Noções de cálculo vetorial

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1 Noções de cálculo vetorial
1.1 Campo vetorial
Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano
associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o
comportamento de um ‡uido, um campo eletromagnético etc. Em coordenadas
cartesianas um campo F pode ser dado por suas componentes
F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x^+ Fy (x; y; x) y^ + Fz (x; y; x) z^ :
Por exemplo, campo
F = (3x� y) i+ (x+ 5y) j
que tem a forma
Figura 1
1.2 Fluxo
Um conceito importante no estudo da dinâmica de um ‡uido é o conceito de
‡uxo através de uma área.
Imagine um pequeno quadrado inserido dentro de um ‡uido. Obviamente
o ‡uxo através deste quadrado depende da orientação do quadrado. Se ele for
colocado com a sua normal paralelo a velocidade o ‡uxo, i.e., a quantidade de
‡uído por unidade de tempo que atravessa este quadrado vale
� =
1
dt
(v:dt:a) = v:a
enquanto se ele for colocado perpendicular a velocidade do ‡uido não haverá
‡uxo. Este resultado pode ser resumido como
� = F:a: cos � = F:a
1
Obsreve que o ‡uxo através de uma área é um escalar.
Imagine agora que você deseja calcular o ‡uxo através de uma superfície
fechada (um balão). Para fazer isso podemos primeiro dividir esta superfície
em vários quadradinhos e usar o conceito acima para calcular o ‡uxo através
de cada um destes quadrados. Como queremos saber se há ‡uido entrando ou
saindo do balão, damos um valor positivo para a normal de cada área que aponta
para fora do balão e negativo para a que aponta pra dentro. Chamamos isso de
orientar as áreas.
Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica
O ‡uxo total pelo balão será
� =
X
i
F:�ai
No limite de ai ! 0, temos
� =
Z
F:da
esta é uma integral de superfície de um campo vetorial F . Ou seja, a integral de
superfície de F sobre uma superfície S signi…ca apenas dividir S em pequenas
partes, cada uma representada por um vetor orientado para fora de S e tomar
o produto escalar desta área com o valor de F no local.
1.3 Divergente
Nosso objetivo aqui é estudar características locais, ou pontuais, do nosso ‡uido.
Em outras palavras, queremos de…nir quantidades como as densidades dos cor-
pos extensos (densidade de carga, de massa etc). Para uma superfície qualquer
…nita do nosso campo temos um ‡uxo, nosso objetivo aqui é obter um densi-
dade de ‡uxo, ou seja, um ‡uxo por unidade de volume. A partir desta
quantidade, como no caso da densidade de massa, podemos tanto obter o ‡uxo
de superfícies …nitas, quanto conhecer características locais do ‡uido. Isso nos
permitirá também caracterizar o movimento do ‡uído.
Imagine uma superfície qualquer S e o ‡uxo (Figura 3-a)
� =
Z
S
F:da
Agora divida esta superfície em duas partes: S1 e S2 (Figura 3-b) teremos então
dois ‡uxos
�i =
Z
Si
F:da
2
Figure 1: Figura 3 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley – Vol.2 –
Eletromagnetismo
O ponto importante aqui é que o ‡uxo pela interface entre as superfícies tem o
mesmo valor e sinal contrário (pois é orientado para fora de cada uma delas) de
sorte que
� = �1 +�2
E isso é verdade para qualquer divisão que façamos da superfície. Vamos
agora dividir esta superfície em N superfície bem pequenas Si (Figura 3-c), pelo
motivo descrito acima temos
NX
i=1
Z
Si
F:da =
Z
S
F:da = �
Ou seja, a soma do ‡uxo por cada superfície do balão é igual ao ‡uxo total pelo
balão (Figura 3-d).
