Provas Séries e Edo DM - UFPB

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UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
SÉRIES & EDO prof. MPMatos
EXAME No 1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
GABARITO - PROVA A
01 CALCULANDO LIMITES Em cada caso, calcule o limite da sequência (an).
a an = n
p
2n + 3n +
p
n sen (2=n) b an =
5n
(2n)!
:
SOLUÇÃO
a Usando as propriedades básicas do limite:
lim an = lim (2
n + 3n)1=n + lim
p
n sen (2=n) = lim f3n [(2=3)n + 1]g1=n + lim
�
(2=n)
p
n
sen (2=n)
2=n
�
= 3 lim [(2=3)n + 1]1=n + lim
��
2=
p
n
� sen (2=n)
2=n
�
= 3 + lim
�
2=
p
n
�� lim sen (2=n)
2=n
= 3 + 0� 1 = 3:
b Usando o Teste da Razão:
L = lim
���an+1
an
��� = lim � 5n+1
(2n+ 2)!
� (2n)!
5n
�
= lim
�
5
(2n+ 2) (2n+ 1)
�
= 0:
Como L < 1, segue do Teste da Razão que lim an = 0:
02 VERDADEIRO (V) OU FALSO (F) Assinale V ou F, justi…cando as a…rmações falsas.
a (V) Se (an) é alternada e convergente, então lim an = 0.
b (F) Se o valor da soma 1 + 1=x+ 1=x2 + 1=x3 + � � � é 4, então x = 3=4:
(justi…cativa) A soma 1 + 1=x + 1=x2 + 1=x3 + � � � é a série geométrica
1P
n=1
(1=x)n�1 de razão 1=x, cujo
valor é
1
1� 1=x . Logo,
4 =
1
1� 1=x ) x = 4=3:
c (F) Se (an) é convergente e (bn) é limitada, então (anbn) converge.
(justi…cativa) Considere as sequências an = 1 (convergente, com limite 1) e bn = (�1)n (limitada). A
sequência produto (an � bn) é a sequência (�1)n alternada e divergente.
d (V) O valor da soma da série da série
1X
n=1
(�1)n
n
não ultrapassa �0:57.
e (F) Se
1X
n=1
an converge condicionalmente, então
1X
n=1
(an � janj) converge.
(justi…cativa) Se a série
1P
n=1
(an � janj) fosse econvergente, então a série
1P
n=1
janj também seria, já que
janj = an � (an � janj) e, assim, teríamos convergência absoluta e não condicional da série
1P
n=1
an:
03 CALCULANDO UMA SOMA INFINITA Considere a série de encaixe
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 .
a Escreva a série na forma padrão
1X
n=3
(bn � bn+1) e encontre uma expressão para a soma parcial Sn:
b Calcule a soma da série.
SOLUÇÃO
a Inicialmente, observe que
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 =
1X
n=3
�
3
n� 2 �
3
n� 1
�
=
1X
n=3
(bn � bn+1) : (aqui bn = 3
n� 2 ; n � 3:)
b Para n � 3, temos Sn = (b3 � b4) + (b4 � b5) + (b5 � b6) + � � � (bn � bn+1) = b3� bn+1e, considerando
que bn+1 =
3
n� 1 ! 0, encontramos
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 = limSn = b3 = 3:
A soma pode ser calculada de outra maneira, reindexando a série com k = n� 2. Temos
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 =
1X
n=3
�
3
n� 2 �
3
n� 1
�
=
1X
k=1
�
3
k
� 3
k + 1
�
= b1 � lim
k!1
bk = 3: (aqui bk = 3=k:)
04 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Use o critério indicado e investigue a convergência das séries:
a
1X
n=1
n+
p
n
n4 + n2 + 1
(Critério da Comparação Direta)
c
1X
n=1
lnn
n2
(Critério da Comparação no Limite)
c
1X
n=1
�
3n
2n+ 1
�
(Critério do n-ésimo Termo)
SOLUÇÃO
a (convergente) Basta observar que
an =
n+
p
n
n4 + n2 + 1
� n+ n
n4 + n2 + 1
� 2n
n4
=
2
n3
= bn: (
X 2
n3
é uma p-série convergente)
2
b (convergente) Considerando a sequência de prova bn = 1=n3=2, obtemos:
lim
an
bn
= lim
lnn
n1=2
= (usar L’ôpital) = lim
1=n
1= (2
p
n)
= lim
2p
n
= 0: (
X 1
n3=2
é uma p-série convergente)
b (divergente) O termo geral da série é an =
3n
2n+ 1
e, portanto,
lim an = lim
3n
2n+ 1
= (usar L’ôpital) = lim
3
2
: (lim an 6= 0)
X
an é divergente)
