m.g-F=m.a
I.a=R.F-r.(k.r. θ)
a+(k.r².θ)/(I+R².m)=g/(I+R)
W0²=8000.0,6²/(1,6+0,8².10)
W0=18,97rad/s
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 1 ( LETRA D )
γ= β.ωο
γ=0,25.4
γ=1
ωa=√(wo- γ)
ωa=3,873rad/s
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 2 ( LETRA E )
y(t)=0,025.e^(-t).cos(3,87.t+ π/2)
y(0,1)=0,025.e^(-0,1).cos(3,87.0,1+ π/2)
y(0,1)=0,009m
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 3 ( LETRA B )
m.a = Fe + Fv
m.y’’ = -k.y – c.y’
y’’ + (k/m).y + (c/m).y’ = 0 (equação diferencial)
B = ¼ < 1 (amortecimento fraco), solução da equação diferencial:
y(t) = a0.[e^(-Y.t)].cos(wa.t + Q)
B = Y/w0
1/4 = Y/4
Y = 1
wa = (w0^2-Y^2)^(1/2)
wa = (4^2-1^2)^(1/2)
wa = 3,873 rad/s
Para t=0, y=0:
0 = a0.[e^(0)].cos(wa.0+Q)
Como a0 > 0 e e^0 = 1:
0 = cos (Q)
Q = pi/2 rad
Derivando a y(t):
dy/dt = d{a0.[e^(-Y.t)].cos(wa.t + Q)}/dt
y’(t) = a0.^[e^(-Y.t)].[-Y.cos(wa.t+Q)-wa.sin(wa.t+Q)]
Para t=0, y’=0,04 m/s:
0,04 = a0.[e^(-Y.0)].[-Y.cos(wa.0+Q)-wa.sin(wa.0+Q)]
0,04 = a0.[-Y.cos(Q)-wa.sin(Q)]
a0 = 0,04/[-1.cos(pi/2)-3,873.sin(pi/2)]
a0 = -0,0103 m = 1,03 cm
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 4 ( LETRA E )
m.a = Fe + Fv
m.y’’ = -k.y – c.y’
y’’ + (k/m).y + (c/m).y’ = 0 (equação diferencial)
B = 4 > 1 (amortecimento forte), solução da equação diferencial:
y(t) = A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} + B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}
B = Y/w0
4 = Y/4
Y = 16
Para t = 0, y = 0:
0 = A.[e^(-Y)] + B.[e^(-Y)]
0 = (A+B).[e^(-Y)]
A + B = 0 (Eq. I)
Derivando y(t) para obter a equação da velocidade:
dy/dt = d(A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} + B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t})/dt
y’(t) = A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}.[(Y^2-w0^2)^(1/2)] - B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}.[(Y^2-w0^2)^(1/2)]
Para t=0, y’= 0,04 m/s:
0,04 = A.e^(-Y).[(Y^2-w0^2)^(1/2)]– B.e^(-Y).[(Y^2-w0^2)^(1/2)]
0,04 = (A – B).e^(-16).[(16^2-4^2)^(1/2)]
0,04 = (A – B).1,743.10^(-6)
A – B = 22943,740 (Eq. II)
De (I) em (II):
A + A = 22943,740
A = 11471,87
Portanto:
B = -11471,87
Logo:
y(t) = 11471,87.e^{-16+[(16^2-4^2)^(1/2)].t} – 11471,87.e^{-16-[(16^2-4^2)^(1/2)].t}
y(t) = 11471,87.[e^(-16+15,492.t) - e^(-16-15,492.t)]
y(t) = 11471,87.[e^(-16)].[e^(15,492.t) - e^(-15,492.t)]
y(t) = 0,00129.).[e^(15,492.t) - e^(-15,492.t)] m
Da função da posição anterior tem-se:
a0 = 0,00129 m = 0,129 cm
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 5 ( LETRA A )
m.a = Fe + Fv
m.y’’ = -k.y – c.y’
y’’ + (k/m).y + (c/m).y’ = 0 (equação diferencial)
O amortecimento tem de ser crítico:
