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Resumo 10 - Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

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1 
 
UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) 
 RESUMO 10 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
É uma equação que contém uma função 
desconhecida e algumas de suas derivadas. As 
equações diferenciais são classificadas de 
acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. 
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) 
contém somente derivadas ordinárias de uma 
ou mais variáveis dependentes. 
A EDO é linear se cada coeficiente 
dependente apenas da variável independente x 
e a potência de cada termo envolvendo y é 1, 
caso contrário a EDO é não-linear. 
A EDO linear pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ ⋯ + a0(x)y = g(x) 
 
Veja alguns exemplos: 
 
a) Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª 
ordem: 
● xy′ + y = 2x (linear) 
● y′ + 4 = x (linear) 
● y′ + y2 = lnx (não linear) 
 
b) Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª 
ordem: 
● 2𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦3 = 0 (não linear) 
● 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥 (linear) 
● 𝑦𝑦′ + 𝑦′′ = 0 (não linear) 
 
A equação que envolve as derivadas 
parciais de uma ou mais variáveis dependentes 
de duas ou mais variáveis independentes é 
chamada de Equação Diferencial Parcial (EDP). 
Veja alguns exemplos: 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 
 
𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑢 
 
Neste curso estudaremos as EDOs. 
 
Exercícios de Aula 
 
1-) Mostre que y = x − x−1 é uma solução da 
equação diferencial xy′ + y = 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2-) Para quais valores de r a função y = erx 
satisfaz a equação diferencial 
2𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verificar se as funções a) y = sen(x) e b) 
y = −
1
2
xcos(x) são soluções de y′′ + y =
sen(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-) Uma população é modelada pela equação 
diferencial 
dP
dt
= 1,2P(1 −
P
4200
) 
a) Para quais valores de P a população está 
aumentando? 
b) Para quais valores de P a população está 
diminuindo? 
c) Quais são as soluções de equilíbrio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variáveis Separáveis 
 
Definição: Uma equação diferencial da forma 
)(
)(
yg
xf
dx
dy

 é chamada separável ou tem 
variáveis separáveis. 
 
Método de Resolução 
 
Seja a equação 
)(
)(
yg
xf
dx
dy

 onde 
)(xf
 e 
)(yg
 
são definidas em intervalos abertos 
1I
 e 
2I
, 
respectivamente, com 
)(xf
 contínua em 
1I
 e 
)(yg
contínua em 
2I
. 
Então às soluções não constantes de 
)(
)(
yg
xf
dx
dy

 
são: 
 
 dxxfdyyg
yg
xf
dx
dy
)()(
)(
)(
 
 
3 
 
kxFyGdxxfdyyg   )()()()(
 
 
Exemplo 
 
Resolva a equação 
0)1(  ydxdyx
. 
 
Solução: 
 
 ydxdyxydxdyx )1(0)1(
 
  



)1()1( x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
 

 kx
eykxy
1ln
1lnln
 
 kxyexy k )1(.1 kxy )1( 
 
 
Exercícios de Aula 
 
Resolva as seguintes equações diferenciais: 
1-) y′ = x2y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) xy2y′ = x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-)(y + seny)y′ = x + x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-)
dP
dt
= t2p − p + t2 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
5-)
dy
dx
=
x
y
, 𝑦(0) = −3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6-)
du
dt
=
2t+sec2(t)
2u
, 𝑢(0) = −5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trajetórias Ortogonais 
 
Definição: Duas curvas C1e C2 são ortogonais 
em um ponto se, e somente se, suas retas 
tangentes r e s forem perpendiculares no ponto 
de intersecção. Observe o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 
 
Na figura a seguir as curvas C1: y = x
3 e 
C2: x
2 + 3y2 = 4 se encontram nos pontos A 
(1,1) e B (-1, -1). Estas curvas são ortogonais 
nestes pontos, pois suas retas tangentes são 
perpendiculares: r ⊥ s e u ⊥ v. 
 
 
 
Definição: Quando todas as curvas de uma 
família G(x, y, c1) = 0 interceptam 
ortogonalmente todas as curvas de outra família 
H(x, y, c2) = 0, então dizemos que as famílias 
são trajetórias ortogonais uma da outra. 
 
Exemplo 
 
A figura a seguir mostra que a família de retas 
𝑦 = 𝑐1𝑥 e a família de circunferências 𝑥
2 + 𝑦2 =
𝑐2 são famílias de trajetórias ortogonais. 
5 
 
 
 
Exercícios de Aula 
 
Encontre as trajetórias ortogonais da família de 
curvas. Usando o geogebra, desenhe vários 
membros de cada família na mesma tela. 
1-) 𝑥2 + 2𝑦2 = 𝑘2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-)𝑦 =
𝑘
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Exercícios de Casa 
 
1.Resolva as seguintes equações de variáveis 
separáveis: 
a) 
42  x
dx
dy
 
b) 
0/  yxy
 
c) 
0secsec  xdytgyydxtgx
 
d) 
0)1)(1( 22  xdydxyx
 
e) 
ydxdyx  )1(
 
f) 
0)1( 2  ydxxxdy
 
g) 
02  xydydxx
 
h) 
0 ysenx
dx
dy
 
 
2. Resolva 
 
a) 
xt
dt
dx

 
b) 
2y
dx
dy

 
c) 
12  x
dx
dy
 
d) 
vv
dt
dv
 2
 
e) 
2u
v
dv
du

 
)0( u
 
f) 
24 v
dt
dv

 
 
3. O coeficiente angular da reta tangente, no 
ponto de abscissa x, ao gráfico de 
)(xfy 
, é 
proporcional ao cubo da ordenada do ponto de 
tangência. Sabendo que 
1)0( f
 e 
2
1
)1( f
, 
determine 
.f
 
 
4. Um corpo de massa 10 kg é abandonado a 
uma certa altura. Sabe-se que às únicas forças 
atuando sobre ele são o seu peso e uma força 
de resistência proporcional a velocidade. 
Admitindo-se que 1 segundo após ter sido 
abandonado a sua velocidade é de 10 m/s, 
determine a velocidade no instante t ( suponha 
a aceleração da gravidade igual a 
2/10 sm
. 
 
5. Um capital 
)(tCC  t(
em anos
)
está 
crescendo a uma taxa 
dt
dC
 proporcional a 
C
. 
Sabe-se que o valor do capital no instante 
0t
 
era de R$ 20 000,00 e 1 ano após 
R$ 60 000,00. Determine o valor do capital 
daqui a 4 anos.

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