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1–4 Dado que
quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aque-
les que não são formas indeterminadas, calcule o limite quando
possível.
1. (a) (b) (c) 
(d) (e) 
2. (a) (b) 
(c) 
3. (a) (b) 
(c) 
4. (a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
5–6 Use os gráficos de f e t e suas retas tangentes em (2, 0) para en-
contrar .
5. 6.
7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apro-
priado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se
a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. 
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53.
54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.lim
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x 1�x lim
xl�
�e x 	 x�1�x
lim
xl1	
x 1��1�x� lim
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lim
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x 	 sen x
x 	 cos x
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3x � 1
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x � sen x
x � tg xlimxl0
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ln ln x
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xl 0
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lim
xl 1�2
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x 3 � 1
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x 2 � 1
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y
y=1,5(x-2)
x0
2
y=2-x
f
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y
y=1,8(x-2)
x0
y= (x-2)
4
5
2
f
g
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xl a
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xl a
h�x� � 1
278 CÁLCULO
4.4 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:23 AM Page 278
63. 64.
65. 66.
67–68 Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a Re-
gra de l’Hôpital para encontrar o valor exato.
67. 68.
69–70 Ilustre a Regra de l’Hôspital fazendo o gráfico de e
próximo de , para ver que essas razões têm o mesmo
limite quando . Calcule também o valor exato do limite.
69. , 
70. , 
71. Demonstre que 
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função expo-
nencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potên-
cia de x.
72 Demonstre que 
para todo número p � 0. Isso mostra que a função logaritmo tende
a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.
73–74 O que acontece se você tentar usar a Regra de l’Hôspital para
encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método.
73. 74.
75. Investigue a família de curvas dada por . Em par-
ticular, encontre os limites quando e determine os va-
lores de c para os quais f tem um mínimo absoluto. O que acon-
tece aos pontos mínimos quando c cresce?
76. Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo
para sua velocidade após t segundos, levando-se em conta a re-
sistência do ar, é
Onde t é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva.
(No Capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de
que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto; c é
a constante proporcionalidade.)
(a) Calcule . Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de l’Hôspital para calcu-
lar . O que você pode concluir sobre a velocidade de
um objeto caindo no vácuo?
77. Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de
juros r capitalizada n vezes ao ano, o valor do investimento após
t anos será 
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use
a regra de l’Hôspital para mostrar que se os juros forem capitali-
zados continuamente, então o montante após t anos será 
78. Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força
de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então
a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por
onde c é uma constante positiva. Encontre .
79. Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido
ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de vo-
lume é 
Mostre que .
80. Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo
que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R. A
velocidade de um impulso elétrico do cabo é
onde c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e
interprete suas respostas.
(a) (b) 
81. A primeira aparição impressa da Regra de l’Hôspital foi em um
livro Analyse des infiniment petits publicado pelo marquês de
l’Hôspital em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado
e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua re-
gra foi encontrar o limite da função 
quando x tende a a, onde a � 0. (Naquela época era comum es-
crever aa no lugar de a2.) Resolva esse problema.
82. A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central u. Seja
A (u) a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B (u)
a área do triângulo PQR. Encontre .
83. Calcule .
84. Suponha que f seja uma função positiva. Se e
, mostre que
Isso mostra que não é uma forma indeterminada. 
85. Se for contínua, e , calcule
86. Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?
lim
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x l 0
lim
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APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 279
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Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 279
280 CÁLCULO
87. Se for contínua, use a Regra de l’Hôspital para mostrar que
Explique