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Resumo 6 - Derivadas Parciais

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1 
 
UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA PARCIAIS 
 RESUMO 06 
 
Regra da Cadeia para funções de uma 
variável 
 
Seja y = f(g(t) uma função em que y = f(x) e 
x = g(t) são funções diferenciáveis, então: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
Exemplo 
 
Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 se y = (t + 3)2. 
Solução: 
 |
𝑦 = 𝑥2
𝑥 = 𝑡 + 3
⇔ |
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1
⟺ 
dy
dt
= 2x. 1 = 2x = 2(𝑡 + 3) 
 
Regra da Cadeia para funções de duas 
variáveis 
 
1º caso: seja z = f (x, y) uma função 
diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) 
são funções diferenciáveis de t, então: 
 
dz
dt
=
∂z
∂x
.
dx
dt
+
∂z
∂y
.
dy
dt
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Determine 
dz
dt
 se z = x2y onde x = sen(t) 
e y = cos(t). 
Solução: 
dz
dt
=
∂z
∂x
.
dx
dt
+
∂z
∂y
.
dy
dt
 
dz
dt
= 2xycos(t) + x2(−sent) 
dz
dt
= 2xycos(t) − x2sen(t) 
dz
dt
= 2sen(t)cos2(t) − sen3(t). 
 
2º caso: seja z = f (x, y) uma função 
diferenciável de x e y, onde x = g (s, t) e y = h 
(s, t) são funções diferenciáveis de s e t, 
então: 
|
|
∂z
∂s
=
∂z
∂x
.
∂x
∂s
+
∂z
∂y
.
∂y
∂s
e
∂z
∂t
=
∂z
∂x
.
∂x
∂t
+
∂z
∂y
.
∂y
∂t
 
 
Exemplo 
 
Determine 
∂z
∂s
 sendo z = exy e x = st e 
y = s2t. 
 
Solução: 
2 
 
 
∂z
∂s
=
∂z
∂x
.
∂x
∂s
+
∂z
∂y
.
∂y
∂s
= exyt + ex2st 
∂z
∂s
= ests2t2 + est2st 
∂z
∂s
= est(s2t2 + 2st) 
 
Derivação Implícita 
 
1º caso: Teorema da Função Implícita 
 
Seja F (x, y) = 0 uma função diferenciável 
definida implicitamente por y = f (x) que é 
também diferenciável, ou seja, F (x, f(x)) = 0. 
Então pelo 1º caso da Regra da Cadeia 
temos: 
∂F
∂x
.
dx
dx
+
∂F
∂y
.
dy
dx
= 0 
dy
dx
= −
∂F
∂x
∂F
∂y
⇔
dy
dx
= −
Fx
Fy
 (Fy ≠ 0) 
Exemplo 
 
Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 se 𝑥4 + 𝑦4 = 𝑥𝑦. 
Solução: 
 
Escrevemos a equação dada da seguinte 
forma: 
F(x, y) = x4 + y4 − xy 
sendo assim: 
dy
dx
= −
Fx
Fy
= −
4x3 − y
4y3 − x
 
 
2º caso: Teorema da Função Implícita 
 
Seja z diferenciável dada implicitamente por 
z = f (x, y) por uma equação da forma 
F(x, y, z) = 0 em que F é diferenciável. Então 
pelo 2º caso da Regra da Cadeia temos: 
 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 0 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
. 1 +
𝜕𝐹
𝜕𝑦
. 0 +
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 0 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑧
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑧
 (
𝜕𝐹
𝜕𝑧
≠ 0) 
Para encontrarmos 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 procedemos de 
maneira análoga a anterior e obtemos: 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑧
= −
𝐹𝑦
𝐹𝑧
 (
𝜕𝐹
𝜕𝑧
≠ 0) 
 
Exemplo 
 
Determine 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 se 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑧 = 3. 
Solução: 
 
Escrevemos a equação dada da seguinte 
forma: 
F(x, y, z) = x2 + y2 − 2xyz − 3 
sendo assim: 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑧
=
2𝑦 − 2𝑥𝑧
2𝑥𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Exercícios de Sala 
 
1-) Use a Regra da Cadeia para achar 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 da 
função 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 sendo x = sen(t) e 
𝑦 = 𝑒𝑡. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) Use a regra da cadeia para achar 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
 
da função 𝑧 = 𝑒𝑟cos (𝜃), r=st e 𝜃 = √𝑠2 + 𝑡2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-) Determine 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
 e 
𝜕𝑤
𝜕𝜃
 quando r = 2 e 𝜃 =
𝜋
2
 
para w = xy + yz + zx e x = rcos(θ), y =
rsen(θ)e z = rθ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-) Utilize o Teorema da Função Implícita 
para determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑥2 + 𝑦2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
5-) Utilize o Teorema da Função Implícita 
para determinar 
∂z
∂x
 e 
∂z
∂y
 de 𝑥2 + 2𝑦2 + 3𝑧2 =
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-) O raio de um cone circular reto está 
aumentando em uma taxa de 4,6 cm/s 
enquanto sua altura está decrescendo em 
uma taxa de 6,5 cm/s. Em qual taxa o volume 
do cone está variando quando o raio é 300 
cm e a altura é 350 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Casa 
 
Lista 3

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