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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. Com base nestas funções, analise as afirmativas: I. A função f:Z→Z dada por f(x)=−x é um homomorfismo. II. Para o homomorfismo f:Z→R dado por f(x)=x, temos N(f)={0} e Im(f)=Z. III. A função f:R×R→M2(R) definida por f(a,b)=(a00b) é um homomorfismo. São corretas as afirmativas: A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 2/10 - Estrutura Algébrica Considere (A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: (i) se a,b∈B, então a+b∈B e a⋅b∈B; (ii) (B,+,⋅) é um anel. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) Com as operações usuais, Z é um subanel de R. II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z} é subanel de Z. III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}é subanel de Z. Agora, marque a sequência correta: A V, V, V. B V, F, V. C V, V, F. D V, F, F. E F, V, V. Questão 3/10 - Estrutura Algébrica A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. Sobre esta noção, é correto afirmar A Z é ideal de Q. B Z é ideal de R. C Q é ideal de R. D J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R). E 2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z. Questão 4/10 - Estrutura Algébrica Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅), em que +e ⋅ denotam as operações usuais em Z, assinale a alternativa correta: A Para todo a∈Z, vale a⋅0≠0. B A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z. C O elemento 2∈Z possui inverso multiplicativo em Z. D O anel (Z,+,⋅) possui divisores de zero. E (Z,+,⋅) é corpo. Questão 5/10 - Estrutura Algébrica Assinale a alternativa correta: A O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios. B A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa. C A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação. D O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios. E O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero. Questão 6/10 - Estrutura Algébrica Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas, assinale a alternativa correta: A B={x∈Q; x∉Z}é subanel de Q. B Z é um ideal de Q. C B={[abc0]∈M2(R)}é subanel de M2(R). D I={f:R→R; f(0)=0}é ideal do anel das funções F(R,R). E Se II é um ideal do anel (A,+,⋅), então II é subanel de (A,+,⋅). Questão 7/10 - Estrutura Algébrica No conjunto dos números inteiros Z, defina as operações: a∗b=a+b e a△b=0. Com base neste conjunto com estas operações, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) (Z,∗,△) é um anel. II. ( ) (Z,∗,△) é um anel unitário. III. ( ) (Z,∗,△) possui divisores de zero. Agora, marque a sequência correta: A V, V, V. B V, F, V. C V, V, F. D V, F, F. E F, V, V. Questão 8/10 - Estrutura Algébrica Assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio p(x)=x4−3x3+6x2 pelo polinômio q(x)=x2−3x+5: A r(x)=3x−5. B r(x)=3x+5. C r(x)=2x−5. D r(x)=2x+5. E r(x)=x−5. Questão 9/10 - Estrutura Algébrica Considere os polinômios f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Com base em p(x) e em q(x), analise as afirmativas: I. O polinômio f(x) é unitário. II. O grau do polinômio g(x) é 1. III. O quociente da divisão do polinômio f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é q(x)=2x2+x+8. São corretas as afirmativas: A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 10/10 - Estrutura Algébrica Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico: A p(x)=3x3+2x2+3. B p(x)=2x2−3√x+2. C p(x)=2x5−3x3/2+2. D p(x)=2x4+√3x+3. E p(x)=x3−3x22+√2.
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