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Limites Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 1 Suma´rio 1 Ca´lculo de limites 4 1.1 Ca´lculo de limites por meio de fatorac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 lim x→a xm − am xn − an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 lim x→a x p m − a pm x q n − a qn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 lim x→∞ (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − x.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 lim x→∞ n √ x+ g(x)− n√x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5 lim x→1 n.xn+1 − (n+ 1)xn + 1 xp+1 − xp − x+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Limites trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 O limite fundamental lim sen(x) x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 lim x→0 cos(x)− 1 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 lim x→0 1 + cos(x) x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.4 lim x→0 senp(ax) c(bx)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.5 lim x→k sen(pix) x− k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.6 lim x→k tg(pix) x− k = pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.7 lim x→0 cos(ax)− cos(bx) x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.8 lim x→0 senp(x) sen(xp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.9 Limites envolvendo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.10 lim x→0 tg(ax) bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 SUMA´RIO 3 1.2.11 lim x→0 tg(ax) sen(bx) = a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Limite de func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Limite e func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.1 lim x→0+ xx = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Limites envolvendo integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.6 Ca´lculo de limite por meio de manipulac¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . . . . . . 39 1.7 Limites por meio de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.9 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.9.1 Limites laterais finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.9.2 Limites laterais tendendo a infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Cap´ıtulo 1 Ca´lculo de limites 1.1 Ca´lculo de limites por meio de fatorac¸a˜o Z Exemplo 1. Calcule o limite lim x→1 x2 − 1 x2 − x. Para x 6= 1 simplificamos x2 − 1 x2 − x = (x− 1)(x+ 1) x(x− 1) = (x+ 1) x , aplicando o limite temos lim x→1 x2 − 1 x2 − x = limx→1 (x+ 1) x = 2 1 = 2. 1.1.1 lim x→a xm − am xn − an . Z Exemplo 2. Calcular o limite lim x→a xm − am xn − an com m e n naturais. Usando (xm − am) = (x− a) m−1∑ k=0 xkam−1−k, 4 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 5 (xn − an) = (x− a) n−1∑ k=0 xkan−1−k, dividindo ambas, segue que (xm − am) (xn − an) = (x− a) m−1∑ k=0 xkam−1−k (x− a) n−1∑ k=0 xkan−1−k = m−1∑ k=0 xkam−1−k n−1∑ k=0 xkan−1−k . Enta˜o, tomando o limite, temos lim x→a xm − am xn − an = limx→a m−1∑ k=0 xkam−1−k n−1∑ k=0 xkan−1−k = m−1∑ k=0 akam−1−k n−1∑ k=0 akan−1−k = mam−1 nan−1 . Z Exemplo 3 (IME -1963). Calcular o limite lim x→a xm − am x− a . Usamos o exemplo anterior com n = 1, logo o resultado e´ lim x→a xm − am x− a = ma m−1. Z Exemplo 4. Suponha conhecido g′(a). Calcular o limite lim x→a g(x)p − g(a)p xn − an . lim x→a g(x)p − g(a)p xn − an = g(x)− g(a) x− a p−1∑ k=0 g(x)kg(a)p−1−k n−1∑ k=0 xkan−1−k = g′(a)pg(a)p−1 nan−1 . Z Exemplo 5. Calcular o limite lim x→r1 n∏ k=1 (x− rk)ak m∏ k=1 (x− sk)bk onde apenas r1 = s1, a1 = b1, todo outro sk e´ distinto de a1, para qualquer k > 1. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 6 lim x→r1 n∏ (x− rk)ak m∏ (x− sk)bk = lim x→r1 (x− r1)a1 n∏ k=2 (x− rk)ak (x− r1)a1 m∏ k=2 (x− sk)bk = lim x→r1 n∏ k=2 (x− rk)ak m∏ k=2 (x− sk)bk = = n∏ k=2 (r1 − rk)ak m∏ k=2 (r1 − sk)bk 1.1.2 lim x→a x p m − a pm x q n − a qn . Z Exemplo 6. Calcular o limite lim x→a x p m − a pm x q n − a qn com m, p, q e n naturais. Sabemos que vale (ym − bm) = (y − b) m−1∑ k=0 ykbm−1−k logo (ym − bm) m−1∑ k=0 ykbm−1−k = (y − b) da mesma maneira (zn − cn) n−1∑ k=0 zkcn−1−k = (z − c) da´ı (y − b) (z − c) = (ym − bm) n−1∑ k=0 zkcn−1−k (zn − cn) m−1∑ k=0 ykbm−1−k fazendo y = x p m , b = a p m segue ym = xp, bm = ap e z = x q n , c = a q n segue zn = xq, cn = aq, substituindo na expressa˜o anterior tem-se x p m − a pm x q n − a qn = (xp − ap) n−1∑ k=0 x qk n a q(n−1−k) n (xq − aq) m−1∑ k=0 x pk m a p(m−1−k) m , CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 7 aplicando o limite lim x→a x p m − a pm x q n − a qn = limx→a (xp − ap) n−1∑ k=0 x qk n a q(n−1−k) n (xq − aq) m−1∑ k=0 x pk m a p(m−1−k) m = (pap−1) n−1∑ k=0 a qk n a q(n−1−k) n (qaq−1) m−1∑ k=0 a pk m a p(m−1−k) m = = (pap−1) n−1∑ k=0 a q(n−1) n (qaq−1) m−1∑ k=0 a p(m−1) m = (pap−1)a q(n−1) n n︷ ︸︸ ︷ n−1∑ k=0 1 (qaq−1)a p(m−1) m m︷ ︸︸ ︷ m−1∑ k=0 1 = pa p m −1 m n qa q n −1 , onde passamos o termo para fora do somato´rio, pois na˜o depende mais do ı´ndice da soma k e simplificamos os termos restantes. Em especial lim x→a x p m − a pm x− a = p m a p m −1. Vejamos alguns casos espec´ıficos do ca´lculo acima em detalhes. Z Exemplo 