Aulas de Cálculo 2 Profa. Eliana Prates

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A Integral Indefinida 
 
Definição1: Se F´(x) = f(x) então F(x) é uma primitiva de f(x). 
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Proposição1: Se F(x) é uma primitiva de f(x) e C é um número real então F(x) + C é também uma 
primitiva de f(x). 
Ver demonstração 
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Proposição2: Se F(x) e G(x) são ambas primitivas de f(x) então existe um número real C tal que G(x) 
= F(x) + C. 
Ver demonstração 
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Definição 2: O conjunto de todas as primitivas de f(x) é a integral indefinida de f(x) que é indicada 
por 
Índice
Definição1 Exemplo1 Proposição1
Proposição2 Definição 2 Exemplo 2
Tabela de integrais 
 imediatas (provisória)
Propriedades da 
integral indefinida Exemplo 3
Demonstração 
da Proposição 1
Demonstração 
da Proposição 2 Justificativa de 2) 
Retornar 
Exemplo1: sen x é uma primitiva de cos x porque (sen x)´ = 
cos x. 
f(x)dx
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Pelas Proposições 1 e 2 temos que se F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então 
 
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Compare os exemplos 2.2) e 2.3) !!! 
 
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Tabela de integrais (provisória) 
Inicialmente usaremos as seguintes integrais. 
f(x)dx= F(x) + C, sendo que C percorre o conjunto dos números reais
Exemplo 2: 2.1) (arctg x)´= logo, dx = arctg x + C
 2.2) (arcsen x)´= logo, dx = arcsen x + C
 2.3) (arccos x)´= - logo, dx = -arc cos x + C
1) 
2) dx / x = ln|x| + C (Ver justificativa)
3) Caso paticular: 
4) cos x dx = sen x + C
5) sen x dx = - cos x + C
6) 
7) 
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Propriedades da integral indefinida 
 
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Demonstrações e justificativas 
8) tg(x).sec(x)dx = sec(x) +C
9) cotg(x).cosec(x)dx = -cossec(x) +C
10) dx = arctg x + C
11) dx = arcsen x + C = - arccos x + C
 
13) 
14) 
1) Para todo número real a diferente de zero, a.f(x)dx = a. f(x)dx .
2) ( f(x) + g(x) ) dx = f(x) dx + g(x) dx .
Exemplo 3: + 3.cos(x) dx = dx + 3 cos(x)dx = arctg x + C1
+
+ 3.(sen(x) + C
2
) = arctg x +3.sen x + (C
1
+ 3.C
2
) = arctg x +3.sen x + C 
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Demonstração da Proposição 1: ( F(x) + C)´= F´(x) + C´ = f(x) + 0 = f(x). 
Voltar à Proposição 1 
 
Demonstração da Proposição 2: ( G(x) - F(x))´= G´(x) - F´(x) = f(x) - f(x) = 0. 
Logo, G(x) - F(x) é uma função constante, isto é, 
existe um número real C tal que G(x) - F(x) = C. 
Portanto G(x) = F(x) + C. 
Voltar à Proposição 2 
 
Justificativa de 2) : 
Se x > 0, (ln | x | )´ =( ln ( x ))´= 1 / x. 
Se x < 0, (ln | x | )´ =( ln (- x))´= -1.1/(-x) = 1/x. 
Voltar a 2) 
 
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Retornar 
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Mudança de Variável na Integral Indefinida 
 
Exemplo 1: 
 
Com a substituição: t = 3x ⇒ dt = 3dx ⇒ dx= dt/3 
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Proposição: Se F(x) é uma primitiva de f(x) então 
 
 
Ver a Demonstração. 
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Exemplo 2: a > 0 , 
 
 
Com a substituição: t = x/a ⇒ dt = dx/a. 
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Exemplo 3: a ≠ 0 , 
Índice 
Exemplo 1 Proposição Exemplo 2 Exemplo 3 
Exemplo 4 Exemplo 5 Exemplo 6 Exemplo 7 
Exemplo 8 Exemplo 9 Exemplo 10 Exemplo 11 
Tabela de integrais 
Retornar 
 
(Acrescentar à Tabela)
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Com a substituição: t = x/a ⇒ dt = dx/a. 
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Exemplo 4: a > 0 , 
Ver a justificativa. 
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Exemplo 5: a ≠ 0 
Ver a justificativa 
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Exemplo 6: 
 
Com a substituição: t = cos (x) ⇒ dt = - sen(x)dx. 
 Voltar ao Índice 
Exemplo 7: 
 
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Exemplo 8: 
 
 
(Acrescentar à Tabela)
 
(Acrescentar à Tabela)
 
(Acrescentar à Tabela)
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Com a substituição: t = x - 2 ⇒ dt = dx. 
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Exemplo 9: 
 
Com a substituição 
 . 
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Exemplo 10: 
 
Com a substituição: t = x2 ⇒ dt = 2xdx.
 
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Exemplo 11: 
 
Com a substituição: t = 1 + ex ⇒ dt = exdx.
 
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Tabela de integrais 
 
 
 
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Apêndice (Justificativas e demonstrações) 
Retornar 
Demonstração da Proposição: 
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(F (g(x)))´= F´(g(x)).g´(x) 
 Voltar à Proposição. 
Justificativa do exemplo 4) 
 
 
 
t = x/a ⇒ dt = dx/a. 
 Voltar ao exemplo 4 
Justificativa do exemplo 5) 
 
 
t = x/a ⇒ dt = dx/a. 
 Voltar ao exemplo 5 
Retornar 
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Integração por Partes
 
 
 
Ver demonstração 
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Exemplo 1: 
 
u = x ⇒ du = dx 
dv = cos(x)dx ⇐ v = sen(x) 
I = x.sen(x) + cos(x) + C 
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Exemplo 2: 
Índice 
Proposição Exemplo 1 Exemplo 2 Observação 1 Exemplo 3 
Observação 2 Exemplo 4 Exemplo 5 Observação 3 Exemplo 6 
Exemplo 7 Exemplo 8 Exemplo 9 Exemplo 10 
Retornar 
Em geral, não é verdade que 
 
Proposição: Temos, 
 
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u = x2 + 3x ⇒ du = (2x + 3)dx 
 
dv = sen(x)dx ⇐ v = -cos(x) 
 
 
 
 
u = 2x + 3 ⇒ du = 2.dx 
dv = cos(x)dx ⇐ v = sen(x) 
 
 
(Tente inverter a escolha. O que acontece?) 
 
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Exemplo 3: 
Observação 1: De modo geral, em integrais das formas 
 
onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo, respectivamente, 
u = f(x) ⇒ du = f´(x).dx 
dv = cos(x)dx ⇐ v = sen(x) 
ou 
u = f(x) ⇒ du = f´(x).dx 
dv = sen(x)dx ⇐ v = -cos(x) 
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u = x ⇒ du = dx 
dv = exdx ⇐ v = ex
 
 
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Exemplo 4: 
 
u = ln(x) ⇒ du = dx/x 
dv = dx ⇐ v = x 
 
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Exemplo 5: 
 
u = ln(x) ⇒ du = dx/x 
dv = dx ⇐ v = x 
Observação 2: De modo geral, em integrais da forma 
 
onde f(x) é um polinômio tomamos 
u = f(x) ⇒ du = f´(x).dx 
dv = axdx ⇐ v = ax/ln(a)
 
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Exemplo 6: 
 
u = arctg(x) ⇒ du = dx/(x2 +1)
 
dv = dx ⇐ v = x 
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Exemplo 7: 
 
u = arctg(x) ⇒ du = dx/(x2 +1)
 
dv = dx ⇐ v = x 
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Exemplo 8:dv = dx ⇐ v = x 
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Observação 3: De modo geral, em integrais da forma 
 
onde f(x) é uma função polinomial, tomamos 
 
dv = f(x) ⇐ v = uma primitiva de f(x) 
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Exemplo 9: 
 
u = eax ⇒ du = a.eax.dx
 
 
 
 
 
u = eax ⇒ du = a.eax.dx 
 
 
 
 
 
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Exemplo 10: 
 
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Apêndice 
Demonstração da proposição: 
(u.v)´= u´.v + u.v´ ⇒ 
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Voltar à Proposição 
 
 
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Integrais dos tipos 
 
 
 
Exemplo 1: A = 0 
 
 
 
 
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− 2x2 − 4x +8 = − 2(x2 +2x − 4) = − 2((x2 +2x +1) − 1− 4) =
 
= − 2((x2 +2x +1) − 5) = − 2((x+1)2 − 5) = 2(5 − (x+1)2 )
 
 
x + 1 = t ⇒ dx = dt 
 
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Índice 
Exemplo 1-1.1)...1.4) Exemplo 1-1.5) Exemplo 1-1.6) 
Exemplo 2-2.1) Exemplo 2-2.2) Exemplo 2-2.3) 
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x2 − 4x + 9 = (x − 2)2 + 5
 
 
x - 1 = t ⇒ dx = dt 
 
 
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Exemplo 2: A ≠ 0 
 
 
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Em I1 aplica-se o método visto no Exemplo 1 e I2 é a integral 2.1) _ usa-se a 
 
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2x-1 ≡ M.(x + 1) + N ⇒ M = 2 e N = -3 
 
 
 
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Integrais de Funções Racionais 
 
 
 
 
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Exemplo 1: 
Índice 
Definições 1) e 2) Funções próprias 
ou impróprias 
Exemplo 1 Definição 3 
Exemplo 2 Integrais de funções 
impróprias 
Exemplo 3 Exemplo 4 
Exemplo 5 Integrais de frações 
parciais 
Exemplo 6 Exemplo 7 
Exemplo 8 
Retornar 
Definições:
1) Uma função polinomial é uma função da forma 
f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 tal que an, an-1, ... a1, a0 ∈ R. 
Se an ≠ 0, seu grau é igual a n. 
2) Uma função racional é uma função da forma f(x) = p(x)/q(x) com p(x) e q(x) funções 
polinomiais e q(x) ≠ 0 (isto é, não é a função identicamente nula) 
 
 
Funções racionais 
 
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É racional própria, porque o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. 
 
