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1 UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) RESUMO 10 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS É uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. A Equação Diferencial Ordinária (EDO) contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes. A EDO é linear se cada coeficiente dependente apenas da variável independente x e a potência de cada termo envolvendo y é 1, caso contrário a EDO é não-linear. A EDO linear pode ser escrita da seguinte forma: an(x) dny dxn + an−1(x) dn−1y dxn−1 + ⋯ + a0(x)y = g(x) Veja alguns exemplos: a) Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem: ● xy′ + y = 2x (linear) ● y′ + 4 = x (linear) ● y′ + y2 = lnx (não linear) b) Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª ordem: ● 2𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦3 = 0 (não linear) ● 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥 (linear) ● 𝑦𝑦′ + 𝑦′′ = 0 (não linear) A equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial Parcial (EDP). Veja alguns exemplos: 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑢 Neste curso estudaremos as EDOs. Exercícios de Aula 1-) Mostre que y = x − x−1 é uma solução da equação diferencial xy′ + y = 2x. 2 2-) Para quais valores de r a função y = erx satisfaz a equação diferencial 2𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦 = 0. 3) Verificar se as funções a) y = sen(x) e b) y = − 1 2 xcos(x) são soluções de y′′ + y = sen(x). 4-) Uma população é modelada pela equação diferencial dP dt = 1,2P(1 − P 4200 ) a) Para quais valores de P a população está aumentando? b) Para quais valores de P a população está diminuindo? c) Quais são as soluções de equilíbrio? Variáveis Separáveis Definição: Uma equação diferencial da forma )( )( yg xf dx dy é chamada separável ou tem variáveis separáveis. Método de Resolução Seja a equação )( )( yg xf dx dy onde )(xf e )(yg são definidas em intervalos abertos 1I e 2I , respectivamente, com )(xf contínua em 1I e )(yg contínua em 2I . Então às soluções não constantes de )( )( yg xf dx dy são: dxxfdyyg yg xf dx dy )()( )( )( 3 kxFyGdxxfdyyg )()()()( Exemplo Resolva a equação 0)1( ydxdyx . Solução: ydxdyxydxdyx )1(0)1( )1()1( x dx y dy x dx y dy kx eykxy 1ln 1lnln kxyexy k )1(.1 kxy )1( Exercícios de Aula Resolva as seguintes equações diferenciais: 1-) y′ = x2y. 2-) xy2y′ = x + 1 3-)(y + seny)y′ = x + x3 4-) dP dt = t2p − p + t2 − 1 4 5-) dy dx = x y , 𝑦(0) = −3 6-) du dt = 2t+sec2(t) 2u , 𝑢(0) = −5 Trajetórias Ortogonais Definição: Duas curvas C1e C2 são ortogonais em um ponto se, e somente se, suas retas tangentes r e s forem perpendiculares no ponto de intersecção. Observe o seguinte exemplo. Exemplo Na figura a seguir as curvas C1: y = x 3 e C2: x 2 + 3y2 = 4 se encontram nos pontos A (1,1) e B (-1, -1). Estas curvas são ortogonais nestes pontos, pois suas retas tangentes são perpendiculares: r ⊥ s e u ⊥ v. Definição: Quando todas as curvas de uma família G(x, y, c1) = 0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família H(x, y, c2) = 0, então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Exemplo A figura a seguir mostra que a família de retas 𝑦 = 𝑐1𝑥 e a família de circunferências 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑐2 são famílias de trajetórias ortogonais. 5 Exercícios de Aula Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas. Usando o geogebra, desenhe vários membros de cada família na mesma tela. 1-) 𝑥2 + 2𝑦2 = 𝑘2 2-)𝑦 = 𝑘 𝑥 6 Exercícios de Casa 1.Resolva as seguintes equações de variáveis separáveis: a) 42 x dx dy b) 0/ yxy c) 0secsec xdytgyydxtgx d) 0)1)(1( 22 xdydxyx e) ydxdyx )1( f) 0)1( 2 ydxxxdy g) 02 xydydxx h) 0 ysenx dx dy 2. Resolva a) xt dt dx b) 2y dx dy c) 12 x dx dy d) vv dt dv 2 e) 2u v dv du )0( u f) 24 v dt dv 3. O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gráfico de )(xfy , é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que 1)0( f e 2 1 )1( f , determine .f 4. Um corpo de massa 10 kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que às únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional a velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 10 m/s, determine a velocidade no instante t ( suponha a aceleração da gravidade igual a 2/10 sm . 5. Um capital )(tCC t( em anos ) está crescendo a uma taxa dt dC proporcional a C . Sabe-se que o valor do capital no instante 0t era de R$ 20 000,00 e 1 ano após R$ 60 000,00. Determine o valor do capital daqui a 4 anos.
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