B = 1
Logo, a solução para a equação diferencial:
y(t) = (A + B.t).e^(-Y.t)
w0 = (k/m)^(1/2)
w0 = (80000/800)^(1/2)
w0 = 10 rad/s
B = Y/w0
Y = 1.10
Y = 10 rad/s
Y = c/(2.m)
10 = c/(2.800)
c = 16000 N.s/m
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 6 ( LETRA C )
Da questão anterior, tem-se a equação da posição:
y(t) = (A + B.t).e^(-Y.t)
Fazendo y(0) = 1 m:
1 = (A+B.0).e^(-Y.0)
A = 1
Derivando a função da posição:
dy/dt = d[(A + B.t).e^(-Y.t)]/dt
y’(t) = {(A + B.t).[e^(-Y.t)].(-Y)} + [e^(-Y.t).B]
Fazendo y’(0) = 0:
0 = {(A + B.0).[e^(-Y.0)].(-Y)} + [e^(-Y.0).B]
0 = {(A).[(-Y)} + [B]
A.Y = B
A = 1 e Y = 10, logo:
B = 1.10
B = 10
Portanto a função com todos as constantes definidas:
y(t) = (1 + 10.t).e^(-10.t) (Esta função só é válida para o retorno)
O período para que o cano retorne até a posição normal de tiro (y = 0,01 mm):
0,00001 = (1 + 10.t).e^(-10.t)
t = 1,424 s (retorno)
Admitindo que a energia absorvida pelo cano ocorreu totalmente na posição de tiro a velocidade inicial v0:
(m.v0^2)/2 = (k.a^2)/2
v0 = a.[(k/m)^(1/2)]
v0 = 1.[(80000/800)^(1/2)
v0 = 10 m/s
0 = v0 + S(a.dt)
0 = v0 – S[(Fe/m).dt]
Esse cálculo é possível por integração numérica (pois F é variável no tempo), porém seria um pouco mais complicado. Podemos achar um resultado aproximado fazendo Fe = (k.a)/2 = (80000.1)/2 = 40000 N:
0 = 10 – (40000/800).t
t = 0,2 s (tempo de recuo)
A cadência máxima C será igual a f:
C = f = 1/(1,424 + 0,2)
C = 0,616 s^(-1) = 36,96 min^(-1)
A alternativa mais próxima é a C. Note que o pequeno erro foi devido ter considerado constante a força elástica, a fim de se evitar cálculos numéricos.
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 7 ( LETRA A )
Se ultrapassa a posição de equilíbrio no retorno, então trata-se de um movimento oscilatório amortecido. 
B < 1
A solução é do tipo:
x(t) = A.e^(-Y.t).cos(wa.t + Q)
Se t é o instante em que o deslocamento máximo x0 é
atingido, então instante em que o sistema retorna e ultrapassa a posição de equilíbrio em 10% é t+T/2:
x(t) = x0 = A.e^(-Y.t).cos(wa.t + Q) (Eq. I)
x(t+T/2) = A.e^(-Y.(t+T/2)).cos(wa.(t+T/2) + Q)
-0,1.x0 = A.e^(-Y.t).e^(-Y.T/2).cos(wa.t + Q + pi) (Eq. II)
Dividindo membro a membro a equação (II) pela (I):
1/(-0,1) = e^(-Y.T/2).(-1)
10 = e^(-Y.T/2)
10 = e^(-Y.pi/wa)
Como (-Y.pi/wa) = (-B.pi)/([(1-B^2)^(1/2)] :
10 = e^(-B.pi/[(1-B^2)^(1/2)]
ln(10) = (-B.pi/[(1-B^2)^(1/2)]
(2,30)^2 = (B^2.pi^2)/(1-B^2)
5,302 – 5,302.B^2 = B^2. pi^2
15,171.B^2 = 5,302
B = 0,359
.ç		
--------------------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 1 ( LETRA A )
m.a = -k.y – c.v
m.y’’ = -k.y – c.y’
y” + (c/m).y’ + (k/m).y = 0 (Eq. Dif.)