É racional imprópria, porque o grau do numerador é igual ao grau do denominador. 
 
É racional imprópria, porque o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. 
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Definição 3: Uma função racional f(x) = p(x)/q(x) é, 
3.1) Própria grau [p(x) ] < grau[q(x)] 
3.2) Imprópria se grau[p(x) ] ≥ grau[q(x)] ou p(x) é a função identicamente nula. 
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Exemplo 2: Toda função polinomial é uma função racional imprópria. 
 
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Exemplo 3: 
 
Integrais de funções impróprias
No cálculo da integral de uma função racional imprópria (dividindo-se o numerador pelo 
denominador) escreve - se a função como soma de uma função polinomial e uma função 
racional própria.
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Exemplo 4: 
 
 
Continue! (Veja aula anterior) 
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Exemplo 5: 
 
Usando integração por partes 
u = arctg(x) ⇒ du = dx/(1 + x2)
 
dv = x ⇐ v = x2/2
 
 
Continue! (A última integral é imprópria) 
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Integrais de frações parciais 
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São frações parciais funções da forma: 
1. 
2. 
ax2 + bx + c não possui raízes reais)
 
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Exemplo 6: 
 
 
 
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Exemplo 7: 
 
t = x + 5 ⇒ dt = dx 
 
t = x + 5 ⇒ dt = dx 
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Exemplo 8: 
Veja aula anterior.
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Usando integração por partes para calcular I1 ...
 
 
u = x ⇒ du = dx 
 
 
 
t = x2 – x + 1 ⇒ dt =(2x – 1)dx
 
 
Calculando I1 ...
 
Portanto
I
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z = x – 1/2 ⇒ dz = dx 
Aplicando o mesmo método do exemplo 8.2) para a = .. 
 
 
Portanto, 
 
 
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Integrais de funções racionais próprias 
Método da decomposição em frações parciais 
Como já vimos, toda integral de função racional pode ser escrita como soma de uma integral de função polinomial e uma 
integral de função racional própria. Portanto, com um método para resolver integrais das racionais próprias, podemos 
calcular integrais de quaisquer funções racionais. 
Esse método consiste em escrever uma função racional própria como soma de frações parciais 
que dependem, principalmente, da fatoração do denominador da função racional em R . 
 
 
 
 
1o Caso: 
 
Exemplo 1.1: 
 
É racional própria. 
Δ > 0, não é fração parcial. 
x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
 
Decompondo em frações parciais... 
Índice 
Exemplo 1. 1 1o Caso Exemplo 1. 2 Exemplo 1. 3 
Exemplo 2 . 1 2o Caso Exemplo 2. 2 Exemplo 3 . 1 
3o Caso Exemplo 3 . 2 Exemplo 4 . 1 4o Caso 
Exemplo 4 . 2 
Retornar
Seja f(x) = p(x)/q(x) tal que p(x) e q(x) são funções polinomiais com grau[p(x)] < grau[q(x)] .
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1= A.( x + 2) + B.(x – 2) = (A+B)x +(2A – 2B) 
Pela igualdade acima entre funções polinomiais temos 
A + B = 0 e 2A – 2B =1 ⇔ A = 1/4 e B = -1/4 
 
Ainda usando a igualdade das funções polinomiais, podemos calcular A e B atribuindo valores a x: 
x = 2: 
1 = A.( 2 + 2) + B.(2 – 2) ⇒ 1 = 4.A ⇒ A = 1/4 
x = -2: 
1 = A( -2 + 2) + B.(-2 – 2) ⇒ 1 = -4.B ⇒ B = 1/4 
Obs. Podemos atribuir quaisquer valores a x, inclusive as raízes de q(x) que facilitam a tarefa de 
calcular as constantes. 
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Exemplo 1.2: 
 
É racional própria. 
1o Caso: 
Se todas as raízes de q(x) são reais e simples (isto é, duas a duas distintas). 
Neste caso, se α1, α 2, ... α n são as raízes de q(x) então 
q(x) = M.(x - α
1
). (x - α 
2
)... (x - α n) e 
 
 
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x3 – 4x + 3x = x.(x – 1)(x – 3) (*) 
Decompondo em frações parciais... 
 
De (*) e ( **) segue-se que 1 = A(x - 1)(x - 3) +Bx.(x – 3) + Cx(x –1)Atribuindo valores a x: 
x = 0: 
1 = A(0 - 1)(0 - 3) + B.0.(0 – 3) + C.0.(0 –1) 
⇒ 1 = 3.A ⇒ A = 1/3 
x = 1: 
1 = A(1 - 1).(1 - 3) + B.1.(1 – 3) + C.1(1 –1) 
⇒ 1 = -2.B ⇒ B = -1/2 
x = 3: 
1 = 6.C ⇒ C = 1/6 
 
 
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Exemplo 1.3: 
 
É racional própria. 
(2x2 – 3x + 1)(x + 2) = 2(x - 1/2).(x – 1)(x + 2) (*)
 
Decompondo em frações parciais... 
 
De (*) e ( **) segue-se que 
( **)
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(x2 + x) = 2(A(x - 1)(x + 2) +B(x –1/2).(x + 2) + C(x –1/2)(x –1)) 
Continue! 
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2o Caso: 
 
 
Exemplo 2.1: 
 
É racional própria. 
x.(x2 – 2x + 1)= x.(x – 1)2 (*)
 
Decompondo em frações parciais... 
 
De (*) e ( **) segue-se que x + 2 = A(x - 1)2 + Bx.(x – 1) + Cx
 
Atribuindo valores a x: 
x = 0: 
A = 2 
x = 1: 
C = 3 
x = 2: 
4 = A (2 - 1)2 +B.2.(2 – 1) + C.2 ⇒ 4 =A +2.B + 2.C ⇒ 4 = 2 + 2.B + 2.3 ⇒ B = -2
 
 
 
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2o Caso: 
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Exemplo 2.2: 
 
É racional própria. 
x4 – 8x2 + 16 = (x2)2 – 8x2 + 16 = (x2)2 – 8x2 + 16 = (x2 – 4)2 = 
 
= (x – 2)2.(x + 2)2 (*)
 
Decompondo em frações parciais... 
De (*) e ( **) segue-se que 
1 = A(x - 2)(x + 2)2 +B.(x +2)2 + C(x –2)2 .(x + 2) + D.(x – 2)2 ⇒ 
 
Igualando os coeficientes das funções polinomiais ... 
Coef de x3: A + C = 0
 
Coef de x2: -2A + 4A + B + 2C – 4C + D = 0
 
Coef de x: 4A – 8A + 4B + 4C – 8C - 4D = 0 
Termo ind: -8.A + 4B + 8.C + 4.D = 1 
Resolvendo o sistema obtém-se 
A = -1/32; B = 1/16; C = 1/32; D = 1/16.
Se todas as raízes de q(x) são reais. 
Neste caso se α 1, α 2, ... α n são as raízes de q(x) com multiplicidades k1, k2, ..., kn então 
q(x) = M.(x - α 1)k1. (x - α 2)k2... (x- α n)kn e 
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3o Caso: 
 
Exemplo 3.1: 
 
É racional própria. 
x3 + 1= (x + 1).(x2 – x + 1) (Observe que x2 – x + 1 não possui raízes reais) (*)
 
Decompondo em frações parciais... 
De (*) e ( **) segue-se que 1 = A(x2 – x +1) +(Bx +C).(x + 1) 
 
Atribuindo valores a x: 
x = -1: 
A = 1/3 
x = 0: 
C = 2/3 
x = 1: 
B = -1/3 
 
t = x2 – x +1 ⇒ dt = (2x –1)dx
 
( **)
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Exemplo 3.2: 
3o Caso: 
Se todas as raízes não reais de q(x) são simples (isto é, duas a duas distintas). 
Neste caso, se α 1, α 2, ... α n são as raízes reais de q(x) com multiplicidade 
k1, k2,..., kn e
 
 
são suas raízes não reais então 
q(x) = M.(x - α 1)k1. (x - α 2)k2... (x- α n)kn (x2 +b1x +c1) ... (x2 +bmx +cm)e 
 
 
tal que, para todo j = 1...m, x2 +ajx +bj é um polinômio com coeficientes reais e com raízes 
(não reais) 
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É racional própria. 
x2 + 1 não possui raízes reais 
 
Decompondo em frações parciais.. 
. 
Segue que 5x3 + x2 + 3x + 2 = A.x.(x2 +1) +B.(x2 +1) +(C.x + D).x2 
 
Igualando os coeficientes... 
Coef de x3: A + C = 5
 
Coef de x2: B + D = 1
 
Coef de x: A = 3 
Termo ind: B = 2 
Logo, 
A = 3 ; B = 2 ; C = 2; D = -1. 
 
Continue! 
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4o Caso: 
 
Exemplo 4.1: 
 
É racional própria. 
Decompondo em frações parciais... 
 
 
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Segue-se que 
x4 - 2x3 + x2 –2x +1 = A(x2 – x +1)2 +(Bx +C).x.(x2 –x + 1) + (Dx + E)x 
 
Igualando os coeficientes... 
Coef de x4: A + B = 1
 
Coef de x3: -2A – B + C = -2
 
Coef de x2: 3A - C + B + D = 1
 
Coef de x: -2A + C + E = -2 
Termo ind: A = 1 
Logo, 
A = 1 ; B = 0 ; C = 0; D = -2; E = 0. 
 
