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APOL Estrutura Algebrica (1)

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. Com base nestas funções, analise as afirmativas:
I. A função f:Z→Z dada por f(x)=−x é um homomorfismo.
II. Para o homomorfismo f:Z→R dado por f(x)=x, temos N(f)={0} e Im(f)=Z.
III. A função f:R×R→M2(R) definida por f(a,b)=(a00b) é um homomorfismo.
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere (A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈B, então a+b∈B e a⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, Z é um subanel de R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z} é subanel de Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k∈Z}é subanel de Z.
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. Sobre esta noção, é correto afirmar
	
	A
	Z é ideal de Q.
	
	B
	Z é ideal de R.
	
	C
	Q é ideal de R.
	
	D
	J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).
	
	E
	2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅), em que +e ⋅ denotam as operações usuais em Z, assinale a alternativa correta:
	
	A
	Para todo a∈Z, vale a⋅0≠0.
	
	B
	A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é 
válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.
	
	C
	O elemento 2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.
	
	D
	O anel (Z,+,⋅) possui divisores de zero.
	
	E
	(Z,+,⋅) é corpo.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas, assinale a alternativa correta:
	
	A
	B={x∈Q; x∉Z}é subanel de Q.
	
	B
	Z é um ideal de Q.
	
	C
	B={[abc0]∈M2(R)}é subanel de M2(R).
	
	D
	I={f:R→R; f(0)=0}é ideal do anel das funções F(R,R).
	
	E
	Se II é um ideal do anel (A,+,⋅), então II é subanel de (A,+,⋅).
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
No conjunto dos números inteiros Z, defina as operações: a∗b=a+b e a△b=0. Com base neste conjunto com estas operações, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) (Z,∗,△) é um anel.
II. (   ) (Z,∗,△) é um anel unitário.
III. (   ) (Z,∗,△) possui divisores de zero.
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio p(x)=x4−3x3+6x2 pelo polinômio q(x)=x2−3x+5: 
	
	A
	r(x)=3x−5.
	
	B
	r(x)=3x+5.
	
	C
	r(x)=2x−5.
	
	D
	r(x)=2x+5.
	
	E
	r(x)=x−5.
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Considere os polinômios f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Com base em p(x) e em q(x), analise as afirmativas:
I. O polinômio f(x) é unitário.
II. O grau do polinômio g(x) é 1.
III. O quociente da divisão do polinômio f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é q(x)=2x2+x+8.
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.	
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico:
	
	A
	p(x)=3x3+2x2+3.
	
	B
	p(x)=2x2−3√x+2.
	
	C
	p(x)=2x5−3x3/2+2.
	
	D
	p(x)=2x4+√3x+3.
	
	E
	p(x)=x3−3x22+√2.