Algebra linear

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A´lgebra Linear
30 de marc¸o de 2015
Suma´rio
1 Espac¸os Vetoriais 3
1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Propriedades Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Somas de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Combinac¸o˜es Lineares e Espac¸os finitamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
Cap´ıtulo 1
Espac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 1.0.1 Dizemos que um conjunto na˜o vazio V e´ um espac¸o vetorial sobre R se esta˜o definidas
duas operac¸o˜es
+ : V × V −→ V
(u, v) 7−→ u+ v
e
+ : R× V −→ V
(α, v) 7−→ αv
tais que:
1. u+ v = v + u, ∀u, v ∈ V ;
2. u+ (v + w) = (u+ v) + w, ∀u, v, w ∈ V ;
3. Existe um elemento neutro da operac¸a˜o + denotado por 0, isto e´, 0 + v = v, ∀v ∈ V ;
4. A cada v ∈ V existe um elemento oposto, denotado por −v tal que v + (−v) = 0;
5. (αβ)v = α(βv), ∀α, β ∈ R e ∀v ∈ V ;
6. (α+ β)v = αv + βv, ∀α, β ∈ R e ∀v ∈ V ;
7. α(u+ v) = αu+ αv, ∀α ∈ R e ∀u, v ∈ V ;
8. 1v = v, ∀v ∈ V .
Observac¸a˜o 1.0.2 Os elementos de um espac¸o vetorial V sa˜o chamados de vetores, e o elemento neutro
e´ dito vetor nulo.
Observac¸a˜o 1.0.3 O conjunto R usado na definic¸a˜o acima pode ser substitu´ıdo por C, ou por qualquer
conjunto que tenha a estrutura de corpo1.
1Ver qualquer livro de estruturas alge´bricas para definic¸a˜o de corpo
2
1.1 Exemplos
1. V = R2 e´ um espac¸o vetorial. Com efeito, basta definir as operac¸o˜es:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
λ(x1, y1) = (λx1, λy1).
2. O conjunto da matrizes Mm×n(R) e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o˜es convencionais.
3. O pro´prio conjunto R e´ um espac¸o vetorial sobre si mesmo.
4. Seja X um conjunto qualquer na˜o vazio e F(X,R) o conjunto de todas as func¸o˜es f : X → R. Defina
as seguintes operac¸o˜es em F(X,R):
• para f, g ∈ F(X,R), defina a func¸a˜o f + g : X → R dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para cada
x ∈ X.
• para f ∈ F(X,R) e α ∈ R, defina a func¸a˜o α · f : X → R dada por (α · f)(x) = αf(x) para cada
x ∈ F(X,R).
Com estas operac¸o˜es, o conjunto F(X,R) e´ um espac¸o vetorial sobre R, onde a func¸a˜o nula e´ o vetor
nulo desse espac¸o2.
1.2 Propriedades Ba´sicas
Seja V um espac¸o vetorial sobre R.
Proposic¸a˜o 1.2.1 Para todo α ∈ R, α0 = 0.
Dem.: Com efeito, dado α ∈ R existe −(α0). E somando este vetor em cada membro da equac¸a˜o
α0 = α(0 + 0) = α0 + α0,
obtemos
0 = α0.
2
Proposic¸a˜o 1.2.2 Para todo v ∈ V , 0u = 0.
Dem.: Exerc´ıcio
Proposic¸a˜o 1.2.3 Se α ∈ R e v ∈ V sa˜o tais que αv = 0, enta˜o α = 0 ou v = 0.
Dem.: Sejam α ∈ R e v ∈ V com αv = 0. Se α 6= 0 enta˜o existe α−1. Assim,
(α−1)(αv) = α−10 =⇒ v = 0
2
2Tal conjunto e´ denominado espac¸o de func¸o˜es, e e´ um dos principais objetos de estudo de uma a´rea da matema´tica chamada
Ana´lise Funcional.
3
Proposic¸a˜o 1.2.4 Para todo α ∈ R e para todo v ∈ V , (−α)v = α(−v) = −(αv).
Dem.: Vamos mostrar que α(−v) = −(αv). Note que
α(−v) + αv = α(−v + v)
= α0
= 0,
donde α(−v) = −(αv). A outra igualdade se verifica de maneira ana´loga. 2
Definic¸a˜o 1.2.5 Dados u, v ∈ V definimos a diferenc¸a u− v por
u− v = u+ (−v).
Proposic¸a˜o 1.2.6 Se α, β ∈ R e v ∈ V , enta˜o (α− β)v = αv − βv.