Veja resolução de I1 no exemplo 8.3 da aula anterior .
 
 
 
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4o Caso: Caso geral (para qualquer polinômio real q(x) ≠ 0).
Neste caso, se α 1, α 2, ... α n são as raízes reais de q(x) com multiplicidade 
k1, k2,..., kn e são suas raízes não reais com
 
multiplicidade s1, s2, ..., sm então q(x) = M.(x - α 1)k1. (x - α 2)k2... (x- α n)kn (x2 +b1x +c1)
s
1 ... (x
2 +bmx +cm)
s
m e 
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Exemplo 4.2: 
 
É racional própria. 
Decompondo em frações parciais. 
 
.. 
Segue-se que 
x3 + x - 1 = (Ax + B).(x2 + 2) + (Cx + D)
 
Igualando os coeficientes... 
Coef de x3: A = 1
 
Coef de x2: B = 0
 
Coef de x: 2A + C = 1 
Termo ind: 2B + D = -1 
Logo, 
A = 1 ; B = 0 ; C = -1; D = -1. 
 
Continue .... 
 
 
tal que, para todo j = 1...m, x2 +ajx +bj é um polinômio com coeficientes reais e com raízes 
(não reais) 
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Integrais de funções trigonométricas 
"Existem integrais de funções trigonométricas, como por exemplo 
 
que não podem ser escritas em termos de funções elementares. 
Com a substituição universal, integrais de funções da forma R(sen(x),cos(x)), onde R indica uma 
função racional, são transformadas em integrais de funções racionais. Em alguns casos, outras
substituições podem tornar o cálculo dessas integrais bem mais simples" 
 
 
1o Caso:
 
Exemplo 1.1 
 
 
t = sen(x) ⇒ dx = cos(x)dx 
 
 
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Índice 
Exemplo 1.1 Exemplo 1.2 Observação 1 Exemplo 1.3 
Exemplo 2.1 Exemplo 2.2 Observação 2 Observação 3.1 
Exemplo 3.1 Observação 3.2 Exemplo 3.2 Observação 4.1 
Exemplo 4.1 Observação 5.1 Exemplo 5.1 Observação 6.1 
Exemplo 6.1 Observação 6.2 Exemplo 6.2 
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Exemplo 1.2 
 
 
t = cos(x) ⇒ dx = - sen(x)dx 
 
 
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Observação 1: De modo geral, na integral 
 
onde m e n são inteiros e pelo menos um deles é ímpar, digamos m ímpar, tomamos m = 2p +1 e 
 
com a substituição 
t = cos(x) ⇒ dx = - sen(x)dx 
obtemos uma integral de função racional. em t. 
 
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Exemplo 1.3 
 
t = sen(x) ⇒ dx = cos(x)dx 
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Decompondo em frações parciais 
 
Continue! 
 
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2o Caso:
 
Exemplo 2.1 
 
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) = cos2(x) - (1- cos2(x)) 
 
 
 
 
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Exemplo 2.2 
 
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) =(1 - sen2(x)) - sen2(x) 
 
 
(I) 
(II) 
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Observação 2: De modo geral, na integral 
 
onde m e n são inteiros não negativos e ambos pares usamos as fórmulas (I) e (II). 
 
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3o Caso:
 
Observação 3.1: Usaremos a notação R(sen(x),cos(x)) para indicar uma função racional de sen(x)
e cos(x). 
 
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Exemplo 3.1 
 
 
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Observação 3.2: Se na função R(sen(x),cos(x)), sen(x) e cos(x) apresentam-se apenas com 
potências pares, com a mudança de variável t = tg(x), reescrevemos a integral 
 
como uma integral de função racional em t. 
Neste caso usaremos as fórmulas (III), (IV) e (V), 
 
 
 
 
 
É claro que os exemplos do Caso 2 são também exemplos que se enquadram no Caso 3. Mas a
aplicação do Caso 2 geralmente resulta em cálculos menos trabalhosos. 
 
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Exemplo 3.2 
 
(III) 
 
(IV) 
 
(V) 
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Substituindo tg(x) = t ... 
 
Função racional própria. 
Decompondo em frações parciais 
 
∴ A = C = 0 , B = -1, D = 2 
 
 
 
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4o Caso
 
Observação 4.1: Como no caso anterior, uma integral do tipo 
 
pode ser reduzida a uma integral de função racional em t com a substituição t = tg(x) 
 
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Exemplo 4.1 
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∴ A = 1/2, B = -1/2, C = ½ 
 
 
 
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5o Caso – Substituição Universal
 
Esta técnica é chamada Substituição Universal por servir para resolver qualquer integral de função
racional de sen(x) e cos(x). Portanto pode ser aplicada a qual quer um dos casos vistos
anteriormente, apesar de sua aplicação geralmente, resultar em cálculos mais trabalhosos. 
Observação 5.1: Dada a integral 
 
com a substituição t = tg(x/2) obtemos uma intergral de função racional em t. 
Neste caso usamos as fórmulas (VI), (VII) e (VIII) a seguir 
 
(VI) 
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Exemplo 5.1 
 
 
 
Decompondo em frações parciais 
 
(VII) 
 
(VIII) 
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.... A = C = 0, B = -1/2, D = 1/2. 
 
 
 
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6o Caso
 
Observação 6.1: Nas integrais dos tipos 
 
 
 
com m e n ∈ R usamos diretamente as fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos,
com ilustraremos no exemplo seguinte. 
 
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Exemplo 6.1 
 
sen(2x + 3x) = sen(2x)cos(3x) + sen(3x)cos(2x) (a) 
sen(2x - 3x) = sen(2x)cos(3x) - sen(3x)cos(2x) (b) 
De (a) + (b) temos 
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sen(2x + 3x) + sen(2x - 3x) =2.sen(2x)cos(3x) ⇒ 
⇒ sen(2x)cos(3x) = [sen(5x) + sen(-x)]/2 = [sen(5x) - sen(x)]/2 
 
 
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Observação 6.2: Outra forma de calcular as integrais 1) 2) e 3) é usando as fórmulas que
deduziremos a seguir a partir das fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos. 
sen(mx + nx) = sen(mx)cos(nx) + sen(mx)cos(nx) (a) 
sen(mx - nx) = sen(mx)cos(nx) - sen(mx)cos(nx) (b) 
De (a) + (b) temos 
sen(mx + nx) + sen(mx - nx) =2.sen(mx)cos(nx) 
 
cos(mx + nx) = cos(mx)cos(nx) - sen(mx)sen(nx) (a) 
cos(mx - nx) = cos(mx)cos(nx) + sen(mx)sen(nx) (b) 
De (a) + (b) temos 
cos(mx + nx) + cos(mx - nx) = 2. cos(mx)cos(nx) 
Ainda de (b) - (a) temos 
cos(mx - nx) - cos(mx + nx) = 2. sen(mx)sen(nx) 
 
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∴ sen(mx)cos(nx) = [sen((m + n)x) + sen((m – n)x)]/2 
∴ cos(mx)cos(nx) = [cos((m + n)x) + cos((m– n)x)]/2 
∴ sen(mx)sen(nx) = [cos((m - n)x) - cos((m + n)x)]/2 
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Exemplo 6.2 
 
 
 
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Integrais de algumas funções irracionais
 
Observação 1: Nem sempre é possível escrever uma integral de função irracional em termos de 
funções elementares 
Exemplo 1: 
 
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Observação 2: Dada a integral 
 
reduzindo as frações m/n, r/s, ... a um mesmo denominador, k, e tomando a substituição 
 
obtemos uma integral de função racional em t. 
 
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Exemplo 2: 
 
 
Índice 
Observação 1 Exemplo 1 Observação 2 
Exemplo 2 Exemplo 3 
 
não pode ser escrita em termos de funções elementares (Veja Piskounov, vol I, pg. 
408)
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Exemplo 3: 
 
 
 
 
Continue! 
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Integrais por substituições trigonométricas
 
1o Caso:
 
 
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Observação 1: 
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Exemplo 1.1 
 
Seja a substituição 
x = 2cos(t) ⇒ dx = -2sen(t)dt. 
Temos então 
 
Índice 
1o Caso Observação 1 Exemplo 1.1 Exemplo 1.2 
2o Caso Observação 2 Exemplo 2.1 Exemplo 2.2 
3o Caso Observação 3.1 Exemplo 3.1 Exemplo 3.2 
Observação 3.2 Exemplo 3.3 
O domínio da 
função 
 é [-a, a], justamente o conjunto de valores 
 que a.cos(t) e a.sen(t) podem assumir. Tomando a a substituição x = a.cos(t) 
 ou x = a.sen(t), na integral I, obtemos uma integral de função racional em sen(t) e cos(t) 
Page 1 of 7Integrais por substituições trigonométricas
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Um triângulo retângulo, como na figura a seguir, facilita bastante a visualização das relações 
trigonométricas envolvidas nos cálculo. 
 
