st 4.4 lopital

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1–4 Dado que
quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aque-
les que não são formas indeterminadas, calcule o limite quando
possível.
1. (a) (b) (c) 
(d) (e) 
2. (a) (b) 
(c) 
3. (a) (b) 
(c) 
4. (a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
5–6 Use os gráficos de f e t e suas retas tangentes em (2, 0) para en-
contrar .
5. 6.
7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apro-
priado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se
a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. 
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53.
54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.lim
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x 1�x lim
xl�
�e x 	 x�1�x
lim
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x 1��1�x� lim
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x sen�p�x�
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1 	 cos 
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x 	 cos x
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x � tg xlimxl0
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lim
xl 0
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1 � sen x
lim
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x 3 � 1
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x b � 1limxl�1
x 2 � 1
x 	 1
y
y=1,5(x-2)
x0
2
y=2-x
f
g
y
y=1,8(x-2)
x0
y= (x-2)
4
5
2
f
g
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lim
xla
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 f �x�� t�x�
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xl a
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xl a
h�x� � 1
278 CÁLCULO
4.4 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:23 AM Page 278
63. 64.
65. 66.
67–68 Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a Re-
gra de l’Hôpital para encontrar o valor exato.
67. 68.
69–70 Ilustre a Regra de l’Hôspital fazendo o gráfico de e
próximo de , para ver que essas razões têm o mesmo
limite quando . Calcule também o valor exato do limite.
69. , 
70. , 
71. Demonstre que 
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função expo-
nencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potên-
cia de x.
72 Demonstre que 
para todo número p � 0. Isso mostra que a função logaritmo tende
a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.
73–74 O que acontece se você tentar usar a Regra de l’Hôspital para
encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método.
73. 74.
75. Investigue a família de curvas dada por . Em par-
ticular, encontre os limites quando e determine os va-
lores de c para os quais f tem um mínimo absoluto. O que acon-
tece aos pontos mínimos quando c cresce?
76. Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo
para sua velocidade após t segundos, levando-se em conta a re-
sistência do ar, é
Onde t é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva.
(No Capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de
que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto; c é
a constante proporcionalidade.)
(a) Calcule . Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de l’Hôspital para calcu-
lar . O que você pode concluir sobre a velocidade de
um objeto caindo no vácuo?
77. Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de
juros r capitalizada n vezes ao ano, o valor do investimento após
t anos será 
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use
a regra de l’Hôspital para mostrar que se os juros forem capitali-
zados continuamente, então o montante após t anos será 
78. Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força
de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então
a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por
onde c é uma constante positiva. Encontre .
79. Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido
ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de vo-
lume é 
Mostre que .
80. Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo
que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R. A
velocidade de um impulso elétrico do cabo é
onde c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e
interprete suas respostas.
(a) (b) 
81. A primeira aparição impressa da Regra de l’Hôspital foi em um
livro Analyse des infiniment petits publicado pelo marquês de
l’Hôspital em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado
e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua re-
gra foi encontrar o limite da função 
quando x tende a a, onde a � 0. (Naquela época era comum es-
crever aa no lugar de a2.) Resolva esse problema.
82. A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central u. Seja
A (u) a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B (u)
a área do triângulo PQR. Encontre .
83. Calcule .
84. Suponha que f seja uma função positiva. Se e
, mostre que
Isso mostra que não é uma forma indeterminada. 
85. Se for contínua, e , calcule
86. Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?
lim
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x l 0
lim
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t�x� � sec x � 1f �x� � 2x sen x
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5x � 4x
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�4x 	 1�cotg x
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 279
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 279
280 CÁLCULO
87. Se for contínua, use a Regra de l’Hôspital para mostrar que
Expliqueo significado dessa equação utilizando um diagrama.
88. Se for contínua, mostre que 
89. Considere
(a) Use a definição de derivada para calcular .
