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Trabalho e Energia Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se uma força executou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou a energia desse corpo de W . OBS: Quando estudamos vetores vimos que existe dois tipos de produtos vetoriais: o produto escalar e o produto vetorial. Vimos também, que o produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar e que o produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor. Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma partícula como o produto escalar da força pelo deslocamento. W F d Unidade SI: 1N.m ou joule (J) No estudo de partículas atômicas é conveniente o uso da unidade eV. 1eV = 1,60 10-19J 1 Trabalho: Movimento Unidimensional com Força Constante F F d d W Fd cosW Fd F d 2 Exemplo: A figura abaixo mostra dos jovens empurrando um cofre por uma distância de 9,0 m em linha reta na direção do eixo x positivo. A força F1 exercida pelo jovem 1 é de 240N e faz um ângulo de 30o para baixo a partir da horizontal; a força F2 exercida pelo jovem 2 é de 200N e faz um ângulo de 40o para cima com a horizontal. Calcule o trabalho realizado pelos jovens. 2F 1F P N d Trabalho executado pelo jovem 1: 0 1 1= cos30 (240 )(9,0 )(cos30 ) 1870 oW Fd N m N Trabalho executado pelo jovem 2: 0 2 2= cos40 (200 )(9,0 )(cos40 ) 1379 oW F d N m N Trabalho total: 1 2 1870 1379 3249 W W W N N N Trabalho realizado por uma força variável: Caso unidimensional Suponha que a força atue apenas ao eixo x e que seu módulo varie com x de acordo com a função F(x). Suponha um corpo que se mova na direção x sob a ação dessa força. Qual é o trabalho realizado por essa força variável quando o corpo se move desde uma posição inicial xi até à posição final xf? De acordo com a figura (a) ao lado, que o trabalho realizado pela força F(x) é: 1 2 1 2W F x F x W W O trabalho executado pela força pode ser representado graficamente pela área sombreada sob a curva. 1 N n n W F x No limite 0, temosx ( ) f i x xW F x dx Exemplo1: A força aplicada em um objeto é F = F0(x/x0 – 1). Encontre o trabalho realizado ao mover o objeto desde x = 0 até x = 3x0 , por avaliação analítica da integral. 0 0 0 3 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 9 3 3 2 2 x x xx x x W F dx F dx F x x x x x F x W F x x 3 Trabalho realizado por uma Mola A força exercida pela mola é chamada de força restauradora. Na fig. (a) ao lado mostra uma mola no estado relaxado, isto é, nem comprimida nem distendida. Na Fig. (b) o bloco foi puxado para a direita, distendendo a mola. Na fig. (c) o bloco foi empurrado para a esquerda, comprimindo a mola. A força da mola é dada por: Expressão conhecida por Lei de Hooke em homenagem a Robert Hooke. A constante k é chamada de constante da mola e é uma medida da rigidez da mola. Na figura acima, um eixo dos x foi traçado ao longo do comprimento da mola, com a origem (x = 0) na posição da extremidade livre quando a mola se encontra no estado relaxado. Neste caso a Lei de Hooke assume a forma: F kx O trabalho é dado por: 2( ) ( ) 2 f f f f ii i i x x x x xx x x k W f x dx kx dx k xdx x ou ainda: 2 2 trabalho realiz 1 ( ) ado po ( ) 2 r uma molai fW k x x 2 2 2 2 0 se 0 se i f i f W x x W x x 2 Se 0 e se , então: 1 2 i fx x x W kx 4 F kd Trabalho realizado por uma força variável: Caso bidimensional. As expressões para a força e o deslocamento no caso bidimensional são: ˆ ˆ ˆ ˆ e x yF F i F j ds dx i dy j O produto escalar entre a força e deslocamento é dado por: 0 01 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y yF s F i F j dx i dy j F dx i i F dy i j F dx j i F dy j j ( ) f x y i W F dx F dy Portanto, o trabalho neste caso é dado por: W F ds OBS: esta é uma integral de linha! ˆ ˆUma particula efetua um deslocamento 2 5 , sobre uma reta. ˆ ˆDurante o deslocamento, atua sobre a partícula uma força constante 3 4 . Calcule o t Exemplo 2: rabalho efetuado pela força s m i m j F N i N j e a componente da força na direção do deslocamento. O trabalho efetuado pela força é: ˆ ˆ ˆ ˆ(3 4 ) (2 5 ) 6 . 20 . 14 .W F s N i N j m i m j N m N m N m 14W J A componente da força na direção do deslocamento é dada por: cos WF s Já calculamos W, agora precisamos calcular o módulo do deslocamento, 2 2 2 2( ) ( )= (3 ) ( 5 ) 29x ys s s m m m 29 5,38s m m Portanto; 14 . cos cos 2,60 5,38 N m F F N m 5 Energia Cinética e o Teorema Trabalho-Energia Quando forças atuam sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento, a energia cinética da partículas varia de uma quantidade igual ao trabalho total Wtotal realizado por todas as forças que atuam sobre ela: Teorema do trabalho energia total f iW K K K Demonstração: Caso força constante. 2 2 Se a força é constante pela segunda lei de Newton, , a aceleração também será constante. Neste caso podemos usar 2 (sendo o delocamento), logo: R f i F ma v v as s 2 2 2 21 1 2 2 2 f i f i v v F ma m W Fs mv mv s 21 2 A grandeza denomina-se energia cinéti da partí ulca c a:K mv 2 21 1 2 2 f f f iW mv mv W K K K Exemplo 3: Um elétron acelerado num tubo de televisão chega à tela com uma energia cinética de 104 eV. Calcule a velocidade do elétron (Dados: me = 9,1110 -31kg e 1eV = 1,60 10-19J). 15 2 16 2 2 31 12 2 2 6 1 2 2(1,60 10 ) 0,3513 10 / 2 9,11 10 3513 10 / 59,27 10 / K J K mv v m s m kg v m s m s 6 Prova geral do teorema trabalho-energia Vamos demonstrar o teorema para o caso de uma força não constante em uma dimensão. 2 2 2 1 2 1 1 2 2 f f ii total R v v vv total f i dv dv dx W F dx madx m dx m dx dt dx dt dv m v dx m vdv m vdv mv dx W mv mv Potência: A potência mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia. Potência Média: Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) W num certo intervalo de tempo t . W P t Potência instantânea: Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) num intervalo de tempo muito pequeno, daí instantânea. É útil quando queremos acompanhar a produção (ou absorção) de energia de maneira precisa. 0 lim , como Temos, t W dW ds P dW F ds P F P F v t dt dt 7
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