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Exemplo 1.2 
 
 
 
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z t é um ângulo agudo do triângulo 
z Os lados do triângulo são os termos 
 
(Lembre-se do Teorema de Pitágoras!) 
z 
 
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2o Caso:
 
 
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Observação 2 
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Exemplo 2.1 
 
 
 
z = sen(t) ⇒ dz = cos(t)dt 
O domínio da 
função 
 é (-∞ , -a] ∪ [a, +∞ ), justamente o 
 conjunto de valores que a.sec(t) e a.cossec(t) podem assumir. Tomando a a 
substituição 
 x = a.sec(t) ou x = a.cossec(t) , na integral I, obtemos uma integral de função racional 
em sen(t) e cos(t) 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2.2 
 
x2 - 2x -3 = (x2 -2x + 1) -1 -3 = (x-1)2 - 4
 
 
Com a substituição 
z = x -1 ⇒ dz = dx, obtemos a integral do exemplo anterior 
 
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3o Caso:
 
 
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Observação 3.1 
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O domínio da 
função 
 é R, justamente o conjunto de valores que 
 a.tg(t) e a.cotg(t) podem assumir. Tomando a a substituição 
 x = a.tg(t) ou x = a.cotg(t) , na integral I, obtemos uma integral de função racional 
em sen(t) e cos(t) 
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Exemplo 3.1 
 
 
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Exemplo 3.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação 3.2 
Integrais da forma 
 
também podem ser resolvidas por substituição trigonométricas 
 
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Exemplo 3.3 
 
 
 
 
 
 
 
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Ou 
 
 
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A integral definida
 
"Veremos o resultado mais importante do cálculo integral_ O teorema Fundamental do Cálculo". 
"Não apresentaremos nenhuma demonstração para os resultados enunciados. Tais demonstrações são 
encontradas facilmente em livros sobre o assunto. Veja, por exemplo, nos livros indicados nesse site". 
Índice
Problema Definição 1 Proposição
Exemplo 2: Propriedades da integral definida Exemplo 3
Definição 2 Exemplo 4 Propriedade i)
Exemplo 5 Propriedade ii) 
O Teorema da Média
Definição 3 
- Valor médio
Propriedade iii) 
Construção de uma primitiva Exemplo 6
Propriedade iv) 
O Teorema fundamental do cálculo
Exemplo 7 Exemplo 8 
Retornar 
 Seja y = f(x) uma função definida e limitada no 
intervalo [a, b], e tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, 
b]. 
 
Problema: Calcular (definir) a área, A, 
da região do plano limitada pela curva 
y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b. 
 
 Tomemos números x0, x1, x2, ..., xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1< x2 < ... < xn = b e , 
a1, a2, ..., an tais que ai ∈ [xi-1, xi]. Então 
 
 
 
 
Page 1 of 8A integral definida
 
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Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b]. Se existe 
 
dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I. 
De modo análogo, dada a função constante f(x) = C então 
 
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Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b]. 
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Notação: 
 
 
Exemplo1: f(x) =3 para todo x ∈ [1, 2] 
 
 
 
 
 Exemplo 2: f(x) = x para todo x ∈ [0, 1]. 
Mesmo sabendo tratar-se de uma função 
que possui integral (pois é contínua), no momento 
ainda não temos recursos que facilitem calcular 
esta integral. Usaremos a definição e faremos uma 
escolha para os números x0, x1, x2, ..., xn e a1, a2, 
..., an da seguinte forma: 
Page 2 of 8A integral definida
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Propriedades da integral definida 
Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k ∈ R então 
z f(x) ± g(x) são integráveis em [a, b] e 
 
z k.f(x) é integrável em [a, b] e 
 
z Se f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ [a, b] então 
 
 
Casos particulares: 
 Se f(x) ≤ 0, para todo x ∈ [a, b] então 
 
Dado n ∈ N tomemos 
 
 
 
 
 
Page 3 of 8A integral definida
 Se f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b] então 
 
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Exemplo 3: 
 
 
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Definição 2: 
 
2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então 
 
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Exemplo 4: 
 
 
 
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Page 4 of 8A integral definida
 
Outras propriedades da integral definida 
 
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Exemplo 5: 
 
 
 
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Propriedade i) Sejam a, b, e c ∈ R, se 
 
 
 
 
 Propriedade ii) - O Teorema da Média 
Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo 
menos um número c ∈ [a, b] tal que 
 
 
" Se f(x) ≥ 0, a área da região limitada 
pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a 
área do retângulo de base [a, b] e altura f
Page 5 of 8A integral definida
Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b]. 
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Propriedade iii) - (Construção de uma primitiva) 
Se f(x) é contínua em [a, b] então 
 
é uma primitiva de f(x). Isto é, F´(x)= f(x) 
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Exemplo 6: 
 
6.2) Calcular a derivada 
 
 
Se F(x) é a função dada em 6.1) então 
 
 
6.3) Estude o crescimento da função 
(c)" 
Page 6 of 8A integral definida
F´(x) = f(x) ≥ 0 ⇔ sen(x) ≥ 0. 
Portanto F(x) é crescente nos intervalos [2kπ , (2k+1)π ] e decrescente em 
[(2k+1)π , (2k+2)π ], k= 0, 1, 2 
 
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Propriedade iv) –O Teorema fundamental do cálculo 
Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então 
 
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Exemplo 7: 
 
Voltar ao Índice 
 
Exemplo 8: Calcular o valor médio da função f(x) = 2x no intervalo [0, 1] e o ponto c ∈ 
 
[0, 1] em que ele ocorre. 
 
 
 
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Notação: 
 
Page 7 of 8A integral definida
Retornar 
Page 8 of 8A integral definida
Mudança de variável na integral definida
 
 
Exemplo 1: 
 
Usando mudança de variável na integral indefinida e o teorema fundamental do cálculo: 
t = x2 ⇒ dt = 2xdx
 
 
 
Usando mudança de variável na integral definida: 
t = x2 ⇒ dt = 2xdx
 
 
 
Dada a integral definida 
Índice 
Exemplo 1 Proposição 1 Exemplo 2 Integração por 
partes (integral 
definida) 
Proposição 2 Exemplo 3 Outras 
propriedades da 
integral definida 
Propriedade i) 
Exemplo 4 Propriedade ii) Exemplo 5 Propriedade iii) 
Exemplo 6 
Retornar 
Page 1 of 7Mudança de variável na integral definida
 
o procedimento prático para se aplicar mudança de variável é apresentado a seguir 
t = g(x) ⇒ dt = g´(x)dx 
x = a ⇒ t = g(a) e x = b ⇒ t = g(b) 
 
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Este procedimento é baseado na seguinte proposição 
Proposição 1: Sejam J um intervalo e g: [a, b] → J uma função com derivada contínua e f : J → R 
uma função contínua. Então, 
 
Demonstração: 
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Exemplo 2: 
 
 
t = x +1 ⇒ dt = dx 
x = -1 ⇒ t = 0 e x = 2 ⇒ t = 3 
 
 
 
Page 2 of 7Mudança de variável na integral definida
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Integração por partes (integral definida) 
Proposição 2: Se u(x) e v(x) são funções definidas em [a, b] que possuem derivadas integráveis 
então, 
 
Demonstração. 
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Exemplo 3: 
 
u = x ⇒ du = dx 
dv = cos(x) ⇐ v = sen(x)
 
 
e tg(θ ) = t/3 ⇒ t =3. tg(θ )⇒ dt = 3.sec2(θ )dθ e 
θ = arctg(t/3), t = 3 ⇒ θ = arctg(1) = π /4 e t = 0 ⇒ θ = arctg(0) = 0 
 
 
 
Page 3 of 7Mudança de variável na integral definida
 
 
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Outras propriedades da integraldefinida 
 
 
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Exemplo 4: 
 
 
 
Voltar ao Índice 
 
Propriedade i) Se f(x) é uma função par 
e contínua em [-a, a] então 
 
 
Demonstração 
 
Propriedade ii) Se f(x) é uma função 
ímpar e contínua em [-a, a] então 
 
 
Demonstração 
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Exemplo 5: 
 
 
 
Voltar ao Índice 
Demonstração 
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Exemplo 6: 
 
. 
f(x).(cos(x) +sen(3x)) tem período 2π , então 
 
f(x).sen(3x) é função ímpar e f(x)cos(x) é função par , então 
 
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Propriedade iii) Se f(x) é uma 
função contínua em R e 
periódica de período T então 
para todo a ∈ R temos 
 
 
Page 5 of 7Mudança de variável na integral definida
 
Demonstrações 
Demonstração da Proposição 1: 
Se F(x) é uma primitiva de f(x), pelo teorema fundamental do cálculo 
 
Pela regra da cadeia, 
[F(g(x))]´= F´(g (x)).g´(x) e pelo teorema fundamental do cálculo 
 
Com (*) e (**) fica demonstrada a proposição. 
Voltar à proposição 1 
Demonstração da Proposição 2: 
 
Voltar à proposição 2 
Demonstração da Propriedade i): 
 
t = -x ⇒ dt = -dx e x = -a ⇒ t = a, x = 0 ⇒ t = 0 temos. 
 
 
Voltar à propriedade i) 
Demonstração da Propriedade ii) : 
 
t = -x ⇒ dt = -dx e x = -a ⇒ t = a, x = 0 ⇒ t = 0 temos.
Page 6 of 7Mudança de variável na integral definida
 
 
Voltar à propriedade ii) 
Demonstração da Propriedade iii): 
 
Vamos mostrar que I2 = - I1
 
 
t = x -T ⇒ dt = dx e x = T ⇒ t = 0, x = a +T ⇒ t = a temos. 
 