Frequencia natural:
w0 = (k/m)^(1/2)
w0 = (80000/100)^(1/2)
w0 = 28,284 rad/s
E = c/(2.m.w0)
E = 2000/(2.100.28,284)
E = 0,353
FA = 1/[(1-r^2)^2 + (2.E.r)^2]
Achando r (razão de frequências) para FA máximo, fazendod(FA)/dt = 0:
r = 0,866
Calculando a frequência da força f excitadora:
r = w/w0 = 2.pi.f/w0
0,866 = 2.pi.f/28,284
f = 3,9 s^(-1) 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 2 ( LETRA E )
m.a = -k.y – c.v
m.y’’ = -k.y – c.y’
y” + (c/m).y’ + (k/m).y = 0 (Eq. Dif.)
Frequência natural:
w0 = (k/m)^(1/2)
w0 = (80000/100)^(1/2)
w0 = 28,284 rad/s
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 3 ( LETRA D )
Y = c/(2.m)
Y = 2000/(2.100)
Y = 10 rad/s
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 4 ( LETRA C )
B = Y/w0
B = 10/28,284
B = 0,35
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 5 ( LETRA B )
m.a = -k.y – c.v
m.y’’ = -k.y – c.y’
y” + (c/m).y’ + (k/m).y = 0 (Eq. Dif.)
Frequência natural:
w0 = (k/m)^(1/2)
w0 = (80000/100)^(1/2)
w0 = 28,284 rad/s
E = c/(2.m.w0)
E = 2000/(2.100.28,284)
E = 0,353
FA = 1/
Achando r (razão de frequências) para FA máximo, fazendod(FA)/dt = 0:
r = 0,866
Calculando a frequência da força f excitadora:
r = w/w0 
0,866 = w/28,284
w = 24,5 rad/s
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 6 ( LETRA D )
Raio da manivela:
R = 20cm/2 = 10cm = 0,1 m
Velocidade angular da manivela:
w = 2.pi.f = 2.pi.(1800/60) = 60.pi 
Função velocidade do pistão:
y’(t) = w.R.cos(w.t + fi)
Aceleração do pistão:
y’’(t) = - (w^2).R.sin(w.t +fi)
Essa aceleração gera uma força de intensidade:
F(t) = m.y’’(t)
F(t) = - m.(w^2).R.sin(w.t +fi)
Como não nos interessa saber uma fase ou posição específica, podemos simplificar para:
F(t) = m.(w^2).R.sin(w.t)	(Força harmônica que age no sistema)
Portanto F0 = m.(w^2).R
w0 = (k/M)^(1/2)
w0 = (30000000/525)^(1/2)
w0 = 239.046 rad/s
Y = c/2.M
Y = 200000/(2.525)
Y = 190,476 rad/s
B = Y/w0
B = 190,476/239.046
B = 0,797
r = w/w0
r = 60.pi/239.046
r = 0.788
A = (F0/k).(1/[((1-r^2)^2 + (2.B.r)^2)^(1/2)]
A = ((m.(w^2).R) /k).(1/[((1-r^2)^2 + (2.B.r)^2)^(1/2)]
A = ((525.((60.pi)^2).0,1/30000000).(1/[((1-0,788^2)^2 + (2.0,797.0,788)^2)^(1/2)]
A = 0,00226 m = 2,26 mm
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 7 ( LETRA C )