Nosso interesse é identi…car alguma característica do ‡uido relacionado com
o limite quando N cresce enormemente. Observe que a integral
�i =
Z
Si
F:da
não pode ser tomada como esta característica porque ela depende das divisões
do volume, i.e., se dividirmos o volume no meio �i também cai pela metade e,
3
além disso, certamente �i ! 0 quando Si ! 0. Podemos entretanto obter uma
quantidade …nita que não dependa do volume se tomarmosR
Si
F:da
Vi
onde Vi é o volume dentro da área Si. Uma vez que Vi ! 0 quando Si !
0 a quantidade acima pode tender a um valor …nito que, conseqüentemente,
caracterizará o comportamento do ‡uido em torno de um ponto qualquer. A
quantidade acima, no limite de Vi ! 0 se chama o divergente do campo F
divF = lim
Vi!0
1
Vi
Z
Si
F:da
onde Si é uma superfície que envolve Vi.
Assim, o divergente de F é o ‡uxo que sai de Vi, por unidade de volume,
para um volume in…nitesimal.´
O divergente é uma grandeza escalar que pode variar de ponto a ponto e
seu valor num determinado ponto (x; y; z) é a integral acima com o ponto no
interior de Vi.
O divergente está relacionado com quanto de ‡uido entra (ou sai) de um
volume, seja pela criação (ou absorção) deste ‡uido, seja pela sua compressão.
1.3.1 Teorema de Gauss
Uma vez conhecido o divergente de uma função, podemos refazer o processo
descrito acima, no sentido inverso, e calcular o ‡uxo de F numa superfície …nita
S Z
S
F:da =
NX
i=1
Z
Si
F:da =
NX
i=1
�
1
Vi
Z
Si
F:da
�
Vi
No limite Vi ! 0 temos
lim
Vi!0
NX
i=1
�
1
Vi
Z
Si
F:da
�
:Vi =
Z
V
divF dV
Com isso temos Z
S
F:da =
Z
V
divF dV
Este é o teorema da divergência.
Se o TD é válido para qualquer campo vetorial, certamente também é válido
para o campo elétrico. Da lei de Gauss (que é uma conseqüência da lei de
Coulomb) temos Z
S
E:da =
Q
"0
=
Z
V
�
"0
dV
usando o TD temos Z
S
E:da =
Z
V
divE dV =
Z
V
�
"0
dV
4
Figure 2: Figua 4 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley – Vol.2 –
Eletromagnetismo
O resultado acima tem de ser válido para qualquer volume. Isso só é possível se
os integrandos forem iguais em qualquer ponto
divE =
�
"0
1.3.2 O divergente em coordenadas cartesianas
A de…nição acima independe de qualquer sistema de coordenadas. Entretanto,
para efetivamente efetuamos alguma conta, precisamos ter uma forma prática
para determinar o divergente de algum campo F. Para isso fazemos F =
F (x; y; x) o que signi…ca que introduzimos algum sistema de coordenadas no
espaço. Se este sistema é cartesiano o campo vetorial F pode ser decomposto
em 3 funções escalares:
F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x^+ Fy (x; y; x) y^ + Fz (x; y; x) z^
Vamos calcular o ‡uxo desta função por um cubinho de ladp�x;�y;�z (Figura
4-a)
Para a face superior e inferior (Figura 4-b) temos os vetores �x�yz^ e
�x�y (�z^). Assim, quando …zemos o produto escalar de F com estas áreas,
apenas a função Fz sobreviverá. Ou seja, o ‡uxo é a diferença entre o valor
médio (no ponto médio das superfícies) de Fz nas faces interiores e superiores.
