álgebra de Boole

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Álgebra de BooleÁlgebra de Boole
ProfProfªª Jocelma Rios Jocelma Rios
Out/2012
George Simon Boole George Simon Boole 
(1815-1864)(1815-1864)
O criador da O criador da 
álgebra dos álgebra dos 
circuitos digitaiscircuitos digitais
 
O que pretendemos:O que pretendemos:
● Contar um pouco sobre a história da Álgebra, 
especialmente a Álgebra de Boole
● Mostrar a relação entre a Álgebra de Boole e 
a Computação Digital
● Apresentar as possíveis variáveis da Álgebra 
Booleana, seus operadores fundamentais e os 
secundários
● Apresentar os postulados e alguns teoremas 
da Álgebra Booleana
● Refletir sobre a relação entre a Lógica 
Formal, a Álgebra Booleana e a lógica de 
Programação
 
Um pouco de históriaUm pouco de história
● A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos 
circuitos lógicos e funciona baseada em 
princípios da lógica formal, uma área de estudo 
da filosofia.
● Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi 
Aristóteles (384-322 AC), que publicou um 
tratado sobre o tema denominado 
"De Interpretatione". 
 
Um pouco de históriaUm pouco de história
● Boole percebeu que poderia estabelecer um 
conjunto de símbolos matemáticos para 
substituir certas afirmativas da lógica formal. 
Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho 
“Uma Análise Matemática da Lógica”
● Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de 
Mestrado no MIT) que o trabalho de Boole 
poderia ser utilizado para descrever a operação 
de sistemas de comutação telefônica. As 
 observações de Shannon foram divulgadas em 
 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de 
 Relés e Circuitos de Comutação".
A Álgebra de BooleÁlgebra de Boole é um sistema matemático 
composto por operadores, regras, postulados 
e teoremas. 
- Usa funções e variáveis, como na álgebra 
convencional, que podem assumir apenas um dentre 
dois valores, zero (0) ou um (1). 
- Trabalha com dois operadores, o operador AND, 
simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado 
por (+). O operador AND é conhecido como produto 
lógico e o operador OR é conhecido como soma 
lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, 
às operações de interseção e união da teoria dos 
conjuntos. 
DefiniçãoDefinição
As variáveis booleanas são representadas 
por letras maiúsculas, A, B, C,... e as 
funções pela notação f(A,B,C,D,...)
OperadoresOperadores
Operador AND (interseção)
q
Definição: A operação lógica AND entre duas ou 
mais variáveis somente apresenta resultado 1 
se todas as variáveis estiverem no estado 
lógico 1. 
Símbolo Lógico:
 Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
FundamentaisFundamentais
Operador OR (união)
Definição: A operação lógica OR entre duas ou 
mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo 
menos uma das variáveis estiver no estado 
lógico 1. 
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
FundamentaisFundamentais
Operador NOT (inversor)
Definição: A operação de complementação de uma 
variável é implementada através da troca do 
valar lógico da referida variável. 
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
FundamentaisFundamentais
Operador NAND
Definição: A operação lógica NAND entre duas ou 
mais 
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
secundáriossecundários
Operador NOR
Definição: A operação lógica NOR entre duas ou 
mais variáveis somente apresenta resultado 1 
se todas as variáveis estiverem no estado 
lógico 0. 
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
secundáriossecundários
Operador XOR (OU exclusivo)
Definição: A operação lógica XOR entre duas 
variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e 
somente uma das duas variáveis estiver no 
estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis 
estiverem em estados lógicos diferentes).
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
secundáriossecundários
Operador XNOR (negativo de OU exclusivo)
Definição: A operação lógica XNOR entre duas 
variáveis A e B apresenta resultado 1 se e 
somente se as duas variáveis estiverem no 
mesmo estado lógico.
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Operadores Booleanos 
secundáriossecundários
Postulados da Álgebra de Boole
O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação 
com a teoria dos conjuntos 
Postulados da Álgebra de Postulados da Álgebra de 
BooleBoole
Postulados da Álgebra de Postulados da Álgebra de 
BooleBoole
O significado dos O significado dos 
postulados pode ser postulados pode ser 
entendido facilmente entendido facilmente 
se fizermos se fizermos 
associação com a associação com a 
Teoria dos ConjuntosTeoria dos Conjuntos
Teoremas da Álgebra de BooleTeoremas da Álgebra de Boole
Teoremas da Álgebra de BooleTeoremas da Álgebra de Boole
Funções booleanas Funções booleanas vs. vs. 
circuitos lógicoscircuitos lógicos
Funções booleanas Funções booleanas vs. vs. 
circuitos lógicoscircuitos lógicos
S = A.B.C + B.C + A.C
Funções booleanas Funções booleanas vs. vs. 
circuitos lógicoscircuitos lógicos
F = (((A+B).D)+(A.D))+ (D.(B.C))
 