Como f tem período T, f(t) = f(t + T), Logo 
 
Voltar`a propriedade iii) 
 
 
Retornar 
Page 7 of 7Mudança de variável na integral definida
Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas cartesianas) 
 
 
 
Exemplo 1: Calcular a área da figura do plano limitada pela curva y = tg(x) e o eixo OX e tal 
que -π /3 ≤ x ≤ π /4. 
Índice 
Observação 1 Exemplo 1 Exemplo 2 Observação 2 
Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 Exemplo 6 
Observação 3 Exemplo 7 
Retornar 
 
Observação 1: Dada f(x) uma 
função contínua em [a,b], se A é a 
área da região do plano cartesiano 
limitada pelo eixo Ox e pela curva y 
= f(x) e tal que 
a ≤ x ≤ b então 
 
 
 
 
 
t = cos (x) ⇒ dt = -sen (x) dx. 
x = -π /3 ⇒ t = cos(-π /3) = 1/2 
x = 0 ⇒ t = cos(0) = 1 e 
 
Page 1 of 6Exemplo 5:
 
 
Exemplo 2: Calcular a área da figura do plano limitada pela curva y = log2(x) e o eixo OX e tal 
que 
1/2 ≤ x ≤ 4. 
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Observação 2: Dadas f e g funções contínuas em [a,b], se A é a área da região do plano 
cartesiano limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e tal que a ≤ x ≤ b então 
 
Exemplo 3: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas 
 
 
 
 
dv = dx ⇐ v = x 
 
 
 
 
 
Page 2 of 6Exemplo 5:
 
Exemplo 4: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas 
 
Para determinar os limites de integração fazemos a intersecção das curvas: 
 
Pela simetria da figura temos 
Exemplo 5: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas 
 
Neste exemplo convém tomar y como variável independente e as funções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Page 3 of 6Exemplo 5:
Exemplo 6: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas 
 
 
As intersecções da parábola e da reta 
 
são os pontos (-1,-1) e (1, 1) 
A= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Page 4 of 6Exemplo 5:
Observação 3: Se f e g são funções contínuas em R, para calcular a área da região entre as 
curvas y = f(x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de intersecção entre as curvas 
e o sinal de f(x) – g(x). Não há necessidade de mais detalhes sobre o gráfico de f ou de g. 
Exemplo 7: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas 
y1 = x
5 – x3 +2x2 – x + 3 e y2 = x
4 + x3 +2x2 – x + 3.
 
Interseções: y1 = y2 ⇒ x5 – x4 - 2x3 = 0 ⇒ x3(x2 – x - 2)= 0 ⇒ 
 
⇒ x3(x + 1)( x - 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = -1 ou x = 2 
 
Sinal de y1 - y2 = x
3(x + 1)( x - 2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltar ao Índice 
 
 
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Page 5 of 6Exemplo 5:
 
Retornar 
Page 6 of 6Exemplo 5:
Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares) 
 
Introdução 
Como foi visto na Matemática Básica, as coordenadas polares são usadas para representar pontos de 
um plano. 
Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano (chamado origem 
ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). Dado um ponto P ≠ O do plano 
tomamos, 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas. 
Exemplo 1: Representar graficamente os pontos de coordenadas polares 
 
Como estes ângulos são côngruos temos P1 = P2 = P3
 
Índice 
Introdução Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 
Área de um setor 
circular 
Proposição 1 Exemplo 4 Observação 1 
Exemplo 5 Observação 2 Exemplo 6 Observação 3 
Exemplo 7 Exemplo 8 Observação 4 Exemplo 9 
Exemplo 10 
Retornar
 θ , uma ângulo formado pelo 
eixo polar e OP, tendo origem no 
eixo polar, positivo se orientado no 
sentido anti-horário e negativo se no 
sentido horário. 
 
 r, a distância de P a O 
r e θ são coordenadas polares de P e 
representamos P = (r, θ ) 
Page 1 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
As coordenadas do pólo são (0, θ ) para todo θ ∈ R . 
Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de coordenadas 
polares (r, θ ) é tal que (-r, θ + π ) são também coordenadas deste ponto 
 
Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares 
 
 
 
Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-eixo OX 
positivo coincida com o eixo polar. 
Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r, θ ) e coordenadas cartesianas (x ,y) então
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Consideremos as curvas a seguir e suas 
equações em coordenadas polares 
3.1) O círculo da raio ro e centro na origem tem equação polar r = ro
 
x = r.cos(θ ) y = r.sen(θ ) x2 + y2 = r2
Page 2 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
3.2) A reta que passa pela origem e faz um ângulo θ o com o sentido positivo do eixo OX tem equação 
polar θ = θ o 
 
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Área de um setor circular 
 
Demonstração. 
Para todo θ tal que α ≤ θ ≤ β , seja A(θ ) a área como indicada na figura abaixo. 
A área de um setor circular de raio r e 
ângulo central θ é igual a 
 
 
 
 
 
Proposição 1: Seja a 
equação polar de uma 
curva dada pela função 
contínua r = r (θ ) para 
α ≤ θ ≤ β tal que 
β - α ≤ 2π e r ≥ 0. A 
área da região do plano 
limitada pelas retas de 
equações polares θ = α 
e θ = β e a curva r = r(θ ) 
é igual a. 
 
 
 
Vamos 
Page 3 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
 
Para Δ θ > 0 , tomando-se no intervalo [ θ , θ + Δ θ ], rM e rm o maior e o menor raio, as áreas dos 
setores circulares com ângulo central Δ θ e esses raios são 
 
 
Voltar ao Índice 
 
calcular 
 
 
 
 
 
 
 
Para Δ θ < 0 segue de modo análogo. 
Pelo teorema fundamental do cálculo 
 
Exemplo 4: Calcular a área limitada pela cardióide 
r (θ ) = a.(1 – cos(θ )) 
 
 
Page 4 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadaspolares)
Observação 1: São equações de cardióides: 
r (θ ) = a.(1 ± cos(θ )) e r (θ ) = a.(1 ± sen(θ )) 
 
Observação 2: São equações de rosáceas: 
r = a.cos(nθ ) e r = a. sen(nθ ), para n =1, 2, 3..., que possuem 
z 2n pétalas , se n é par 
z n pétalas se n é ímpar 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Calcular a área limitada pelas pétalas da 
rosácea r = a.sen(2θ ), a > 0 
 
Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. 
Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de 
uma delas e multiplicar por 4. 
 
 
 
Exemplo 6: Calcular a área limitada pela 
lemniscata 
r2 = 4.cos(2θ ).
 
 
Como θ deve ser tal que cos(2θ ) >0, 
então, na 1a volta, 
 
Devido a simetria dos semi-laços, basta 
cal cular a área de um deles e multiplicar 
por 4. 
Page 5 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
Observação 3: São equações de lemniscatas: 
r2 = a.cos(2θ ) e r2 = a. sen(2θ )
 
 
 
Observação 4: São equações de limaçons: 
r = a ± b.cos(θ ) e r = a ± b.sen(θ ) que possuem laço se a < b
 
 
Exemplo 7: Calcular a área entre a 1a e a 2a 
volta da espiral (exponencial) r = eθ , com 0 ≤ 
θ . 
 
 
 
 
Exemplo 8: Esboce a limaçon (com laço) de 
equação polar r = a.(1 – 2sen(θ )) e 
determine uma expressão em integrais que 
represente a área da região do plano que se 
encontra no interior da curva e fora do laço. 
 
 
 
Page 6 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
 
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Exemplo 9: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano sombreada na figura ao lado onde 
temos o arco da espiral de Arquimedes de 
equação polar r = θ ; -π ≤ θ ≤ π . 
 
 
 
 
Exemplo 10: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano interior a ambas as curvas de equações 
polares 
r =1 + cos( θ ) e r = 3cos( θ ) 
 
r =1 + cos( θ ) é equação de uma cardióide e r 
= 3cos( θ ) é equação de um círculo. 
Obtendo a interseção das duas curvas : 
3cos( θ ) = 1 + cos( θ ) ⇒ cos( θ ) = 1/2 ⇒ 
θ = ± π /3 + 2kπ 
 
Retornar
Page 7 of 7Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
Curvas parametrizadas
 
 
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Definições: Sejam um intervalo I ⊂ R e funções contínuas x(t) e y(t) definidas em I . 
1) Dizemos que a função 
 
é uma curva parametrizada. 
2) O conjunto C = {(x(t), y(t)) ; t ∈ I} (imagem da função λ) é uma curva. 
3) As equações 
 
são equações paramétricas da curva C. Dizemos também que essas equações parametrizam a curva C. 
 Vetor velocidade
 Reta tangente 
 Cálculo de áreas de figuras planas 
Índice 
Exemplo 1 Definições Exemplo 2 O vetor velocidade 
e a reta tangente 
Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 Exemplo 6
Retornar
Exemplo 1: Determine equações paramétricas 
para o círculo C1 de raio 1 e centro na origem. 
 
Temos, P = (x, y) ∈ C1 ⇔ x2 + y2 = 1 
Para cada ponto P = (x, y) ∈ C1, tomemos o 
ângulo t entre OX e OP tal que t ∈ [0, 2π ] . 
Então 
 
são equações paramétricas dessa curva. 
Page 1 of 7Curvas parametrizadas
O parâmetro t pode ser interpretado como tempo e (x(t),y(t)) nos dá a posição de um ponto no 
instante t, que se desloca no plano XOY. A curva C é a trajetória descrita pelo ponto. 
Assim como é possível fazer um percurso de várias maneiras (mais rápida ou mais devagar, num 
sentido ou no outro, etc) uma dada curva pode ter várias equações paramétricas. 
 
.Voltar ao Índice 
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Exemplo 2: Os dois pares de equações a seguir também parametrizam o círculo C1 de 
raio 1 e centro na origem: 
 
e 
 
Em i) o ponto se desloca mais rápido, percorre o círculo na metade do tempo, no 
sentido anti-horário. Em ii) o ponto se desloca mais devagar e em sentido horário. 
O vetor velocidade e a reta tangente 
Se as funções x(t) e y(t) são diferenciáveis 
em to ∈ I então 
1) o vetor velocidade da curva 
parametrizada 
 
 
 
Este vetor tem direção tangente à curva em to e indica o sentido do movimento. 
2) a reta tangente à curva parametrizada ou a curva C em to é a reta que passa em (x(to),y(to)) e é 
paralela ao vetor velocidade. Ou seja tem equação vetorial 
 
 
Exemplo 3 : Dado o círculo C de raio r > 0 
e centro no ponto (h, k) determine equações 
 
Page 2 of 7Curvas parametrizadas
Para cada ponto P = (x, y) ∈ C temos 
 
que são equações paramétricas de C. 
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paramétricas para C. 
 