Dem.: Basta verificar a sequeˆncia de igualdades
(α− β)v = (α+ (−β))v = αv + (−β)v = αv + (−βv) = αv − βv.
2
Proposic¸a˜o 1.2.7 Sejam α ∈ R e u, v ∈ V . Enta˜o α(u− v) = αu− αv.
Dem.: Exerc´ıcio.
Proposic¸a˜o 1.2.8 Dados β, α1, · · · , αn ∈ R e u1, · · · , un ∈ V , temos que
β
( n∑
i=1
αivi
)
=
n∑
i=1
βαivi.
Dem.: Exerc´ıcio.
1.3 Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 1.3.1 Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que um subconjunto U ⊂ V e´ um subespac¸o vetorial
de V , se U e´ um espac¸o vetorial sobre R com as operac¸o˜es herdadas de V .
Exemplo 1.3.2 Dado um espac¸o vetorial V , os conjuntos {0} e V sa˜o os exemplos triviais de subespac¸o.
Proposic¸a˜o 1.3.3 Sejam V um espac¸o vetorial e U ⊂ V . Enta˜o U e´ um subespac¸o de V se, e somente se,
1. 0 ∈ U ;
2. para todos u, v ∈ U tem-se que u+ v ∈ U ;
3. para todo α ∈ R e todo u ∈ U tem-se αu ∈ U .
4
Dem.: (⇒) Evidente.
(⇐) Basta verificar que
u ∈ U =⇒ −u ∈ U.
Mas isto segue de
u ∈ U =⇒ (−1)u ∈ U
e (−1)u = −u 2
Exemplo 1.3.4 O conjunto U = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y = 0} e´ um subespac¸o de R3.
Exemplo 1.3.5 Qualquer reta passando pela origem e´ um subespac¸o de R2.
Exemplo 1.3.6 O conjunto das func¸o˜es C([a, b],R) = {f : [a, b] → R | f e´ cont´ınua} e´ um subespac¸o
vetorial de F([a, b],R).
Exemplo 1.3.7 Sejam U e W subespac¸os de um mesmo espac¸o vetorial V . O conjunto U ∩W e´ um
subespac¸o de V . Contudo, o conjunto U ∪W na˜o e´, em geral, subespac¸o de V .
Exemplo 1.3.8 O conjunto das matrizes sime´tricas e´ um subespac¸o vetorial de Mn×n(R)
1.4 Somas de Subespac¸os
Definic¸a˜o 1.4.1 Sejam U e W subespac¸os de um espac¸o vetorial V . Chamaremos de soma de U com W ,
e denotaremos por U +W , o conjunto
U +W = {u+ w | u ∈ U e w ∈W}.
Proposic¸a˜o 1.4.2 Sejam V um espac¸o vetorial, e U,W ⊂ V subespac¸os de V . O conjunto U + W e´ um
subespac¸o de V .
Dem.: Como 0 ∈ U ∩W e 0 + 0 = 0, temos que 0 ∈ U +W .
Sejam v1, v2 ∈ U +W . Escrevendo v1 = u1 + w1 e v2 = u2 + w2, com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈W temos que
v1 + v2 = (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) ∈ U +W,
pois (u1 + u2) ∈ U e (w1 + w2) ∈W .
Por fim, se α ∈ R e v ∈ U +W , escrevendo v = u+ w onde u ∈ U e w ∈W , temos
αv = α(u+ w) = αu+ αw ∈ U +W,
pois αu ∈ U e αw ∈W 2
Definic¸a˜o 1.4.3 Sejam V um espac¸o vetorial, e U,W ⊂ V subespac¸os de V tais que U ∩W = {0}. Neste
caso, diremos que U + W e´ soma direta dos subespac¸os U e W , e escreveremos U ⊕W para representar o
espac¸o U +W . Se V = U ⊕W diremos que U e W sa˜o suplementares, e que V e´ a soma direta de U e W .
5
Exemplo 1.4.4 Considere em R2 os subespac¸os U = {(x, y) ∈ R2 | y = 0} e W = {(x, y) ∈ R2 | x = 0}.
Temos que a soma entre U e W e´ direta, uma vez que U ∩W = {0}.
No exemplo anterior, sera´ que R2 = U ⊕W? A pro´xima proposic¸a˜o nos ajuda nessa resposta.
Proposic¸a˜o 1.4.5 Sejam V um espac¸o vetorial, e U,W ⊂ V subespac¸os de V . Enta˜o V = U ⊕W se, e
somente se, cada elemento v ∈ V se escreve de maneira u´nica como uma soma u+ w com u ∈ U e w ∈W .
