O USO DA DERIVADA NA ENGENHARIA CIVIL

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1Bacharelanda do 3° período curso de Engenharia Civil da UEMASUL – Campus Açailândia 
2Bacharelanda do 3° período curso de Engenharia Civil da UEMASUL – Campus Açailândia 
3Bacharelanda do 3° período curso de Engenharia Civil da UEMASUL – Campus Açailândia 
4Bacharelanda do 3° período curso de Engenharia Civil da UEMASUL – Campus Açailândia 
5Bacharelanda do 3° período curso de Engenharia Civil da UEMASUL – Campus Açailândia 
6Prof. da disciplina Cálculo avançado do curso de Engenharia Civil da UEMASUL – Campus Açailândia 
O USO DA DERIVADA NA ENGENHARIA CIVIL 
 
Juliana Carvalho de Lima1 
Maria Rebeca Sousa Oliveira2 
Marly Cirqueira Santos3 
Sabrina de Oliveira Rodrigues4 
Viviane Carvalho de Morais5 
Orientador: Prof. Luis Alexandre6 
 
RESUMO 
Existem várias ferramenta necessárias as atividades de engenharia, mas em especial tem-se o 
cálculo que serve para disciplinar mentes a desenvolver um raciocínio lógico salientando a 
capacidade para rápida resolução de problemas cotidianos de forma organizada. O uso de 
derivadas é de suma importância na área da engenharia civil, pois a partir dela é realizado vários 
estudos, a partir de uma função, e aplicado em relevantes cálculos. As mesmas podem ser 
utilizadas para diversas áreas relacionadas a taxas de variações como, temperatura, volume, 
tempo, área, isto é, qualquer quantidade que possa ser representada através de uma função. Nos 
projetos de estruturas, topográficos, hidráulicos, geotécnicos na construção civil é utilizado as 
equações derivadas da teoria da elasticidade para dimensionar as lajes, colunas e flexão máxima 
das vigas. Outra aplicação de grande relevância na engenharia são os problemas de otimização, 
em que se deve encontrar a melhor maneira para resolvê-lo. Esses problemas podem ser 
solucionados através de valores máximos e mínimos de uma função, a exemplo para calcular o 
custo mínimo de uma determinada obra, utilizando melhor o material disponibilizado. Além 
disso, tem-se o dimensionamento de uma viga, que tem de grande importância a determinação 
dos esforços de força cortante e momento fletor (que é a resultante momento de todas as forças 
e momentos de uma porção isolada sobre a outra porção na direção transversal ao eixo da barra 
na seção transversal de corte. Portanto, o presente resumo tem por finalidade explanar os 
assuntos abordados a cima, bem como seus conceitos e aplicações na área da engenharia. 
Palavras chaves: Derivadas; Função; Aplicação. 
 
SUMMARY 
The various machines were executed as engineering activities, but in particular the theme of 
serving to discipline the processes of developing a logical reasoning for a quick resolution of 
everyday problems in an organized way. The use of derivatives is important in the area of civil 
engineering, since from there it is necessary to find studies, starting from a function, and using 
the knowledge in calculations. The series can be used for several areas related to expression 
rates, volume, time, area, that is, any quantity that can be represented by a function. Structural, 
topographic, hydraulic, and geotechnical projects in civil construction are used as equations 
derived from the theory of elasticity to dimension such as slabs, columns and maximum bending 
of beams. Another application of great importance in engineering are the optimization 
problems, which need to be improved to solve it. These problems can be solved through 
maximum and minimum values of a function, an example to calculate the use of a certain work, 
making better use of the material made available. In addition, one has the sizing once, which is 
of great importance for the force of the moments of shearing force and the bending moment 
(which is the moment of all the forces and moments of strength of a moment more important in 
the direction transverse). The purpose of this publication is to present the cross-sectional 
subjects section, such as concepts and applications in the field of engineering. 
 
Keywords: Derivatives; Function; Application. 
 
