Lista de Exercícios

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Universidade Federal do Ceara´
Campus de Sobral
Primeira Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I
Professor: Francisco Pereira Chaves
Aluno:
1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:
(a) f(3)
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x)
(d) 2f(x)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)
2. Dada g(x) = 3x2 − 4, encontre:
(a) g(−4)
(b) g(1
3
)
(c) g(x2)
(d) [g(x)]2
(e) g(3x2 − 4)
(f) g(x+ h)− g(x)
3. Encontre o domı´nio da func¸a˜o.
(a) f(x) =
x
3x− 1
(b) g(x) =
5x+ 4
x2 + 3x+ 2
(c) f(x) =
√
x+ 3
√
x
(d) f(x) =
1
4
√
x2 − 5x
4. Encontre as func¸o˜es f + g, f − g, f ·g e f/g, e determine o domı´nio de cada func¸a˜o
resultante.
(a) f(x) = x− 5; g(x) = x2 − 1
(b) f(x) =
√
x; g(x) = x2 + 1
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1; g(x) =
1
x
(d) f(x) = |x|; g(x) = |x− 3|
(e) f(x) =
1
x+ 1
; g(x) =
x
x− 2
(f) f(x) = x2; g(x) =
1√
x
5. Encontre as func¸o˜es f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g, e determine o domı´nio de cada func¸a˜o
composta.
(a) f(x) = x− 2; g(x) = x+ 7
(b) f(x) =
√
x; g(x) = x2 + 1
(c) f(x) =
1
x
; g(x) =
√
x
(d) f(x) =
√
x2 − 1; g(x) = √x− 1
(e) f(x) = x+
1
x
; g(x) =
x+ 1
x+ 2
(f) f(x) =
√
2x+ 3; g(x) = x2 + 1
6. Expresse as func¸o˜es dadas na forma f ◦ g.
(a) F (x) = (x2 + 1)10
(b) G(x) =
x2
x2 + 4
1
(c) H(x) =
1
x+ 3
7. Se g(x) = 2x + 1 e h(x) = 4x2 + 4x + 7, encontre uma func¸a˜o f tal que f ◦ g = h.
(Dica: Pense sobre quais operac¸o˜es deveriam ser feitas em g para chegar em h.)
8. Se f(x) = 3x+ 5 e h(x) = 3x2 + 3x+ 2, encontre uma func¸a˜o g tal que f ◦ g = h.
9. Se f e g forem func¸o˜es tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, enta˜o f e g sera˜o
func¸o˜es inversas. Mostre que f e g sa˜o func¸o˜es inversas.
(a) f(x) = 2x− 3 e g(x) = x+ 3
2
(b) f(x) =
1
x+ 1
e g(x) =
1− x
x
(c) f(x) = x2, x ≥ 0 e g(x) = √x
10. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o e desenhe um esboc¸o de seu gra´fico.
(a) f(x) = x2 − 1
(b) g(x) =
√
9− x2
(c) h(x) =
 −2 se x ≤ 32 se x > 3
(d) f(x) =

−4 se x ≤ 3
−1 se − 2 ≤ x ≤ 2
3 se x > 2
(e) g(x) =
 x2 − 4 se x 6= −3−2 se x = −3
(f) h(x) =
 x2 − 4 se x < 32x− 1 se x ≥ 3
(g) f(x) =