FIM
3
UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
SÉRIES & EDO prof. MPMatos
EXAME No 1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
GABARITO - PROVA B
01 QUESTÕES DO TIPO MÚLTIPLA ESCOLHA Escolha apenas uma alternativa.
A Se an = n sen (1=n) e bn = 2 +
(�1)n
n
, o valor da expressão lim an + lim bn é:
a ( ) �3 b (X) 3 c ( ) 0 d ( ) 1 e ( ) 2.
B As séries
1P
n=1
sen2 (1=n) e
1P
n=1
n sen (1=n) são respectivamente:
a ( ) Divergente e Convergente.
b ( ) Divergente e Divergente.
c ( ) Convergente e Convergente.
d (X) Convergente e Divergente.
C Se
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn são séries de termos positivos e lim
n!1
an
bn
=1, então:
a ( ) As séries são ambas divergentes;
b ( ) Se
1P
n=1
an é convergente, então
1P
n=1
bn é convergente;
c ( ) Se
1P
n=1
bn é divergente, então
1P
n=1
an é divergente;
d (X) As alternativas (b) e (c) estão corretas.
D Se a série
1P
n=1
an converge absolutamente, então:
a (X)
1P
n=1
(an + janj) e
1P
n=1
(an � janj) são convergentes.
b ( )
1P
n=1
(an + janj) e
1P
n=1
(an � janj) são divergentes.
c ( )
1P
n=1
(an + janj) converge e
1P
n=1
(an � janj) diverge.
d ( )
1P
n=1
(an + janj) diverge e
1P
n=1
(an � janj) converge.
E Se 1 + 1=x+ 1=x2 + 1=x3 + � � � = 2, então o valor de x é:
a (X) 2 b ( ) 3 c ( ) 1=2 d ( ) 1=3 e ( ) 2=3.
02 CONSTRUINDO EXEMPLOS Em cada caso, dê um exemplo para ilustrar a situação.
a Uma sequência alternada e convergente.
b Uma sequência alternada e divergente.
c Duas séries convergentes
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn; tais que
1P
n=1
(anbn) seja divergente.
d Uma sequência convergente (an) e outra limitada (bn) ; tais que (anbn) seja divergente.
e Duas séries divergentes
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn; tais que
1P
n=1
(an + bn) seja convergente.
SOLUÇÃO
a A sequência an =
(�1)n
n
é alternada e convergente. Seu limite é zero.
b A sequência an = (�1)n é alternada e divergente. Note que a subsequência par tem limite 1 e a
subsequência ímpar tem limite �1.
c Considere as sequências an = 1 (convergente, com limite 1) e bn = (�1)n (limitada). A sequên-
cia produto (an � bn) é a sequência (�1)n alternada e divergente (a subsequência par tem limite 1 e a
subsequência ímpar tem limite �1).
d Se an =
(�1)np
n
e bn =
(�1)np
n
, então as séries
P
an e
P
bn são convergentes, como consequência do
critério de Leibniz e, contudo, a série "produto"
P
(an � bn) é a série harmônica
P 1
n
divergente.
