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Trabalho e Energia

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Trabalho e Energia 
Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. 
Se uma força executou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou 
a energia desse corpo de W . 
OBS: Quando estudamos vetores vimos que existe dois tipos de produtos 
vetoriais: o produto escalar e o produto vetorial. Vimos também, que o 
produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar e que o produto 
vetorial entre dois vetores resulta em um vetor. 
 
Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma 
partícula como o produto escalar da força pelo 
deslocamento. 
 W F d
Unidade SI: 1N.m ou joule (J) 
No estudo de partículas atômicas é 
conveniente o uso da unidade eV. 
1eV = 1,60  10-19J 
 1 
Trabalho: Movimento Unidimensional com Força Constante 
F
F
d
d
W Fd
cosW Fd F d  
2 
Exemplo: A figura abaixo mostra dos jovens empurrando um cofre por uma distância de 9,0 m 
em linha reta na direção do eixo x positivo. A força F1 exercida pelo jovem 1 é de 240N e faz 
um ângulo de 30o para baixo a partir da horizontal; a força F2 exercida pelo jovem 2 é de 200N 
e faz um ângulo de 40o para cima com a horizontal. Calcule o trabalho realizado pelos jovens. 
2F
1F
P
N
d
Trabalho executado pelo jovem 1: 
0
1 1= cos30 (240 )(9,0 )(cos30 ) 1870 
oW Fd N m N
Trabalho executado pelo jovem 2: 
0
2 2= cos40 (200 )(9,0 )(cos40 ) 1379 
oW F d N m N
Trabalho total: 
1 2 1870 1379 3249    W W W N N N
Trabalho realizado por uma força variável: Caso unidimensional 
Suponha que a força atue apenas ao eixo x e que seu 
módulo varie com x de acordo com a função F(x). 
Suponha um corpo que se mova na direção x sob a 
ação dessa força. Qual é o trabalho realizado por 
essa força variável quando o corpo se move desde 
uma posição inicial xi até à posição final xf? 
De acordo com a figura (a) ao lado, que o trabalho 
realizado pela força F(x) é: 
1 2 1 2W         F x F x W W
O trabalho executado pela força pode 
ser representado graficamente pela 
área sombreada sob a curva. 
1



N
n
n
W F x
No limite 0, temosx 
( )  f
i
x
xW F x dx
Exemplo1: A força aplicada em um objeto é F = F0(x/x0 – 1). Encontre o trabalho realizado ao mover o 
objeto desde x = 0 até x = 3x0 , por avaliação analítica da integral. 
0
0 0
3
2
3 3
0 0 0
0 0
0 0 0 0
2
0
0 0 0 0
0
1 1
2
9 3
 3 
2 2
x
x xx x x
W F dx F dx F x
x x x
x
F x W F x
x
     
          
     
 
    
 
 
 3 
Trabalho realizado por uma Mola 
 A força exercida pela mola é chamada de 
força restauradora. Na fig. (a) ao lado mostra 
uma mola no estado relaxado, isto é, nem 
comprimida nem distendida. Na Fig. (b) o 
bloco foi puxado para a direita, distendendo a 
mola. Na fig. (c) o bloco foi empurrado para a 
esquerda, comprimindo a mola. 
 
A força da mola é dada por: 
Expressão conhecida por Lei de Hooke em homenagem a Robert Hooke. A constante k é 
chamada de constante da mola e é uma medida da rigidez da mola. 
 
Na figura acima, um eixo dos x foi traçado ao longo do comprimento da mola, com a origem (x = 0) 
na posição da extremidade livre quando a mola se encontra no estado relaxado. Neste caso a Lei de 
Hooke assume a forma: 
F kx 
O trabalho é dado por: 
2( ) ( )
2
f f f f
ii i i
x x x x
xx x x
k
W f x dx kx dx k xdx x        
ou ainda: 
2 2 trabalho realiz
1
( ) ado po ( )
2
r uma molai fW k x x 
2 2
2 2
0 se 
0 se 
i f
i f
W x x
W x x
 
 
2
Se 0 e se , então:
1
 
2
i fx x x
W kx
 
 
4 
 F kd
Trabalho realizado por uma força variável: Caso bidimensional. 
As expressões para a força e o deslocamento no caso bidimensional são: 
ˆ ˆ ˆ ˆ e x yF F i F j ds dx i dy j   
O produto escalar entre a força e deslocamento é dado por: 
0 01 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y yF s F i F j dx i dy j F dx i i F dy i j F dx j i F dy j j            
( )
f
x y
i
W F dx F dy 
Portanto, o trabalho neste caso é dado por: W F ds 
OBS: esta é uma integral de linha! 
ˆ ˆUma particula efetua um deslocamento 2 5 , sobre uma reta.
ˆ ˆDurante o deslocamento, atua sobre a partícula uma força constante 3 4 .
Calcule o t
Exemplo 2: 
rabalho efetuado pela força
s m i m j
F N i N j
  
 
 e a componente da força na direção do 
deslocamento.
O trabalho efetuado pela força é: 
ˆ ˆ ˆ ˆ(3 4 ) (2 5 ) 6 . 20 . 14 .W F s N i N j m i m j N m N m N m         
14W J 
A componente da força na direção do deslocamento é dada por: cos WF
s
 

Já calculamos W, agora precisamos calcular o módulo do deslocamento, 
2 2 2 2( ) ( )= (3 ) ( 5 ) 29x ys s s m m m       
29 5,38s m m  
Portanto; 
14 .
cos cos 2,60
5,38
N m
F F N
m
    
5 
Energia Cinética e o Teorema Trabalho-Energia 
Quando forças atuam sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento, a energia 
cinética da partículas varia de uma quantidade igual ao trabalho total Wtotal realizado por 
todas as forças que atuam sobre ela: 
Teorema do trabalho energia
 total f iW K K K   
Demonstração: Caso força constante. 
2 2
Se a força é constante pela segunda lei de Newton, , a aceleração 
também será constante. Neste caso podemos usar 2 (sendo 
o delocamento), logo:
R
f i
F ma
v v as s

 
2 2
2 21 1 
2 2 2
f i
f i
v v
F ma m W Fs mv mv
s

     
21
2
A grandeza denomina-se energia cinéti da partí ulca c a:K mv
2 21 1 
2 2
f f f iW mv mv W K K K      
Exemplo 3: Um elétron acelerado num tubo de televisão chega à tela com uma energia 
cinética de 104 eV. Calcule a velocidade do elétron (Dados: me = 9,1110
-31kg e 1eV = 1,60 
10-19J). 
15
2 16 2 2
31
12 2 2 6
1 2 2(1,60 10 )
 0,3513 10 /
2 9,11 10
 3513 10 / 59,27 10 /
K J
K mv v m s
m kg
v m s m s



     

   
6 
Prova geral do teorema trabalho-energia 
Vamos demonstrar o teorema para o caso de uma força não constante em uma 
dimensão. 
2
2 2
1
 
2
1 1
 
2 2
f f
ii
total R
v v
vv
total f i
dv dv dx
W F dx madx m dx m dx
dt dx dt
dv
m v dx m vdv m vdv mv
dx
W mv mv
 
     
 
 
    
 
 
   
  
Potência: 
A potência mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia. 
Potência Média: Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) W num certo 
intervalo de tempo t . 
W
P
t

Potência instantânea: Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) num 
intervalo de tempo muito pequeno, daí instantânea. É útil quando queremos 
acompanhar a produção (ou absorção) de energia de maneira precisa. 
0
lim , como Temos, 
 

        
t
W dW ds
P dW F ds P F P F v
t dt dt
7

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