x+ 5 se x < −5
√
25− x2 se − 5 ≤ x ≤ 5
x− 5 se x > 5
11. Encontre a func¸a˜o composta f ◦ g e determine o seu domı´nio.
(a) f(x) = senx; g(x) = 3x
(b) f(x) = tgx; g(x) =
x
2
(c) f(x) = cos x; g(x) = x2
(d) f(x) = cosecx; g(x) = 2x
(e) f(x) = cotgx; g(x) =
1
x
(f) f(x) = sec
1
x
; g(x) =
1
x− pi
12. Considerando que lim
x→a
f(x) = L, dados f(x), a e L, determine um δ > 0 para o
valor de � dado, tal que: se 0 < |x− a| < δ, enta˜o |f(x)− L| < �.
(a) lim
x→3
(2x+ 4) = 10; � = 0, 01
(b) lim
x→3
x2 = 9; � = 0, 005
(c) lim
x→−1
(x2 + 4x+ 4) = 1; � = 0, 002
(d) lim
x→−2
x2 − 4
x+ 2
= −4; � = 0, 01
2
13. Prove que o limite e´ o nu´mero indicado, aplicando a definic¸a˜o.
(a) lim
x→2
7 = 7
(b) lim
x→1
(4x+ 3) = 7
(c) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 = 6
(d) lim
x→2
(x2 + 2x− 1) = 7
(e) lim
x→−3
(5− x− x2) = −1
(f) lim
x→1
(3 + 2x− x2) = 0
14. Encontre o limite usando os teoremas de limite.
(a) lim
x→5
(3x− 7)
(b) lim
x→2
(x2 + 2x− 1)
(c) lim
x→−2
(x3 + 8)
(d) lim
x→3
4x− 5
5x− 1
(e) lim
x→−1
2x+ 1
x2 − 3x+ 4
(f) lim
x→4
3
√
x2 − 3x+ 4
2x2 − x− 1
15. Encontre o limite.
(a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
(b) lim
x→1/3
3x− 1
9x2 − 1
(c) lim
x→4
3x2 − 8x− 16
2x2 − 9x+ 4
(d) lim
x→3/2
√
8x3 − 27
4x2 − 9
(e) lim
x→−1
√
x+ 5− 2
x+ 1
(f) lim
x→0
3
√
x+ 1− 1
x
16. Seja f a func¸a˜o definida por
f(x) =
 2x− 1 se x 6= 21 se x = 2
(a) Encontre lim
x→2
f(x) e mostre que lim
x→2
f(x) 6= f(2).
(b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
17. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f e encontre, se existir, os limites lim
x→a+
f(x),
lim
x→a−
f(x) e lim
x→a
f(x); se na˜o existir, indique a raza˜o disto.
(a) a = 1; f(x) =

2 se x < 1
−1 se x = 1
−3 se x > 1
(b) a = −4; f(x) =
 x+ 4 se x ≤ −44− x se x > −4
(c) a = 1; f(x) =

2x+ 3 se x < 1
4 se x = 1
x2 + 2 se x > 1
(d) a =
3
2
; f(x) = |2x− 3| − 4
3
18. Encontre o limite lateral.
(a) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
(b) lim
x→0−
√
3 + x2
x
(c) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
(d) lim
x→4−
√
16− x2
x− 4
(e) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x2
)
(f) lim
x→1+
x− 1√
2x− x2 − 1
19. Encontre a(s) ass´ıntota(s) vertical(is) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) =
1
x
(b) f(x) =
1
x2
(c) f(x) = − 1
x3
(d) f(x) =
−4
x− 5
(e) f(x) =
−2
(x+ 3)2
(f) f(x) =
1
x2 + 5x− 6
20. Encontre o limite no infinito.
(a) lim
x→−∞
6x− 4
3x+ 1
(b) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
(c) lim
x→+∞
2x2 − 3x
x+ 1
(d) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
(e) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
(f) lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 3
x+ 5
21. Encontre o limite . (Sugesta˜o: primeiro obtenha uma frac¸a˜o com um numerador
racional.)
(a) lim
x→+∞
(
√
x2 + 1− x)
(b) lim
x→+∞
(
√
3x2 + x− 2x)
(c) lim
x→+∞
( 3
√
x3 + 1− x)
22. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) =
2x+ 1
x− 3
(b) f(x) = 1 +
1
x2
(c) f(x) =
−3x√
x2 + 3
(d) f(x) =
4x2
x2 − 9
(e) f(x) =
−1√
x2 + 5x+ 6
(f) f(x) =
4x2√
x2 − 2
23. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da equac¸a˜o.
(a) 2xy + 4x− 3y + 6 = 0
(b) xy2 + 3y2 − 9x = 0
(c) (y2 − 1)(x− 3) = 6
(d) x2y − 2x2 − y − 2 = 0
4