1. INTRODUÇÃO 
A matemática é um marco para o desenvolvimento e evolução do mundo. Seja em áreas 
mecânicas ou culturais, é notável a sua influência e todas as possibilidades que se pode criar 
com o uso dela. Em vista disso, o mundo matemático também tem sua própria evolução prova 
disto é a Série de Taylor que tem por finalidade aproximar-se de resultados mais precisos em 
situações que muitas vezes não se tem capacidade de desenvolver de forma simples. 
A série de Taylor é uma forte ferramenta para áreas do cálculo e análise numérica, 
utilizado para desenvolver cálculos ao redor de um único ponto, tendo essa aproximação uma 
forma mais precisa do resultado. Além disso, tal análise pode nos levar para pontos importantes 
de tal resolução como os pontos de máximo e mínimo. Dentro deste aspecto podemos citar as 
situações que garante a relevância de tal procedimento como no comportamento de uma função 
que tenha uma única variável. 
Quando uma função apresenta tal comportamento é importante ter por conhecimento 
que a sua derivada é nula, ademais existe ainda três características para tal resultado, são elas: 
quando em determinado intervalo os valores da função são menores ou igual ao ponto, quando 
em determinado intervalo os valores da função são maiores ou iguais ao ponto e quando em 
determinado intervalo os valores da esquerda são menores ou iguais e os valores da direita são 
maiores ou iguais ao ponto (comportamento também chamado de inflexão). 
Por conseguinte, uma da aplicação mais comumente é no ramo da engenharia civil em 
se tratar do estudo do comportamento de vigas atribuindo ao seu dimensionamento e a análise 
do forças aplicadas sobre ela e esforços realizados no momento da resistência estrutural. Além 
disso, uma parte importante desta análise está relacionada com a tensão e compressão submetida 
tal estrutura, podemos chamar este estudo de análise do momento fletor. 
Ademais, outro emprego considerável no ramo já citado é o uso da otimização para o 
cálculo de custo de obras e também do lucro desejado. Tendo em vista, sua aproximação usando 
de pontos de um determinado grau. Outrossim, uma aliada visível neste tipo de processo é como 
se pode incluir a derivada para resolução deste problema. Sabe-se ainda que um recurso 
matemático como este tão sólido acarreta a sua essencialidade em diversas situações colocados 
no dia a dia de um construtor civil, pois contribuem diretamente para o desenvolvimento de 
diversas práticas e técnicas. 
 
2. METODOLOGIA 
A metodologia utilizada no presente resumo expandido tem caráter descritivo, a qual 
visa registrar a definição e características da Derivada e suas aplicações na engenharia civil, 
com destaque na teoria de máximos e mínimos, como é desenvolvida, utilizada e aplicada na 
disciplina de cálculo avançado e no ramo da engenharia. 
Os dados utilizados para a construção deste resumo expandido foram coletados por meio 
de pesquisa bibliográfica feita em artigos científicos, livros digitais e artigos de plataformas de 
informações que tratam desse assunto, onde foi levantado o conceito fundamental de Derivada, 
como ela pode ser obtida, suas diversas aplicações, assim como a mesma pode auxiliar em 
problemas de otimização. 
As informações abordadas aqui têm os seus resultados apresentados de forma 
quantitativa, onde se buscou medir informações sobre as aplicações do cálculo diferencial, 
compreender e interpretar seu desenvolvimento, funções e aplicações, apresentando os dados 
com natureza mais estatística, demostrando os resultados em forma de equações numéricas. 
 
3. DERIVADA 
A taxa de variação de uma função em um ponto é dada pela derivada da função nesse 
ponto, a derivada se presta naturalmente para ser uma ferramenta na determinação dos 
intervalos em que uma funçãodiferenciavel é crescente ou decrescente. 
De fato, a derivada de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta 
tangente ao gráfico da função nesse ponto, como também a taxa de variação da função no 
mesmo ponto. Na verdade, em um ponto em que a derivada é positiva, a declividade da reta 
tangente ao gráfico é positiva, e a função é crescente. Em um ponto em que a derivada é 
negativa, a declividade da reta tangente ao gráfico é negativa, e a função é decrescente. Um 
exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função 
espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. 
 
4. APLICAÇÕES NA ENGENHARIA CIVIL 
O projeto de estruturas na construção civil usa as equações derivadas da teoria da 
elasticidade para dimensionar as colunas, lajes e deflexão máxima das vigas. De acordo com o 
peso que esses elementos vão suportar, além de seu peso próprio, e dos materiais utilizados 
(concreto ou aço), as máximas tensões calculadas não podem exceder o seu limite de 
escoamento. Como ilustração, o módulo de elasticidade do aço comum, usado nos perfis 
estruturais é de 21000 kgf/mm2 e o limite de escoamento é de cerca de 21 kgf/mm2. Um fio de 
aço de 2 milímetros de diâmetro e 1 metro de comprimento, com uma pessoa pendurada a ele 
pesando 60 kg, fica aproximadamente 1 milímetro maior devido a esse peso, e não se rompe. 
Volta a ficar com 1m após ser liberado da carga. 
As derivadas também são utilizadas para calcular o preço mínimo de uma obra, muitas 
vezes a curva do custo é uma equação de grau 'n", fazendo a derivada e igualando a zero, assim 
poderá encontrar qual o custo mínimo. Para se construir reservatórios de água, vamos precisar 
saber qual o formato deste reservatório e quais as dimensões do reservatório que lhe darão um 
volume máximo gastando o mínimo de material possível é só calcular com a derivada. 
 