7. Vamos calcular o limite lim h→0 √ a+ h−√a h , que e´ a derivada da func¸a˜o √ x em um ponto a > 0 . Multiplicamos a frac¸a˜o √ a+ h−√a h no numerador e no denominador pelo conjugado de √ a+ h−√a que e´ √a+ h+√a, o que resulta em (√ a+ h−√a h )(√ a+ h+ √ a√ a+ h+ √ a ) = ( a+ h− a h ) 1√ a+ h+ √ a = = ( h h ) 1√ a+ h+ √ a = 1√ a+ h+ √ a , h 6= 0 agora aplicamos o limite e usamos continuidade da func¸a˜o raiz para obter lim h→0 √ a+ h−√a h = lim h→0 1√ a+ h+ √ a = 1 2 √ a , CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 8 enta˜o conclu´ımos que ( √ x)′ = 1 2 √ x , isto e´, vale a regra (x 1 2 )′ = 1 2 x 1 2 −1 = 1 2 x −1 2 , como demonstramos. Z Exemplo 8. Calcule lim h→0 3 √ a+ h− 3√a h , isto e´, a derivada de 3 √ x no ponto a . Usaremos a seguinte identidade de produto nota´vel x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)⇒ x 3 − y3 x2 + xy + y2 = x− y, tomamos enta˜o x = 3 √ a+ h e y = 3 √ a, disso segue que, x3 = a + h , y3 = a e a expressa˜o do produto nota´vel fica como 3 √ a+ h− 3√a = a+ h− a ( 3 √ a+ h)2 + 3 √ a+ h 3 √ a+ ( 3 √ a)2 = h ( 3 √ a+ h)2 + 3 √ a+ h 3 √ a+ ( 3 √ a)2 , logo 3 √ a+ h− 3√a h = 1 ( 3 √ a+ h)2 + 3 √ a+ h 3 √ a+ ( 3 √ a)2 , agora bastaaplicar o limite em ambos lados e usar a continuidade da func¸a˜o raiz, de onde segue que lim h→0 3 √ a+ h− 3√a h = lim h→0 1 ( 3 √ a+ h)2 + 3 √ a+ h 3 √ a+ ( 3 √ a)2 = 1 ( 3 √ a)2 + 3 √ a 3 √ a+ ( 3 √ a)2 = 1 3 1 ( 3 √ a)2 , enta˜o mostramos que (x 1 3 )′ = 1 3 x 1 3 −1 = 1 3 x −2 3 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 9 Z Exemplo 9. Calcule o limite lim x→a ( x p m − a pm x q n − a qn )s onde s ≥ 0. Usamos continuidade e o limite anterior lim x→a ( x p m − a pm x q n − a qn )s = ( pa p m −1 m n qa q n −1 )s . Em especial lim x→a ( x p m − a pm x− a )s = ( p m a p m −1)s. Como um caso particular calcule o limite lim x→1 x 2 3 − 2x 13 + 1 (x− 1)2 . Perceba que o numerador e´ (x 1 3 − 1)2, logo o limite e´ lim x→1 (x 1 3 − 1)2 (x− 1)2 = ( 1 3 1 1 3 −1 )2 = 1 9 . 1.1.3 lim x→∞(x n + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − x.. Z Exemplo 10. Calcular o limite lim x→∞ (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − x. Usamos a identidade (yn − an) = (y − a) n−1∑ k=0 ykan−1−k (yn − an) n−1∑ k=0 ykan−1−k = y − a CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 10 tomando y = (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n e a = x, temos yn − an = n−1∑ k=0 akx k e ficamos com (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − x = n−1∑ k=0 akx k n−1∑ k=0 ykxn−1−k = colocando xn−1 em evideˆncia = n−1∑ k=0 ak xk xn−1 n−1∑ k=0 ( y x )k o limite do numerador e´ an−1, vamos mostrar que o limite no denominador e´ n. y x = (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n x = ( xn + n−1∑ k=0 akx k xn ) 1 n = (1 + n−1∑ k=0 akx k xn ) 1 n → 1 portanto n−1∑ k=0 ( y x )k → n e lim x→∞ (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − x = an−1 n . Z Exemplo 11. Calcular o limite lim x→∞ (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − (xm + m−1∑ k=0 akx k) 1 m . Escrevemos o limite como lim x→∞ (xn + n−1∑ k=0 akx k) 1 n − x− [ (xm + m−1∑ k=0 akx k) 1 m − x] = que pelo limite que calculamos no exemplo anterior e´ = an−1 n − am−1 m . Z Exemplo 12. Calcule o limite lim x→−∞ 3 √ x3 + x− 3 √ x3 + 2. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 11 Trocamos x por −x da´ı o limite fica como lim x→∞ 3 √ −x3 − x− 3 √ −x3 + 2 = lim x→∞ − 3 √ x3 + x+ 3 √ x3 − 2 = 0, sendo zero pelo exemplo anterior, pois os coeficientes de x2 sa˜o nulos dentro de cada raiz . Z Exemplo 13. Calcular o limite lim x→0− √ 1 x 2 + 1 x + 1 + 1 x . lim x→0+ √ 1 x 2 − 1 x + 1− 1 x = lim x→∞ √ x2 − x+ 1− x = −1 2 . Z Exemplo 14. Calcular o limite lim x→−∞ √ x2 + 3x+ 2 + x. lim x→−∞ √ x2 + 3x+ 2 + x = lim x→∞ √ x2 − 3x+ 2− x = −3 2 . Z Exemplo 15. Calcular o limite lim x→∞ x(xn(n−1) + n−2∑ k=0 akx kn) 1 n − xn. lim x→∞ x(xn(n−1) + n−2∑ k=0 akx kn) 1 n − xn = lim x→∞ (xn[xn(n−1) + n−2∑ k=0 akx kn]) 1 n − xn = tomamos xn = y da´ı = lim y→∞ (y[y(n−1) + n−2∑ k=0 aky k]) 1 n − y o resultado cai no exemplo anterior , o resultado do limite e´ an−2 2 . Z Exemplo 16. Calcular o limite lim x→∞ √ x+ g(x)−√x CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 12 onde lim x→∞ g(x)√ x = a e lim x→∞ g(x) x = b Usamos a identidade y2 − a2 = (y + a)(y − a) √ x+ g(x)−√x = g(x)√ x+ g(x) + √ x colocamos √ x em evideˆncia g(x)√ x 1√ 1 + g(x) x + 1 o limite da primeira parcela e´ a o limite da segunda parcela e´ 1√ 1 + b+ 1 . Enta˜o vale lim x→∞ √ x+ g(x)−√x = a√ b+ 1 + 1 . Z Exemplo 17. Calcular o limite lim x→∞ √ x+ √ a2x+ √ · · ·+√anx− √ x onde temos n ra´ızes ”encaixadas”e cada nu´mero ak e´ positivo. Nesse caso temos g(x) =√ a2x+ √ · · ·+√anx, lim x→∞ g(x) x = 0 e lim x→∞ g(x)√ x = a2, portanto lim x→∞ √ x+ √ a2x+ √ · · ·+√anx− √ x = a2 2 . 