(b) Mostre que f tem derivadas de todas as ordens que são defi-
nidas em . [Dica: Primeiro mostre por indução que há um
polinômio e um número inteiro não negativo tais que
para .]
90. Considere
(a) Mostre que f é contínua em 0.
(b) Pesquise graficamente se f é derivável em 0 por meio de su-
cessivos zooms em direção ao ponto (0, 1) sobre o gráfico de f.
(c) Mostre que f não é derivável em 0. Como reconciliar esse fato
com a aparência do gráfico na parte (b)?
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f �n��x� � pn�x�f �x��x kn x � 0
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Mathematics, em www.stewartcalculus.com,
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4.5
PROJETO ESCRITO AS ORIGENS DA REGRA DE L’HÔSPITAL
A Regra de l’Hôspital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des infiniment pe-
tits, do marquês de l’Hôspital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático suíço
John (Johann) Bernoulli. A explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um cu-
rioso acordo, que dava ao marquês de l’Hôspital os direitos das descobertas de Bernoulli. Os deta-
lhes desse acordo, inclusive a tradução da carta de l’Hôspital para Bernoulli propondo o arranjo, po-
dem ser encontrados no livro de Eves [1].
Escreva um relatório sobre as origens histórica e matemática da Regra de l’Hôspital. Comece
fornecendo uma breve biografia de ambos (o dicionário editado por Gillispie [2] é uma boa fonte),
e resuma o arranjo feito por eles. A seguir, dê o enunciado da Regra de l’Hôspital, que é encontrada
no livro de Struik [4] e mais resumidamente no livro de Katz [3]. Observe que l’Hôspital e Bernoulli
formularam geometricamente a regra e deram a resposta em termos de diferenciais. Compare seus
enunciados com a versão da regra de Bernoulli dada na Seção 4.4 e mostre que os dois enunciados
são essencialmente iguais.
1. Eves, H. em Mathematical Circles Volume 2: Quadrantes III e IV Boston: Prindle, Weber and
Schmidt, 1969. pp. 20–22.
2. Gillispie, C. C. Dictionary of Scientific Biography. Nova York: Scribner’s, 1974. Veja o artigo
em Johann Bernoulli by E. A. Fellmann e J. O. Fleckenstein em Volume II e o artigo em Mar-
quês de l’Hôspital por Abraham Robinson no Volume VIII.
3. Katz, V. A History of Mathematics: An Introduction. Nova York: HarperCollins, 1993. p. 484.
4. Struik, D. J. A Sourcebook in Mathematics, 1200–1800. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 1969. p. 315–316.
Resumo do Esboço de Curvas
Até o momento, estivemos preocupados com alguns aspectos particulares de esboço de cur-
vas: domínio, imagem e simetria no Capítulo 1; limites, continuidade e assíntotas no Capítulo
2; derivadas e tangentes nos Capítulos 2 e 3; e valores extremos, intervalos de crescimento e
decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e Regra de L’Hôspital neste capítulo. Chegou
a hora de agruparmos todas essas informações para esboçar gráficos que revelem os aspectos
importantes das funções.
Você pode se perguntar: por que não usar simplesmente uma calculadora gráfica ou com-
putador para traçar uma curva? Por que precisamos usar o cálculo?
É verdade que a tecnologia moderna é capaz de produzir gráficos bem precisos. Contudo,
mesmo a melhor ferramenta gráfica deve ser usada inteligentemente. Vimos na Seção 1.4 que
é extremamente importante escolher uma janela retangular adequada para evitar obter um grá-
fico que nos leve a conclusões errôneas. (Veja, em particular, os Exemplos 1, 3, 4 e 5 naquela
seção.) O uso do cálculo nos possibilita descobrir os aspectos mais interessantes dos gráficos
e, em muitos casos, calcular exatamente os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 280
A74 CÁLCULO
51. (a) AV
(b) Decres. em (0, e)
(c) Nenhum
(d) CC em (0, 1), CB (1, e), 
PI (1, 0)
(e) Veja o gráfico à direita.