Dem.: (⇒) Suponha que V = U ⊕W . Dado v ∈ V temos que v se escreve como a soma de um vetor
em U com um vetor em W . Suponha que haja duas formas de fazer isso, ou seja, v = u1 +w1 e v = u2 +w2
com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈W . Enta˜o
u1 + w1 = u2 + w2 =⇒ u1 − u2 = w2 − w1.
Ora, (u1 − u2) ∈ U e (w1 − w2) ∈W , logo u1 − u2 = w2 − w1 = 0 donde u1 = u2 e w1 = w2.
(⇐) Supondo agora que cada elemento de V se escreve de maneira u´nica como a soma de um vetor em U
com um vetor em W , temos em particular que V = U +W . Ale´m disso, dado v ∈ U ∩W podemos escrever
v = v+ 0 com v ∈ U e 0 ∈W , e v = 0 + v com 0 ∈ U e v ∈W . Segue da hipo´tese de unicidade que v = 0, e
portanto a soma de U e W e´ direta 2
Exemplo 1.4.6 Com a notac¸a˜o do exemplo anterior, R2 = U ⊕W .
1.5 Combinac¸o˜es Lineares e Espac¸os finitamente Gerados
Sejam V um espac¸o vetorial e S = {v1, · · · , vn} ⊂ V . O conjunto
[S] = {α1v1 + · · ·+ αnvn | α1, · · · , αn ∈ R}
e´ um subespac¸o vetorial de V .
Com efeito,
1. 0 = 0.v1 + · · ·+ 0.vn;
2. (α1v1 + · · ·+ αnvn) + (β1v1 + · · ·+ βnvn) = (α1 + β1)v1 + · · ·+ (αn + βn)vn;
3. λ(α1v1 + · · ·+ αnvn) = (λα1)v1 + · · ·+ (λαn)vn.
Definic¸a˜o 1.5.1 Dados V espac¸o vetorial e S = {v1, · · · , vn} ⊂ V , chamamos o subespac¸o[S] de ”su-
bespac¸o vetorial gerado por S”. Aos vetores de [S] damos o nome de combinac¸a˜o linear de S, ou combinac¸a˜o
linear de v1, · · · , vn.
Nota c¸a˜o: [S] = [v1, · · · , vn].
Convenc¸a˜o: Se S = ∅ enta˜o [S] = {0}.
Para o caso em que S ⊂ V e´ infinito, diremos que u ∈ [S] se existirem v1, · · · , vk ∈ S e α, · · · , αk ∈ R
tais que
u = α1v1 + · · ·+ αkvk.
6
Proposic¸a˜o 1.5.2 Dados um espac¸o vetorial V e S ⊂ V , enta˜o S ⊂ [S].
Dem.: Se S for finito, digamos S = {v1, · · · , vn} enta˜o
vi = 0.v1 + · · ·+ 1.v1 + · · ·+ 0.vn
⇒ vi ∈ [S], ∀ i = 1, · · · , n.
Se S for infinito e v ∈ S, enta˜o basta escrever v = 1.v 2
Outras propriedades sa˜o:
1. S1 ⊂ S2 ⊂ V ⇒ [S1] ⊂ [S2];
2. [S] = [[S]];
3. [S1 ∪ S2] = [S1] + [S2], aqui S1 e S2 sa˜o subespac¸os de um mesmo espac¸o V .
Exemplo 1.5.3 Se V = R3, u = (1, 0, 0) e v = (1, 1, 0) o que e´ [u, v]?
Definic¸a˜o 1.5.4 Dizemos que um espac¸o vetorial V e´ finitamente gerado se existe um subconjunto finito,
S ⊂ V , tal que V = [S].
Exemplo 1.5.5 R3 e´ finitamente gerado. Com efeito, o conjunto S = {e1, e2, e3}3 e´ tal que R3 = [S].
Exemplo 1.5.6 Rn e´ finitamente gerado pelo conjunto S = {e1, · · · , en}.
Exemplo 1.5.7 O espac¸o vetorial V = M2(R) e´ gerado pelo conjunto
S =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
.
Exemplo 1.5.8 O espac¸o vetorial V = Pn(R) e´ gerado pelo conjunto S = {1, t, t2, · · · , tn}.
1.6 Base e Dimensa˜o
Definic¸a˜o 1.6.1 Seja V um espac¸o vetorial. Considere um subconjunto finito S = {v1, · · · , vn} ⊂ V .