4.1. Máximo e Mínimos na Engenharia Civil: 
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de 
otimização, em que devemos encontrar a melhor maneira de resolver um problema. Esses 
problemas podem ser resolvidos encontrando os valores de máximo e mínimo de uma função. 
Considerando-se que em situações diárias da carreira gerencial são confrontados 
problemas que, para serem resolvidos, dependem de duas ou mais variáveis, foram estudadas 
técnicas matemáticas que possibilitem encontrar um ponto ótimo capaz de obter o melhor 
aproveitamento de tais variáveis. 
 Os passos necessários para a resolução desses problemas são os seguintes: 
- Análise do número de variáveis relevantes e modelagem do problema através de uma 
função do tipo: z = f (x1, x2,..,xn) que associa um número real à n – upla (x1, x2,..,xn) de números 
reais, denotadas por Rn o conjunto de todas essas n – upla. 
- Cálculo das derivadas parciais da função. 
- Realizar o teste da 1ª derivada onde, igualando-se as derivadas parciais encontradas a 
zero, encontramos os pontos que são candidatos a máximo, mínimo ou ponto de sela da função. 
- Realizar o teste da 2ª derivada para analisar os pontos críticos encontrados. No caso de 
funções de duas variáveis, essa análise é feita através do discriminante ou hessiana de f que 
pode ser escrita na forma: 
 
Onde, 
a) f tem um máximo local em: (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy – f 2 xy > 0 em (a, b). 
b) f tem um mínimo local em: (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy – f 2 xy > 0 em (a, b). 
c) f tem um ponto de sala em: (a, b) se fxxfyy – f 2 xy < 0 em (a, b). 
d) o teste é inconclusivo se: fxxfyy – f 2 xy = 0 em (a, b). Nesse caso devemos encontrar 
outra maneira de determinar o comportamento de f em (a, b). 
Exemplo: Uma indústria produz dois produtos, A e B. O lucro diário da indústria pela venda de 
x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por: 
 
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que 
maximiza o lucro e também, esse lucro. 
Solução: 
a) Derivadas Parciais: 
 
 
b) Pontos Críticos: x = 10, y = 30. 
 
Logo, produção diária que maximiza o lucro da indústria é de 10 unidades do produto 
A e 30 unidades do produto B. Para determinar o lucro máximo, basta calcular a função lucro 
no ponto (10,30). 
 
Portanto, o lucro máximo é 1800 u.m por dia. 
5. CONCLUSÃO 
Tendo em vista os aspectos observados conclui-se que pode utilizar as derivados em 
várias situações diferentes. Desde o ensino nas faculdades em cursos que envolva cálculo, como 
a Engenharia Civil até no exercício dessa função. 
c) Têm-se que: 
 
 
 
Nesse resumo foi possível observar que na Engenharia ela está ligada ao cálculo 
estrutural, como no dimensionamento de colunas, lajes e vigas. Outro aspecto que a derivada 
também está presente é no gerenciamento da obra, auxiliando no cálculo para o alcance do preço 
mínimo da obra e no aproveitamento máximo de materiais, podendo ser feito através das 
derivada parciais. 
Dessa forma, é de suma importância o conhecimento de derivadas, assim como máximos 
e mínimos, pois são auxiliadores para a elaboração de uma obra com um melhor custo benefício 
e com mais qualidade. 
 
REFERÊNCIAS 
 
ANDRADE, Doeherty. Teorema de Taylor. Disponível em: 
<http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivospdf/taylor.pdf>. Acesso em: 04 nov. 2018 
C. H. Edwards, jr. PENNEY, David E. Cálculo com Geometria Analítica. V1, 4º Ed., 
Prenticehall do Brasil, Rio de Janeiro, RJ, 1997. 
GUIDORIZZI, Luiz Hamilton. Um Curso de Cálculo: Volume 4. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2008. 
HAZZAN, Samuel, BUSSAB, Wilson O. MORETTIN, Pedro A. Cálculo Funções de Várias 
Variáveis, 2ª Ed. Atual, São Paulo, SP. 1982. 
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que são pontos de máximo e de mínimo?"; Brasil Escola. 
Disponível em :<https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-pontos-
maximo-e-minimo.htm>. Acesso em 03 nov. 2018.