Soluções Lista 1 - Álgebra linear - Leandro Farina

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Resoluc¸a˜o da Lista 1
• Questa˜o 1 : Montando a matriz completa e escalonando, temos: 2 −3 4 −121 −2 1 −5
3 1 2 1
 L1 ⇔ L2
 1 −2 1 −52 −3 4 −12
3 1 2 1
 L2 ⇐ L2 − 2L1
L3 ⇐ L3 − 3L1 1 −2 1 −50 1 2 −2
0 7 −1 16
 L3 ⇐ L3 − 7L2
 1 −2 1 −50 1 2 −2
0 0 −15 30

Fazendo os ca´lculos, obtemos x = 1, y = 2 e z = −2.
• Questa˜o 2 : Os valores de h e t para que o sistema:
a) tenha exatamente uma soluc¸a˜o. Escalonando a matriz, temos,[
2 −1 5
4 h t
]
L2 ⇐ L2 − 2L1
[
2 −1 5
0 h+ 2 t− 10
]
Para que o sistema tenha uma u´nica soluc¸a˜o, h+2 deve ser diferente de zero e t+10 deve ser igual a zero.
Assim
h+ 2 6= 0⇒ h 6= −2 e t− 10 = 0⇒ t = 10
b) infinitas soluc¸o˜es.
Para que o sistema tenha infinitas soluc¸o˜es, h+2 deve ser igual a zero e t+10 tambe´m deve ser igual a zero.
Assim,
h+ 2 = 0⇒ h = −2 e t− 10 = 0⇒ t = 10
c) nenhuma soluc¸a˜o. Para que o sistema tenha nenhuma soluc¸a˜o, h+2 deve ser igual de zero e t+10 deve
ser diferente de zero. Assim
h+ 2 = 0⇒ h = −2 e t− 10 6= 0⇒ t 6= 10
Apenas uma combinac¸o˜es de valores de h e t pode ser relacionada, h = −2 e t = 10.
• Questa˜o 3 : Escrevendo b como combinac¸a˜o linear de v1, v2, e v3, temos:
c1v1 + c2v2 + c3v3 = b ⇒
 c1 − 4c2 + 2c30c1 + 3c2 + 5c3
−2c1 + 8c2 − 4c3
 =
 2−1
6

Assim podemos montar a matriz completa do sistema e escalonar para verificar se b pode ser gerado por
v1, v2, e v3.  1 −4 2 20 3 5 −1
−2 8 −4 6
 L3 ⇐ L3 + 2L1
 1 −4 2 20 3 5 −1
0 0 0 10

Como podemos verificar, o sistema e´ imposs´ıvel. Desse modo, temos que b na˜o pode ser escrito como
bombinac¸a˜o linear,ou seja, b na˜o pode ser gerado por v1, v2, e v3.
• Questa˜o 4 : Temos
Ax = b =⇒
 1 2 32 −3 2
3 1 −1
 1−2
3
 =
 614
−2
 .
Pela definic¸a˜o da pa´gina 36 (2a ed.) e pa´gina 28 (4a ed.), temos
1
 12
3
+ (−2)
 2−3
1
+ 3
 32
−1
 =
 614
−2

que expressa o vetor b como combinac¸a˜o linear das colunas de A.
• Questa˜o 5 : Teorema 6 (Sec¸a˜o 1.5): Suponha que a equac¸a˜o Ax = b seja poss´ıvel para algum b e seja
p uma soluc¸a˜o. Enta˜o o conjunto soluc¸a˜o de Ax = b e´ o conjunto de todos os vetores da forma w = p + vh,
onde vh e´ qualquer soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea Ax = 0.
Assim, a soluc¸a˜o geral de Ax = b, para este caso e´
w = t(2, 3,−5) + (0, 3, 8); t ∈ R,
onde (0, 3, 8) e´ uma soluc¸a˜o particular de Ax = b e t(2, 3,−5) representa a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o ho-
mogeˆnea Ax = b.
• Questa˜o 6 :
a) Criando uma matriz A que tem como colunas os vetores dados e escalonado, temos:
A =
 0 2 21 −5 0
−2 7 h
 ∼
 1 −5 00 1 1
0 0 h+ 3

Para que uma matriz tenha vetores LI, o sistema Ax = b deve admitir somente a soluc¸a˜o trivial. Logo temos
que a matriz A deve possuir pivoˆ em todas as suas colunas. Desse modo temos que h deve ser diferente de
−3, ou seja,
h+ 3 6= 0⇔ h 6= −3
Se h = −3, teremos uma linha so´ de zeros, o que implica em infinitas soluc¸o˜es para o problema. Assim,
para que os vetores sejam LI, h deve ser diferente de −3.
b) Montando a matriz que tem como colunas os vetores dados, temos: 1 4 −2 37−5 pi 4 h√
56 7 6 1, 2345

Nesse caso temos que a matriz nunca tera´ vetores-coluna LI, pois ha´ mais vetores do que componentes em
cada vetor. Desse modo, na˜o importa o valor de h que tomarmos, pois os vetores continuara˜o LD. Assim
na˜o existe valor de h que torne o sistema LI. Isso tambe´m pode ser justificado pelo teorema visto que afirma
que p vetores em Rn sa˜o LD se p > n.
• Questa˜o 7 : Usando o fato de T ser linear, vamos calcular 3u, 2v, 3u + 2v
T (3u) = 3T (u) = 3
[
5
0
]
=
[
15
0
]
T (2v) = 2T (v) = 2
[ −3
1
]
=
[ −6
2
]
T (3u + 2v) = T (3u) + T (2v) = 3T (u) + 2T (v) =
[
15
0
]
+
[ −6
2
]
=
[
9
2
]
• Questa˜o 8 : Seja T uma transformada linear definida por
T (x) = T (x1, x2, x3) = (x1 − 4x2 + 3x3,−x1 − 5x3, 4x1 + 2x2 − 3x3).
Assim, temos
T (x) = T (x1, x2, x3) =
 x1 −4x2 3x3−x1 0x2 −5x3
4x1 2x2 −3x3
 =
 1 −4 3−1 0 −5
4 2 −3
 x1x2
x3
 = Ax
Escalonando a matriz A, temos:  1 −4 3−1 0 −5
4 2 −3
 ∼
 1 −4 30 2 −1
0 0 −8

Sabemos que T : R3 ⇒ R3 e´ uma transformada linear e que A e´ a matriz canoˆnica para T . Desse modo,
temos que T e´ injetora (pivoˆs em todas as colunas), pois as colunas de A sa˜o LI, e temos tambe´m que T e´
sobrejetora (pivoˆs em todas as linhas) pelo fato de as colunas de A gerarem o R3.
• Questa˜o 9 : Pelo Teorema 3 (item d) da Sec¸a˜o 2.1 (segunda e quarta edic¸o˜es) , temos:
(AB)T = BT ·AT (1)
Calculando BT , temos
BT =
[
1 12
3 1
]
.
Usando (1),
BT ·AT =
[
1 12
3 1
] [
1 0
2 −1
]
=
[
1 + 1 0− 12
3 + 2 0− 1
]
=
[
2 −12
5 −1
]