03 CALCULANDO UMA SOMA INFINITA Seja S a soma da série
1P
n=1
nxn; sendo 0 < x < 1.
a Usando o Teste da Razão para sequências, mostre que lim
�
nxn+1
�
= 0:
b Mostre que Sn � xSn = x
�
1 + x2 + x3 + � � �+ xn�1�� nxn+1 e obtenha uma expressão para Sn:
c Calcule o valor da soma, como limite da sequência parcial Sn:
SOLUÇÃO
a Considerando bn = nxn+1, temos lim
����bn+1bn
���� = lim ����nxn+1nxn
���� = jxj < 1 e, portanto, lim bn = 0.
b O termo geral da série é an = nxn e, sendo assim,
Sn = a1 + a2 + � � �+ an = x+ 2x2 + 3x3 + � � �+ nxn e
xSn = x
2 + 2x3 + 3x4 + � � �+ (n� 1)xn + nxn+1:
Logo,
Sn � xSn = x+ x2 + x3 + � � �+ xn � nxn+1
= x
�
1 + x+ x2 + � � �+ xn�1�� nxn+1
e daí resulta
Sn =
x
1� x
�
1 + x+ x2 + � � �+ xn�1�� nxn+1
1� x
=
x
1� x
�
1� xn
1� x
�
� nx
n+1
1� x :
c Considerando que xn ! 0 e nxn+1 ! 0, tomamos o limite na última igualdade, com n ! 1, e
obtemos 1X
n=1
nxn = limSn =
x
(1� x)2 :
04 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Use o critério indicado e investigue a convergência das séries.
a
1X
n=1
n
n4 + n2 � 1 (Critério da Comparação Direta)
b
1X
n=1
"
3n
2n+ 1
+
(�1)n+1
n
#
(Critério do n-ésimo Termo)
SOLUÇÃO
a (convergente) Temos
an =
n
n4 + n2 � 1 �
n
n4
=
1
n3
= bn: (
X 1
n3
é uma p-série convergente)
b (divergente) Temos
lim an = lim
"
3n
2n+ 1
+
(�1)n+1
n
#
= lim
3n
2n+ 1
+ lim
(�1)n+1
n
= 3=2: (lim an 6= 0)
X
an é divergente)
FIM
6
edo.pdf
UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
Séries & EDO - 09.2 Prof. MPMatos
Exame N. 1 Seqüências e Séries Numéricas
Gabarito - prova 4
01. (2,0 pts) Falso (F) ou verdadeiro (V). Justi…que as a…rmativas falsas.
(a) Se limn2an = 1, então lim an = 0:
(b) Se
P
an e
P
bn são séries de termos positivos convergentes, então
P
anbn converge.
(c) Se
P
an converge, então
Pp
nan converge.
(d) A seqüência (an) de…nida pela recorrência: a1 = 1 e an+1 = 1� an é convergente.
Solução:
(a) Verdadeiro.Temos
an =
�
1=n2
�| {z }
#
0
�
n2an
�| {z }
#
1
�! 0
(b) Verdadeiro. Denote por Sn e Rn as n-ésimas soma de
P
an e
P
bn, respectivamente.
Se Un é a n-ésma soma de
P
anbn, então:
0 � Un � SnRn;
de onde resulta que a seqüência (Un) –e conseqüentemente a série
P
anbn –converge.
(c) Falso. Considere an = (�1)n =
p
n:
(d) Falso. A seqüência an é na verdade 1,0,1,0,1,0,. . . que é divergente (a subseqüência
par e ímpar convergem para valores distintos).
02. Assinale a alternativa correta.
1) Se an =
2
3n� 4 e bn =
(�1)np
n
+ n sen(3=n); então o valor de sup an + 2 inf an + 2 lim bn é
igual a:
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2.