A equação da posição é do tipo:
y(t) = A.cos(w.t+fi)	
Derivando:
y’(t) = -A.w.sin(w.t+fi)
De onde se tira que ymax = A.w. Portanto a força máxima viscosa Fv:
Fv = c.ymax
Fv = c.A.w
Fv = 200000.0,00226.60.pi
Fv = 85200 N = 85,2 kN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 1 ( LETRA C )
Tv((1-r)²+(2ßr)²)=v(2²ß²r²+1)
r=6,33
r=w/w0
w0=49,62 rad/s 49,62
keq=w0².m
keq=985kN/m
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 2 ( LETRA A )
Fmáx=P/2
Fmáx=5000/2
Fmáx=2500 N
Ft=0,1.Fmáx
Ft=250 N
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 3 ( LETRA D )
F=c*x
ß=w/y
y=c/2m
F=2ßxwm*0,1
F=950 N
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 4 ( LETRA A )
T(r²-1)=1
r=3,32
r=w/w0
w0=143,42 rad/s
keq=w0².m
keq=10284 kN/m
k=keq/4
k=2571 kN/m
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 5 ( LETRA D )
Tv((1-r)²+(2ßr)²)=v(2²ß²r²+1)
T=0,0729
T=7,29%
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 6 ( LETRA A )
r=w/w0
w0=3,763 rad/s
keq=w0².m
keq=85,2 kN/m
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 1 ( LETRA B )
massa 1
Fe2 -Fe1 = mx1^''
k2(x2 - x1) - k1x1 = mx1^''
k2x2 - k2x1 - k1x1 - mx1^'' = 0
Solução 
x1 = Acos(wt +∅)
x^'1 = -Awsen(wt +∅)
x^''1 = -Aw^2cos(wt +∅)
x^''1 = -w^2x1
Massa 2
-Fe3 -Fe2 = mx2^''
-k3x2 -k2(x2 - x1) = mx2^''
-k3x2 - k2x2 + k2x1 = mx2^''
-mw^2x2 + k3x2 + k2x2 - k2x1 = 0
(-mw^2 + k3 + k2)x2 - k2x1 = 0
┌			 ┐
│-0,8w1^2 + 25,6 -12,8 │ 
│			 │= (-0,8w1^2 + 25,6).(0,8w2^2 + 25,6) - (-12,8).(-12,8)= 0
│ -12,8 0,8w2^2 + 25,6 │ w1 = w2
└			 ┘		
	0,64ω^4 -40,96ω^2 + 491,52 = 0 λ= ω^2
	0,64λ^2 -40,96λ + 491,52 = 0
	∆ = (40,96)^2 - 4.0,64.491,52
	∆ = 419,43
λ= (+40,96 ± 20,48)/ 1,28
λ2 = 16 → ω2 = 4 rad/s
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 2 ( LETRA A )
x1/x2 = (A1/A2)1 = (-12,8) / (-0,8.(6,9)^2 + 25,6) = 1,025
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 3 ( LETRA A )
massa 1
Fe2 -Fe1 = mx1^''
k2(x2 - x1) - k1x1 = mx1^''
k2x2 - k2x1 - k1x1 - mx1^'' = 0
Solução 
x1 = Acos(wt +∅)
x^'1 = -Awsen(wt +∅)
x^''1 = -Aw^2cos(wt +∅)
x^''1 = -w^2x1
Massa 2
-Fe3 -Fe2 = mx2^''
-k3x2 -k2(x2 - x1) = mx2^''
-k3x2 - k2x2 + k2x1 = mx2^''
-mw^2x2 + k3x2 + k2x2 - k2x1 = 0
(-mw^2 + k3 + k2)x2 - k2x1 = 0
