Prova 2 de cálculo I

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I PERÍODO: 2013.1TURMA: 01 TURNO: MANHÃPROFESSOR: Diogo Germano DATA: 07/08/2013
RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 2
1. (a) Temos,
f ′(x) = (sen x)′ cos(1− x2)− sen x [cos(1− x2)]′cos2(1− x2)
= cos x cos(1− x2)− sen x [− sen(1− x2)](−2x)cos2(1− x2)
= cos x cos(1− x2) + 2x sen x [− sen(1− x2)]cos2(1− x2)
f ′(x) = cos xcos(1− x2) + 2x sen x sen(1− x2)cos2(1− x2) .
(b) Temos,
y′ = (e−x2)′ = e−x2 (−2x)
y′ = −2xe−x2 .
(c) Temos,
f ′(x) = (x)′(3x2 + 4)5 + x [(3x2 + 4)5]′= (3x2 + 4)5 + x [5(3x2 + 4)4] 6x= (3x2 + 4)5 + 30x2(3x2 + 4)4= (3x2 + 4)4 (3x2 + 4 + 30x2)f ′(x) = (33x2 + 4)(3x2 + 4)4.
(d) Temos,
y′ = [log5(5x − 2x2)]′ = 1(5x − 2x2) ln 5 (5− 4x)y′ = 5− 4x(5x − 2x2) ln 5 .
2. (a) Usando derivação implícita, temosddx (y2 − 1) = ddx [(x − 1)3]2ydydx = 3(x − 1)2dydx = 32 (x − 1)2y
Logo, dydx
∣∣∣∣(1,1) = 32 (1− 1)21 = 0.Portanto, a reta tangente em (1, 1) é horizontal, ou seja, sua equação é y = 1 e consequentementea equação da reta normal será x = 1.
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(b) Para determinar tais pontos, devemos ter dy/dx = 0, isto é,
32 (x − 1)2y = 0.
A equação anterior tem x = 1 como única solução. Substituindo este valor x na equação quedefine a curva, obtemos
y2 − 1 = (1− 1)3 ⇒ y2 = 1⇒ y = ±1.
Portanto, os pontos onde teremos tangente horizontal são (1, 1) e (1,−1).3. Usando derivação logarítmica, obtemos
lny = ln [x(x − 1)(x + 2)x2 + 1
]1/3 = 13 ln x(x − 1)(x + 2)x2 + 1
= 13 [ln x(x − 1)(x + 2)− ln(x2 + 1)]= 13 [ln x + ln(x − 1) + ln(x + 2)− ln(x2 + 1)]ddx (lny) = 13 ddx [ln x + ln(x − 1) + ln(x + 2)− ln(x2 + 1)]1y dydx = 13
(1x + 1x − 1 + 1x + 2 − 2xx2 + 1
)
dydx = y3
(1x + 1x − 1 + 1x + 2 − 2xx2 + 1
)
dydx = 13 3
√x(x − 1)(x + 2)x2 + 1
(1x + 1x − 1 + 1x + 2 − 2xx2 + 1
)
4. Usando derivação implícita, temos ddx (y2 − 3xy+ x2) = ddx (25)2ydydx − 3y− 3x dydx + 2x = 0(2y− 3x)dydx = 3y− 2xy′ = dydx = 3y− 2x2y− 3x .
Agora, derivando a última equação, obtemosddx (y′) = ddx 3y− 2x2y− 3x
= (3y′ − 2)(2y− 3x)− (3y− 2x)(2y′ − 3)(2y− 3x)2
= 3y′ − 22y− 3x − (3y− 2x)(2y′ − 3)(2y− 3x)2
= 12y− 3x
[3y′ − 2− (2y′ − 3)3y− 2x2y− 3x
]
d2ydx2 = 12y− 3x
[9y− 6x2y− 3x − 2−
(6y− 4x2y− 3x − 3
) 3y− 2x2y− 3x
] .
5. (a) A velocidade num instante t é v (t) = s′(t). Logo,
v (t) = s′(t) = (15 t2 + 8t
)′ = 25 t + 8
ou seja, v (2) = 25 · 2 + 8 = 45 + 8 = 445 .
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(b) Temos v (8) = 25 · 8 + 8 = 165 + 8 = 565 .(c) A aceleração em qualquer instante t é a(t) = v ′(t), isto é,
a(t) = v ′(t) = (25 t + 8
)′ = 25 .
BOA PROVA!!!
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