53.
55. (a) Max. loc e abs , sem min (b) 
57. (b) CC em (0,94; 2,57), (3,71; 5,35); 
CB em (0; 0,94), (2,57; 3,71), (5,35; 2p); 
PI (0,94; 0,44), (2,57; �0,63) (3,71; �0,63), (5,35; 0,44)
59. CC em , ; CB em (�0,6; 0,0)
61. (a) A taxa de crescimento inicialmente é muito pequena;
cresce a um máximo em , e, então, decresce para 0.
(b) Quando t � 8 (c) CC em (0, 8); CB em (8, 18) (d) (8, 350)
63. ; CB
65. 28,57 min., quando a taxa de aumento do nível medicamentoso
na corrente sanguínea é maior; 85,71 min., quando a taxa de 
decrescimento é maior
67.
69. (a) a � 0, b � �1 (b) y � �x em (0, 0)
EXERCÍCIOS 4.4
1. (a) Indeterminado (b) 0 (c) 0
(d) , , ou não existe (e) Indeterminado
3. (a) (b) Indeterminado (c)
5. 7. �2 9. 11. 13. 2 15. 
17. 0 19. 21. 23. 3 25. 27. 1
29. 1 31. 1/ln 3 33. 0 35. 37. 
39. 41. 43. 3 45. 0 47. 49. 
51. 53. 55. 1 57. e�2 59. 1/e
61. 1 63. e4 65. 67. e2 69. 73. 1
75. f tem um mínimo absoluto para c � 0. À medida que c au-
menta, os pontos mínimos se afastam mais da origem.
81. 83. 85. 56 89. (a) 0
EXERCÍCIOS 4.5
Abreviação: int., intersecção; AO, assíntota oblíqua
1. A. B. int. y 0; int. x 0,
C. Em relação a (0, 0) D. Nenhuma
E. Cres. em F. Nenhum
G. CC em ; CB em ;
PI (0, 0)
H. Veja o gráfico à direita.
3. A. B. int. y. 2; int. x. 2,
C. Nenhuma D. Nenhuma
E. Cres. em (1, 5); 
decres. em 
F. Min. loc ; 
Max. loc 
G. CC em ; 
CB em ; PI (3, 11)
H. Veja o gráfico à direita.
5. A. B. int. y. 0; int. x 0, 4
C. Nenhuma D. Nenhuma
E. Cres. em ; decres. em
F. Min. loc f (1) � �27
G. CC em , ;
CB em (2, 4);
PI (2, �16), (4, 0)
H. Veja o gráfico à direita.
7. A. B. int. y 0; int. x 0
C. Em relação a (0, 0)
D. Nenhuma
E. Cres. em 
F. Nenhum
G. CC em (�2, 0), ; 
CB em , (0, 2); 
PI , (0, 0), 
H. Veja o gráfico à direita.
9. A. B. int. y 0; int. x 0
C. Nenhuma D. AV , 
AH 
E. Decres. em 
F. Nenhum
G. CC em ; CB em 
H. Veja o gráfico à direita.
11. A.
B. int. y 0; int. x 0 C. Nenhuma
D. AH y � �1; AV x � 2
E. Cres. em 
F. Nenhum
G. CC em , (1, 2);
CB em 
H. Veja o gráfico à direita
13. A. B. int. y
C. Em relação ao eixo y D. AV , AH 
E. Cres. em , ; 
decres. em (0, 3), 
F. Max. loc
G. CC em ;
CB em
H. Veja o gráfico à direita.
15. A. B. int. y 0; int. x 0
C. Em relação a (0, 0)
D. AH 
E. Cres. em ;
decres. em 
F. Min. loc ;
Max. loc ;
G. CC em , ;
CB em , ;
PI (0, 0), 
H. Veja o gráfico à direita.
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