CG-Assunto05-Transformacoes-3D

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por Robson Pequeno de Sousa. Adaptação: 
Robson Lins
Prof. Robson Lins
UNICAP – CCT – Ciência da Computação
http://www.dei.unicap.br/rcl/cg
TRANSFORMAÇÕES 3D
COMPUTAÇÃO GRÁFICA
por Robson Pequeno de Sousa. Adaptação: 
Robson Lins
TRANSFORMAÇÕES 3D
 Transformações básicas 3D
 Translação
 Mudança de Escala
 Rotação
 Cisalhamento
 Reflexão
 Como no caso 2D, utilizam-se coordenadas 
homogêneas (x,y,z,w)
 As transformações são compostas via 
multiplicações de matrizes
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TRANSLAÇÃO 3D
TP = (x + tx, y + ty, z + tz)












1000
100
010
001
z
y
x
t
t
t












1
z
y
x
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EXEMPLO DE TRANSLAÇÃO 3D
 Translação do ponto (x,y,z) para (x’,y’,z’)













1000
100
0010
0001
z
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ESCALA 3D












1000
000
000
000
z
y
x
s
s
s












1
z
y
x
SP = (sxx, syy, szz)
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EXEMPLO DE ESCALA 3D
 Considere o paralelepípedo mostrado na figura abaixo, 
com vetores de posição homogêneos. Escale por fatores 
de 1/2, 1/3 e 1. Aplique 
0 2 2 0 0 2 2 0
0 0 3 3 0 0 3 3
[ ]
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
X
 
 
 
 
 
 
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ESCALA 3D GERAL
 Mudança de escala em relação a um ponto 
fixo fora da origem
 Transladar o ponto fixo para a origem
 Aplicar a mudança de escala
 Aplicar a translação inversa para levar o ponto 
fixo à sua posição original
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ROTAÇÃO 3D
Rotações positivas são definidas como:
Eixo de rotação Direção das rotações positivas
x y para z
y z para x
z x para y
y
x
z
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ROTAÇÃO 3D











 
1000
0100
00cossin
00sincos














1
z
y
x
 Note que a rotação em 2D é justamente uma 
rotação em torno do eixo z em 3D
 Matriz de rotação em torno do eixo-z: Rz(ß)P
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ROTAÇÃO 3D













1000
0cos0sin
0010
0sin0cos














1
z
y
x
Matrizes de rotação em torno dos eixos x e y













1000
0cossin0
0sincos0
0001














1
z
y
x
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ROTAÇÃO 3D GERAL
 Quando o eixo de rotação for paralelo a um dos 
eixos coordenados
 Transladar o objeto para que o eixo de rotação 
coincida com o eixo coordenado
 Realizar a rotação em torno desse eixo
 Aplicar a translação inversa para levar o eixo de 
rotação à sua posição original
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ROTAÇÃO 3D GERAL
 Quando o eixo de rotação não for paralelo a um 
dos eixos coordenados
 Transladar o objeto para que o eixo de rotação 
passe na origem do sistema de coordenadas
 Rodar o objeto para que o eixo de rotação 
coincida com um dos eixos coordenados
 Realizar a rotação em torno desse eixo
 Aplicar a rotação inversa para levar o eixo de 
rotação a sua orientação original
 Aplicar a translação inversa para levar o eixo de 
rotação à sua posição original
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CISALHAMENTO 3D
cisalhamento em xy produz um cisalhamento no 
eixo z
1 0 0
0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x
y
sh
sh
 
 
 
 
 
 












1
z
y
x
SHxyP = 
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REFLEXÃO 3D
 Reflexão em torno dos planos xy, yz e xz
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
 
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
     
          
     
     
     
Plano xy Plano yz Plano xz
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COMPOSIÇÃO DE 
TRANSFORMAÇÃO 
 Composição em 3D
Transformando P1, P2 e P3 da posição inicial em (a) para a posição 
final em (b).
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SOLUÇÃO
Para resolver utilize a composição das 
primitivas de transformação T, Rx, Ry e Rz. i)Transladar P1 para a 
origem. 
ii) Rotacionar o segmento 
P1P2 em relação ao eixo y, 
de forma que ele (P1P2) fique 
no plano y-z.
iii) Rotacionar o segmento 
P1P2 em relação ao eixo x, 
de forma que ele (P1P2) fique 
sobre o eixo z.
iv) Rotacionar o segmento 
P1P3 em relação ao eixo z, 
de forma que ele (P1P3) fique 
no plano y-z.
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Robson Lins
Primeiro passo: Transladar P1
para a origem
 Aplicando T a P1, P2 e P3, temos:
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Segundo passo: Rotacionar em 
relação ao eixo Y
 O ângulo de rotação é -(90o - ) =  - 90o
 Substituindo os valores na matriz de rotação Ry
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Terceiro passo: Rotacionar em 
relação ao eixo X
 O ângulo de rotação é :
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Quarto passo: Rotacionar em 
relação ao eixo Z
 A rotação é dada pelo ângulo positivo :
z