2) As séries
P1
n=1 sen
2 (1=n) e
P1
n=1 n sen (1=n) são respectivamente:
(a) Convergente e Convergente
(b) Convergente e Divergente
(c) Divergente e Divergente
(d) Divergente e Convergente.
3) Se Sn é a n-ésima soma parcial da série
P1
n=1 an de termos positivos, então:
(a)
P1
n=1 an é convergente se fSng for monótona;
(b)
P1
n=1 an é sempre convergente;
(c)
P1
n=1 an é divergente quando limn!1
Sn 6= 0;
(d)
P1
n=1 an é convergente se fSng for limitada.
4) Com respeito a série
P1
n=1
(�1)n
n2
pode-se a…rmar que:
(a) Ela é convergente e sua soma é maior do que �1=4;
(b) Ela é convergente e sua soma é menor do que �3=4;
(c) Ela é convergente e sua soma está entre �3=4 e �1=2;
(d) Ela é divergente.
5) Se 1 < an < 2; então as séries
X1
n=1
an e
X1
n=1
p
nan
(a) São ambas convergentes
(b) São ambas divergentes
(c) A primeira converge e a segunda diverge
(d) A primeira diverge e a segunda converge
03. (2,0 pts) Complete os espaços:
(a) Se (an) é uma seqüência monótona e limitada, então (an) é convergente.
(b) Se lim
p
n an =1, então a série
P
an é divergente.
(c) A série geométrica
P1
n=1 (1� x)n�1 converge para 1=x, se 0< x <2.
2
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
(d) Se lim jan+1=anj < 1, então a série
P
an é absolutamente convergente.
(e) (e) Se (bn) é decrescente, bn > 0 e lim bn =0, então a série
P
(�1)n bn convergente.
04. (2,0 pts) Use o critério especi…cado e investigue a convergência das séries:
(a)
X1
n=1
3n
3
p
n3 + 1
(critério da comparação ou comparação no limite)
(b)
X1
n=1
n lnn
n3 + 3
(critério da comparação ou comparação no limite)
(c)
X1
n=1
nrn+1 (critério da razão)
(d)
X1
n=1
ln
�
3n
2n+ 1
�
(critério do n-ésimo termo)
Solução:
(a) an =
3n
3
p
n3 + 1
� 3n
3
p
n3 + 26n3
=
3n
3
p
27n3
= 1 = bn. Como a série de prova
P
bn é
divergente, então
P
an diverge.
(b) an =
n lnn
n3 + 3
� n lnn
n3
=
lnn
n2
= bn. Em sala de aula mostramos que a série
P
bn é
convergente usando comparação no limite. De fato,
lim
(lnn)=n2
1=n3=2
= lim
lnnp
n
= (usar L’Hôpital) = lim
1
2
p
n
= 0:
Como
P
1=n3=2 é convergente (critério da p-série), então
P
bn converge e por comparaçãoP
an também converge.
(c) lim
n!1
����an+1an
���� = limn!1
����(n+ 1) rn+2nrn+1
���� = jrj limn!1
�
n
n+ 1
�
= jrj. Pelo Critério da Razão a
série
P
an converge absolutamente se jrj < 1 e diverge se jrj > 1. Se jrj = 1, então r = �1 e
com esses valores de r a série torna-se
P
(�1)n n e como o termo dessa série não tem limite
zero, a série diverge. Conclusão: a série converge absolutamente se jrj < 1 e diverge caso
contrário.
(d) lim
n!1
an = lim
n!1
ln
�
3n
2n+ 1
�
= ln (3=2) 6= 0 e, sendo assim, a série P an é divergente.