Simplificação de funçõesSimplificação de funções
S = A.B.C + A.C + A.B
S = A(B.C + C + B) → Distributiva
S = A(B.C + C.B) → De Morgan
S = A.1 → Complementar
S = A
 
Simplificação de funçõesSimplificação de funções
F = A.B + A.B + A.B
F = A.B + A.B + A.B → Comutativa
F = B(A + A) + A.B → Distributiva
F = B.1 + A.B → Complementar
F = (B + A).(B + B) → Distributiva
F = (B + A).1 → Complementar
F = (B.A) → De Morgan
 
Para refletir...Para refletir...
Como é possível utilizar a 
Álbebra de Boole para 
executar funções tão 
complexas como as que são 
executadas por um sistema 
operacional no 
gerenciamento de processos?
 
ReferênciasReferências
● BASTOS, S. Sistemas Digitais I. Disponível em: 
<http://pt.scribd.com/doc/50293193/7/ALGEBRA-DE-
BOOLE-E-PORTAS-LOGICAS>. Acesso em: 02 out. 2012. 
● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão 
abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.
● FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à 
Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira 
Thompson Learning, 2003.
 
Vídeos sugeridosVídeos sugeridos
● Funções booleanas e portas lógicas – Parte I
– www.youtube.com/watch?v=fyPAX7gpUmg
● Funções booleanas e portas lógicas – Parte II
– www.youtube.com/watch?v=f9j3BMiAmsQ
● Matemática discreta – circuitos lógicos
– www.youtube.com/watch?v=g0Tfc1Lf3bY
● Álgebra Booleana - USP - Introdução e Motivação
– www.youtube.com/watch?v=Oopy6AqRs-I
 
Vídeos sugeridosVídeos sugeridos
● Eletônica Digital - Aula 22 – (Introd. às Portas Lógicas - 
Porta NOT)
– www.youtube.com/watch?v=Afh8wmTUoVc
● Eletrônica Digital - Aula 23 - (Porta Lógica NOT - 
Continuação)
– www.youtube.com/watch?v=HHUAm-9e9xY
● Eletrônica Digital - Aula 24 - (Porta NOT - circuitos com 
várias portas lógicas)
– www.youtube.com/watch?v=iI6cVVPa1k4
● Eletrônica Digital - Aula 25 - (Correção exercicios - Porta 
NOT)
– www.youtube.com/watch?v=PtJHxPtGnbI
 
Vídeos sugeridosVídeos sugeridos
● Eletrônica Digital - Aula 26 - (Porta E/AND)
– www.youtube.com/watch?v=TBaQkG-hrpI
● Eletrônica Digital - Aula 27 - (Porta E/AND - Resolução de 
exemplos)
– www.youtube.com/watch?v=v0dmvbkWGBg
● Eletrônica Digital - Aula 28 (Circuitos com Porta E/NOT, 
Expressão e tabela-verdade)
– www.youtube.com/watch?v=naVeL9WwsmQ
● Eletrônica Digital - Aula 29 (Porta OU/OR)
– www.youtube.com/watch?v=gnopBvdG_Qk
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