┌			 ┐
│-0,8w1^2 + 25,6 -12,8 │ 
│			 │= (-0,8w1^2 + 25,6).(0,8w2^2 + 25,6) - (-12,8).(-12,8)= 0
│ -12,8 0,8w2^2 + 25,6 │ w1 = w2
└			 ┘		
	0,64ω^4 -40,96ω^2 + 491,52 = 0 λ= ω^2
	0,64λ^2 -40,96λ + 491,52 = 0
	∆ = (40,96)^2 - 4.0,64.491,52
	∆ = 419,43
λ= (+40,96 ± 20,48)/ 1,28
λ1 = 48 → ω1 = 6,9 rad/s
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 4 ( LETRA B )
x1/x2 = (A1/A2)2 = (-12,8) / (-0,8.(4)^2 + 25,6) = -1
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 5 ( LETRA E )
∆ = y - 0,3θ
sin⁡θ = y/0,3
y = 0,3θ
∑F = m.a
Fk1 = -m.γ^''
k1.(y-0,3θ) = m.ω^2 y
y(k1-mω^2 )-0,3k1θ = 0
y(3500 - 35ω^2) - 1050θ = 0
∑M = I.α
Fk1.0,3 - kt.θ = Iθ^''
k1(y - 0,3θ).0,3 - kt.θ + Iω^2θ = 0
kl.0,3y + θ(-kl.0,3^2 - kt+ Iω^2) = 0
1050y + (-5315 + 50ω^2)θ = 0
┌			 ┐
│3500-35w^2 -1050 │ 
│			 │= 18602500 + 175000ω^2 + 186025ω^2 -1750ω^4 +1102500 = 0
│ 1050 -5315 + 50w^2 │ -1750ω^4 + 361025ω^2 -17500000 = 0
└			 ┘
				∆= (-361025 ± 88538)/ -3500
σ2 = 77,85 ⟶ ω^2 = 8,8 rad/s
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 6 ( LETRA E )
(3500 - 35ω^2).y -1050θ = 0
(y/θ)1 = 1050/(3500 - 35ω^2) = 1,05
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 7 ( LETRA D )
∆ = y - 0,3θ
sin⁡θ = y/0,3
y = 0,3θ
∑F = m.a
Fk1 = -m.γ^''
k1.(y-0,3θ) = m.ω^2 y
y(k1-mω^2 )-0,3k1θ = 0
y(3500 - 35ω^2) - 1050θ = 0
∑M = I.α
Fk1.0,3 - kt.θ = Iθ^''
k1(y - 0,3θ).0,3 - kt.θ + Iω^2θ = 0
kl.0,3y + θ(-kl.0,3^2 - kt+ Iω^2) = 0
1050y + (-5315 + 50ω^2)θ = 0
┌			 ┐
│3500-35w^2 -1050 │ 
│			 │= 18602500 + 175000ω^2 + 186025ω^2 -1750ω^4 +1102500 = 0
│ 1050 -5315 + 50w^2 │ -1750ω^4 + 361025ω^2 -17500000 = 0
└			 ┘
∆= (-361025 ± 88538)/ -3500
σ1 = 128,44 ⟶ ω1 = 11,33 rad/s 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 8 ( LETRA B )
(3500 - 35ω^2).y -1050θ = 0
(y/θ)2 = -1,33
---------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 1 ( LETRA A )
BLOCO 1
-Fk1-Fk2-Ft=M.x1=-m.w²x1
--m.w².x1+Fk1-Fk2=Ft
-mm.w².x1+kx1-K(x2-x1)=Ft
x1(-mw²+2k)+x2(-K)=Ft
BLOCO 2
-Fk2-Fk3=m2x2=-m2w²x2
m2w²x2-k(x2-x1)-kx2=0
kx1+x2(m2w²-2K)=0
I.| -mw²+2k -k| . |x1| = |F1|
 | k mw²-2k| |x2|	 |0|
I = |-mw²+2k -k| . |x1| 
 | k mw²-2k| |x2|	
|x1| = |mw²-2k k | . 1/s . |F1| . cos (wt)
|x2| | -k -mw²+2k|	 |0|
(mw²-2k).(mw²-2k) + k²= ?