04. (2,0 pts) Siga os seguintes passos para calcular a soma da série
P1
n=1 nx
n; 0 < x < 1:
Passo 1: Mostre que Sn � xSn = x (1 + x+ x2 + � � �+ xn�1)� nxn+1;
3
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Passo 2: Use 1 + x+ x2 + � � �+ xn�1 = 1� x
n
1� x e deduza uma expressão para Sn;
Passo 3: Calcule a soma da série
Solução:
Passo 1:
Temos
Sn = x+ 2x
2 + 3x3 + � � � (n� 1)xn�1 + nxn
xSn = x
2 + 2x3 + 3x4 + � � �+ (n� 1)xn + nxn+1
e subtraindo xSn de Sn chegamos a Sn � xSn = x+ x2 + x3 + � � �+ xn � nxn+1, isto é:
(1� x)Sn = x(1 + x+ x2 + x3 + � � �+ xn�1)� nxn+1 (I)
Passo 2: Se em (I) substituirmos a expressão 1 + x + x2 + x3 + � � � + xn�1 por 1� x
n
1� x ,
chegaremos a
(1� x)Sn = x
�
1� xn
1� x
�
� nxn+1 =) Sn = x (1� x
n)
(1� x)2 � nx
n+1:
Passo 3: A soma da série é, por de…nição, S = limSn e para calcular o limite da sequência
(Sn) observamos que xn ! 0 e nxn+1 ! 0, porque 0 < x < 1: Assim,
S = limSn =
x (1� limxn)
(1� x)2 � lim
�
nxn+1
�
=
x
(1� x)2
4
Admin_
Realce
Gabarito2.pdf
UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
SÉRIES & EDO prof. MPMatos
EXAME No 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES DE FOURIER
GABARITO - PROVA 1
01 INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Considere a função g (x) =
1X
n=0
(x� 2)2n+1p
n2 + 1
.
a Determine o domínio máximo da função g; isto é, o intervalo de convergência da série.
b Calcule o valor da expressão g0 (2) + g00 (2) + g(9) (2) + g(20) (2) :
SOLUÇÃO
a Temos
L = lim
����an+1an
���� = lim
������ (x� 2)
2n+3q
(n+ 1)2 + 1
�
p
n2 + 1
(x� 2)2n+1
������ = jx� 2j2 � lim
������
p
n2 + 1q
(n+ 1)2 + 1
������
= jx� 2j2 � lim
s
n2 + 1
(n+ 1)2 + 1
= jx� 2j2 � lim
r
n2 + 1
n2 + 2n+ 2
= jx� 2j2 �
r
lim
n2 + 1
n2 + 2n+ 2
= jx� 2j2 :
A partir do Teste da Razão, concluímos que a série coverge absolutamente no intervalo jx� 2j < 1, isto é,
se 1 < x < 3 e diverge se x > 3 ou x < 1. Nas extremidades x = 1 e x = 3 a série se reduz a
extremidade x = 1 :
1X
n=0
�1p
n2 + 1
(divergente)
extremidade x = 3 :
1X
n=0
1p
n2 + 1
(divergente)
CONCLUSÃO A série converge absolutamente no intervalo 1 < x < 3 e diverge se x � 3 ou x � 1. O
domínio da função é, portanto, D (g) = (1; 3) :
b Observando a série que de…ne a função g, vemos que os termos de ordem par são nulos e, sendo
assim, g00 (2) = 0 e g(20) (2) = 0. As derivadas de ordem ímpar são calculadas a partir da relação
c2n+1 =
g(2n+1)
(2)
(2n+ 1)!
, 1p
n2 + 1
=
g(2n+1) (2)
(2n+ 1)!