Em primeira ordem de aproximação esta diferença vale
@Fz
@z
�z :
O valor médio da função na face inferior vale (Figura 4-b)
Fz (x; y; x) +
@Fz
@x
�x
2
+
@Fz
@y
�y
2
:
5
Já o valor médio da função na face superior vale (Figura 4-b)
Fz (x; y; x) +
@Fz
@z
�z +
@Fz
@x
�x
2
+
@Fz
@y
�y
2
:
Assim, o ‡uxo na direção z vale�
Fz (x; y; x) +
@Fz
@z
�z +
@Fz
@x
�x
2
+
@Fz
@y
�y
2
�
�x�y��
Fz (x; y; x) +
@Fz
@x
�x
2
+
@Fz
@y
�y
2
�
�x�y
=
@Fz
@z
�z�x�y
Da mesma forma, os ‡uxos nas demais direções valem
@Fx
@x
�z�x�y ;
@Fy
@y
�z�x�y
De sorte que o ‡uxo total vale
� =
�
@Fx
@x
+
@Fy
@y
+
@Fz
@z
�
�z�x�y
pela nossa de…nição de divergente temos
divF = lim
V!0
1
V
� =
�
@Fx
@x
+
@Fy
@y
+
@Fz
@z
�
�z�x�y
V
=
@Fx
@x
+
@Fy
@y
+
@Fz
@z
Assim, em coordenadas cartesianas:
divF =
@Fx
@x
+
@Fy
@y
+
@Fz
@z
(1)
1.4 Integrais de linha
Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o tra-
balho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremos
mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou umamassa num campo
gravitacional, ou ainda um barco por um rio.
Em todos estes casos, o trabalho realizado será:
W =
Z
C
F:dr (2)
onde F (x; y) = U (x; y) {^ + V (x; y) |^ é o campo vetorial (neste caso a força) e
dr = {^dx+ |^dy um elemento de deslocamento na trajetória C. Em geral este
6
trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido
que este caminho é seguido.
Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo (cujo grá…co é
apresentado na Figura 1)
F = (3x� y) i+ (x+ 5y) j
sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como
x = cos!t ; y = sin!t ; t 2
�
0;
2�
!
�
onde ! está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim
W =
Z
C
F:dr =
Z
C
(U (x; y) dx+ V (x; y) dy)
x = x (t) ; y = y (t) =) dx = dx
dt
dt ; dy =
dy
dt
dt ;
W=
Z 2�
!
0
�
(3x� y) dx
dt
+ (x+ 5y)
dy
dt
�
dt
dx
dt
= �! sin!t ; dy
dt
= ! cos!t
W=
Z 2�
!
0
((3 cos!t� sin!t) (�! sin!t) + (cos!t+ 5 sin!t) (! cos!t)) dt
= !
Z
((�3 + 5) sin!t cos!t+ 1) dt = !
Z 2�
!
0
(2 sin!t cos!t+ 1) dt
= !
 
2
Z 2�
!
0
sin!t cos!tdt+
2�
!
!
= !
 
2
Z 2�
!
0
1
2
sin 2!t dt+
2�
!
!
= !
 Z 2�
!
0
sin 2!t dt+
2�
!
!
= !
 
� 1
2!
cos 2!t
����2�=!
0
+
2�
!
!
= !
�
2�
!
�
= 2�:
Observe como o valor calculado não depende de !, a velocidade com que
percorremos a curva.�
1.5 O rotacional de uma função
O divergente nos fala sobre o ‡uxo em torno de um ponto do ‡uido, o que,
obviamente, está relacionado com pontos onde surge ou desaparece ‡uido, i.e.,
fontes ou sorvedouros. Ou ainda pontos onde o ‡uido possa ser comprimido. En-
tretanto, é possível que haja movimento num ‡uido mesmo que nenhum destes
efeitos ocorra. Por exemplo, você pode fazer circular um ‡uido num balde. Isso
cria rodamoinhos no ‡uído.
7
Figure 3: Figura 5 -Figura retirada do Curso de Física Berkeley – Vol.2 –
Eletromagnetismo
Este tipo de movimento tem a característica de exigir que realizemos trabalho
para mover um corpo através de um circuito fechado do campo (ou do ‡uído).