1.1.4 lim x→∞ n √ x+ g(x)− n√x. Z Exemplo 18. Calcular o limite lim x→∞ n √ x+ g(x)− n√x onde lim x→∞ g(x) n √ xn−1 = c e lim x→∞ g(x) x = b.Usamos a identidade yn−an = (y−a)( n−1∑ k=0 ykan−1−k), tomando y = n √ x+ g(x) e a = n √ x temos n √ x+ g(x)− n√x = g(x) n−1∑ k=0 ( n √ x+g(x) n√x )k n √ x n−1 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 13 colocamos n √ x n−1 em evideˆncia n √ x+ g(x)− n√x = g(x) n √ x n−1 1 n−1∑ k=0 ( n √ 1 + g(x) x )k tomando o limite lim x→∞ n √ x+ g(x)− n√x = c 1 n−1∑ k=0 ( n √ 1 + b )k = a( n√b+ 1− 1)b se b 6= 0, se b = 0 temos lim x→∞ n √ x+ g(x)− n√x = c n . Z Exemplo 19. Calcular o limite lim x→∞ n √ x+ n √ a2x+ n √ · · ·+ n√apx− n √ x se n > 2. Tomamos g(x) = n √ a2x+ n √ · · ·+ n√apx e temos lim x→∞ g(x) n √ xn−1 = 0 e lim x→∞ g(x) x = 1 da´ı lim x→∞ n √ x+ n √ a2x+ n √ · · ·+ n√apx− n √ x = 0. Z Exemplo 20. Calcular o limite lim x→a √ n1x+ n0 − t1√ d1x+ d0 − t2 onde n1a+ n0 = t 2 1 , d1a+ d0 = t 2 2, n1, d1 > 0 , d2, n2 ≥ 0, t1 6= 0. Racionalizamos o numerador e o denominador lim x→a √ n1x+ n0 − t1√ d1x+ d0 − t2 = lim x→a n1x+ n0 − t21 d1x+ d0 − t22 √ d1x+ d0 + t2√ n1x+ n0 + t1 = lim x→a n1(x− a) d1(x− a) √ d1x+ d0 + t2√ n1x+ n0 + t1 = = lim x→a n1 d1 √ d1x+ d0 + t2√ n1x+ n0 + t1 = n1t2 d1t1 onde usamos que −n1a− n0 = −t21 , −d1a− d0 = −t22 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 14 Z Exemplo 21. Vamos calcular lim x→1 √ x− 1√ 2x+ 3−√5 . Simplificamos a expressa˜o racionalidando o numerador e denominador √ x− 1√ 2x+ 3−√5 = ( √ x− 1)(√x+ 1) ( √ 2x+ 3−√5)(√2x+ 3 +√5) . √ 2x+ 3 + √ 5 ( √ x+ 1) = = x− 1 2(x− 1) . √ 2x+ 3 + √ 5 ( √ x+ 1) = √ 2x+ 3 + √ 5 2( √ x+ 1) , enta˜o basta calcular o limite nessa u´ltima expressa˜o, que vale para x 6= 1, temos enta˜o que lim x→1 √ x− 1√ 2x+ 3−√5 = limx→1 √ 2x+ 3 + √ 5 2( √ x+ 1) = 2 √ 5 2.2 = √ 5 2 . Enta˜o o limite e´ lim x→1 √ x− 1√ 2x+ 3−√5 = √ 5 2 , observe tambe´m que tal exemplo e´ caso particular do exemplo anterior . Z Exemplo 22. Calcule o limite lim x→1 2n∏ k=1 (1− x)k [ n∏ k=1 (1− x)k]2 . Podemos simplificar os produto´rios e usar fatorac¸a˜o dos polinoˆmios para mostrar que lim x→1 2n∏ k=1 (1− x)k [ n∏ k=1 (1− x)k]2 = ( 2n n ) . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 15 1.1.5 lim x→1 n.xn+1 − (n+ 1)xn + 1 xp+1 − xp − x+ 1 . Z Exemplo 23. Calcule o limite lim x→1 n.xn+1 − (n+ 1)xn + 1 xp+1 − xp − x+ 1 . Fatorando o denominador temos que xp+1 − xp − x+ 1 = (x− 1)(xp − 1) = (x− 1)2. p−1∑ k=0 xk. Agora fatorando o numerador, temos n.xn+1 − (n+ 1)xn + 1 = (x− 1) ( nxn − x n − 1 x− 1 ) = (x− 1) ( nxn − n−1∑ k=0 xk ) , tais fatorac¸o˜es podem ser deduzidas por meio de algoritmo de divisa˜o, de onde tambe´m se pode deduzir nxn − n−1∑ k=0 xk = (x− 1) n−1∑ k=0 (k + 1)xk, que para demonstrar, basta multiplicar e simplificar (x−1) n−1∑ k=0 (k+1)xk = n−1∑ k=0 (k+1)xk+1− n−1∑ k=0 (k+1)xk = xn−1+ n−1∑ k=1 (k)xk− n−1∑ k=1 (k+1)xk = = xn − 1− n−1∑ k=1 xk = xn − n−1∑ k=0 xk, como quer´ıamos demonstrar. Enta˜o no numerador ficamos com n.xn+1 − (n+ 1)xn + 1 = (x− 1)2 n−1∑ k=0 (k + 1)xk, e podemos agora calcular o limite lim x→1 nxn+ 1− (n+ 1)xn + 1xp+1 − xp − x+ 1 = limx→1 (x− 1)2 n−1∑ k=0 (k + 1)xk (x− 1)2 p−1∑ k=0 xk = = lim x→1 n−1∑ k=0 (k + 1)xk p−1∑ k=0 xk = n−1∑ k=0 (k + 1) p−1∑ k=0 1 = n(n+ 1) 2p , CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 16 onde usamos que n−1∑ k=0 (k + 1) = n(n+ 1) 2 e p−1∑ k=0 1 = p. Portanto lim x→1 n.xn+1 − (n+ 1)xn + 1 xp+1 − xp − x+ 1 = n(n+ 1) 2p . 1.1.6 Z Exemplo 24. Calcula o limite lim t→∞ n∑ k=0 akt k (aptpu + m∑ k=0 aktk) 1 p onde u ≥ n, ap > 0 e up > m. Colocamos tpu lim t→∞ n∑ k=0 akt k [tpu(ap + m∑ k=0 aktk−pu)] 1 p = lim t→∞ ant n + n−1∑ k=0 akt k tu(ap + m∑ k=0 aktk−pu) 1 p = = lim t→∞ ant n−u + n−1∑ k=0 akt k−u (ap + m∑ k=0 aktk−pu) 1 p = lim t→∞ ant n−u a 1 p p com u ≥ n se u > n enta˜o o limite e´ zero , se n = u resulta em an a 1 p p . 1.2 Limites trigonome´tricos 1.2.1 O limite fundamental lim sen(x) x = 1 b Propriedade 1. Vale lim sen(x) x = 1. ê Demonstrac¸a˜o. Se 0 < |x| < pi 2 vale sen(x) < x < tg(x) e da´ı 1 < x sen(x) < 1 cos(x) CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 17 que implica cos(x) < sen(x) x < 1, por sandu´ıche segue lim sen(x) x = 1. Z Exemplo 25. Calcule o limite lim x→0 √ 1 + sen(x)−√1− sen(x) 2x . Fazemos uma racionalizac¸a˜o lim x→0 (√ 1 + sen(x)−√1− sen(x) 2x )(√ 1 + sen(x) + √ 1− sen(x)√ 1 + sen(x) + √ 1− sen(x) ) = simplificando chegamos em = lim x→0 ( 1 + sen(x)− (1− sen(x)) 2x )( 1√ 1 + sen(x) + √ 1− sen(x) ) = = lim x→0 →1︷ ︸︸ ︷( 2sen(x) 2x )( 1√ 1 + sen(x) + √ 1− sen(x) ) ︸ ︷︷ ︸ → 1 2 = 1 2 . Z Exemplo 26. Calcule o limite lim x→1 sen(3x2 − 5x+ 2) (x2 + x− 2) . Primeiro fatoramos as expresso˜es polinomiais 3x2−5x+2 = 3(x−1)(x− 2 3 ) x2+x−2 = (x+ 2)(x− 1), da´ı lim x→1 sen(3x2 − 5x+ 2) (x2 + x− 2) = limx→1 sen(3(x− 1)(x− 2 3 )) (x+ 2)(x− 1) = = lim x→1 sen(3(x− 1)(x− 2 3 )) 3(x− 1)(x− 2 3 )︸ ︷︷ ︸ →1 pelo limite fundamental 3(x− 2 3 ) (x+ 2)︸ ︷︷ ︸ → 1 3 logo o resultado e´ 1 3 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 18 Z Exemplo 27. Calcule lim x→0+ (sen(x))x. Tomamos o logaritmo lim x→0+ x ln(sen(x)) = lim x→0+ →1︷ ︸︸ ︷ x sen(x) →0︷ ︸︸ ︷ sen(x) ln(sen(x)) = 0 o logaritmo tendendo a zero implica que lim x→0+ (sen(x))x = 1. Z Exemplo 28. Calcule lim x→0 1− cos(xs) n∏ k=1 senck(xlk) onde x2s = n∏ k=1 xlkck . Multiplicamos por 1+cos(xs) no numerador e no denominador, no numerador ficamos com sen2(xs) lim x→0 x2ssen2(xs) 1 + cos(x2)(xs)2 n∏ k=1 xlkck n∏ k=1 senck (xlk ) xlkck = 1 2 . Z Exemplo 29. Calcule o limite lim x→a sen(p(x)) g(x) onde p e g sa˜o polinoˆmios em que a e´ zero de ordem r. Como a e´ zero de ordem