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Resumo 5 - Derivadas Parciais

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
 RESUMO 05 
 
Derivadas Parciais de 2ª ordem 
 
As derivadas parciais de 2ª ordem são obtidas 
derivando 
∂f
∂x
 e 
∂f
∂y
·, em relação à x ou à y, isto é 
possível, pois 
∂f 
∂x
 e 
∂f
 ∂y
 são funções, 
respectivamente, em x e em y. 
As derivadas parciais de 2ª ordem são 
indicadas utilizando um dos símbolos abaixo: 
 
● em relação à x: 
Dxx = fxx =
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(fx) 
 
● em relação à y: 
Dyy = fyy =
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
(fy) 
 
Importante: 
 
Podemos efetuar a diferenciação de fx em 
relação à y e dessa forma obtemos: (estas 
derivadas são chamadas de derivadas mistas) 
 
Dxy = fxy =
∂2f
∂y ∂x
=
∂
∂y
(fx) 
 
De forma análoga, podemos efetuar a 
diferenciação de fy em relação à x e dessa 
forma obtemos: 
 
Dyx = fyx =
∂2f
∂x ∂y
=
∂
∂x
(fy) 
 
 
Observação: 
 
Em geral, fxy ≠ fyx, mas quando a função é 
contínua a igualdade é verificada. 
 
Exemplo 
 
Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem de 
f(x, y) = x3y + xy4. 
 
Solução: 
 
●𝑓𝑥 = 3𝑥
2𝑦 + 𝑦4; 
 
●𝑓𝑦 = 𝑥
3 + 4𝑥𝑦3; 
 
●Dxx = fxx =
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(fx) = 6xy; 
 
●Dyy = fyy =
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
(fy) = 12xy
2; 
 
●Dxy = fxy =
∂2f
∂y ∂x
=
∂
∂y
(fx) = 3x
2 + 4y3; 
 
●Dyx = fyx =
∂2f
∂x ∂y
=
∂
∂x
(fy) = 3x
2 + 4y3. 
 
Note que como, f é contínua, fxy = fyx. 
 
 
 
 
 
2 
 
Exercícios de Sala 
 
1. Determine as derivadas parciais de 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦5 + 2𝑥4𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verifique se 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥 (este resultado 
também é conhecido como a conclusão do 
Teorema de Clairaut). 
a) 𝑢 = 𝑥4𝑦3 − 𝑦4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑢 = cos (𝑥2𝑦) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A temperatura em um ponto (x, y) de uma 
chapa de metal é dada por T(x, y) =
60
1+x2+y2
 , 
onde T é medido em ºC e x, y em metros. 
Determine a taxa de variação da temperatura no 
ponto (2,1) em (a) a direção x e (b) a direção y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Exercícios de Casa 
 
1. Determine as derivadas parciais de segunda 
ordem das seguintes funções: 
 
a-) f(x, y) = x2y + xy − √2 
 
b-) f(x, y) = cos (x4 + y2) 
 
c-) f(x, y) = ln (x2y) 
 
d-) f(x, y) =
x2
x+y
 
 
e-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥
4+5𝑦 
 
f-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑥 + 𝑒𝑦)6 
 
g-) f(x, y) = x. √y + x2y2 
 
h-) f(x, y) =
exy
x+y
 
 
i-) f(x, y) = ex. lny 
 
2. Determine as derivadas parciais de segunda 
ordem da função no ponto P dado. 
 
a-) f(x, y) = x. y + x2y2; P(-1,2) 
 
b-) f(x, y) = x. √y + y2; P(3,4) 
 
c-) f(x, y) = x. √y + √xy; P(0,9) 
 
d-) f(x, y) = √x2 + y2; P(4,9) 
 
e-) f(x, y) =
x3
y
; P(1,1) 
 
f-) f(x, y) = e2xln (2y); P(0,e) 
3. A energia cinética, K, de um objeto de massa 
m e velocidade v é dada por 
 
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 
 
Mostre que 
𝜕𝐾
𝜕𝑚
.
𝜕2𝐾
𝜕𝑣2
= 𝐾. 
 
4. Seja 𝑢 = (𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜑𝑡 + 𝜔)𝑠𝑒𝑛𝜑𝑥, com 
A, a, 𝜑 e 𝜔 constantes. Verifique que 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑎2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2

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