?=-m²w+2mkw²+2mkw²-4k²+k²
?=-m²w4+4mkw²-3k²
?=163,84
x1=((mw²-24).F1/163,84).cos(wt) ----- A=0
x2=((-kF1/163,84).cos (wt)) ----- B=0,2
-m²s²+4mks-3k²=0
?=(-4mk±2mk)/2m²
s2=(-6mk/-2m²) ----- w2=raiz(3k/m)
s1=(-2mk/-2m²) ------ w1=raiz(k/m)
w1=4rad/s
w2=6,928 rad/s
Solução:
A=0
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 2 ( LETRA B )
BLOCO 1
-Fk1-Fk2-Ft=M.x1=-m.w²x1
--m.w².x1+Fk1-Fk2=Ft
-mm.w².x1+kx1-K(x2-x1)=Ft
x1(-mw²+2k)+x2(-K)=Ft
BLOCO 2
-Fk2-Fk3=m2x2=-m2w²x2
m2w²x2-k(x2-x1)-kx2=0
kx1+x2(m2w²-2K)=0
I.| -mw²+2k -k| . |x1| = |F1|
 | k mw²-2k| |x2|	 |0|
I = |-mw²+2k -k| . |x1| 
 | k mw²-2k| |x2|	
|x1| = |mw²-2k k | . 1/s . |F1| . cos (wt)
|x2| | -k -mw²+2k|	 |0|
(mw²-2k).(mw²-2k) + k²= ?
?=-m²w+2mkw²+2mkw²-4k²+k²
?=-m²w4+4mkw²-3k²
?=163,84
x1=((mw²-24).F1/163,84).cos(wt) ----- A=0
x2=((-kF1/163,84).cos (wt)) ----- B=0,2
-m²s²+4mks-3k²=0
?=(-4mk±2mk)/2m²
s2=(-6mk/-2m²) ----- w2=raiz(3k/m)
s1=(-2mk/-2m²) ------ w1=raiz(k/m)
w1=4rad/s
w2=6,928 rad/s
Solução:
B=0,2	
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 3 ( LETRA E )
X1 = ((m . w² - 2k ) . F1) / (-m2 . w^4 + 4.m.k.w² - 3.k²) = 0
( m² . w² - 2.k ) . F1 = 0
 m . w² - 2k = 0
2. k = m . w²
w² = 2k / m
w = (2.k/m)^ (1/2)
w = 8,84 rad/s
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 4 ( LETRA E )
b2 = ( -k1.F1 ) / ( -m² . w^4 + 4. m.k.w² - 3.k² ) =
( -265,625 / 976,56 ) = -0,272
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 5 ( LETRA B )
F1-F2= m1.y1= m1.wº.y1
m1w^2y1-k1(y1-yb)+k2(y2-y1)=0
y1(m1w^2-k1-k2)+k2.y2)= -k1yb
y1(-mw^2+k1+k2)-k2.y2)= k1yb
F2=m2.y2=m2w^2y2
m2w^2y2-k2(y2-y1)=0
 I [-m,w²+K1+K2 -K2][Y1]---> [ K, yb ]
 [ K2 m2,w² - K2 ][Y2]---> [ 0 ]
 I [-0,8w²+31,25+31,25 -31,25]
 [- 31,25 0,8,w² - 31,25 ]
Δ = (0,64.w^4 +25w²+50w²-1953,12) W=5,2
Δ = -393,06
[Y1] = [0,8.w² - 31,25 31,25 ] .1/Δ .[ K, yb ]
[Y2] = [-31,25 -0,8.w².62,25 ] .1/Δ .[ 0 ]
Δ = (-0,8.w² + 62,5) . (0,8.w² - 31,25) + 31,25²
Δ = 583,44
y1= (0,8.w²-31,25).k1.0,15/ 583,44 . sen(5,2t)
A= 0,08
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 6 ( LETRA E )
F1-F2= m1.y1= m1.wº.y1
m1w^2y1-k1(y1-yb)+k2(y2-y1)=0
y1(m1w^2-k1-k2)+k2.y2)= -k1yb
y1(-mw^2+k1+k2)-k2.y2)= k1yb
F2=m2.y2=m2w^2y2
m2w^2y2-k2(y2-y1)=0
 I [-m,w²+K1+K2 -K2][Y1]---> [ K, yb ]
 [ K2 m2,w² - K2 ][Y2]---> [ 0 ]
 I [-0,8w²+31,25+31,25 -31,25]
 [- 31,25 0,8,w² - 31,25 ]
Δ = (0,64.w^4 +25w²+50w²-1953,12) W=5,2
Δ = -393,06
[Y1] = [0,8.w² - 31,25 31,25 ] .1/Δ .[ K, yb ]
[Y2] = [-31,25 -0,8.w².62,25 ] .1/Δ .[ 0 ]
Δ = (-0,8.w² + 62,5) . (0,8.w² - 31,25) + 31,25²
Δ = 583,44
y1= (0,8.w²-31,25).k1.0,15/ 583,44 . sen(5,2t)
A= 0,08
y2= -31,25.31,25.0,15/ 583,44 . sen(5,2t)
B= 0,25
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 7 ( LETRA D )
[-m,w²+K1+K -K2] ---> [-0,8.w² + 25 + 36 -36]
[ K2 m,,w² - K2 ] ---> [ 36 0,8w² - 36]
Δ = (0,8.w² + 61) . (0,8.w² - 36) + 36²
Δ = 730,36
[Y1] = 1/Δ [0,8.w² - 36 36 ] . [ K, yb ]
[Y2] [ 36 -0,88.w² + 61 ] . [ 0 ]
Y2 = ( 36K1 . 0,15 ) / ( 730,36 ) . sen( 5,2t )
B = 0,18 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 8 ( LETRA D )