E pode ser medido através da integral
� =
Z
C
F:ds
Esta quantidade é chamada circuitação (ou circulação) do campo.
Precisamos orientar o caminho. Fazemos isso exigindo que a parte interna
…que sempre a nossa esquerda (Figura 5-a).
Dado um circuito qualquer C (Figura 6-a) podemos dividi-lo em 2 partes C1
e C2 (Figura 6 -b). Uma vez que a interface entre os dois caminhos é percorrida
no sentido contrário (Figura 6-b) temos
�1 + �2 = �
O mesmo pode se obtido dividindo o circuito em N partes (Figura 6-c)
� =
NX
i=1
�i
Mais uma vez, estamos interessados numa quantidade característica do ‡uido,
relacionado com seu comportamento em cada ponto. Novamente, esta quanti-
dade não é a circuitação, pois, se ai é a área encerrada pelo caminho Ci, temos
Ci ! 0 quando ai ! 0. Mas, assim como no caso do divergente, podemos
esperar uma quantidade …nita fazendo
�i
ai
=
R
Ci
F:ds
ai
8
Figure 4: Figura 6 -Figura retirada do Curso de Física Berkeley – Vol.2 –
Eletromagnetismo
Figure 5: Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica
Diferente do divergente a circuitação acima depende da orientação da normal
da superfície in…nitesimal Ci. Para uma circuitação in…nitesimal com área ai
na direção n^ temos
(rotF ) n^ = lim
ai!0
R
Ci
F:ds
ai
n^
Ou seja, se o circuito Ci tem uma área ai na direção x então estamos calculando
a componente do rotacional na direção x. A quantidade acima é chamada
rotacional do ‡uido e mede a circuitação, por unidade de área, em torno de um
ponto do campo. O divergente é um vetor.
Fisicamente o rotacional de um ‡uido poderia ser medido com um dispositivo
como o da …gura abaixo:
9
1.5.1 Teorema de Stokes
Partindo do rotacional podemos obter a circuitação de um contorno …nito C
� =
Z
C
F:ds =
NX
i
Z
Ci
F:ds =
NX
i
�
1
ai
Z
Ci
F:ds
�
ai
Usando a de…nição de rotacional
lim
ai!0
�
1
ai
Z
Ci
F:ds
�
= (rotF ) n^
e, neste limite Z
C
F:ds =
Z
S
[(rotF) n^] da
Ou, como n está na direção de aZ
C
F:ds =
Z
S
(rotF) da (3)
Este é o teorema de Stokes e relaciona a integral de linha do campo através de
um circuito fechado com a integral de área do rotacional.
Um ponto importante a se notas é que existem várias áreas diferentes que
possuem a mesma fronteira (como quando se esta sobrando uma bola de sabão).
Então qual área selecionamos para aplicar o Teorema de Stokes? Note, entre-
tanto, que o lado esquerdo de (3) não depende de qual área escolhemos. Isso
signi…ca que o lado direito também não irá depender. Ou seja, para aplicar o
Teorema de Stokes podemos usar qualquer área que tenha a curva como
borda. O que nos permite anunciar o seguinte:
Corollary 1
R
S
(rotF) da depende apenas da fronteira da superfície S e não
da superfície em particular.
Do corolário acima, temos que se …zermos a borda da fronteira diminuir, de
forma que C ! 0, o lado esquerdo de (3) vai à zero. Com o que temos
Corollary 2 para qualquer superfície fechadaI
S
(rotF) da = 0 : (4)
1.5.2 Lei de Ampère
Uma corrente induz um campo magnético BI
C
B:dl = �0I
10
Figure 6: Figura retirada do Curso de Física Berkeley –Vol.2 – Eletromag-
netismo
onde I é toda a corrente que passa no interior do circuito C. Esta corrente pode
ser escrita como
I =
Z
S
J da
onde J é a densidade de corrente e S qualquer superfície limitada pela curva
fechada C. Com isso I
C
B:dl =
Z
S
J da
Usando o teorema de StokesI
C
B:dl =
Z
S
(rotB) da = �0
Z
S
J da
Para qualquer curva C, o que só pode ser verdade se
rotB =�0J
Que é a lei de Ampère.