, g(2n+1) (2) = (2n+ 1)!p
n2 + 1
:
Considerando n = 0 e n = 4, obtemos, respectivamente, g0 (2) = 1 e g(9) (2) =
9!p
17
. Logo,
g0 (2) + g00 (2) + g(9) (2) + g(20) (2) = 1 + 0 +
9!p
17
+ 0 = 1 +
9!p
17
:
02 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Considere a função f (x) =
1X
n=0
(n+ 1)xn; � 1 < x < 1.
a Se �1 < x < 1; mostre que
Z x
0
f (t) dt =
x
1� x:
b Por derivação, deduza que f (x) =
1
(1� x)2 :
c Agora, mostre que
X1
n=1
nxn =
x
(1� x)2 :
d Finalmente, calcule a soma da série
X1
n=1
(�1)n n2n
3n
:
SOLUÇÃO
a Integrando termo a termo a série de f (x) e usando a soma da série geométrica, encontramos:Z x
0
f (t) dt =
1X
n=0
xn+1 = x
1X
n=0
xn =
x
1� x: (2.1)
b Derivando (2.1), usando o Teorema Fundamental do Cálculo1, obtemos:
f (x) =
d
dx
Z x
0
f (t) dt =
d
dx
�
x
1� x
�
=
1
(1� x)2 : (2.2)
c De (2.2), resulta que:
xf (x) =
x
(1� x)2 () x
1X
n=0
(n+ 1)xn =
x
(1� x)2 ()
1X
n=1
nxn =
x
(1� x)2 (2.3)
d Considerando em (2.3) x = �2=3, obtemos:
1X
n=1
(�1)n n2n
3n
=
�2=3
[1� (�2=3)]2 = �18=75
03 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Considere a função f : [0; �]! R, de…nida por:
f (x) =
������ x
2; se 0 � x < �=2
1; se �=2 � x � �
a Esboce no intervalo [�2�; 3�] o grá…co da extensão par 2�-periódica efP de f:
b Determine os quatros primeiros termos da série de Fourier da extensão encontrada em (a).
c Se F (x) representa a soma da série no ponto x, calcule o valor de F (3�=2)?
SOLUÇÃO
a Na …gura abaixo ilustramos o grá…co, no intervalo [�2�; 3�] ; da extensão par 2�-periódica efP de
f . O primeiro passo é estender a função f ao intervalo simétrico [��; �] ; para em seguida considerar a
extensão periódica. O grá…co da extensão ímpar efI está ilustrado na última página.
1Teorema Fundamental do Cálculo: se f [a; b]! R é contínua, então d
dx
R x
a
f (t) dt = f (x) ; a � x � b:
2
b Como estamos tratando com a extensão par, então os coe…cientes bn; n = 1; 2; 3; 4; : : : ; são todos
nulos e a série de Fourier de efP é uma série de cossenos, isto é,
a0
2
+
1X
n=1
an cos (nx)
e os quatro primeiros termos são, portanto,
a0
2
; a1 cosx; a2 cos 2x e a3 cos 3x: Temos
a0 =
2
�
Z �
0
f (x) dx =
2
�
"Z �=2
0
x2dx+
Z �
�=2
dx
#
=
2
�
�
�3
24
+
�
2
�
= 1 + �2=12:
an =
2
�
Z �
0
f (x) cos (nx) dx =
2
�
"Z �=2
0
x2 cos (nx) dx+
Z �
�=2
cos (nx) dx
#
=
2
�
�
x2 sen (nx)
n
+
2
n
�
sen (nx)
n2
� x cos (nx)
n
���=2
0
+
2
�
�
sen (nx)
n
��
�=2
:
Considerando sucessivamente n = 1; 2; 3, obtemos da última relação:
a1 =
2
�
�
x2 senx
1
+
2
1
�senx
1
� x cosx
1
���=2
0
+
2
�
hsenx
1
i�
�=2
=
�
2
� 6
�
:
a2 =
2
�
�
x2 sen 2x
2
+
2
2
�
sen 2x
4
� x cos 2x
2
���=2
0
+
2
�
�
sen 2x
2
��
�=2
= �1
2
:
a3 =
2
�
�
x2 sen 3x
3
+
2
3
�
sen 3x
9
� x cos 3x
3
���=2
0
+
2
�
�
sen 3x
3
��
�=2
=
22
27�
� �
6
:
Os quatro primeiro termos da série são:
A0 =
1
2
�
1 +
�2
12
�
; A1 =
�
�
2
� 6
�
�
cosx; A3 = �1
2
cos 2x e A4 =
�
22
27�
� �
6
�
cos 3x:
c Observando o grá…co, vemos que a extensão efP é descontínua no ponto x = 3�=2 e, sendo assim,
temos:
F (3�=2) = 12
h efP �x+�+ efP �x��i = 12 h1 + �24 i = 12 + �28 :
3
FIM
GRÁFICO DA EXTENSÃO ÍMPAR
4
GABARITO - PROVA 2
01 INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Considere a função g (x) =
1X
n=1
(�1)n xn�1
n (n+ 1)
.