r, enta˜o podemos escrever p(x) = (x− a)rp1(x) e g(x) = (x− a)rg1(x) onde p1(a), g1(a) 6= 0 logo temos lim x→a sen(p(x)) g(x) = lim x→a sen((x− a)rp1(x)) (x− a)rg1(x) = = lim x→a sen((x− a)rp1(x)) (x− a)rp1(x)︸ ︷︷ ︸ →1 p1(x) g1(x) = p1(a) g1(a) . Nesse caso mostramos que vale CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 19 lim x→a sen(p(x)) g(x) = lim x→a p(x) g(x) podemos ignorar a func¸a˜o seno e aplicar o limite no quociente dos polinoˆmios. Z Exemplo 30. Calcule o limite lim x→0 sen(sen(· · · sen(x))) x = lim x→0 sen(p)(x) x onde sen(p)(x) e´ a p-e´sima composic¸a˜o de sen(x) com si mesmo. Vamos provar por induc¸a˜o sobre p que lim x→0 sen(p)(x) x = 1. Para p = 0 vale sen(0)(x) = x, por definic¸a˜o, logo vale a identidade, se p = 1 tambe´m vale pelo limite fundamental. Suponha validade para p, vamos provar para p+ 1 lim x→0 sen(p+1)(x) x = lim x→0 sen(sen(p)(x)) sen(p)(x)︸ ︷︷ ︸ →1 sen(p)(x) x︸ ︷︷ ︸ →1 = 1 . 1.2.2 lim x→0 cos(x)− 1 x . b Propriedade 2. lim x→0 cos(x)− 1 x = 0. ê Demonstrac¸a˜o. Da identidade sen2(x) = 1− cos(2x) 2 , tem-se −2sen2(x) = cos(2x)− 1 e da´ı −2sen2(x 2 ) = cos(x)− 1 e se x 6= 0, −2sen 2(x 2 ) x = cos(x)− 1 x lim x→0 cos(x)− 1 x = lim x→0 −2 sen( x 2 ) 2x 2︸ ︷︷ ︸ lim=1 sen( x 2 )︸ ︷︷ ︸ lim=0 = 0. Z Exemplo 31. Sejam n, t, p reais positivos com n > t calcule lim x→0 sen(xn + 1 xp )− sen( 1 xp ) xt . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 20 Temos que sen(xn + 1 xp ) = sen(xn)cos( 1 xp ) + sen( 1 xp )cos(xn) logo lim x→0 sen(xn)cos( 1 xp ) + sen( 1 xp )cos(xn)− sen( 1 xp ) xt = lim x→0 sen(xn)cos( 1 xp ) + sen( 1 xp )(cos(xn)− 1) xt = = lim x→0 →0︷︸︸︷ xn−t limitado︷ ︸︸ ︷ sen(xn)cos( 1 xp ) xn + lim x→0 →0︷︸︸︷ xn−t limitado︷ ︸︸ ︷ sen( 1 xp )(cos(xn)− 1) xn = 0. Z Exemplo 32. Calcular o limite lim x→0 x− sen(x) x3 . Usamos a identidade sen(3x) = 3sen(x)−4sen3(x) e a transformac¸a˜o 3y = x, o limite fica como lim x→0 x− sen(x) x3 = lim y→0 3y − sen(3y) 27y3 = lim y→0 3y − sen(3y) 27y3 = = lim y→0 3y − 3sen(y) + 4sen3(y) 27y3 = 3 lim y→0 y − sen(y) 27y3 + lim y→0 4sen3(y) 27y3 = L 9 + 4 27 enta˜o L = L 9 + 4 27 o que implica L = 1 6 . Z Exemplo 33. Calcule lim x→0 x− sen(x) x2 . Usamos a identidade sen(3x) = 3sen(x)−4sen3(x) e a transformac¸a˜o 3y = x, o limite fica como L = lim x→0 x− sen(x) x2 = lim y→0 3y − sen(3y) 9y2 = lim y→0 3y − sen(3y) 9y2 = = lim y→0 3y − 3sen(y) + 4sen3(y) 9y2 = 3 lim y→0 1 9 →L︷ ︸︸ ︷ y − sen(y) y2 + lim y→0 →0︷ ︸︸ ︷ 4ysen3(y) 9y3 = L 3 enta˜o L = L 3 o que implica L = 0. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 21 1.2.3 lim x→0 1 + cos(x) x2 Z Exemplo 34. Calcule lim x→0 1 + cos(x) x2 . Temos que 1− cos(x) x2 = 1− cos(x) x2 1 + cos(x) 1 + cos(x) = 1− cos2(x) x2 1 1 + cos(x) = pore´m temos que 1− cos2(x) = sen2(x), da´ı = sen2(x) x2 1 1 + cos(x) = 1− cos(x) x2 , tomando o limite x→ 0, segue que lim x→0 1 + cos(x) x2 = lim x→0 sen2(x) x2 1 1 + cos(x) = 1 2 . Z Exemplo 35. Calcule lim x→0 xcos(x)− sen(x) x3 . Escrevemos xcos(x)− sen(x) x3 = x− x+ xcos(x)− sen(x) x3 = x− sen(x) x3 + −x(1− cos(x)) x3 = = x− sen(x) x3 − 1− cos(x) x2 , enta˜o lim x→0 xcos(x)− sen(x) x3 = lim x→0 x− sen(x) x3 − 1− cos(x) x2 = 1 6 − 1 2 = −1 3 . 1.2.4 lim x→0 senp(ax) c(bx)p Z Exemplo 36. Calcule o limite lim x→0 senp(ax) (bx)p onde p > 0 e b 6= 0 . Escrevemos senp(ax) (bx)p = senp(ax) bp(xp) = ap bp senp(ax) (ax)p , CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 22 da´ı lim x→0 senp(ax) (bxp) = lim x→0 ap bp →1︷ ︸︸ ︷ senp(ax) (ax)p = (a b )p . Portanto lim x→0 senp(ax) (bx)p = (a b )p . Z Exemplo 37. Calcule o limite lim x→0 tgp(ax) (bx)p . Escrevemos o limite como lim x→0 tgp(ax) (bx)p = lim x→0 →(ab ) p︷ ︸︸ ︷ senp(ax) (bx)p →1︷ ︸︸ ︷ 1 cosp(ax) = (a b )p Portanto lim x→0 tgp(ax) (bx)p = (a b )p , onde usamos o limite anterior. Z Exemplo 38. Calcular lim x→0 xp+qg(x) senp(x) onde g e´ uma func¸a˜o limitada. lim x→0 xp+qg(x) senp(x) = lim x→0 xqg(x) ( sen(x) x )p = 0 pois o numerador tende a zero e o denominador tende a um. 1.2.5 lim x→k sen(pix) x− k . Z Exemplo 39. Calcular o limite lim x→k sen(pix)x− k onde k e´ inteiro . Fazemos a mudanc¸a x− k = y, x = y + k, da´ı o limite se escreve como lim y→0 pisen(piy + pik) piy = lim y→0 pi[sen(piy) (−1)k︷ ︸︸ ︷ cos(pik)+cos(piy) 0︷ ︸︸ ︷ sen(pik)] piy = (−1)kpi. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 23 1.2.6 lim x→k tg(pix) x− k = pi. Z Exemplo 40. Calcular o limite lim x→k tg(pix) x− k . Temos que lim x→k tg(pix) x− k = limx→k →(−1)kpi︷ ︸︸ ︷ sen(pix) x− k . 1 cos(pix)︸ ︷︷ ︸ →(−1)k = pi. Portanto lim x→k tg(pix) x− k = pi. Z Exemplo 41. Calcular o limite lim x→0 sen(ax) sen(bx) . lim x→0 sen(ax) sen(bx) = lim x→0 sen(ax)(bx) (ax)sen(bx) a b = a b . 