Dizemos que S e´ linermaente independente (l.i.) se, e somente se,
α1v1 + · · ·+ αnvn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0.
Caso contra´rio, dizemos que S e´ linearmente dependente (l.d.).
Observac¸a˜o 1.6.2
3e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1).
7
1. Convencionaremos que o conjunto vazio e´ l.i..
2. Todo conjunto contendo o vetor nulo e´ l.d..
3. Todo espac¸o vetorial na˜o nulo possui um conjunto l.i.. Com efeito, basta considerar S = {v} onde v e´
um vetor na˜o nulo do espac¸o em questa˜o.
4. Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente e´ linearmente independente.
Exemplo 1.6.3 O conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 3, 5)} ⊂ R3 e´ l.d., pois
2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)− 1(2, 3, 5) = (0, 0, 0).
Exemplo 1.6.4 O conjunto S = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−2)} ⊂ R3 e´ l.i..
Exemplo 1.6.5 Considere o espac¸o vetorial V = C{[0, 2pi],R}. O conjunto S ⊂ V dado por S =
{sinx, cosx} e´ l.i.. De fato, se α sinx+ β cosx = 0 para todo x ∈ [0, 2pi], enta˜o α = β = 0.
Proposic¸a˜o 1.6.6 Sejam V um espac¸o vetorial e S = {v1, · · · , vn} ⊂ V . Enta˜o S e´ l.d. se, e somente se,
ao menos um de seus vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Dem.: Se S e´ l.d. enta˜o existem α1, · · · , αn ∈ R tais que
α1v1 + · · ·+ αnvn = 0
com algum αi 6= 0. Enta˜o podemos dividir a expressa˜o acima por αi, obtendo
α1
αi
v1 + · · ·+ αi−1
αi
vi−1 + vi +
αi+1
αi
vi+1 + · · ·+ αn
αi
vn = 0.
Logo
vi = −α1
αi
v1 − · · · − αi−1
αi
vi−1 − αi+1
αi
vi+1 − · · · − αn
αi
vn
e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores de S.
Reciprocamente, se algum dos vetores de S e´ combinac¸a˜o linear dos demais, por exemplo
vi = β1v1 + · · ·+ βi−1vi−1 + βi+1vi+1 + · · ·+ βnvn,
enta˜o
β1v1 + · · ·+ βi−1vi−1 − vi + βi+1vi+1 + · · ·+ βnvn = 0.
Donde S e´ l.d. 2
Definic¸a˜o 1.6.7 Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que um subconjunto B ⊂ V e´ uma base de V se:
1. [B] = V ;
2. B e´ linearmente independente.
Observe que pelas nossas convenc¸o˜es, o conjunto vazio e´ uma base do espac¸o vetorial {0}.
8
Exemplo 1.6.8 O conjunto B = {e1, · · · , en} e´ uma base do espac¸o vetorial Rn.
Exemplo 1.6.9 Os conjuntos B1 = {1, x, x2, x3} e B2 = {1, 2 + x, 3x− x2, x− x3} sa˜o exemplos de bases
do mesmo espac¸o vetorial P3(R). A primeira e´ dita a base canoˆnica deste espac¸o.
Exerc´ıcio 1.6.10 Estenda a noc¸a˜o de conjunto linearmente independente para um conjunto infinito. Em
seguida verifique que o conjunto
S = {1, x, · · · , xn, · · · }
e´ uma base do espac¸o vetorial P(R).
Proposic¸a˜o 1.6.11 Sejam V um espac¸o na˜o nulo finitamente gerado, e S = {v1, · · · , vn} ⊂ V um gerador
de V . Enta˜o todo conjunto linearmente independente de vetores em V tem no ma´ximo n elementos.
Dem.: Considere o conjunto S1 = {u1, · · · , un} ⊂ V com m > n. Como V = [S] temos que cada ui e´
uma combinac¸a˜o linear dos v′js. Enta˜o existem escalares αij ∈ R tais que
u1 = α11v1 + · · ·+ α1nvn
...
...
um = αm1v1 + · · ·+ αmnvn
Para verificar que S1 e´ l.d. fac¸a
λ1u1 + · · ·+ λmum = 0.
Esta equac¸a˜o (nas inco´gnitas λk) e´ equivalente a
(λ1α11 + · · ·+ λmαm1)v1 + · · ·+ (λ1α1n + · · ·+ λmαmn)vn = 0.