a Determine o domínio máximo da função g; isto é, o intervalo de convergência da série.
b Calcule o valor da expressão g (0) + g0 (0) + g(6) (0) + g(9) (0) :
SOLUÇÃO
a Temos
L = lim
����an+1an
���� = lim
����� (�1)n+1 xn(n+ 1) (n+ 2) � n (n+ 1)(�1)n xn�1
����� = jxj lim
���� n (n+ 1)(n+ 1) (n+ 2)
���� = jxj lim n2 + nn2 + 3n+ 2 = jxj :
A partir do Teste da Razão, concluímos que a série coverge absolutamente no intervalo jxj < 1, isto é, se
�1 < x < 1 e diverge se x > 1 ou x < �1. Nas extremidades x = �1 e x = 1 a série se reduz a
extremidade x = 1 :
1X
n=0
(�1)n
n2 + n
(absolutamente convergente)
extremidade x = �1 :
1X
n=0
(�1)2n�1
n2 + n
(absolutamente convergente)
CONCLUSÃO A série converge absolutamente no intervalo �1 � x � 1 e diverge se x > 1 ou x < �1. O
domínio da função é, portanto, D (g) = [�1; 1] :
b Observando a série que de…ne a função g, vemos que as derivadas são calculadas a partir da relação
cn�1 =
g(n�1) (0)
(n� 1)! ,
(�1)n
n (n+ 1)
=
g(n�1) (0)
(n� 1)! , g
(n�1) (0) =
(�1)n (n� 1)!
n (n+ 1)
:
Considerando sucessivamente n = 1; 2; 7 e 10, obtemos, respectivamente, g (0) = �1=2; g0 (0) =
1=6; g(6) (0) = �90=7 e g(9) (0) = (9!) =110. Logo,
g (0) + g0 (0) + g(6) (0) + g(9) (0) = �1
2
+
1
6
� 90
7
+
9!
110
= �277
21
+
9!
110
:
02 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Seja f a função real de…nida por
f (x) =
x+ 2
1� 2x; x 6= 1=2:
a Represente f em série de potências de x+ 2 e determine onde a representação é válida:
b Se ��=2 < � < �=6, calcule o valor da soma
1X
n=0
2n (2 + sen �)n+1
5n+1
:
5
c Por derivação, obtenha uma série de potências para g (x) =
5
(1� 2x)2 :
d Use o resultado encontrado em (c) e calcule a soma da série
1X
n=0
(n+ 1) 4n
5n
:
SOLUÇÃO
a Identi…quemos f (x) com a soma de uma série geométrica de razão r = 25 (x+ 2). De fato:
x+ 2
1� 2x =
x+ 2
1� 2 (x+ 2� 2) =
x+ 2
5� 2 (x+ 2) =
x+ 2
5
"
1
1� 25 (x+ 2)
#
=
=
x+ 2
5
1X
n=0
�
2
5
�n
(x+ 2)n =
1X
n=0
2n (x+ 2)n+1
5n+1
e a série é convergente somente quando
��2
5 (x+ 2)
�� < 1, isto é, �92 < x < 12 :
b Se ��=2 < � < �=6, então x = sen � jaz no intervalo de convergência, tendo em vista que �1 <
sen � < 1=2 e, portanto,
x+ 2
1� 2x =
1X
n=0
2n (x+ 2)n+1
5n+1
(fazer x = sin �)
) 2 + sen �
1� 2 sen � =
1X
n=0
2n (sen � + 2)n+1
5n+1
c Derivando a série obtida em (a), encontramos:
d
dx
�
x+ 2
1� 2x
�
=
1X
n=0
2n (n+ 1) (x+ 2)n
5n+1
) 5
(1� 2x)2 =
1X
n=0
2n (n+ 1) (x+ 2)n
5n+1
; (2.4)
representação válida no intervalo �92 < x <
1
2 :
d Considerando em (2.4) x = 0, encontramos:
1X
n=0
4n (n+ 1)
5n
= 25
03 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Considere a função f : [��; 0]! R, de…nida por:
f (x) =
������ �x; se � �=2 � x < 02; se � � � x < ��=2:
a Esboce, no intervalo [�3�; 2�] ; o grá…co da extensão ímpar 2�-periódica efI de f .