Temos, 
P = (x, y) ∈ C ⇔ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 
 
 
 
C 1, dado anteriormente. Tomemos então 
 
Exemplo 4: Seja o círculo C de raio 1 e 
centro no ponto (1, 0) 
a) Determine equações paramétricas para 
C. 
b) Determine o vetor velocidade e a reta 
tangente à curva parametrizada em a) no 
ponto 
 
c) Calcule área do círculo
a) Pelo exemplo anterior temos as equações paramétricas 
b) Calculando o valor de t no ponto dado temos 
Page 3 of 7Curvas parametrizadas
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Temos 
E a reta tangente tem equação vetorial 
c) Vamos calcular a área do 
círculo C: 
C não é gráfico de uma função 
y = y(x) e nem x = x(y). 
Consideremos as duas 
funções 
y = y2(x) e y = y1(x) cujos 
gráficos são 
respectivamente o semi-
círculo superior ( isto é, y ≥ 
k, em azul na figura ao lado) 
e o semicírculo inferior (y ≤ 
k, em vermelho). 
 
Temos, 
 
 
Usando as equações paramétricas, fazemos a mudança de variável 
x = 1 +.cos(t) ⇒ dx = - sen(t)dt 
y = sen(t) 
Na 1ª integral: 
 x = 0 ⇒ t = π e x = 2 ⇒ t = 0 
Na 2ª integral : 
 x = 0 ⇒ t = π e x = 2 ⇒ t = 2.π 
 
(Muita conta e nenhuma surpresa!) 
Exemplo 5: Seja a elípse E com centro no 
Page 4 of 7Curvas parametrizadas
 
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ponto (h, k), eixos paralelos aos eixos 
coordenados e semi-eixos a e b. 
a) Determinar equações paramétricas para E 
b) Use as equações obtidas em A e calcule a área 
limitada pela elípse 
 
a) Temos P = (x, y) ∈ E ⇔ 
 
 
Tomemos então 
 
Para cada ponto P = (x, y) ∈ E 
 
que são equações paramétricas de E 
b) Vamos calcular a área A da região do plano 
limitada pela elípse E: 
De modo análogo ao círculo, E não é gráfico de 
uma função y = y(x) e nem x = x(y). 
Consideremos as duas funções y = y2(x) e 
y = y1(x) cujos gráficos são respectivamente a 
semi-elípse superior ( isto é, y ≥ k, em azul na 
figura) e a inferior (y ≤ k, em vermelho). 
 
Temos, 
x = h + a.cos(t) ⇒ dx = -a.sen(t)dt e y = k + b.sen(t) 
Na 1ª integral temos: 
x = h – a ⇒ t = π e x = h + a ⇒ t = 0 
Na 2ª integral temos: 
x = h – a ⇒ t = π e x = h + a ⇒ t = 2.π 
 
Exemplo 6: Seja a astróide A representada ao Clique na figura para ter mais 
Page 5 of 7Curvas parametrizadas
 
 
 
lado, de equação cartesiana 
 
a) Determinar equações paramétricas para A 
b) Calcular a área limitada pela curva 
a) Temos, 
P = (x, y) ∈ A ⇔ 
 
 
informações sobre a astróide 
 
Tomemos então 
 
Para cada ponto P = (x, y) ∈ A temos 
 
que são equações paramétricas de A 
b) Vamos calcular a área A da região do plano 
limitada pela astróide A: 
De modo análogo, consideremos as duas 
funções y = y1(x) e y = y2(x) cujos gráficos 
são respectivamente o arco superior (isto 
é, y ≥ k, em azul na figura acima) e o 
inferior 
(y ≤ k, em vermelho). Temos, 
 
Usando a simetria da figura em relação 
aos eixos OX e OY, então 
 
Fazendo a mudança de variável 
x = a.cos3(t) ⇒ dx = -a.3.cos2(t).sen(t)dt e 
y = a.sen3(t) 
x = 0 ⇒ t = π /2 
x = a ⇒ t = 0 
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Retornar
Page 7 of 7Curvas parametrizadas
Curvas parametrizadas 
- Continuação – 
 
Exemplo 1: Calcular a área da região do plano limitada pelo eixo OX, pelas retas x = 0 e x = 8 e 
pela curva C de equações paramétricas. 
 
Podemos interpretar as equações da curva C como equações do movimento de um ponto sobre o
plano, isto é, (x(t), y(t)) dá a posição do ponto no instante t. x(t) nos dá o movimento na horizontal e
y(t) nos dá o movimento vertical. Usaremos então os sinais das derivadas 
 
para obter o crescimento e decrescimento de x e de y em relação a t. 
Quanto a concavidade da curva, para efeito das aplicações que vamos fazer, não é necessária. 
Temos, 
 
Índice 
Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 
Retornar
Page 1 of 7Curvas parametrizadas- continuação
Pelas equações (*) 
 
Calculando as intersecções entre as curvas: 
Pelas equações (*) , 
x = 0 ⇒ 0 = -(t-1)3 ⇒ t = 1 
 
x = 8 ⇒ 8 = -(t-1)3 ⇒ t = -1 
 
Contando apenas com estas informações podemos apresentar a seguinte representação gráfica para a 
área 
 
As setas indicam o sentido em que a curva C é percorrida. 
Observe que este gráfico não indica corretamente a concavidade da curva C (é bastate imperfeito!), 
mas, no momento, serve aos nossos propósitos. 
Seja y = y(x) a função cujo gráfico é a curva C. Então 
 
O gráfico a seguir representa a curva com mais exatidão. 
Page 2 of 7Curvas parametrizadas- continuação
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Exemplo 2: Dado a > 0, calcular a área da região do plano limitada pelo eixo OX e pela curva C de 
equações paramétricas 
 
Temos, 
 
 
Pelas equações (*) 
 
Apenas com estas informações podemos apresentar a seguinte representação gráfica para a área. 
 
Seja y = y(x) a função cujo gráfico é a curva C. Então 
 
Page 3 of 7Curvas parametrizadas- continuação
Com a mudança de variável 
 
x = 0 ⇒ t = 0; x = 2π a ⇒ t = 2π , temos 
 
 
De fato essa curva é chamada ciclóide e tem a seguinte representação gráfica. 
 
Clique na figura para obter mais informações sobre a ciclóide 
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Exemplo 3: Calcular a área da região do plano limitada pelo pelo laço da curva C de equações 
paramétricas 
 
Temos, 
 
Page 4 of 7Curvas parametrizadas- continuação
 
 
Pelas equações (*) 
 
Usando apenas estas informações podemos apresentar a seguinte representação gráfica para a área. 
 
É preciso calcular o ponto de auto-intersecção da curva, que é um ponto por onde o móvel passa 
duas vezes (ou seja em dois instantes diferentes) . Logo, sejam t1 < t2 tais que x(t1) = x(t2) e y(t1) = y
(t2). 
y(t1) = y(t2) ⇒ (t1)2 –1 = (t2)2 –1 ⇒ t1 = ± t2 ⇒ t1 = - t2 .
 
 
 
t2 = 0 ⇒ t1 = t2 (não serve!).
 
. 
Page 5 of 7Curvas parametrizadas- continuação
Temos, 
 
Sejam A1, A2, A3 e A4 as áreas indicadas na figura abaixo. Temos A = A1 + A2 + A3 +A4
 
Se y1 = y(x), y2 = y(x), y3 = y(x), y4 = y(x) são as funções cujos gráfico estão indicados na também 
na figura abaixo 
 
Fazendo a mudança de variável, 
 
temos, 
 
 
 
 
Page 6 of 7Curvas parametrizadas- continuação
Voltar ao Índice 
 
 
 A figura acima é uma representação 
gráfica mais exata para a curva C 
Retornar
Page 7 of 7Curvas parametrizadas- continuação
Comprimento de arco (curvas dadas por equações paramértricas) 
 
 
Dedução da fórmula para comprimento de arcos 
 
Vamos determinar (ou melhor,definir) o comprimento L da curva: 
Tomemos números t0, t1, ..., tn tais que 
 
a = t0 < t1 < …ti-1 < ti <... tn = b e pontos sobre a curva Pi = ( x(ti),y(ti) ), para i = 1,...n.
 