Um mecanismo para medir o rotacional de um campo eletromagnético pode-
ria ter a seguinte forma:
1.5.3 Rotacional em coordenadas cartesianas
Novamente a de…nição acima, apesar de geral, é pouco prática para o cálculo do
rotacional conhecendo-se o campo. Vamos então obter uma expressão que per-
mita determinar esta quantidade uma vez conhecida as componentes cartesianas
do campo.
11
Figure 7: Figura 7 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley – Vol.2 –
Eletromagnetismo
Seja então F (x; y; z) = Fxx^ + Fyy^ + Fz z^ um campo de…nido num sistema
cartesiano de unidades. Vamos calcular a circuitação do campo F por um ele-
mento quadrado de lado �x e �y.
Para isso, imaginando que os lados são in…nitesimais, podemos aproxima a
integral de linha simplesmente pelo produto (escalar) do valor do campo no meio
do percurso pelo comprimento do percurso. Assim, para os percursos horizontais
temos Z
�x
F:dl =Fx (xm; ym; zm)�x
Onde Fx (xm; ym; zm) é o valor do campo no meio do intervalo. Na parte
inferior
Fax (xm; ym; zm) = Fx (x; y; z) +
@Fx
@x
�x
2Z
�x
F:dl =
�
Fx (x; y; z) +
@Fx
@x
�x
2
�
�x
Enquanto na parte superior
Fbx (xm; ym; zm) = Fx (x; y; z) +
@Fx
@x
�x
2
+
@Fx
@y
�y
2Z
�x
F:dl = �
�
Fx (x; y; z) +
@Fx
@x
�x
2
+
@Fx
@y
�y
�
�x
onde o sinal de menos vem do fato do percurso ser feito na direção de �x^
(F:dl =Fx (�dx)).Para os lados verticais temosZ
�y
F:dl =Fy (xm; ym; zm)�y
12
Na parte esquerda
Fcy (xm; ym; zm) = Fy (x; y; z) +
@Fy
@y
�y
2Z
�y
F:dl= �
�
Fy (x; y; z) +
@Fy
@y
�y
2
�
�y
enquanto na direita
Fdy (xm; ym; zm) = Fy (x; y; z) +
@Fy
@y
�y
2
+
@Fx
@x
�xZ
�y
F:dl =
�
Fy (x; y; z) +
@Fy
@y
�y
2
+
@Fy
@x
�x
2
�
�y
Com isso a nossa circuitação se tornaZ
C
F:dl=
�
Fx (x; y; z) +
@Fx
@x
�x
2
�
�x
�
�
Fx (x; y; z) +
@Fx
@x
�x
2
+@Fx
@y
�y
�
�x
�
�
Fy (x; y; z) +
@Fy
@y
�y
2
�
�y
+
�
Fy (x; y; z) +
@Fy
@y
�y
2
+
@Fy
@x
�x
�
�y
=
�
@Fy
@x
� @Fx
@y
�
�x�y
Tomando o limote
lim
a!0
R
C
F:ds
a
= lim
�x;�y!0
h
@Fy
@x � @Fx@y
i
�x�y
�x�y
=
@Fy
@x
� @Fx
@y
Como obviamente a área �x�y aponta na direção z^ (Figura 7) esta é a com-
ponente z do rotacional
(rotF) z^ =
�
@Fy
@x
� @Fx
@y
�
z^
Efetuando o mesmo procedimento para os contornos da Figura 8 temos
(rotF) x^ =
�
@Fz
@y
� @Fy
@z
�
x^
(rotF) y^ =
�
@Fx
@z
� @Fz
@x
�
y^
13
Figure 8: Figura 8 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley – Vol.2 –
Eletromagnetismo
Ou, juntando todas as componentes
rotF =
�
@Fz
@y
� @Fy
@z
�
x^+
�
@Fx
@z
� @Fz
@x
�
y^ +
�
@Fy
@x
� @Fx
@y
�
z^ (5)
A expressão acima permite calcular o vetor rotacional conhecendo-se as compo-
nentes cartesianas do campo.
