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DisciplinaCálculo I74.234 materiais1.348.203 seguidores
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1\u20134 Dado que
quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aque-
les que não são formas indeterminadas, calcule o limite quando
possível.
1. (a) (b) (c) 
(d) (e) 
2. (a) (b) 
(c) 
3. (a) (b) 
(c) 
4. (a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
5\u20136 Use os gráficos de f e t e suas retas tangentes em (2, 0) para en-
contrar .
5. 6.
7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l\u2019Hôspital quando for apro-
priado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se
a Regra de l\u2019Hôspital não se aplicar, explique o porquê. 
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53.
54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.lim
xl\ufffd
x 1\ufffdx lim
xl\ufffd
\ufffde x 	 x\ufffd1\ufffdx
lim
xl1	
x 1\ufffd\ufffd1\ufffdx\ufffd lim
xl\ufffd
x \ufffdln 2\ufffd\ufffd\ufffd1 	 ln x\ufffd
lim
xl\ufffd \ufffd1 	 ax	bxlimxl0 \ufffd1 \ufffd 2x\ufffd1\ufffdx
lim
xl0	 \ufffdtg 2x\ufffd
xlim
xl0	
xsx
lim
xl1	
ln\ufffdx 7 \ufffd 1\ufffd \ufffd ln\ufffdx 5 \ufffd 1\ufffd\ufffd
lim
xl\ufffd
\ufffdx \ufffd ln x\ufffd
lim
xl0 \ufffdcotg x \ufffd 1x	limxl0	 \ufffd1x \ufffd 1e x \ufffd 1	
lim
xl0
\ufffdcossec x \ufffd cotg x\ufffdlim
xl1
\ufffd xx \ufffd 1 \ufffd 1ln x	
lim
xl\ufffd
\ufffd2\ufffd\ufffd
cos x sec 5xlim
xl11
ln x tg\ufffdpx\ufffd2\ufffd
lim
xl\ufffd
x tg\ufffd1\ufffdx\ufffdlim
xl\ufffd
x 3e\ufffdx 2
lim
xl0	 sen x ln xlimxl0 cotg 2x sen 6x
lim
xl\ufffd
sx e\ufffdx\ufffd2lim
xl\ufffd
x sen\ufffdp\ufffdx\ufffd
lim
xla	
cos x ln\ufffdx \ufffd a\ufffd
ln\ufffde x \ufffd ea \ufffdlimxl0
cos x \ufffd 1 	 12 x 2
x 4
lim
xl0
e x \ufffd e\ufffdx \ufffd 2x
x \ufffd sen xlimxl1
x a \ufffd ax 	 a \ufffd 1
\ufffdx \ufffd 1\ufffd2
lim
xl0	
x x \ufffd 1
ln x 	 x \ufffd 1limxl1
1 \ufffd x 	 ln x
1 	 cos 
x
lim
xl0
x
tg\ufffd1\ufffd4x\ufffdlimxl0
x 	 sen x
x 	 cos x
lim
xl0
cos mx \ufffd cos nx
x 2limxl0
x3 x
3x \ufffd 1
lim
xl\ufffd
\ufffdln x\ufffd2
xlimxl0
sen\ufffd1x
x
lim
xl0
x \ufffd sen x
x \ufffd tg xlimxl0
tgh x
tg x
lim
xl0
senh x \ufffd x
x 3limxl0
e x \ufffd 1 \ufffd x
x 2
lim
ul\ufffd
e u\ufffd10
u3limxl0
s1 	 2x \ufffd s1 \ufffd 4x
x
lim
tl0
8 t \ufffd 5 t
tlimtl1
t 8 \ufffd 1
t 5 \ufffd 1
lim
xl\ufffd
ln ln x
xlimxl0	
ln x
x
lim
xl1
ln x
sen pxlimxl\ufffd
ln x
sx
lim
ulp\ufffd2
1 \ufffd sen u
cossec u
lim
ulp\ufffd2
1 \ufffd sen u
1 	 cos 2u
lim
xl 0
x 2
1 \ufffd cos xlimtl0
e 2t \ufffd 1
sen t
lim
xl 0
sen 4x
tg 5xlimxl\ufffdp\ufffd2\ufffd	
cos x
1 \ufffd sen x
lim
xl 1\ufffd2
6x 2 	 5x \ufffd 4
4x 2 	 16x \ufffd 9limxl1
x 3 \ufffd 2x 2 	 1
x 3 \ufffd 1
lim
xl 1
x a \ufffd 1
x b \ufffd 1limxl\ufffd1
x 2 \ufffd 1
x 	 1
y
y=1,5(x-2)
x0
2
y=2-x
f
g
y
y=1,8(x-2)
x0
y= (x-2)
4
5
2
f
g
lim
xl2
f \ufffdx\ufffd
t\ufffdx\ufffd
lim
xla
q\ufffdx\ufffdsp\ufffdx\ufffdlim
xl a
 p\ufffdx\ufffd\ufffdq\ufffdx\ufffdlim
xla