[ - 0,8. w² + 61 -36 ] ----> Δ = ( -0,8. w² + 61 ) . ( m2 . W². 36) + 36²
[ 36 m2. w² + 36 ] 
 Δ = 1064,5 m2 - 121,248
[Y1] = [ m2 . w² - 36 36] . [ K1. Yb ]
[Y2] = [ -36 -0,8. w² + 61 ] . [ 0 ] 
Y1 = 0 = ((m2 . w² - 36). 25. 0,15) / (1064,5 . m2 - 121,248)
m2 . w² - 36 = 0
m2.w² = 36
m2 = 36 / w² = 1,33Kg
B = ( -36,25 . 0,15/ 1294,53 )
B = 0,1
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 9 ( LETRA D )
Somatório dos Momentos para o disco:
M-Cw=Id.ad
Somatório dos momentos para a Polia:
Cw=Ip.ap
Id/Ip=0,333
-------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 1 ( LETRA C )
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Sabendo que que neste instante agem forças do tipo:
Ip.φ"= Mv
Ip.φ" - c(θ"- φ")=0
Solução geral 
 
θ"= -W².θ
φ"=-W ².φ
Substituindo 
(k+c.i.W-W^2.Ip)θo-i.c.W.φo=Mo
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo
(k-W2.Ip)Id.W^2+i.c.W(Id.W^2-(k-W^2.Ip))=Mo.(Id.W^2-i.c.W)
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,3 
W1= 125,6 rad/s
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 2 ( LETRA D )
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Sabendo que que neste instante agem forças do tipo:
Ip.φ"= Mv
Ip.φ" - c(θ"- φ")=0
Solução geral 
 
θ"= -W².θ
φ"=-W ².φ
Substituindo 
(k+c.i.W-W^2.Ip)θo-i.c.W.φo=Mo
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo
(k-W2.Ip)Id.W^2+i.c.W(Id.W^2-(k-W^2.Ip))=Mo.(Id.W^2-i.c.W)
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M2= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m
W2= 760,7 rad/s
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 3 ( LETRA E )
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Sabendo que que neste instante agem forças do tipo:
Ip.φ"= Mv
Ip.φ" - c(θ"- φ")=0
Solução geral 
 
θ"= -W².θ
φ"=-W ².φ
Substituindo 
(k+c.i.W-W^2.Ip)θo-i.c.W.φo=Mo
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo
(k-W2.Ip)Id.W^2+i.c.W(Id.W^2-(k-W^2.Ip))=Mo.(Id.W^2-i.c.W)
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M3= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,9 m
W3= 1666,7 rad/s
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 4 ( LETRA A )
Da questão 1 Tem-se W1
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,3 m
W1= 125,6 rad/s
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Isolando θ/( x)=A , substituindo W1 tem-se 
A2 = 0,053
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 5 ( LETRA B )
Da questão 1 Tem-se W1
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,3 m
W1= 125,6 rad/s
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Isolando θ/( x)=A , substituindo W1 tem-se
 
A3 = 0,016
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 6 ( LETRA C )
Da questão 2 Tem-se W2
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m
W1= 760,7 rad/s
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Isolando θ/( x)=A , substituindo W2 tem-se no segundo modulo normal
A2 = 0,130
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 7 ( LETRA D )
Da questão 2 Tem-se W2
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m
W1= 760,7 rad/s