1.2.7 lim x→0 cos(ax)− cos(bx) x2 . Z Exemplo 42. Calcular o limite lim x→0 cos(ax)− cos(bx) x2 . Vale que cos(x) = 1− 2sen2(x 2 ), que pode ser deduzido usando cos2(x) = 1− sen2(x) subsitu´ıdo em cos(2x) = cos2(x)− sen2(x), cos(ax)− cos(bx) = 1− 2sen2(ax 2 )− 1 + 2sen2(bx 2 ) = 2(sen2( bx 2 )− sen2(ax 2 )) enta˜o o limite fica como 2 lim x→0 sen2( bx 2 ) x2 − sen 2(ax 2 ) x2 = 2 lim x→0 b2sen2( bx 2 ) 4( bx 2 )2 − a 2sen2(ax 2 ) 4(ax 2 )2 = 2( b2 − a2 4 ) = b2 − a2 2 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 24 Nos casos de b2 − a2 = 0 a expressa˜o tambe´m vale pois a expressa˜o com cosseno se anula no numerador. Caso a = 0 temos o limite lim x→0 1− cos(bx) x2 = b2 2 em especial lim x→0 1− cos(x) x2 = 1 2 . Z Exemplo 43. Calcular o limite lim x→0 cos(2x)− cos(3x) x2 . Tomamos no exemplo acima a = 2, b = 3, da´ı o valor do limite e´ 5 2 . Z Exemplo 44. Calcule o limite lim x→0 sen2(cx) cos(ax)− cos(bx) . Temos que lim x→0 sen2(cx) cos(ax)− cos(bx) = limx→0 sen2(cx) x2 x2 cos(ax)− cos(bx) = = lim x→0 c2 →1︷ ︸︸ ︷ sen2(cx) (cx)2 x2 cos(ax)− cos(bx) = 2c2 b2 − a2 . Com isso em especial temos que lim x→0 sen2(4x) cos(3x)− 1 = 2.42 02 − 32 = 32 9 Z Exemplo 45. Calcule lim x→0 (cos(ax)− cos(bx))m x2m . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 25 Usando o exemplo anterior, temos que lim x→0 (cos(ax)− cos(bx))m x2m = lim x→0 ( cos(ax)− cos(bx) x2 )m = ( b2 − a2 2 )m. Como exemplo, seja a = 0, b = 1 e m = −1 2 , segue que lim x→0 x√ 1− cos(x) = ( 1 2 ) −1 2 = √ 2. Z Exemplo 46. lim x→0 √ 1 + tg(x)−√1 + sen(x) x3 . Primeiro racionalizamos multiplicando o numerador e o denominador por √ 1 + tg(x)+√ 1 + sen(x), chegamos em lim x→0 √ 1 + tg(x)−√1 + sen(x) x3 = lim x→0 tg(x)− sen(x) x3 1√ 1 + tg(x) + √ 1 + sen(x) = usando que tg(x) = sen(x) cos(x) e simplificando tem-se = lim x→0 1︷ ︸︸ ︷ sen(x) x 1− cos(x) x2︸ ︷︷ ︸ 1 2 1︷ ︸︸ ︷ 1 cos(x) 1√ 1 + tg(x) + √ 1 + sen(x)︸ ︷︷ ︸ 1 2 = 1 4 . Z Exemplo 47. Calcular o limite lim x→0 cos(ax)− cos(bx) cos(cx)− cos(dx) onde c2 − d2 6= 0. lim x→0 cos(ax)− cos(bx) cos(cx)− cos(dx) = limx→0 cos(ax)− cos(bx) x2 x2 cos(cx)− cos(dx) = b2 − a2 d2 − c2 . Z Exemplo 48. Calcular o limite lim x→0 sec(ax)− sec(bx) x2 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 26 lim x→0 sec(ax)− sec(bx) x2 = lim x→0 cos(bx)− cos(ax) x2cos(ax)cos(bx) = a2 − b2 2 . Z Exemplo 49. Calcular o limite lim x→0 sec(ax)− sec(bx) sec(cx)− sec(dx) . lim x→0 sec(ax)− sec(bx) sec(cx)− sec(dx) = limx→0 sec(ax)− sec(bx) x2 x2 sec(cx)− sec(dx) = a2 − b2 c2 − d2 Z Exemplo 50. Calcular o limite lim x→0 sen(ax)− sen(bx) x . lim x→0 sen(ax)− sen(bx) x = lim x→0 a sen(ax) ax − bsen(bx) bx = a− b. Z Exemplo 51. Calcular o limite lim x→0 sen(ax)− sen(bx) sen(cx)− sen(dx) . lim x→0 sen(ax)− sen(bx) sen(cx)− sen(dx) = limx→0 sen(ax)− sen(bx) x x sen(cx)− sen(dx) = a− b c− d. Z Exemplo 52. Calcular os limites lim x→0 tg(ax)− tg(bx) x , lim x→0 tg(ax)− tg(bx) tg(cx)− tg(dx) . lim x→0 tg(ax)− tg(bx) x = lim x→0 a sen(ax) axcos(ax) − b sen(bx) bxcos(bx) = a− b portanto lim x→0 tg(ax)− tg(bx) tg(cx)− tg(dx) = a− b c− d. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 27 Z Exemplo 53. Calcular o limite lim x→0 p∑ k=0 ( p k ) cosk(x)(−1)p−k xp . Usamos o binoˆmio de Newton p∑ k=0 ( p k ) cosk(x)(−1)p−k = (cos(x) − 1)p, da´ı o limite fica como lim x→0 (cos(x)− 1)p xp = 0. Z Exemplo 54. Calcular o limite lim x→0 1− 2cos(x) + cos(2x) x2 . Usamos que cos(2x) = cos2(x)− sen2(x), da´ı lim x→0 1− 2cos(x) + cos(2x) x2 = lim x→0 1− 2cos(x) + cos2(x)− sen2(x) x2 = lim x→0 (cos(x)− 1)2 x2 − lim x→0 sen2(x) x2 = −1. Z Exemplo 55. Calcular o limite lim x→0 1− 2cos(x) + cos2(x) + sen2(x) x2 . lim x→0 1− 2cos(x) + cos2(x) + sen2(x) x2 = (cos(x)− 1)2 x2 + lim x→0 sen2(x) x2 = 1. lim x→0 −2(cos(x)− 1) x2 = 1. 1.2.8 lim x→0 senp(x) sen(xp) . Z Exemplo 56. Calcular lim x→0 senp(x) sen(xp) . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 28 lim x→0 senp(x) sen(xp) = lim x→0 senp(x) xp xp sen(xp) = 1.1 = 1. Pois lim x→0 senp(x) xp = 1︷ ︸︸ ︷ lim x→0 sen(x) x p = 1 e lim x→0 xp sen(xp) = 1 tambe´m pois caso x → 0 temos xp → 0 podemos tomar y = xp que cai no limite lim x→0 xp sen(xp) = lim y→0 y sen(y) = 1, inverso do limite fundamental para a func¸a˜o seno . 1.2.9 Limites envolvendo tangente 1.2.10 lim x→0 tg(ax) bx . Z Exemplo 57. Calcule o limite lim x→0 tg(ax) bx . Temos que lim x→0 tg(ax) bx = lim x→0 a b →1︷ ︸︸ ︷ sen(ax) ax →1︷ ︸︸ ︷ 1 cos(ax) = a b , onde usamos que tg(x) = sen(x) cos(x) , o limite fundamental e continuidade de cosseno . 1.2.11 lim x→0 tg(ax) sen(bx) = a b Z Exemplo 58. Calcule o limite lim x→0 tg(ax) sen(bx) . Escrevemos a expressa˜o como tg(ax) sen(bx) = sen(ax) cos(ax)sen(bx) = sen(ax) ax . bx sen(bx) . ax bxcos(ax) , CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 29 usando o limite fundamental segue que lim x→0 tg(ax) sen(bx) = lim x→0 →1︷ ︸︸ ︷ sen(ax) ax . →1︷ ︸︸ ︷ bx sen(bx) . →a b︷ ︸︸ ︷ a bcos(ax) = a b , portanto temos que lim x→0 tg(ax) sen(bx) = a b . Por exemplo temos que lim x→0 tg(3x) sen(4x) = 3 4 . 1.3 Limite de func¸a˜o exponencial b Propriedade 3. Para qualquer polinoˆmio P (x) tem-se lim x→∞ P (x) eax = 0, onde a > 0. ê Demonstrac¸a˜o. Consideramos o caso de P (x) = xn, enta˜o escrevendo e ax n = y tem-se ax = n ln(y), se x→∞ enta˜o y →∞ (aqui usamos explicitamente que a > 0) da´ı lim x→∞ x e ax n = lim y→∞ n ln(y) ay = 0 logo1 lim x→∞ ( x ea x n )n = lim x→∞ xn eax = 0. No caso geral lim x→∞ n∑ k=0 akx k eax = lim x→∞ xn n∑ k=0 akx k−n eax = 0 pois lim x→∞ n∑ k=0 akx k−n = an logo o limite do produto e´ o produto dos limites an.0 = 0. 1Provamos o limite lim y→∞ n ln(y) y = 0 na sec¸a˜o sobre logaritmos, sem usar propriedade de limite de exponencial, na˜o estamos usando argumento circular. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 30 Z Exemplo 59. Calcule os limites lim n→∞ ( lim x→∞ ( n∑ k=1 xk k! ) e−x ) e lim x→∞ ( lim n→∞ ( n∑ k=1 xk k! ) e−x ) . Temos que lim x→∞ n∑ k=1 xk k! ex = 0 pelo exemplo anterior, enta˜o lim n→∞ (lim x→∞ ( n∑ k=1 xk k! ) e−x ) = 0. Agora para o segundo limite, usamos que lim n→∞ ( n∑ k=1 xk k! ) = ex, por isso lim x→∞ ( lim n→∞ ( n∑ k=1 xk k! ) e−x ) = lim x→∞ 1︷ ︸︸ ︷ ex.e−x = 1. Percebemos com isso que nem sempre podemos trocar a ordem de limites, isto e´, pode acontecer de lim n→∞ lim x→∞ fn(x) 6= lim x→∞ lim n→∞ fn(x). Z Exemplo 60. Calcular o limite lim x→0 ax − 1 x , com a > 0. Tomamos ax − 1 = y ⇒ ln(y + 1) = x ln(a) e o limite fica como lim y→0 y ln(a) ln(y + 1) = lim y→0 ln(a) ln(y + 1) 1 y = ln(a) 1 limy→0 ln(y + 1) 1 y = ln(a) ln(e) = ln(a). Logo lim x→0 ax − 1 x = ln(a). Como corola´rio temos lim x→0 ex − 1 x = 1. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 31 E tambe´m que lim h→0 ax+h − ax h = ax lim h→0 ah − 1 h = ax ln(a). Z Exemplo 61. Calcule o limite lim x→0 ax n+1 − 1 x , onde n > 0. Multiplicamos o limite no numerador e no denominador por xn lim x→0 ax n+1 − 1 x = lim x→0 xn(ax n+1 − 1) xn+1 = lim x→0 xn. lim x→0 ax n+1 − 1 xn+1 = 0. ln(a) = 0. Pois lim x→0 xn = 0 da condic¸a˜o n > 0 e lim x→0 ax n+1 − 1 xn+1 = ln(a) pois tomando y = xn+1 temos que y → 0 quando x→ 0 e por isso esse u´ltimo limite e´ equivalente a` lim y→0 ay − 1 y = ln(a), como calculamos no exemplo anterior. Z Exemplo 62. Calcule o limite lim x→∞ x(a 1 x − 1), com a > 0. Trocamos a varia´vel x→∞ por 1 x → 0, logo o limite fica como lim x→0 (ax − 1) x = ln(a) pelo que calculamos no exemplo anterior . Z Exemplo 63. Calcular lim x→∞ (1 + a x )cx+b. Tomamos y = a x , da´ı x = a y e o limite fica como lim y→0 (1 + y) ca y (1 + y)b = lim y→0 (1 + y) ca y = eca. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 32 Z Exemplo 64. Calcular o limite lim x→∞ ( x+ b x+ d )cx+f . Primeiro colocamos x em evideˆncia no numerador e no denominador dentro da poteˆncia lim x→∞ ( 1 + b x 1 + d x )cx+f = ec(b−d) onde usamos o resultado do exemplo anterior. Z Exemplo 65. Calcular lim x→∞ ( ax+ b ax+ d )cx+f . Mesmo procedimento do limite anterior lim x→∞ ( ax+ b ax+ d )cx+f = ( 1 + b ax 1 + d ax )cx+f = e c a (b−d). Vamos analisar o caso lim x→∞ ( ax+ b tx+ d )cx+f , colocamos ax e tx em evideˆncia, lim x→∞ ( ax+ b tx+ d )cx+f = lim x→∞ (ax tx )cx+f ( 1 + b ax 1 + d tx )cx+f = = lim x→∞ (a t )cx+f converge︷ ︸︸ ︷( 1 + b ax 1 + d tx )cx+f . Enta˜o a convergeˆncia fica condicionada a ana´lise de (a t )cx+f . Suponha a, t, c positivos, se a t > 1, temos que lim x→∞ (a t )cx+f → ∞, logo o limite tende a infinito, se a t < 1 enta˜o lim x→∞ (a t )cx+f → 0, e caso a = t ja´ calculamos. Como exemplo, ( 3x+ 1 2x+ 3 )x = ( 3 2 )x(1 + 1 3x 1 + 3 2x )x →∞. Z Exemplo 66. Calcular lim x→∞ (ax+ b)cx+f+g (ax+ d)cx+f . lim x→∞ (ax+ b)cx+f+g (ax+ d)cx+f = lim x→∞ (ax+ b)cx+f (ax+ d)cx+f (ax+ b)g. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 33 1. Se g = 0 ca´ımos no caso anterior dando e c a (b−d). 2. Caso g < 0 , temos 1 (ax+ b)−g com denominador tendendo a −∞ ou +∞ logo o termo tende a zero e o limite inicial tambe´m pois o outro termo no limite converge. 3. Caso g > 0 , se a > 0 segue que (ax+ b)g →∞ e o limite tambe´m, caso a < 0 segue que (ax+ b)g → −∞ e o limite inicial tambe´m. Nestes casos , so´ precisamos tomar cuidado de na˜o termos base negativa e expoente na˜o inteiro. Caso por exemplo d = 0, a = 1 = b = f = c e g = −1, temos o limite lim x→∞ (x+ 1)x (x)x+1 = 0, pois cai no caso 2. b Propriedade 4. Vale que lim x→0 ex − p−1∑ k=0 xk k! xp = 1 p! . ê Demonstrac¸a˜o.[1-Se´rie] ex = ∞∑ k=0 xk k! = p−1∑ k=0 xk k! + ∞∑ k=p xk k! assim ex − p−1∑ k=0 xk k! = ∞∑ k=p xk k! dividindo por xp ex − p−1∑ k=0 xk k! xp = ∞∑ k=p xk−p k! = ∞∑ k=0 xk (k + p)! tomando x = 0 = ∞∑ k=0 0k (k + p)! = 00 p! = 1 p! . Caso p = 2 temos lim x→0 ex − 1− x x2 = 1 2 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 34 ê Demonstrac¸a˜o.[2-Definic¸a˜o de e] Vamos tentar demonstrar esse limite sem o uso de se´ries. Usaremos a expressa˜o ex = lim n→∞ (1 + x n )n. Iremos trabalhar a expressa˜o (1 + x n )n − p−1∑ k=0 xk k! = para n > p, expandindo (1 + x n )n por binoˆmio de Newton tem-se = n∑ k=0 ( n k ) ( x n )k − p−1∑ k=0 xk k! = p−1∑ k=0 ( n k ) ( x n )k + ( n p ) ( x n )p + n∑ k=p+1 ( n k ) ( x n )k︸ ︷︷ ︸ n∑ k=0 (nk)( x n )k − p−1∑ k=0 xk k! = onde abrimos o primeiro somato´rio em treˆs partes, agora colocamos em evideˆncia os somato´rios que variam de k = 0 ate´ p− 1 = p−1∑ k=0 xk ( ( n k ) 1 nk − 1 k! )︸ ︷︷ ︸ →0 + ( n p ) ( x n )p︸ ︷︷ ︸ →xp p! + n−p−1∑ k=0 ( n k + p+ 1 ) (x)k+p+1 1 nk+p+1 = perceba agora que lim n→∞ ( n k ) 1 nk = lim n→∞ 1 k! ( n n ) · · · (n− k + 1 n ) = 1 k! , pois cada fator tende a` 1, por isso ao tomarmos n→∞ o primeiro somato´rio e´ anulado, dividindo a expressa˜o por xp e aplicando os limites temos lim x→0 lim n→∞ 1 p! + n−p−1∑ k=0 ( n k + p+ 1 ) (x)k+1 1 nk+p+1 = trocando a ordem dos limites lim n→∞ lim x→0 1 p! + n−p−1∑ k=0 ( n k + p+ 1 ) (x)k+1︸ ︷︷ ︸ →0 1 nk+p+1 = 1 p! portanto lim x→0 ex − p−1∑ k=0 xk k! xp = 1 p! . Z Exemplo 67. Calcular o limite lim x→0 ex p − 1 x CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 35 onde p > 1. Fazemos a mudanc¸a ex