Considerando a soluc¸a˜o trivial da equac¸a˜o acima obtemos o sistema
α11λ1 + · · ·+ αm1λm = 0
...
α1nλ1 + · · ·+ αmnλm = 0
E´ claro que λ1 = · · · = λm = 0 resolve o sistema, mas note que se trata de um sistema com n equac¸o˜es e m
varia´veis. Logo, possui uma soluc¸a˜o na˜o nula. Portanto, S1 e´ l.d. 2
Corola´rio 1.6.12 Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado. Enta˜o quaisquer duas bases de V teˆm o
mesmo nu´mero de elementos.4
Dem.: Sejam B1 e B2 bases de V com cardinalidades n e m, respectivamente. Como B1 gera V , segue
da proposic¸a˜o anterior que m ≤ n. Caso contra´rio B2 seria l.d.. Como B2 tambe´m gera V , segue pelo mesmo
argumento que n ≤ m. Donde n = m
Definic¸a˜o 1.6.13 Seja V um espac¸o vetorial. Se V admite uma base finita, enta˜o chamamos de dimensa˜o
de V o nu´mero de elementos de tal base. Caso contra´rio dizemos que a dimensa˜o de V e´ infinita.
Se a dimensa˜o de V e´ n escrevemos dimV = n. Caso seja infinita, dimV =∞. E se quisermos dizer que
a dimensa˜o de V e´ finita sem fazer refereˆncia a seu valor, escrevemos dimV <∞.
4Em alguns livros este resultado e´ conhecido como Teorema da Invariaˆncia
9
Exemplo 1.6.14 E´ fa´cil ver que:
• dimR2 = 2
• dimR3 = 3
• dimRn = n
• dimP(R) = n+ 1
• dimMm×n = m.n
• dim{0} = 0
Proposic¸a˜o 1.6.15 Sejam V um espac¸o vetorial e S = {v1, · · · , vn} ⊂ V um subconjunto l.i.. Se existe
v ∈ V tal que v /∈ [S] enta˜o S ∪ {v} e´ l.i..
Dem.: Sejam α1, · · · , αn, α ∈ R tais que
α1v1 + · · ·+ αnvn + αv = 0.
Se α 6= 0 enta˜o
v = −α1
α
v1 − · · · − αn
α
vn
o que implica em v ∈ [S]. Contradic¸a˜o.
Logo, α = 0
=⇒ α1v1 + · · ·+ αnvn = 0.
Como S e´ l.i., segue que α1 = · · · = αn = 0. Portanto S ∪ {v} e´ l.i.
Teorema 1.6.16 Todo espac¸o vetorial na˜o nulo finitamente gerado possui uma base.
Prova: Seja V um espac¸o vetorial na˜o nulo finitamente gerado. Enta˜o existe S ⊂ V com finitos elementos,
digamos n, tal que V = [S].
Seja v1 ∈ V , v1 6= 0. Temos que B1 = {v1} e´ l.i., se V = [B] enta˜o B1 e´ uma base de V . Se na˜o, existe
v2 ∈ V tal que v2 /∈ [v1]. Pela proposic¸a˜o anterior, B2 = {v1, v2} e´ l.i., se V = [B2] enta˜o B2 e´ uma base de
V . Caso contra´rio existira´ v3 ∈ V tal que v3 /∈ [v1, v2]. O que implica em B3 = {v1, v2, v3} ser l.i..
Note que este processo encerra-se em no ma´ximo n vetores, pois um subconjunto de V com n+ 1 vetores
e´ necessariamente l.d.
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Se B = {v1, · · · , vn} e´ uma base de V , enta˜o cada vetor v ∈ V
tem uma u´nica maneira de ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores de B. De fato,
v =
n∑
i=1
αivi =
n∑
i=1
βivi
⇒
n∑
i=1
(αi − βi)vi = 0
⇒ αi = βi = 0, ∀ i = 1, · · · , n.
Neste caso escrevemos v = (α1, · · · , αn)B e dizemos que (α1, · · · , αn) sa˜o as coordenadas de v na
base B.
10
Observac¸a˜o 1.6.17 Note a importaˆncia na ordem dos vetores de B. Neste contexto costuma-se chamar
B de base ordenada.
Exemplo 1.6.18 O polinoˆmio p(x) = 1+x+x2+x3 que na base canoˆnica tem representac¸a˜o (coordenadas)
p(x) = (1, 1,1, 1)C , e´ escrito na base B = {1, 2 + x, 3x− x2, x− x3} da seguinte forma
p(x) = (−9, 5,−1,−1)B .
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