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Isolando θ/( x)=A , substituindo W2 tem-se no segundo modulo normal
A3 = 0,150
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 8 ( LETRA E )
Da questão 3 Tem-se W3
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m
W1= 1666,7 rad/s
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt)
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt)
Isolando θ/( x)=A , substituindo W3 tem-se no terceiro modulo normal
A3 = 0,250
--------------------------------------------------------------------------------------
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 1 ( LETRA A )
F1=-k.x1
F2=-k.(x2-x1)
F3=-k.(x3-x2)
F4=-k.(x4-x3)
F5=-k.x5
x''=-w^2.x para qualquer x
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0
Para m4
- -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0
Pode-se escrever a seguinte matriz
0,2w^2+200 -100 0 0
 -100 0,2w^2+200 -100 0
 0 -100 0,2w^2+200 -100
 0 0 -100 0,2w^2+200
que resulta o seguinte determinante:
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0
w1=13,81 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 2 ( LETRA B )
F1=-k.x1
F2=-k.(x2-x1)
F3=-k.(x3-x2)
F4=-k.(x4-x3)
F5=-k.x5
x''=-w^2.x para qualquer x
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0
Pode-se escrever a seguinte matriz
0,2w^2+200 -100 0 0
 -100 0,2w^2+200 -100 0
 0 -100 0,2w^2+200 -100
 0 0 -100 0,2w^2+200
que resulta o seguinte determinante:
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0
w2=26,28
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 3 ( LETRA D )
F1=-k.x1
F2=-k.(x2-x1)
F3=-k.(x3-x2)
F4=-k.(x4-x3)
F5=-k.x5
x''=-w^2.x para qualquer x
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0
Pode-se escrever a seguinte matriz
0,2w^2+200 -100 0 0
 -100 0,2w^2+200 -100 0
 0 -100 0,2w^2+200 -100
 0 0 -100 0,2w^2+200
que resulta o seguinte determinante:
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0
w3=36,18
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 4 ( LETRA E )
F1=-k.x1
F2=-k.(x2-x1)
F3=-k.(x3-x2)
F4=-k.(x4-x3)
F5=-k.x5
x''=-w^2.x para qualquer x
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0
Pode-se escrever a seguinte matriz
0,2w^2+200 -100 0 0
 -100 0,2w^2+200 -100 0
 0 -100 0,2w^2+200 -100
 0 0 -100 0,2w^2+200
que resulta o seguinte determinante:
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0
w4= 42,53
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 5 ( LETRA C )
Resolvendo a matriz com o primeiro modo
238,642 -100 0 0
-100 238,642 -100 0
 0 -100 238,642 0
 0 0 -100 238,642
Resolvendo a primeira equação x2=2,38
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 6 ( LETRA A )
Utilizando dados do exercicios anteriores e resolvendo a segunda equação 
x3=-4,68
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 7 ( LETRA D )
Utilizando dados do exercicios anteriores e resolvendo a segunda equação 
x4=-13,54
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 8 ( LETRA D )
O resultado para a primeira linha da matriz para o segundo modo normal é 
336,24 -100 0 0
Resolvendo essa linha temos:
x2=3,36