1.6 O operador Nabla
Existe uma forma bastante conveniente de se expressar a equação (1) e (5). Para
isso introduzimos o operador vetorial
O = x^ @
@x
+ y^
@
@y
+ z^
@
@z
(6)
chamado de nabla. A quantidade acima é um operador diferencial, ou seja, ele
só fornece um valor quando aplicado em alguma função. Por exemplo, quando
aplicado na função g (x; y; z) temos
Og = x^@g
@x
+ y^
@g
@y
+ z^
@g
@z
onde agora cada uma das componentes do vetor é um número que depende do
ponto (x; y; z), ou seja, o operador nabla permitiu contruir um vetor (Og) a
partir de uma função escalar (g). Este vetor se chama o gradiente da função.
O gradiente de uma função é um vetor que aponta sempre na direção em que a
função cresce mais rapidamente com a variação dos parâmetros.
14
O que acontece quando aplicamos o operador nabla num campo vetorial F?
Neste caso, como ambos são vetores, podemos de…nir a palavra “aplicar”como
um produto escalar ou um produto vetorial.
Se usarmos o produto escalar temos
O�F=
�
x^
@
@x
+ y^
@
@y
+ z^
@
@z
�
(Fxx^+ Fyy^ + Fz z^)
=
@Fx
@x
+
@Fy
@y
+
@Fz
@z
Que podemos reconhecer como o divergente do campo (1). Se escolhermos
de…nir a aplicação pelo produto vetorial temos
O� F=
������
x^ y^ z^
@
@x
@
@y
@
@z
Fx Fy Fz
������
=
�
@Fz
@y
� @Fy
@z
�
x^+
�
@Fx
@z
� @Fz
@x
�
y^ +
�
@Fy
@x
� @Fx
@y
�
z^
Que podemos reconhecer como o rotacional do campo.
É importante notar que apesar de sempre usarmos:
Og � gradiente de g
O�F � divergente de F
O� F � rotacional de F
este operador só tem a forma (6) acima em coordenadas cartesianas.
Além disso, em coordenadas cartesianas, podemos ainda de…nir:
x1 � x ; x2 � y ; x3 � z
com o que
@
@x
=
@
@x1
� @1 ; @
@y
=
@
@x2
� @2 ; @
@z
=
@
@x3
� @3
Usando estas de…nições temos
(Og) x^i = @ig
O�F =
3X
i=1
@iFi � @iFi
(O� F) x^i = @jFk � @kFj com 1! 2! 3
onde no ultimo caso as componentes i; j; k (nesta ordem) devem seguir a ordem
cíclica i = 1; j = 2; k = 3 ! i = 2; j = 3; k = 1 ! i = 3; j = 1; k = 2.
