Funções de várias variáveis - Lista 3

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Lista 3
Regra da Cadeia, vetor gradiente, derivada direcional e derivadas de parciais de ordens superiores.
Referências: PINTO D. e MORGADO, M. C. F.; Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis. GUIDORIZZI, H. L.; Um Curso de Cálculo. SWOKOWSKI, E.; Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. ANTON, H.; Cálculo, Um Novo Horizonte. Vol. 2.
Em cada um dos casos abaixo, determine 
 de dois modos: usando regra da cadeia; determinando a composta 
 e derivando em relação à variável t.
 
 
Resp.: 
 
Resp.: 
Seja 
 onde 
 e 
. Supondo f e g diferenciáveis, 
, 
 
 e 
 calcule 
.
Resp.: 
A voltagem V num circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR, para determinar como a corrente I está variando no momento em que 
, 
, 
 
 e 
.
Resp.: 
O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Num certo instante as dimensões da caixa são 
 e 
, e l e w estão aumentando a uma taxa de 
, ao passo que h está diminuindo à taxa de 
. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando:
a) O volume. Resp.: 
	b) O comprimento da diagonal. Resp.: 0
c) A área da superfície. Resp.: 
O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 pol/s, ao passo que sua altura está decrescendo a uma taxa de 2,5 pol/s. A que taxa o volume do cone está mudando quando o raio vale 120 pol e a altura 140 pol?
Resp.: 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Use a regra da cadeia para determinar 
 e 
 
.
Resp.: 
 e 
 
Resp.: 
 e 
Seja 
 uma função diferenciável tal que 
 para todo 
. Dizemos nesse caso que a função 
 é definida implicitamente pela equação 
. Mostre que 
, para todo 
, com 
Se uma equação 
 define implicitamente uma função diferenciável g de duas variáveis x e y, 
, mostre que 
 e 
.
Use o resultado obtido na Questão 7 para determinar 
 sabendo que a função 
 é definida implicitamente pela equação dada em cada item abaixo:
a) 
	Resp.: 
b) 
	Resp.: 
 
c) 
	Resp.: 
Use o resultado obtido na Questão 8 para determinar 
 e 
 sabendo que a função 
 é definida implicitamente pela equação dada em cada item abaixo:
	
Resp.: 
	
	
Resp.: 
	
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada por:
; 
.
Resp.: Plano tangente: 
 Reta tangente: 
 
.
Resp.: Plano tangente: 
 Reta tangente: 
Em cada item abaixo, encontre o gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o vetor gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto, usando um segmento localizado nesse ponto. Determine as equações das retas tangente e normal à curva de nível nesse ponto.
	a) 
 Resp.: 
 Curva de nível: 
	b) 
 Resp.: 
 Curva de nível: 
	c) 
 Resp.: 
 Curva de nível: 
	d) 
 Resp.: 
 Curva de nível: 
Determine as equações dos planos tangentes ao elipsóide 
 que são paralelos ao plano 
.
Resp.: 
 e 
Encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, nos seguintes casos:
; P0(1,1), u = (1, 3).	Resp.: 
 P0(2, -1), u = (3, 4).	Resp.: 
 P0(2, -1, 4), u = (1, 2, -3).	Resp.: 
 P0(1, 0, -1), u = (-1, 2, 2). Resp.: 
Seja 
 e u = (1, 1).
Calcule 
 usando a definição.	Resp.: 
Calcule 
. 	Resp.: 
.
Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes. 
Resp.: A função dada não é diferenciável em (0,0).
Determine o vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f em P nesta direção:
 P(-1, 1) 	Resp.: 
.
 P(0, 2).	Resp.: 
.
A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal no plano xy é dada por 
.
Determine a taxa de variação da temperatura em (1, 1) na direção e sentido do vetor u = (2, -1).
Resp.: 
Uma formiga em (1, 1) precisa andar na direção na qual a temperatura baixa mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Resp.: 
Calcule as derivadas parciais indicadas:
a) 
; fxx e fyx		Resp.: 
 e 
	 
 b) 
; 
 e 
	 Resp.: 
 e 
c)
; 
 e 
 Resp.: 
 e 
d) 
; gyy e gxy 		Resp.: 
 e 
Nem sempre as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais. Considere a função f dada por 
Mostre que 
.
Resp.: 
 
Dizemos que uma função de duas variáveis
 é harmônica quando 
. Uma função de três variáveis 
 é harmônica quando 
. Essas equações diferenciais parciais de segunda ordem são chamadas de Equações de Laplace.
Mostre que são harmônicas as seguintes funções:
a) 
	
Resp.: 
 e 
		
b) 
	
Resp.:
,
 
.
Seja 
. Mostre que 
.
Resp.: 
 e 
Verifique que 
 onde 
Resp.: 
 e 
Se 
, mostre que 
.
Resp.: 
�PAGE �
�PAGE �1�
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