b Determine os quatros primeiros termos da série de Fourier da extensão encontrada em (a).
c Se F (x) representa a soma da série no ponto x, calcule o valor de F (�5�=2)?
SOLUÇÃO
6
a Na …gura abaixo ilustramos o grá…co, no intervalo [�3�; 2�] ; da extensão ímpar 2�-periódica efI de
f . O primeiro passo é estender a função f ao intervalo simétrico [��; �] ; para em seguida considerar a
extensão periódica. O
b Como estamos tratando com a extensão ímpar,
então os coe…cientes an; n = 0; 1; 2; 3; 4; : : : ; são
todos nulos e a série de Fourier de efI é uma série de senos, isto é,
1X
n=1
bn sen (nx)
e os quatro primeiros termos são, portanto, B1 = b1 senx; B2 = b2 sen 2x; B3 = b3 sen 3x e B4 = b4 cos 4x:
Temos
bn =
2
�
Z 0
��
f (x) sen (nx) dx =
2
�
"Z ��=2
��
2 sen (nx) dx+
Z 0
��=2
x sen (nx) dx
#
=
2
�
�
�2cos (nx)
n
���=2
��
+
2
�
hsennx
n2
� x cosnx
n
i0
��=2
=
2
�
��2 cos (n�=2)
n
+
2 cos (n�)
n
�
+
2
�
�
sen (n�=2)
n2
+
(�=2) cos (n�=2)
n
�
:
Considerando sucessivamente n = 1; 2; 3; 4, obtemos da última relação:
b1 =
2
�
��2 cos (�=2)
1
+
2 cos 2�
1
�
+
2
�
�
sen (�=2)
12
+
(�=2) cos (�=2)
1
�
= � 3
�
:
b2 =
2
�
��2 cos�
2
+
2 cos (2�)
2
�
+
2
�
�
sen�
4
+
(�=2) cos�
2
�
=
4
�
� 1
2
:
b3 =
2
�
��2 cos (3�=2)
3
+
2 cos (3�)
3
�
+
2
�
�
sen (3�=2)
9
+
(�=2) cos (3�=2)
3
�
= � 14
9�
:
b4 =
2
�
��2 cos 2�
4
+
2 cos 4�
4
�
+
2
�
�
sen 2�
16
+
(�=2) cos 2�
4
�
=
1
4
:
7
Os quatro primeiro termos da série são:
B1 = � 3
�
senx; B2 =
�
4
�
� 1
2
�
sen(2x); B3 = � 14
9�
sen (3x) e B4 =
1
4
sen (4x) :
c Observando o grá…co, vemos que a extensão efI é descontínua no ponto x = �5�=2 e, sendo assim,
temos:
F (�5�=2) = 12
h efI �x+�+ efI �x��i = 12 h�2 + 2i = 1 + �4 :
FIM
GRÁFICO DA EXTENSÃO PAR
8