Uma forma muito prática (e útil) de evitarmos ter de deixar sempre indicado
15
esta ordem cíclica é usarmos o chamado tensor completamente anti-simétrico de
Levi-Civita, ou símbolo de Levi-Civita
"ijk
que é anti-simétrico nas três componentes
"ijk = �"jik = �"ikj
com
"123 = 1
Como conseqüência esta quantidade vale zero se os índices se repetem (e.g,
"112 = 0), muda de sinal para qualquer permutação de dois índices e mantém
o sinal para permutações cíclicas. Estas propriedades podem ser expressas na
igualdade
"ijk =
(i� j) (j � k) (k � i)
2
; i; j; k = 1; 2; 3 :
Usando esta quantidade, podemos de…nir a componente i do rotacional como
(O� F) x^i =
3X
j;k=1
"ijk@jFk � "ijk@jFk
Vamos calcular, por exemplo, o rotacional do gradiente de uma função
O� (Og) = "ijk@j (@kg) = "ijk@j@kg
=
1
2
("ijk + "ijk) @j@kg
=
1
4
("ijk � "ikj) @j@kg
=
1
4
("ijk@j@kg � "ikj@j@kg)
Lembrando agora que j e k são índices mudos
O� (Og) = 1
4
("imn@m@ng � "imn@n@mg)
=
1
4
"imn (@m@n � @n@m) g
Usando agora
@n@m = @m@n
temos1
O� (Og) = 1
4
"imn (@m@n � @n@m) g
=
1
4
"imn (@m@n � @m@n) g
= 0
1O produto escalar de um tensor simétrico com um anti-simétrico é sempre nulo.
16
ou seja, o rotacional do gradiente é sempre igual a zero.
O símbolo de Levi-Civita se relaciona com o delta de Kronecker através do
determinante2
"ijk"lmn =
������
�il �im �in
�jl �jm �jn
�kl �km �kn
������ :
Exercise 3 Usando o mesmo procedimento acima, mostre que o divergente do
rotacional é sempre nulo.
Exercise 4 Mostre que
"ijk"mnk = �im�jn � �in�jm
Exercise 5 Usando a propriedade do exercício acima, mostre que
O� (O� F) = O (O � F )� O2F
O2 � O � O = @i@i
1.7 Teoremas Fundamentais do Cálculo Vetorial
Voltando aos nossos teoremas (agora com o operador nabla) temosZ
V
r�F dV =
I
S
F� da (T. da divergência)Z
S
r� F da =
I
C
F � ds (T. de Stokes)
O primeiro relaciona um volume com a sua fronteita, i.e., uma área. O segundo
relaciona uma área com a sua fronteira, i.e., um caminho. Cada um deles diminui
de 1 a dimensão do problema. Sabendo que a dimensão mínima que podemos
chegar é o ponto, será que podemos diminuir ainda mais a dimensão do nosso
problema? Em outras palavras, existe alguma relação entre as extreminades de
um camilho (uma linha) e a sua fronteira (dois pontos)? A resposta é sim.
Relação entre as extremidades de uma linha
dT =
@Tx
@x
dx+
@Ty
@y
dy +
@Tz
@z
dz
=
�
@Tx
@x
x^+
@Ty
@y
y^ +
@Tz
@z
z^
�
� (dx x^+ dy y^ + dz z^)
= (rT ) � ds
�T = T (P 0)� T (P ) =
Z
C
(rT ) � ds
2Veja o livro de Teoria do Campo do Landau.
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onde C é um caminho que inicia em P e termina em P 0. AssimZ
C
(rT ) � ds =T (P 0)� T (P )
É importante notar que existem vários caminhos que permiter ligar estes dois
pontos. Entretanto, o lado direito da expressão assima não depende do caminho.
Ou seja
Se F é o gradiente de alguma função (F =rT ) então a integral de caminho
de F só depende dois pontos iniciais e …nais. Chamamos um campo com esta
característica de conservativo.
Como consequencia do resultado acima temosI
C
(rT ) � ds =0 :
Mais ainda, como
r� (rT ) = 0
Vemos que todo campo conservativo tem rotacional nulo. É possivem mostrar
que o contrário também é verdade.I
C
(rT ) � ds =
Z
S
r� (rT ) da = 0
Como isso tem de ser válido para qualquer área
r� (rT ) = 0
Para uma área fechada (sem borda) temos (4)I
S
r� F da =
I
C
F � ds = 0
Aplicando o teorema do divergenteI
S
(r� F) � da =
Z
V
r� (r� F) dV = 0
Como isso é válido para qualquer volume
r� (r� F) = 0 :
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