O comprimento da linha poligonal 
 
é uma estimativa para L, e tomando-se pontos Pi cada vez mais próximo uns dos outros espera-
se que este comprimento se aproxime cada vez mais de L . Isto é, indicando a distancia entre Pi-
1 e Pi por d(Pi-1, Pi ) temos 
L ≅ d(P0, P1 ) + d(P1, P2 ) +… + d(Pn-1, Pn ) 
 
Índice 
Dedução da fórmula 
para comprimento 
de arcos 
Observação 1 Exemplo 1 Observação 2 
Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 
 
Retornar 
Seja uma curva dada por equações 
paramétricas contínuas 
 
 
tais que t1 ≠ t2 ⇒ 
( x( t1), y(t1) ) ≠ ( x(t2), y(t2) )
 
(não queremos repetir trechos da curva) 
Page 1 of 9Comprimento de arco
Da geometria analítica temos, 
 
Supondo que cada uma das funções y(t) e x(t) tenha derivada contínua, pelo teorema do valor 
médio para derivadas, em cada intervalo [ti-1,ti ] existem α i , β i ∈ [ti-1,ti ] tais que x(ti) - x(ti-1) 
= x´(α i).(ti - ti-1) e y(ti) - y(ti-1) = y´(β i).(ti - ti-1) 
Indicando Δ ti = (ti - ti-1) temos 
 
 
 
Então, 
 
Como y´(t) e x´(t) são contínuas, 
 
Observação 1: Se v(t) é o vetor velocidade da curva parametrizada então 
 
Isto é "a integral do módulo da velocidade é igual à distância percorrida" 
 
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Exemplo 1: Use integral para calcular o comprimento do círculo de raio 4 e centro (1, 2). 
Sejam as equações paramétricas do círculo 
 
Com estas equações não há repetição de trechos da curva 
Page 2 of 9Comprimento de arco
 
 
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Observação 2: O comprimento da elipse (que não seja círculo) não pode ser calculado de forma 
análoga pois para a2 ≠ b2 a integral 
 
não pode ser representada usando funções elementares. 
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Exemplo 2: Esboce e calcule o comprimento de arco da curva de equações paramétricas 
 
Temos, 
 
 
 
Usando apenas estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva
Page 3 of 9Comprimento de arco
 
Pela maneira como a curva é descrita pelas equações, vemos que não há repetição de trechos. 
Logo, 
 
 
 
Usando a fórmula 
 
Temos 
 
Então de acordo com o sinal de cos(t/2), 
 
A figura a seguir apresenta esta curva de forma mais exata.
Page 4 of 9Comprimento de arco
 
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Exemplo 3: Esboce a curva e calcule o comprimento de arco do laço da curva de equações 
paramétricas 
 
Temos, 
 
 
De acordo com as equações (*), 
 
Calculando a auto-intersecção: 
Sejam t1 < t2 tais que x(t1) = x(t2) e y(t1) = y(t2). 
 
x(t1) = x(t2) ⇒ (t1)2 +1 = (t2)2 +1 ⇒ t1 = ± t2 ⇒ t1 = - t2 .
 
Page 5 of 9Comprimento de arco
 
 
t2 = 0 ⇒ t1 = t2 (não serve!).
 
. 
Temos, 
 
Esboçando a curva com estas informações 
 
 
Calculando o comprimento do laço 
 
 
Como t2 +1 é positivo para todo t, 
 
 
Segue a representação da curva mostrando sua concavidade 
 
Page 6 of 9Comprimento de arco
 
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Exemplo 4: As equações paramétricas a seguir dão a posição de uma partícula em cada instante 
t, durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π . 
 
a) Calcule a distancia total percorrida pela partícula. 
b) Verifique se há trechos da trajetória que são repetidos durante o movimento. 
c) Esboce a trajetória e calcule seu comprimento. 
a) Basta aplicar a fórmula do comprimento de arco no intervalo 0 ≤ t ≤ π (se houver repetição de 
algum trecho, deve ser contabilizada). 
 
 
De acordo com o sinal de sen(t).cos(t), temos 
 
Com a mudança de variável z = sen(t) temos, 
 
b) Vamos determinar valores de t tais que t1 < t2 e (x(t1),y (t1)) = (x(t2),y (t2)):
 
Page 7 of 9Comprimento de arco
Das equações (*) temos, 
 
. 
 
Então nos instantes t2 e t1 tais que t1 ∈ [0, π /2] e t2 = π - t1, a partícula ocupa a mesma posição.
 
Concluímos que após t = π /2 a partícula repete (retorna) a mesma trajetória descrita até este 
instante. 
c) De acordo com b) só precisamos trabalhar com t ∈[0, π /2]. Com as equações (**) temos 
 
 
 
 
Esta trajetória é de fato um segmento da reta y = (1-2x)/2 (tente verificar!) 
De acordo com o que foi discutido antes, o comprimento da trajetória é igual à metade da 
distância percorrida pela partícula, ou seja, 
 
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Retornar 
Page 8 of 9Comprimento de arco
 
 
Page 9 of 9Comprimento de arco
 
 
 
Comprimento de arco de curvas dadas por equações cartesianas 
Dedução da fórmula: 
 Vamos determinar o comprimento de arco de curvas que são gráficos de funções y = y (x) ou x = x
(y). 
Uma curva dada pela equação y = y(x), com x ∈ [a, b, ] pode ser parametrizada fazendo x = t e 
tomando as seguintes equações 
 
Se y = y(x) possui derivada contínua, então 
 
e o comprimento de arco é dado por 
 
É claro que não há necessidade de usarmos a variável t (já que t = x), Logo, 
Índice 
Comprimento de arco de curvas dadas por equações cartesianas 
Dedução da 
fórmula Observação 1 Exemplo 1 
Curiosidade Exemplo 2 
Comprimento de arco de curvas dadas por coordenadas polares 
Dedução da 
fórmula Exemplo 3 Exemplo 4 
Exemplo 5 
Retornar
Page 1 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
 
De modo análogo, para x = x(y), 
 
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Observação 1: No caso presente, é claro que não há repetição de trechos da curva – durante todo o 
tempo o ponto móvel se desloca para a direita. 
Exemplo 1: Calcule o comprimento de arco da curva de equação 
 
 
 
 
Como ex +e-x > 0 para todo x ,
 
 
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Curiosidade: 
As funções 
 
Page 2 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
são o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico. 
O gráfico do cosseno hiperbólico (figura abaixo) é uma "catenária" e tem a forma de um fio flexível 
preso pelas pontas e deixado sob ação da gravidade. 
 
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Exemplo 2: Calcule o comprimento do arco de parábola 
 
 
Usando substituição trigonométrica 
temos 
 
 
 
y = 0 ⇒ t = arctg(0) = 0 e 
y = 1 ⇒ t = arctg(1) = π /4 
 
 
Page 3 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
 
 
z =sen(t) ⇒ dz = cos(t)dt 
t = 0 ⇒ z = sen(0) = 0 e 
 
 
 
Continue! 
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Comprimento de arco de curvas dadas por coordenadas polares 
Dedução da fórmula. 
A curva r = r(θ ), com θ ∈ [α , β ] , pode ser parametrizada pelas equações em coordenadas 
cartesianas: 
 
Supondo que r = r(θ ) possue derivadas contínuas temos: 
Page 4 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
 
 
 
 
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Exemplo 3: Esboce e calcule o comprimento do arco da espiral exponencial 
r = e-θ , 0 ≤ θ ≤ 2π 
 
Temos que r decresce à medida que θ cresce e 
r(0)= e0 =1 e r(2π ) = e-2π 
 
Com estas informações temos a seguir o esboço da curva 
Page 5 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
 
 
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Exemplo 4: Esboce e calcule o comprimento do arco da curva de equação polar 
r = θ 2 –1 -2 ≤ θ ≤ 2
 
Como r(θ ) = r(-θ ), a curva é simétrica em relação ao eixo OX e basta esboçar o arco correspondente 
a θ ∈ [0, 2] e em seguida aplicar uma reflexão em torno de Ox para obtermos o arco correspondente 
a θ ∈ [-2, 0]. 
Tomando θ ∈ [0, 2] temos: 
z r = θ 2 –1 < 0 para θ ∈ [0, 1] e se θ cresce o módulo do raio decresce. 
 
z r = θ 2 –1 > 0 para θ ∈ [1, 2] e se θ cresce o raio cresce. 
z r(0)= -1 , r(1) = 0 e r(2) = 3 
Com estas informações temos a seguir o esboço da curva 
 
 
Para o comprimento de arco temos 
Page 6 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
 
 
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Exemplo 5: Esboce e calcule o comprimento do arco da curva de equação polar 
r = 1+ cos (θ ) 
Esta curva é uma cardióide, representada graficamente a seguir 
 
Para o comprimento de arco temos 
 
 
 
Usando que 
 
Page 7 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
 
 
De acordo com o sinal de cos(θ /2) temos 
 
 
 
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Page 8 of 8Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)
Volume - Método das seções planas transversais 
 
"Este não é o método mais geral para calcular volumes de sólidos, mas é bastante intuitivo e se mostra bastante prático em 
alguns exemplos. 
"No final do curso veremos um método mais geral usando a integral dupla" 
 
Introdução 
Volume de um cilindro reto 
Admitiremos inicialmente a definição de volume para cilindros retos: 
 
 Se a função A(x), definida em [a, b], é contínua então o volume do sólido é: 
Índice 
Introdução Dedução da fórmula Exemplo 1 Exemplo 2 
Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 Exemplo 6 
Retornar
Tomemos um plano α e uma região R 
deste plano, com área A limitada por 
uma curva fechada C. Consideremos 
uma reta r perpendicular ao plano α e 
tomemos a superfície cilíndrica tal que 
C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto 
é, obtida pela reunião de todas as retas 
paralelas a r passando por algum ponto 
de C). 
Consideremos um plano, β , paralelo a α . A região do espaço limitada pela 
superfície cilíndrica e pelos dois planos é um cilindro de base R e altura h, sendo h 
a distância entre os dois planos. O volume do cilindro é, V = A.h. 
Dado um sólido, tomemos um eixo 
orientado OX e, para todo número 
real x, o plano perpendicular a OX 
em x (isto é passando pelo ponto de 
abscissa x do eixo). Suponhamos 
que: 
z Para todo x ∈ R , o plano em 
x intercepta o sólido se, e 
somente, se x ∈ [a, b]. 
z Se x ∈ [a, b] a intersecção é 
uma região desse plano com 
área que indicaremos 
por A(x).. 
Page 1 of 8Volume - Método das secções planas transversais
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Dedução da fórmula: 
Chamaremos as intersecções do sólido com os planos perpendiculares ao eixo de secções planas do sólido transversais ao 
eixo OX ou de secções planas. 
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Para todo y ∈ [0, 3] a secção plana transversal a OY é um quadrado cujo lado varia com y e que indicaremos por L. Então a 
secção plana tem área 
 A = L2 e o volume da pirâmide é dado por
 
 
Tomemos números x0, x1, x2, ..., xn ∈ [a, b] tais que 
a = x0 < x1< x2 < ... < xn = b e números a1, a2, ..., an tais que ai ∈ [xi-1, xi]. 
O cilindro cuja base é a intersecção do plano perpendicular ao eixo OX em ai com o sólido 
e cuja altura é (xi - xi-1) tem volume igual a A(ai )(xi - xi-1) e então 
 
 
 
Exemplo 1: Calcular o volume de uma 
pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2 
e cuja altura é 3. 
 
Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano 
da base da pirâmide, ortogonal a um dos 
lados da base e sua origem e orientação como 
indicados na figura ao lado. 
Para relacionarmos L e y, tomemos: 
 _Um plano perpendicular ao plano da base, 
paralelo a um dos lados dessa base e contendo o 
eixo. 
_A projeção da pirâmide neste plano (veja figura 
ao lado). 
Usando semelhança de triângulos temos 
 
Logo, 
 
 
Page 2 of 8Volume - Método das secções planas transversais
Vemos aqui uma confirmação da proposição apresentada no Ensino Médio: 
O volume da pirâmide de base A e altura h é 
 
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Exemplo 2: Calcular o volume de uma esfera de raio igual a 2. 
 
 
Vemos aqui uma confirmação de outra proposição apresentada no Ensino Médio: 
 
Podemos escolher um eixo OY 
qualquer. Como indicado na figura ao 
lado, escolhemos um eixo tal que o 
plano perpendicular a ele na origem 
passa pelo centro da esfera. 
 
 
Para todo y ∈ [-2, 2] a secção plana 
transversala OY é um círculo cujo raio 
varia com y e que indicaremos por r. Então 
a secção plana tem área A = π r2 e o volume 
da esfera é dado por 
Para relacionarmos r e y, tomemos a intersecção da 
esfera com um plano que contenha o eixo e passe 
pelo seu centro. 
Pelo Teorema de Pitágoras (veja figura ao lado), 
 
Logo, 
Page 3 of 8Volume - Método das secções planas transversais
O volume da esfera de raio R é: 
 
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Exemplo 3: Represente graficamente e calcule o volume do sólido limitado pelo plano 
z = 1 e a superfície de equação z = x2 + y2. 
Representação gráfica: 
Dado um plano de equação z = c, c constante, (isto é perpendicular a OZ), para obtermos sua 
intersecção com a superfície, substituímos z = c na equação z = x2 + y2, obtendo, 
. Logo, a intersecção é 
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z Se c> 0 , um círculo no plano z = c de 
equação 
 x2 + y2 = c . Portanto com raio 
. 
z Se c = 0, o ponto (0,0) 
z Se c < 0, vazia 
Logo trata-se de uma superfície de revolução 
em torno de OZ. 
 
Para considerar a intersecção da 
superfície com o plano YOZ, substituímos x = 
0 na equação z = x2 + y2 obtendo a 
equação da parábola z = y2 . Portanto a 
superfície é gerada pela rotação desta parábola 
em torno de OZ (é um parabolóide de 
revolução). 
 
Na figura ao lado temos um esboço do sólido 
limitado pela superfície e pelo plano z = 1. 
Cálculo do volume: 
Para todo z ∈ [0, 1] a secção plana transversal 
a OZ 
 
 
do sólido é dado por 
 
 
Clique na figura para ver a superfície sendo gerada 
Page 4 of 8Volume - Método das secções planas transversais
 
Exemplo 4: Represente graficamente e calcule o volume do sólido limitado pelo 
plano z = 1 e a superfície de equação 
 
Representação gráfica: 
Como no exemplo anterior, a intersecção de um plano de equação z = c, c constante, com a superfície, obtém-se substituímos 
z = c na equação (*), resultando 
 
Logo, a intersecção é: 
z Vazia , se c < 0. 
z (0,0) , se c = 0. 
z Uma elípse no plano z = c, de equação 
 
 
se c> 0, 
Cálculo do volume: 
Para todo z ∈ [0, 1] a secção plana transversal a OZ é uma elipse com semi-eixos 
 
e o volume do sólido é dado por 
 
Voltar ao Índice 
Exemplo 5: Represente graficamente e calcule o volume do elipsóide de equação 
 
Representação gráfica: 
Como no exemplo anterior, a intersecção de um plano de equação z = c, c constante, com a superfície, obtém-se substituímos 
z = c na equação (*), resultando na equação, 
 
Para considerar a intersecção da superfície com o plano YOZ e com o plano XOZ, 
substituímos x = 0 e y = 0 na equação (*) obtendo as parábolas 
 
 
Trata-se de um parabolóide elíptico.Ou seja, a representação gráfica é semelhante à do 
parabolóide de revolução _ basta substituir os círculos por elípses. 
Page 5 of 8Volume - Método das secções planas transversais
 
As secções transversais a OX também são elipses, de equações 
 
obtidas fazendo-se x = c na equação (*), para -2 < c < 2. De modo análogo temos que as secções transversais a OY são elípses 
A seguir temos um esboço do sólido 
 
 
Cálculo do volume: 
Para todo z ∈ [-1, 1] a secção plana transversal a OZ é uma elipse com semi-eixos 
 
 
e o volume do sólido é dado por 
 
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Exemplo 6: Calcule o volume do sólido que é intersecção dos cilindros
De acordo com o sinal de 1-c2, temos que a 
intersecção é: 
z Vazia, se c > 1 ou c < -1. 
z (0,0) , se c = -1 ou c = 1 
z Uma elípse no plano z = c, de equação 
 
 
 se -1 < c <1 
 
Page 6 of 8Volume - Método das secções planas transversais
x2 + y2 = 1 e x2 + z2 = 1 (figura as seguir) 
 
Cálculo do volume: 
Tomemos o eixo OX e as intersecções de cada um dos cilindro com planos perpendiculares a esse 
eixo. Para o cilindro x2 + y2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equação desse cilindro obtemos 
.De modo semelhante, para o cilindro x2 + z2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equação desse cilindro obtemos
 
Portanto a interseção dos dois cilindros com o plano x = c é vazia se c > 1 ou c < -1 e é um 
 
Logo a intersecção com o plano 
x = c é: 
z Vazia, se c > 1 ou c < -1. 
z A reta do plano x = c de 
equação y = 0 , se c = -1 
ou c = 1 
z A região do plano x = c 
limitada pelas duas retas 
paralelas 
 
se - 1 < c <1 
 
 
 
Logo a intersecção com o plano 
x = c é: 
z Vazia, se c > 1 ou c < -1. 
z A reta do plano x = c de 
equação z = 0 , se c = -1 
ou c = 1 
z A região do plano x = c 
limitada pelas duas retas 
paralelas 
 
se 1 < c <1 
Page 7 of 8Volume - Método das secções planas transversais
quadrado (veja figura anterior) de lado 
 
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Page 8 of 8Volume - Método das secções planas transversais
Volume - Método das seções planas transversais 
(Continuação) 
 
 
Exemplo 1: Calcular o volume do sólido cuja base é um círculo de raio 3 e cujas seções 
transversais 
a um diâmetro da base são quadrados. 
ÍNDICE
Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 
Retornar
Tomemos um eixo orientado cuja origem 
é o centro do círculo e que contém o 
diâmetro (figura ao lado). 
A seção transversal em x é um quadrado 
de lado L que varia com x. Logo, sua área 
é igual a A = L2, o volume do sólido é 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
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Exemplo 2: Calcular o volume do sólido cuja base é uma elípse de semi-eixos iguais a 2 e 3 e 
cujas seções transversais ao eixo maior são triângulos equiláteros. 
 
 Clique na figura para ver animação em flash 4 
Tomemos um sistema de eixos cartesianos tal que 
OX coincida com o eixo maior (figura ao lado) e 
O coincida com o centro da elípse. Nesse sistema 
de eixos a elípse tem equação 
 
A seção transversal em x é um triângulo equilátero 
de lado L que varia com x. Logo, 
 
sua área é igual a 
 
o volume do sólido é 
 
Como L = 2y então ( pela equação da elípse) 
 
 
Page 2 of 4Volume - Método das seções planas transversais
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Exemplo 3: Calcular uma expressão em integrais que represente o volume do sólido cuja base é a 
região do plano limitada pela parábola x = y2 –1 e a reta x = y + 1 e cujas secções transversais a 
OY são triângulos retângulos, isósceles tais que a hipotenusa se encontra sobre a base do sólido 
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 Clique na figura para ver animação em flash 4 
A região R está representada na 
figura ao lado. 
A seção transversal em y é um 
triângulo retângulo isósceles de 
hipotenusa b e altura h (relativa 
a hipotenusa), que variam com 
y. Logo, sua área é 
 
o volume do sólido é 
 
Como 
b = x1 – x2 = y +1 – (y
2 –1) = – 
y2 + y + 2 
Então 
 
 
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Exemplo 4: Calcular uma expressão em integrais que represente o volume do sólido cuja base é 
um triângulo retângulo ABC de catetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e cujas secções 
transversais a AC são semi-círculos com diâmetros sobre a base do sólido. 
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Considerando o eixo OX como 
indicado na figura ao lado, a seção 
transversal em x tem área 
 
sendo r o raio do semi-círculo. 
O volume do sólido é 
 
Usando semelhança de triângulos 
 
Logo,