p − 1 = y da´ı ln(y + 1) = xp ⇒ p √ ln(y + 1) = x, da´ı o limite fica como lim y→0 y p √ ln(y + 1) = lim y→0 y p √ ln(y + 1) = lim y→0 p √ ln(y + 1)p−1 ln(y + 1) 1 y = 0 pois o numerador tende a zero e o denominador tende a` 1. Z Exemplo 68. Calcular lim x→0− e 1 x . lim x→0− e 1 x = lim x→−∞ ex = lim x→∞ 1 ex = 0. Z Exemplo 69. Calcular lim x→0 ex − e−x − 2 p−1∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! x2p . Escrevemos como ex − 2p−1∑ k=0 xk (k)! + 2p−1∑ k=0 xk (k)! − e−x − 2 p−1∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! x2p = = ex − 2p−1∑ k=0 xk (k)! x2p︸ ︷︷ ︸ → 1 (2p)! + −e−x + p∑ k=0 x2k (2k)! − p−1∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! x2p → tomando y = −x tem-se na segunda expressa˜o −( ey − p∑ k=0 y2k (2k)! − p−1∑ k=0 y2k+1 (2k+1)! y2p )→ − 1 (2p)! logo a soma tende a zero. Z Exemplo 70. Calcular lim x→0 ex − e−x − 2 p−1∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! x2p+1 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 36 Escrevemos como ex − 2p−1∑ k=0 xk (k)! + 2p−1∑ k=0 xk (k)! − e−x − 2 p−1∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! x2p+1 = = ex − 2p−1∑ k=0 xk (k)! x2p︸ ︷︷ ︸ → 1 (2p)! + −e−x + p∑ k=0 x2k (2k)! − p−1∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! x2p+1 → tomando y = −x tem-se na segunda expressa˜o ey − p∑ k=0 y2k (2k)! − p−1∑ k=0 y2k+1 (2k+1)! y2p+1 → 1 (2p)! logo a soma tende a 2 (2p)! . Z Exemplo 71. Calcular o limite lim h→0 ax − bx x . lim h→0 ax − bx x = lim h→0 ax − 1 x − b x − 1 x = ln(a)− ln(b) = ln(a b ). Z Exemplo 72. Calcular o limite lim h→0 ax − bx cx− dx . lim h→0 ax − bx cx − dx = limh→0 ax − bx x x cx − dx = ln(a b ) ln( c d ) . Z Exemplo 73. Calcular o limite lim x→∞ ex xp onde p ∈ R. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 37 Usamos que ex = lim n→∞ (1 + x n )n = lim n→∞ n∑ k=0 ( n k ) xk nk da´ı ex xp = lim n→∞ n∑ k=0 ( n k ) xk−p nk se p ≤ 0 enta˜o −p ≥ 0 e tomando o limite temos lim x→∞ ex xp = lim n→∞ n∑ k=0 ( n k ) lim x→∞ xk−p nk =∞ se p > 0 existe n0 ∈ N mı´nimo tal que n0 > p ≥ n0 − 1 e abrimos a soma lim x→∞ ex xp = n0−1∑ k=0 ( n k ) lim x→∞ xk−p nk + n∑ k=n0 ( n k ) lim x→∞ xk−p nk =∞ pois a primeira parte da soma e´ limitada e a segunda tende a infinito. 1.4 Limite e func¸a˜o logar´ıtmica b Propriedade 5. lim x→∞ ln(x) x = 0 ê Demonstrac¸a˜o. Seja f(x) = x− lnx, temos f(1) = 1 e f ′(x) = 1− 1 x > 0 para x > 1 logo x > lnx para x > 1 pois a func¸a˜o e´ crescente. Temos 0 < lnx < x para x > 1 da´ı ln(x 1 2 ) < x 1 2 ⇒ 1 2 ln(x) < x 1 2 ⇒ 1 4 (lnx)2 < x⇒ 0 < lnx x < 4 lnx tomando x→∞ segue que lim x→∞ lnx x = 0 Z Exemplo 74. Mostrar que lim x→∞ ln(x) eax = 0 onde a > 0. lim x→∞ ln(x) eax = lim x→∞ ln(x) x x eax = 0 o limite lim x→∞ ln(x) x = 0 pelo exemplo anterior e lim x→∞ x eax = 0 que provamos na sec¸a˜o sobre exponencial, enta˜o tal limite e´ zero . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 38 $ Corola´rio 1. lim x→0 x lnx = 0 tomando x = 1 y lim x→0 x lnx = lim y→∞ ln 1 y y = lim y→∞ − ln y y = 0. 1.4.1 lim x→0+ xx = 1 Z Exemplo 75. Calculamos o limite do logaritmo lim x→0+ ln(xx) = lim x→0+ x ln(x) = 0 logo lim x→0+ xx = 1 por continuidade do logaritmo . $ Corola´rio 2. lim x→0+ xx+1 − x x = 0, pois lim x→0+ xx+1 − x x = lim x→0+ xx − 1 = 0. Z Exemplo 76. Calcular o limite lim x→∞ (cx+ f)(ln(1 + b x )− ln(1 + d x )). lim x→∞ (cx+ f)(ln(1 + b x )− ln(1 + d x )) = lim x→∞ (ln( x+ b x+ d )cx+f ) = ln(ec(b−d)) = c(b− d). Z Exemplo 77. Calcular o limite lim x→∞ (ax+ b)(ln(e+ c x )− 1). lim x→∞ (ax+b)(ln(e+ c x )−1) = lim x→∞ (ax+b)(ln(e+ c x )−ln(e)) = lim x→∞ (ax+b) ln(1+ c ex ) 1 (ax+b) = ln(e ac e ) = ac e . Z Exemplo 78. Calcular o limite lim x→∞ x(ln(e+ 1 x )− 1). Usando o resultado anterior temos 1 e . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 39 Z Exemplo 79. Calcular o limite lim y→0 ln(y + a)− ln(a) y . lim y→0 ln(y + a)− ln(a) y = lim y→0 ln(1 + y a ) 1 y = ln(e 1 a ) = 1 a . 1.5 Limites envolvendo integrais Z Exemplo 80. Calcular o limite lim x→pi ∫ x pi sen(t) t x− pi . Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 0 , logo aplicamos a regra de L’Hospital junto com o teorema fundamental do ca´lculo lim x→pi ∫ x pi sen(t) t x− pi = limx→pi sen(x) x = sen(pi) pi = 0. Z Exemplo 81. Calcular o limite lim x→0 ∫ x 0 t ln(1+t) t4+4 dt x3 . Aplicamos a regra de L’Hospital lim x→0 ∫ x 0 t ln(1+t) t4+4 dt x3 = lim x→0 x ln(x+ 1) (x4 + 4)(3x2) = simplificando e aplicando novamente tem-se = lim x→0 1 (x+ 1)(3x5 + 12x) = lim x→0 1 (x+ 1)(15x4 + 12) = 1 12 . 1.6 Ca´lculo de limite por meio de manipulac¸o˜es ba´sicas Z Exemplo 82. Seja lim x→0 g(x) xp = a calcular o limite lim x→0 g(cx) dxp . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 40 onde c, d 6= 0. lim x→0 g(cx) dxp = 1 d lim x→0 cp g(cx) (cx)p = 1 d lim y→0 cp g(y) (y)p = cp.a d . Se lim x→0 g(x) xp = a enta˜o lim x→0 xp g(x) xp = 0 = lim x→0 g(x), portanto lim x→0 |g(x)− x| = 0. Z Exemplo 83. Calcular o limite lim x→a 1 f(x) − 1 f(a) onde f e´ cont´ınua. lim x→a 1 f(x) − 1 f(a) = lim x→a f(a)− f(x) f(a)f(x) = 0 pois o numerador tende a zero. 1.7 Limites por meio de L’Hospital Z Exemplo 84. Calcular o limite lim x→0 ln( x sen(x) ) x2 . Aplicamos L’Hospital que implica no limite lim x→0 ln( x sen(x) ) x2 = sen(x)− cos(x).x 2x2sen(x) = aplicando novamente L’Hospital = lim x→0 sen(x) 4sen(x) + 2xcos(x) = e uma u´ltima vez = lim x→0 cos(x) 6cos(x)− 2xsen(x) que e´ cont´ınua resultando em 1 6 o valor do limite. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 41 Podemos calcular lim x→0 sen(x) 4sen(x) + 2xcos(x) sem usar L’Hospital lim x→0 sen(x) 4sen(x) + 2xcos(x) = lim x→0 sen(x) x 4 sen(x) x + 2cos(x) = 1 6 . $ Corola´rio 3. O exemplo anterior implica que lim x→0 ( x sen(x) ) 1 x2 = e 1 6 . b Propriedade 6. Vale que lim x→0 1− n∏ k=1 cosαk(βk) x2 = n∑ k=1 αkβ 2 k 2 . ê Demonstrac¸a˜o. Usaremos a seguinte identidade, se f(x) = n∏ k=1 [gk(x)] αk enta˜o f ′(x) = f(x) n∑ k=1 αkg ′ k(x) gk(x) . Tomando f(x) = − n∏ k=1 [cos(βk)] αk temos f ′(x) = f(x) n∑ k=1 αkβksen(βkx) cos(βk) = f(x) n∑ k=1 αkβktg(βkx) Aplicamos a regra de L’Hospital uma vez lim x→0 1− n∏ k=1 cosαk(βk) x2 = lim x→0 f(x) n∑ k=1 αkβktg(βkx) 2x = em 0 a func¸a˜o ainda se anula pela presenc¸a do termo sen(βkx), enta˜o aplicamos a regra de L’Hospital mais uma vez = lim x→0 f ′(x) n∑ k=1 αkβktg(βkx) + n∑ k=1 αkβ 2 ksec 2(βkx) 2 pore´m f ′(x) e´ cont´ınua se anula em x = 0 e sec2(βkx) = 1 cos2(βkx) e´ cont´ınua com valor 1 em x = 0, enta˜o resulta que lim x→0 1− n∏ k=1 cosαk(βk) x2 = n∑ k=1 αkβ 2 k 2 . CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 42 b Propriedade 7. Sejam (ak)p1 nu´meros positivos, enta˜o vale lim x→∞ ( p∑ k=1 a 1 x k p )x = ( p∏ k=1 ak) 1 p , isto e´, tal limite converge para a me´dia geome´trica da sequeˆncia (ak) p 1. ê Demonstrac¸a˜o. Usaremos a regra de L’Hospital e propriedades de logaritmo, tomando o logaritmo do termo do limite, tem-se ln[ ( p∑ k=1 a 1 x k p )x ] = x ln ( p∑ k=1 a 1 x k p ) = ln ( p∑ k=1 a 1 x k p ) 1 x perceba que cada fator no numerador dentro logaritmo tem limite 1, sa˜o p fatores, totalizando p, pore´m o total e´ dividido por p, resultando em 1 cujo logaritmo e´ zero e no numerador o limite tende a zero, logo temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital, o que iremos fazer agora, aplicando L’Hospital temos lim x→∞ ( p∑ k=1 a 1 x k p )′ ( 1 x )′ ( p∑ k=1 a 1 x k p ) = onde usamos que [ln(f(x))]′ = f ′(x) f(x) , agora iremos usar que [ag(x)]′ = ag(x)g′(x) ln(a) = lim x→∞ ( p∑ k=1 ( 1 x )′ ln(ak)a 1 x k p )′ ( 1 x )′ ( p∑ k=1 a 1 x k p ) = cancelamos os termos ( 1 x )′ e p = lim x→∞ p∑ k=1 ln(ak)a 1 x k p∑ k=1 a 1 x k = p∑ k=1 ln(ak) 1 p = ln[( p∏ k=1 ak) 1 p ] CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 43 por continuidade e injetividade o logaritmo segue que lim x→∞ ( p∑ k=1 a 1 x k p )x = ( p∏ k=1 ak) 1 p como quer´ıamos demonstrar. Z Exemplo 85. Calcule o limite lim n→∞ ( 1 1 n + 2 1 n + 3 1 n 3 )n. Sabemos que tal limite pela propriedade anterior converge para a me´dia geome´trica dos elementos 1, 2 e 3, logo o limite assume valor 3 √ 1.2.3 = 3 √ 6. 1.8 Limites infinitos Z Exemplo 86. Calcule olimite lim x→∞ √ a1x+ √ a2x+ √ a3x+ √· · ·+√apx√ b1x+ √ b2x+ √ b3x+ √ · · ·+√bmx onde no numerador temos p ra´ızes encaixadas e no numerador temos m ra´ızes encaixadas, sendo ainda b1 6= 0 e todo outro bk e ak na˜o negativos. Colocamos √ x em evideˆncia no numerador e no denominador lim x→∞ √ x √ a1 + 1 x √ a2x+ √ a3x+ √· · ·+√apx √ x √ b1 + 1 x √ b2x+ √ b3x+ √ · · ·+√bmx = = lim x→∞ √ a1 + 1 x √ a2x+ √ a3x+ √· · ·+√apx√ b1 + 1 x √ b2x+ √ b3x+ √ · · ·+√bmx CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 44 pore´m temos que lim x→∞ 1 x √ a2x+ √ a3x+ √ · · ·+√apx = 0 e o mesmo no denominador, pois podemos colocar o fator 1 x para dentro das ra´ızes lim x→∞ √√√√√a2 x x2 + √√√√ a3 x x4 + √ · · ·+ √ ap x x2p−1 = 0 logo o limite resulta em = √ a1√ b1 . Z Exemplo 87. Calcule lim x→∞ √ x√ x+ √ x+ √ x . Pelo que vimos no resultado anterior esse limite converge para √ 1√ 1 = 1. 1.9 Limites laterais 1.9.1 Limites laterais finitos Z Exemplo 88. Calcule o limite lim x→2− x2 − 4 |x2 − 4| . Para x suficientemente pro´ximo de 2 e x < 2 temos que |x + 2| = x + 2, pois x e´ positivo, da relac¸a˜o x < 2 tem-se que x− 2 < 0 e da´ı |x− 2| = −(x− 2) por propriedade de mo´dulo, enta˜o temos que x2 − 4 |x2 − 4| = (x− 2)(x+ 2) |x− 2||x+ 2| = (x− 2)(x+ 2) −(x− 2)(x+ 2) = −1, enta˜o aplicando o limite de x→ 2− segue que lim x→2− x2 − 4 |x2 − 4| = limx→2−−1 = −1. CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 45 1.9.2 Limites laterais tendendo a infinito Z Exemplo 89. Calcule o limite lim x→ 2 3 + 5 3x− 2 . A soluc¸a˜o de 3x− 2 = 0 e´ x = 2 3 , ale´m disso a func¸a˜o e´ crescente, por isso para x > 2 3 temos que 3x − 2 > 0 logo tem-se 3x − 2 → 0 pela direita, isto e´, por valores positivos, conforme x → 2 3 pela direita (valores maiores que 2 3 ) portanto 1 3x− 2 tende a +∞ e o mesmo para 5 3x− 2, isto e´, lim x→ 2 3 + 5 3x− 2 =∞. Perceba que usamos aqui que se f(x) 6= 0 tende a zero pela direita, isto e´, tende a zero por valores positivos, enta˜o 1 f(x) tende a +∞. Intuitivamente os nu´mero no denominador ficam arbitrariamente pro´ximos de zero, pore´m ainda positivos, como na sequeˆncia de frac¸o˜es 1 10−1 = 10, 1 10−2 = 102, 1 10−3 = 103, · · · , 1 10−n = 10n, · · · os denominadores ficam cada vez menores, positivos, a sequeˆncia tende a +∞.
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