 p\ufffdx\ufffd\ufffd f \ufffdx\ufffd
lim
xla
h\ufffdx\ufffd\ufffd p\ufffdx\ufffdlim
xl a
 f \ufffdx\ufffd\ufffd p\ufffdx\ufffdlim
xl a
 f \ufffdx\ufffd\ufffd t\ufffdx\ufffd
lim
xl a
 p\ufffdx\ufffd 	 q\ufffdx\ufffd\ufffd
lim
xl a
 p\ufffdx\ufffd \ufffd q\ufffdx\ufffd\ufffdlim
xl a
 f \ufffdx\ufffd \ufffd p\ufffdx\ufffd\ufffd
lim
xl a
 p\ufffdx\ufffdq\ufffdx\ufffd\ufffd
lim
xl a
h\ufffdx\ufffdp\ufffdx\ufffd\ufffdlim
xl a
 f \ufffdx\ufffdp\ufffdx\ufffd\ufffd
lim
xl a
p\ufffdx\ufffd
q\ufffdx\ufffdlimxla
p\ufffdx\ufffd
f \ufffdx\ufffd
lim
xla
h\ufffdx\ufffd
p\ufffdx\ufffdlimxl a
f \ufffdx\ufffd
p\ufffdx\ufffdlimxl a
f \ufffdx\ufffd
t\ufffdx\ufffd
lim
xl a
p\ufffdx\ufffd \ufffd \ufffd lim
xl a
q\ufffdx\ufffd \ufffd \ufffd
lim
xl a
f \ufffdx\ufffd \ufffd 0 lim
xl a
t\ufffdx\ufffd \ufffd 0 lim
xl a
h\ufffdx\ufffd \ufffd 1
278 CÁLCULO
4.4 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:23 AM Page 278
63. 64.
65. 66.
67\u201368 Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a Re-
gra de l\u2019Hôpital para encontrar o valor exato.
67. 68.
69\u201370 Ilustre a Regra de l\u2019Hôspital fazendo o gráfico de e
próximo de , para ver que essas razões têm o mesmo
limite quando . Calcule também o valor exato do limite.
69. , 
70. , 
71. Demonstre que 
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função expo-
nencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potên-
cia de x.
72 Demonstre que 
para todo número p \ufffd 0. Isso mostra que a função logaritmo tende
a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.
73\u201374 O que acontece se você tentar usar a Regra de l\u2019Hôspital para
encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método.
73. 74.
75. Investigue a família de curvas dada por . Em par-
ticular, encontre os limites quando e determine os va-
lores de c para os quais f tem um mínimo absoluto. O que acon-
tece aos pontos mínimos quando c cresce?
76. Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo
para sua velocidade após t segundos, levando-se em conta a re-
sistência do ar, é
Onde t é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva.
(No Capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de
que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto; c é
a constante proporcionalidade.)
(a) Calcule . Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de l\u2019Hôspital para calcu-
lar . O que você pode concluir sobre a velocidade de
um objeto caindo no vácuo?
77. Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de
juros r capitalizada n vezes ao ano, o valor do investimento após
t anos será 
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use
a regra de l\u2019Hôspital para mostrar que se os juros forem capitali-
zados continuamente, então o montante após t anos será 
78. Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força
de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então
a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por
onde c é uma constante positiva. Encontre .
79. Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido
ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de vo-
lume é 
Mostre que .
80. Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo
que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R. A
velocidade de um impulso elétrico do cabo é
onde c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e
interprete suas respostas.
(a) (b) 
81. A primeira aparição impressa da Regra de l\u2019Hôspital foi em um
livro Analyse des infiniment petits publicado pelo marquês de
l\u2019Hôspital em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado
e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua re-
gra foi encontrar o limite da função 
quando x tende a a, onde a \ufffd 0. (Naquela época era comum es-
crever aa no lugar de a2.) Resolva esse problema.
82. A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central u. Seja
A (u) a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B (u)
a área do triângulo PQR. Encontre .
83. Calcule .
84. Suponha que f seja uma função positiva. Se e
, mostre que
Isso mostra que não é uma forma indeterminada. 
85. Se for contínua, e , calcule
86. Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?
lim
xl0 \ufffd sen 2xx3 	 a 	 bx2	 \ufffd 0
x l 0
lim
xl0
f \ufffd2 	 3x\ufffd 	 f \ufffd2 	 5x\ufffd
x
f \ufffd\ufffd2\ufffd \ufffd 7f \ufffd2\ufffd \ufffd 0f \ufffd
0\ufffd
lim
xla
 f \ufffdx\ufffd\ufffd t\ufffdx\ufffd \ufffd 0
lim xla t\ufffdx\ufffd \ufffd \ufffd
lim xla f \ufffdx\ufffd \ufffd 0
lim
xl\ufffd \ufffdx \ufffd x 2 ln\ufffd1 	 xx 	
P
Q R
A(¨)
B(¨)
O
¨
lim\ufffdl 0	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
y \ufffd s2a
3x \ufffd x 4 \ufffd as3 aax
a \ufffd s4 ax 3
lim
rl0	
vlim
Rlr	
v
v \ufffd \ufffdc\ufffd rR	
2
ln\ufffd rR	
limEl 0 	 P\ufffdE\ufffd \ufffd 0
P\ufffdE\ufffd \ufffd e
E 	 e\ufffdE
e E \ufffd e\ufffdE \ufffd
1
E
lim cl 0	 s\ufffdt\ufffd
s\ufffdt\ufffd \ufffd mc ln cosh\ufffd tcmt
A \ufffd A0ert
n l \ufffd
A \ufffd A0\ufffd1 	 rn	nt
limcl 0	 v
lim tl \ufffd v
v \ufffd
mt
c \ufffd1 \ufffd e
\ufffdct\ufffdm \ufffd
v
x l 
\ufffd
f \ufffdx\ufffd \ufffd e x \ufffd cx
lim
xl\ufffdp\ufffd2\ufffd\ufffd
sec x
tg xlimxl\ufffd
x
sx 2 	 1
lim
xl\ufffd
ln x
x p \ufffd 0
lim
xl\ufffd
e x
x n \ufffd \ufffd
f \ufffdx\ufffd \ufffd e x \ufffd 1 t\ufffdx\ufffd \ufffd x 3 	 4x
t\ufffdx\ufffd \ufffd sec x \ufffd 1f \ufffdx\ufffd \ufffd 2x sen x
x \ufffd 0f \ufffd\ufffdx\ufffd\ufffdt\ufffd\ufffdx\ufffd
f \ufffdx\ufffd\ufffdt\ufffdx\ufffd
lim
xl 0
5x \ufffd 4x
3x \ufffd 2x
lim
xl\ufffd \ufffd1 	 2x	
x
lim
xl\ufffd \ufffd2x \ufffd 32x 	 5	2x	1limxl0	 \ufffdcos x\ufffd1\ufffdx2
lim
xl 1
\ufffd2 \ufffd x\ufffdtg\ufffdp x\ufffd2\ufffdlim
xl0	
\ufffd4x 	 1\ufffdcotg x
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 279
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 279
280 CÁLCULO
87. Se for contínua, use a Regra de l\u2019Hôspital para mostrar que
Explique