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1 UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo DERIVADA PARCIAIS RESUMO 06 Regra da Cadeia para funções de uma variável Seja y = f(g(t) uma função em que y = f(x) e x = g(t) são funções diferenciáveis, então: 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Exemplo Encontre 𝑑𝑦 𝑑𝑡 se y = (t + 3)2. Solução: | 𝑦 = 𝑥2 𝑥 = 𝑡 + 3 ⇔ | 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1 ⟺ dy dt = 2x. 1 = 2x = 2(𝑡 + 3) Regra da Cadeia para funções de duas variáveis 1º caso: seja z = f (x, y) uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t, então: dz dt = ∂z ∂x . dx dt + ∂z ∂y . dy dt Exemplo Determine dz dt se z = x2y onde x = sen(t) e y = cos(t). Solução: dz dt = ∂z ∂x . dx dt + ∂z ∂y . dy dt dz dt = 2xycos(t) + x2(−sent) dz dt = 2xycos(t) − x2sen(t) dz dt = 2sen(t)cos2(t) − sen3(t). 2º caso: seja z = f (x, y) uma função diferenciável de x e y, onde x = g (s, t) e y = h (s, t) são funções diferenciáveis de s e t, então: | | ∂z ∂s = ∂z ∂x . ∂x ∂s + ∂z ∂y . ∂y ∂s e ∂z ∂t = ∂z ∂x . ∂x ∂t + ∂z ∂y . ∂y ∂t Exemplo Determine ∂z ∂s sendo z = exy e x = st e y = s2t. Solução: 2 ∂z ∂s = ∂z ∂x . ∂x ∂s + ∂z ∂y . ∂y ∂s = exyt + ex2st ∂z ∂s = ests2t2 + est2st ∂z ∂s = est(s2t2 + 2st) Derivação Implícita 1º caso: Teorema da Função Implícita Seja F (x, y) = 0 uma função diferenciável definida implicitamente por y = f (x) que é também diferenciável, ou seja, F (x, f(x)) = 0. Então pelo 1º caso da Regra da Cadeia temos: ∂F ∂x . dx dx + ∂F ∂y . dy dx = 0 dy dx = − ∂F ∂x ∂F ∂y ⇔ dy dx = − Fx Fy (Fy ≠ 0) Exemplo Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 se 𝑥4 + 𝑦4 = 𝑥𝑦. Solução: Escrevemos a equação dada da seguinte forma: F(x, y) = x4 + y4 − xy sendo assim: dy dx = − Fx Fy = − 4x3 − y 4y3 − x 2º caso: Teorema da Função Implícita Seja z diferenciável dada implicitamente por z = f (x, y) por uma equação da forma F(x, y, z) = 0 em que F é diferenciável. Então pelo 2º caso da Regra da Cadeia temos: 𝜕𝐹 𝜕𝑥 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 . 𝜕𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝑥 . 1 + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 . 0 + 𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧 = − 𝐹𝑥 𝐹𝑧 ( 𝜕𝐹 𝜕𝑧 ≠ 0) Para encontrarmos 𝜕𝑧 𝜕𝑦 procedemos de maneira análoga a anterior e obtemos: 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧 = − 𝐹𝑦 𝐹𝑧 ( 𝜕𝐹 𝜕𝑧 ≠ 0) Exemplo Determine 𝜕𝑧 𝜕𝑦 se 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑧 = 3. Solução: Escrevemos a equação dada da seguinte forma: F(x, y, z) = x2 + y2 − 2xyz − 3 sendo assim: 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧 = 2𝑦 − 2𝑥𝑧 2𝑥𝑦 3 Exercícios de Sala 1-) Use a Regra da Cadeia para achar 𝑑𝑧 𝑑𝑡 da função 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 sendo x = sen(t) e 𝑦 = 𝑒𝑡. 2-) Use a regra da cadeia para achar 𝜕𝑧 𝜕𝑠 e 𝜕𝑧 𝜕𝑡 da função 𝑧 = 𝑒𝑟cos (𝜃), r=st e 𝜃 = √𝑠2 + 𝑡2 3-) Determine 𝜕𝑤 𝜕𝑟 e 𝜕𝑤 𝜕𝜃 quando r = 2 e 𝜃 = 𝜋 2 para w = xy + yz + zx e x = rcos(θ), y = rsen(θ)e z = rθ. 4-) Utilize o Teorema da Função Implícita para determinar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑥2 + 𝑦2. 4 5-) Utilize o Teorema da Função Implícita para determinar ∂z ∂x e ∂z ∂y de 𝑥2 + 2𝑦2 + 3𝑧2 = 1 7-) O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 4,6 cm/s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 6,5 cm/s. Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 300 cm e a altura é 350 cm. Exercícios de Casa Lista 3
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