Determinação de Domínio

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Determinação de Domínio
Existem algumas restrições no domínio, são elas:
	i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);
ii - Não existe divisão por zero;
iii - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;
iv - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;
v - Não existe tangente de 90° nem de 270°.
De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com certeza são as duas primeiras.
Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y)| A×B: y=2x-1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo representa a relação R?
Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construir o gráfico cartesiano desta relação.
Resposta: Forma explícita: R={(1,0),(3,6),(4,12),(5,20)}
Gráfico da relação:
Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder às questões pertinentes a esta relação.
Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
(2,3)R, (5,1)R, (7,7)R
(1,1)R, (3,5)R, (5,1)R
(1,1)R, (5,5)R, (3,5)R
(2,3)R, (3,5)R, (7,7)R,
Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.
Dada a função f:RR definida por:
determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).
Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x)=x²-4x+7?
a. {67,3,4,7}
b. {0,-3,2,10}
c. {7,28,3,67}
d. {10,2,-3,0}
Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:
Qual dos gráficos representa uma função sobrejetora?
Qual dos gráficos representa uma função injetora?
Seja a função f definida sobre o conjunto A={x,y,z} com imagem em B={1,2,3}. Qual das alternativas contém os pares ordenados (x,y) de elementos em A×B que representam uma função bijetora (injetora e sobrejetora).
a. {(x,3),(y,1),(z,2)}
b. {(x,1),(y,2),(x,3),(z,1)}
c. {(y,2),(x,2),(z,3)}
d. {(x,1),(y,3),(z,2),(z,1)}
Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.
Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:
SOLUÇÃO: 
Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f()=2.()²+1, então f()=11
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}
Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine:
	
	a) O Domínio: 
b) A imagem
c) f(5)
d) f(12)
SOLUÇÃO: 
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada
D={5, 12, 23}.
b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então:
Im={7, 14, 25}
c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7
d) Como no exercício anterior: f(12)=14.
Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a  a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b  b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.
Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h 
b) f e h 
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x2  f(x1)  f(x2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
Dê a fórmula de cada uma das funções abaixo de R em R: 
a) g associa cada número real ao seu triplo: R - g (x) = 3x
b) f associa cada número real ao seu cubo: R - f (x) = x³
.
 - Sabendo que a função de Z em Z é definida por f (x) = 2x + 3, calcule: .
a) f (1):
f (1) = 2 . 1 + 3  >>  f (1) = 2 + 3  >>  f (1) = 5
b) f (-5): 
f (-5) = 2 . (-5) + 3  >>  f (-5) = -10 + 3  >>  f (-5) = -7
- Seja a função definida por f (x) = x² – 5x + 4, calcule: 
a) f (2):
f (2) = 2² – 5 . 2 + 4  >>  f (2) = 4 – 10 + 4  >>  f (2)  = -2
b) f (2p):
f (2p) = (2p)² – 5 . (2p) + 4  >>  f (2p) = 4p² – 10p + 4
.
 - Uma função real f é definida por f (x) = x . m. Sabendo-se que f (2) = 4, qual é o valor de f (-1)? 
f (2) = 2 . m  >>  4 = 2m  >>  m = 4/2  >> m = 2
f (-3) = (-3) . 2  >> f (-3) = -6
.26	Quais das funções são sobrejetoras? 
a. f(x)=-x+3
b. f(x)=3
c. f(x)=x³-1
d. f(x)=-x²-1
Determinar a imagem para cada função: 
	a) f(x)=x+1
	b) g(x)=3
	c) h(x)=x²+2
	
	
	
Resposta:
(a) Im(f)=R
(b) Im(g)=3
(c) Im(h)={y em R: y>2}
Construir um esboço gráfico para cada função:
f(x)=|x-2| 
b. f(x)=|x|+3 
 c. f(x)=|x+2|-2
Resposta:
Qual é a imagem da função f(x)=(x-1)(x-5) definida sobre o conjunto D={1,2,3,4,5} que é o domínio de f.
Seja a função f : D → R dada pela lei de formação f(x) = 5x +2, de domínio D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}. Determine o conjunto imagem dessa função.
Resposta: 
f(x) = 5x + 2
f(–3) = 5 * (–3) + 2 = –15 + 2 = –13
f(–2) = 5 * (–2) + 2 = –10 + 2 = –8
f(–1) = 5 * (–1) + 2 = –5 + 2 = –3
f(0) = 5 * 0 + 2 = 2
f(1) = 5 * 1 + 2 = 5 + 2 = 7
f(2) = 5 * 2 + 2 = 10 + 2 = 12
f(3) = 5 * 3 + 2 = 15 + 2 = 17
f(4) = 5 * 4 + 2 = 20 + 2 = 22
Conjunto imagem da função, de acordo com o domínio estabelecido: {–13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22}
 
Dada a função f : R → R por f(x) = x² + 2x, determine o valor de f(2) + f(3) – f(1).
f(2) = 2² + 2 * 2 = 4 + 4 = 8
f(3) = 3² + 2 * 3 = 9 + 6 = 15
f(1) = 1² + 2 * 1 = 1 + 2 = 3
f(2) + f(3) – f(1) = 8 + 15 – 3
f(2) + f(3) – f(1) = 23 – 3
f(2) + f(3) – f(1) = 20
Temos que o valor de f(2) + f(3) – f(1) é igual a 20.
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2) = 1, determine o valor de f(5). 
x = 1
f(1+1) = f(1) + f(1)
f(2) = 2f(1)
2f(1) = f(2)
2f(1) = 1
f(1) = 1/2
x = 2
f(2+1) = f(2) + f(1)
f(3) = 1 + 1/2
f(3) = 3/2
x = 3
f(3+1) = f(3) + f(1)
f(4) = 3/2 + 1/2
f(4) = 4/2
f(4) = 2
x = 4
f(4+1) = f(4) + f(1)
f(5) = 2 + 1/2
f(5) =  5/2
O valor de f(5) na função é igual a 5/2.